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3.1.1、不等关系与不等式(第1学时)23


导学案:不等关系与不等式(一)
一、学习目标 1.通过具体情境,感受在观察现实世界时和日常生活中存在着的大量不等关系,了解不等式 (组)的实际背景. 2、会用不等式(组)表示实际问题的不等关系,会用不等式(组)研究含有不等关系的问 题 3、掌握比较两个数大小的方法 二、合作探究 1、阅读课本引言和章头图,你能体会其中蕴含的不等关系?试举出日常生活中与不等量关 系的例子?

2、新交规规定:连续驾驶中型以上载客汽车、危险物品运输车辆超过 4 小时未停车休息或 者停车休息时间不多于 20 分钟的,一次记 12 分;请写出这条规定所涉及到的不等关系的语 言并用数学符号来表示,除此外还有其他表示不等关系的语言并用数学符号来表示?

三、实例探究: 例 1、(不等式表示不等关系) (1) 限速 40km / h 的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度 v 不超过 40km / h , 可写成不等式 . (2) 设点 A 与平面 ? 的距离为 d , B 为平面 ? 上的任意一点, 其中不等关系有 。

(3)某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售,可以售出 8 万本。据市场调查,若单价每提高 0.1 元,销售量就可能相应减少 2000 本。若把提价后杂志的定价设为 x 元,怎样用不等式表 示销售的总收入仍不低于 20 万元呢?

例 2、(不等式组表示不等关系) (1)已知甲、乙两种食物的维生素 A、B 含量如下表: 食物 维生素 A/(单位/千克) 维生素 B/(单位/千克) 甲 600 800 乙 700 400

设用甲、乙两种食物各 x 千克,y 千克配成混合物,并使混合食物内至少含有 56000 单位维 生素 A 和 63000 单位维生素 B。试用不等式组表示 x,y 所满足的不等关系.

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(2)某钢铁厂要把长度为 4000 mm的钢管截成 500 mm和 600 mm两种。按照生产的要求, 600 mm的数量不能超过 500 mm钢管的 3 倍。 怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢?

例 3、比较下列各组代数式的大小 (1) (a ? 3)(a ? 5) 与 (a ? 2)(a ? 4) (2) 1 ? log x 3 与 2 log x 2 的大小

四、随堂训练 1、用不等式表示下面的不等关系: (1) a 与 b 的和是非负数 (2)如图,在一个面积为 350 的矩形地基上建造一个仓库, 四周是绿地,仓库的长 L 大于宽 W 的 4 倍 2、某夏令营有 48 人,出发前要从 A 、 B 两种型号的帐篷中选 择一种。 A 型号的帐篷比 B 型号的少 5 顶.若只选 A 型号的,每顶帐篷住 4 人,则帐篷不 够;每顶帐篷住 5 人,则有一顶帐篷没有住满.若只选 B 型号的,每顶帐篷住 3 人,则帐 篷不够;每顶帐篷住 4 人,则有帐篷剩余,设 A 型号的帐篷有 x 顶,用不等式将题目中的 不等关系表示出来。

思考: b 克糖水中有 a 克糖(b>a>0),若再添上 m 克糖(m>0),则糖水就变甜了,试根据事实 提炼一个不等式 .

规律总结 1.不等式(组)是刻画不等关系的数学模型. 2.建立不等式模型的基本思路: (1)找出不等关系; (2)语言化不等关系; (3)设变量后,数量化不等关系(列出不等式(组))。 3.比较大小:做差比较法

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五、课后作业 一、选择题 1.铁路旅行规定:旅客每人免费携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过 160cm ,设携带 品的外部尺寸长、宽、高分别为 a, b, c (单位: cm ) ,这个规定用数学关系式表示为( ) A.a ? b ? c ? 160 B.a ? b ? c ? 160 C.a ? b ? c ? 160 D.a ? b ? c ? 160 2.有一件商品若在月初出售,可获利 100 元,然后将本利存入银行(已知银行月息为 2%) ; 若在下月初出售,可获利 120 元,但要付 5 元保管费,则( ) A.本月初出售获利大 B. 下月初出售获利大 C.本月初出售获利与下月初出售获利相同 D.本月初出售获利与下月初出售获利大小不能确定 3.如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多 19 km ,那么在 8 天内它的行程就超过 2200km , 如果它每天行驶的路程比原来少 12 km ,那么它行驶同样的路程就得花 9 天多时间,这辆 汽车原来每天行程的千米数 x 满足( ) A.256 ? x ? 260 B.256 ? x ? 258 C.250 ? x ? 256 D.260 ? x ? 268 4.某地每年消耗木材约 20 万 m ,每 m 价 480 元,为了减少木材消耗,决定按 t % 征收木 材税,这样每年的木材消耗量减少
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5 t 万 m 3 ,为了既减少木材消耗又保证税金收入每年 2

不少于 180 万元,则 t 的范围是 A.[1,3] B.[2,4] C.[3,5] D.[4,6] 5.下图为某三岔路口交通环岛的简化模型,在某高峰时段,单位时间进出路口 A、B、C 的 机动车辆数如图所示,图中 x1 , x2 , x3 分别表示该 时段单位时间通过路段 AB , BC CA 的机动车辆 数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段 上驶入与驶出的车辆数相等) ,则 A. x1 ? x2 ? x3 B. x1 ? x3 ? x2 C. x2 ? x3 ? x1 D. x3 ? x2 ? x1 二、填空题 6.某家庭(一家三口)准备利用假期到某地旅游,有甲、乙两家旅行社提供 2 种优惠方案, 甲旅行社的方案是:如果户主买全票一张,其余人可享受五五折优惠;乙旅行社的方案 是:家庭旅游算集体票,可按七五折优惠。如果两家旅行社的原价相同,则选择 旅 行社比较合算。 7.某产品的总成本 C (万元)与产量 x (台)之间有函数关系式 C ? 3000 ? 20 x ? 0.1x ,
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?

