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高中数学苏教版必修四练习:2.4向量的数量积(一)(含答案)

§2.4 课时目标 向量的数量积(一) 1.通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平面向量 的数量积与向量投影的关系.3.掌握向量数量积的运算律. 1.向量的夹角 → → 已 知 两 个 非 零 向 量 a , b , 作 OA = a , OB = b , 则 ∠ AOB = θ(0°≤θ≤180°) 叫 做 ________________.当 θ=0° 时,a 与 b________;当 θ=180° 时,a 与 b 反向;当 θ= 90° 时,则称向量 a 与 b 垂直,记作________. 2.平面向量数量积 (1)定义:已知两个非零向量 a 与 b,我们把数量____________叫做 a 与 b 的数量积(或 内积),记作 a· b,即 a· b=|a||b|cosθ,其中 θ 是 a 与 b 的夹角. (2)规定:零向量与任一向量的数量积为________. (3)投影:设两个非零向量 a、b 的夹角为 θ,则向量 a 在 b 方向上的投影是________, 向量 b 在 a 方向上的投影是________. 3.数量积的几何意义 a· b 的几何意义是数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影________的乘积. 4.向量数量积的运算律 (1)a· b=________(交换律); (2)(λa)· b=________=________(结合律); (3)(a+b)· c=________(分配律). 一、填空题 1.|a|=2,|b|=4,向量 a 与向量 b 的夹角为 120° ,则向量 a 在向量 b 方向上的投影为 ________. 2.已知 a⊥b,|a|=2,|b|=3,且 3a+2b 与 λa-b 垂直,则 λ=________. 3.已知向量 a,b 满足 a· b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=________. → → → 4.在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,设BC=a,CA=b,AB=c,则 a· b+b· c+c· a= ________. 5.若非零向量 a,b 满足|a|=|b|,(2a+b)· b=0,则 a 与 b 的夹角为________. 6.已知向量 a 与 b 的夹角为 120° ,且|a|=|b|=4,那么 b· (2a+b)的值为________. 7.给出下列结论: ①若 a≠0, a· b=0, 则 b=0; ②若 a· b=b· c, 则 a=c; ③(a· b)c=a(b· c); ④a· [b(a· c)-c(a· b)] =0. 其中正确结论的序号是________. 8.设非零向量 a、b、c 满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则〈a,b〉=________. 9. 若向量 a 与 b 的夹角为 60° , |b|=4, (a+2b)· (a-3b)=-72, 则向量 a 的模为________. 10. 已知 a 是平面内的单位向量, 若向量 b 满足 b· (a-b)=0, 则|b|的取值范围是________. 二、解答题 11.已知|a|=4,|b|=3,当(1)a∥b;(2)a⊥b; (3)a 与 b 的夹角为 60° 时,分别求 a 与 b 的数量积. π 12.已知|a|=|b|=5,向量 a 与 b 的夹角为 ,求|a+b|,|a-b|. 3 能力提升 13.已知|a|=1,|b|=1,a,b 的夹角为 120° ,计算向量 2a-b 在向量 a+b 方向上的投 影. 14. 设 n 和 m 是两个单位向量, 其夹角是 60° , 求向量 a=2m+n 与 b=2n-3m 的夹角. 1 .两向量 a 与 b 的数量积是一个实数,不是一个向量,其值可以为正 ( 当 a≠0 , b≠0,0°≤θ<90° 时),也可以为负(当 a≠0,b≠0,90°<θ≤180°时),还可以为 0(当 a=0 或 b=0 或 θ=90° 时). 2.数量积对结合律一般不成立,因为(a· b)· c=|a||b|· cos〈a,b〉· c 是一个与 c 共线的向 量,而(a· c)· b=|a|· |c|cos〈a,c〉· b 是一个与 b 共线的向量,两者一般不同. 3.向量 b 在 a 上的射影不是向量而是数量,它的符号取决于 θ 角,注意 a 在 b 方向上 的射影与 b 在 a 方向上的射影是不同的,应结合图形加以区分. § 2.4 向量的数量积(一) 知识梳理 1.a 与 b 的夹角 同向 a⊥b 2.(1)|a||b|cosθ (2)0 3.|b|cosθ 4.(1)b· a (2)λ(a· b) a· (λb) (3)a· c+b· c 作业设计 1.-1 解析 a 在 b 方向上的投影是 |a|cosθ=2× cos120° =-1. 3 2. 2 解析 ∵(3a+2b)· (λa-b) =3λa2+(2λ-3)a· b-2b2 =3λa2-2b2=12λ-18=0. 3 ∴λ= . 2 3.2 2 解析 3 4.- 2 → → → → 解析 a· b=BC· CA=-CB· CA 1 → → =-|CB||CA|cos 60° =- . 2 1 1 同理 b· c=- ,c· a=- , 2 2 |2a-b|2=(2a-b)2=4|a|2-4a· b+|b|2=4× 1-4× 0+4=8,∴|2a-b|=2 2. (3)|a|cosθ |b|cosθ 3 ∴a· b+b· c+c· a=- . 2 5.120° 解析 由(2a+b)· b=0,得 2a· b+b2=0, 设 a 与 b 的夹角为 θ, ∴2|a||b|cosθ+|b|2=0. |b|2 |b|2 1 ∴cosθ=- =- 2=- ,∴θ=120° . 2|a||b| 2|b| 2 6.0 解析 b· (2a+b)=2a· b

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