?

?

其中 x ? ? 0, 240? 。若每台产品售价 25 万元,要使生产者不亏本,则产量 x 应满足关 系: 。 8.用一批长为 2.5m 的条形钢材截成长为 60cm 和 43cm 的两种规格的零件毛坯,若要使余
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下的废料最少,则材料的利用率是

。 (利用率=

零件毛坯的长度和 ) 钢材总长

三、解答题 9.通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述 问题所用的时间,讲座开始时,学生的兴趣激增;中间有一段不太长的时间,学生的兴 趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散。分析结果和实验,用 f (x)表示学 生掌握和接受概念的能力,x 表示提出和讲授概念的时间(单位:分) ,可有以下公式:
? ? 0.1x 2 ? 2.6x ? 43, 0 ? x ? 10 ? f (x) = ? 59, 10 ? x ? 16 ? ? 3x ? 107, 16 ? x ? 30 ?

(1)开讲后 5 分钟与开讲后 20 分钟比较,学生的接受能力何时强一些? (2)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强? (3)一个数学难题,需要 55 的接受能力以及 13 分时间,老师能否及时在学生一直所需 接受能力的状态下讲授完这个难题? 10.行驶中汽车,在刹车时由于惯性的作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,称这段距 离为刹车距离。在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离 s(米)与汽车车速 v(千米/

nv v2 ? 小时)满足的关系式为 s ? (n 为常数,n∈N)现做了两次刹车试验,有关 100 400
数据如图,其中 6 ? s1 ? 8 , 14 ? s 2 ? 17 ⑴求 n 的值; ⑵在使刹车距离不超过 12.6 米时,则行驶的最大速度为多少? S2 S1 40 四、能力提高 11.某供水公司水池有水 450 吨,每小时注入 80 吨,又 t 小时向居民输出水 80 20t 吨,现 同时输入输出, (1) 现供水紧张,则同一天内有 小时后水池中水量最少;(2 ) 若水池中低于 150 吨时会出 小时供水紧张。 70 V

12.某公司全年的纯利润为 b 元,其中一部分作为奖金发给 n 位职工,奖金分配方案如下: 首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小,由 1 到 n 排序,第 1 位职工得 奖金

b 元,然后将余额除以 n 发给第 2 位职工,按此方案将奖金逐一发给每位职工,并 n

将最后剩余部分作为公司发展基金. (1)设 ak(1≤k≤n)为第 k 位职工所得奖金额,试求 a2 、 a3 ,并用 k、n 和 b 表示 ak(不 必证明) ; (2)证明: ak ? ak ?1 (k=1,2,?,n-1) ,并解释此不等式关于分配原则的实际意义;
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§3.1 不等关系与不等式(1) 一、课标要求 1、理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值 2、会用不等式(组)表示实际问题的不等关系,能用不等式(组)研究含有不等关系的问 题 3、掌握比较两个数大小的方法 二、问题探究 1、试举几个现实生活中与不等式有关的例子? 2、 文字语言 大于 小于 大于等于 小于等于 三、典例分析 例 1、 (1) 设点 A 与平面 ? 的距离为 d , B 为平面 ? 上的任意一点, 其中不等关系有 。 (2)某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售,可以售出 8 万本。据市场调查,若单价每提高 0.1 元,销售量就可能相应减少 2000 本。若把提价后杂志的定价设为 x 元,怎样用不等式表 示销售的总收入仍不低于 20 万元呢? (3)某钢铁厂要把长度为 4000 mm的钢管截成 500 mm和 600 mm两种。按照生产的要求, 600 mm的数量不能超过 500 mm钢管的 3 倍。 怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢? 数学符号 文字语言 至多 至少 不少于 不多于 数学符号

例 2、某市环保局为增加城市的绿地面积,提出两个方案:方案 A 为一次性投资 500 万元; 方案 B 为第一年投资 5 万元,以后每年都比前一年增加 10 万元.列出不等式表示"经 n 年 之后,方案 B 的投入不少于方案 A 的投入"。

例 3、比较下列各组代数式的大小 (1) (a ? 3)(a ? 5) 与 (a ? 2)(a ? 4) (2) x 与 x ? x ? 1 的大小
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四、随堂训练 1、用不等式表示下面的不等关系: (1) a 与 b 的和是非负数 (2)某公路立交桥对通过车辆的高度 h “限高 4 m ”
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(3)如图,在一个面积为 350 的矩形地基上建造一个仓库,四周是绿地,仓库的长 L 大于 宽W 的 4 倍 2、限速 40 km / h 的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度 v 不超过 4okm / h , 写成不等式就是_______________。 3、某夏令营有 48 人,出发前要从 A 、 B 两种型号的帐篷中选择一种。 A 型号的帐篷比 B 型号的少 5 顶.若只选 A 型号的,每顶帐篷住 4 人,则帐篷不够;每顶帐篷住 5 人,则有 一顶帐篷没有住满.若只选 B 型号的,每顶帐篷住 3 人,则帐篷不够;每顶帐篷住 4 人, 则有帐篷剩余,设 A 型号的帐篷有 x 顶,用不等式将题目中的不等关系表示出来。

4、比较 x ? 1 与 x 的大小。
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