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第7专题 高考数学选择题的解题策略_图文

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专题7

第二篇

题 型 专 题

【引言】 数学选择题在高考试卷中,不但题目数量多,而且占总 分值的比例高. 高考数学试题中,选择题基础性强,知识覆盖面广,小巧灵 活,有一定的综合性和深度,渗透了各种数学思想和方法, 主要考查对基础知识的理解、基本技能的掌握、基本方

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法的运用及基本计算的准确性、考虑问题的严谨性、解 题速度的快捷性等. 考生迅速、 准确、 全面、 简捷地解好选择题成为得分的关键, 对高考数学成绩影响很大. 高考中的数学选择题一般是容易 题或中档题,个别题属于较难题,当中的大多数题可用特殊 的方法快速选择.解答选择题的基本策略是:要充分利用题 设和选项两方面提供的信息作出判断.一般说来,能定性判 断的,就不再使用复杂的定量计算;能使用特殊值判断的, 就不必采用常规解法;能使用间接法解的,就不必采用直接 法解;对于明显可以否定的选项应及早排除,以缩小选择的 范围;对于具有多种解题思路的,宜选最简解法;等等.解 题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏,

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初选后认真检验,确保准确. 解数学选择题的常用方法, 主要分直接法和间接法两大 类.直接法是解答选择题最基本、最常用的方法;但高考的 题量较大,如果所有选择题都用直接法解答,不但时间不允 许,而且有些题目根本无法解答.因此,我们还要掌握一些 特殊的解答选择题的方法, 如筛选法(也叫排除法、 淘汰法)、 特例法、图解法(数形结合)等. 【题型示例】 方法一:直接法 所谓直接法,就是直接从题设条件出发,运用有关概念、性 质、定理、法则和公式等知识,通过严密的推理和准确的

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运算,从而得出正确的结论,然后对照题目所给出的选 项“对号入座”作出相应的选择.涉及概念、性质的辨析或 较简单题目的运算常用直接法. 1+ai 设 i 是虚数单位,复数 为纯虚数,则实数 a 2-i 为( ). 1 1 A.- B.-2 C. D.2 2 2 1+ai (1+ai)(2+i) 2-a+(2a+1)i 【解析】 = = , 2-i 5 5 1+ai 因为复数 为纯虚数,所以有 a= 2-i

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2. 【答案】D 右图是某几何体的三视图, 其中 正(主)视图为正方形,俯视图是腰长为 2 的等 腰直角三角形,则该几何体的体积是( ). 8 8 A. B. 2 3 3 4 4 C. D. 2 3 3 【解析】由三视图可知该几何体为正方体内部四棱锥 P

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—ABCD, 则正方体的边长为 2, 所以 BC=2 2, 1 OP= 2,所以四棱锥 P-ABCD 的体积为 ?2? 3 8 2 2? 2= ,选 A. 3 【答案】A 已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(x+1)=-f(x -1),且 f(1)=2,则 f(2013)等于( ). A.-4 B.4 C.-2 D.2 【解析】f(x+1)=-f(x-1),则 f(x+2)=-f(x), 则 f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴f(2013)=f(1)=2. 【答案】D

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2 x 已知抛物线 y2=8x 的焦点为 F, 过 F 向双曲线 2- a

y2 =1(a>b>0)的两条渐近线作垂线,垂足分别为 M,N,O 为 b2
48 坐标原点,若四边形 OMFN 的面积为 ,则双曲线的离心率 25 为( ). 5 5 A. B. C.2 D.3 3 4 【解析】 根据条件可知抛物线的焦点坐标为 F(2, 0), 设 tan

b 2 2 2 θ= ,c =a +b ,c>0,根据双曲线的对称性可知, a

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四边形 OMFN 可分为两个全等的直角三角形,在△OMF a ? ? b 1 2a 2b 48 ? ? ? ? ? ? 中, 所以 SOMFN=2? ? ? = , ?OM?=2? , ?MF?=2? , c c 2 c c 25 解得 12c2=25ab, 则有 12a2-25ab+12b2=0, 即(4a-3b)(3a 5 -4b)=0.因为 a>b, 所以 3a=4b, 所以双曲线的离心率为 . 4 【答案】B (2013 新课标全国Ⅰ卷)执行右面的程序框图, 如 果输入的 t∈[-1,3],则输出的 s 属于( ). A.[-3,4] B.[-5,2] C.[-4,3]

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D.[-2,5] 【解析】当 t∈[-1,1)时,s=3t,s 是关于 t 的增函 2 2 数,所以 s∈[-3,3).当 t∈[1,3]时,s=4t-t =-t +4t=-(t-2)2+4,当 t=2 时,s 有最大值为 4;当 t=1 或 3 时,有最小值为 3.综上可知:s∈[-3,4]. 【答案】A 连接球面上两点的线段称为球的弦,半径为 4 的 球的两条弦 AB、CD 的长度分别为 2 7、4 3,M、N 分别为

AB、CD 的中点,每条弦的两端都在球面上运动.有下列四 个命题:①弦 AB、CD 可能相交于点 M;②弦 AB、CD 可能相 交于点 N;③MN 的最大值为 5;④MN 的最小值为 1.其中真
命题的个数为( ).

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A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 设球的球心 O 到直线 AB、 CD 的距离分别为 d′、 d, 利用勾股定理可求出 d′=3, d=2, 所以 CD 可以经过 M, 而 AB 不会经过 N,所以①正确,②不正确;又 d+d′=5, d′-d=1,所以③④正确.故选 C. 【答案】C 【点评】直接法是解选择题最常用的基本方法,直接法 适用的范围很广,只要运算正确就能得出正确的答案.提高 直接法解选择题的能力,准确地把握题目的“个性” ,用简 便方法巧解选择题,是建立在扎实掌握“三基”的基础上, 否则一味求快容易出现错误.

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方法二:特例法 用特殊值(特殊图形、 特殊位置)代替题设中的普遍条件, 得出特殊结论,对各个选项进行检验,从而作出正确的判 断. 常用的特例有特殊数值、 特殊角、 特殊数列、 特殊函数、 特殊图形、 特殊位置等. 这种方法实际上是一种 “小题小做” 的解题策略,对解答某些选择题时往往十分奏效. (1)特殊值 (2013 陕西卷)设[x]表示不大于 x 的最大整数, 则对任意实数 x,y,有( ). A.[-x]=-[x] B.[2x]=2[x] C.[x+y]≤[x]+[y] D.[x-y]≤[x]-[y] 【解析】设 x=3.2,则[-x]=[-3.2]=-4,而-[x]

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=-[3.2]=-3,故 A 项错误; 设 x=2.7,则[2x]=[5.4]=5,而 2[x]=2[2.7]=4, 故 B 项错误; 设 x=2.7,y=3.6,则[x+y]=[6.3]=6,而[x]+[y] =[2.7]+[3.5]=2+3=5,故 C 项错误.故选 D. 【答案】D
? ? ? 已知向量 a,b,c 满足? ?a?=?b?=a?b=2,(a- ? ?b-c?的最小值为( c)?(b-2c)=0,则? ? ? ? ? ? ?

).

3-1 7- 3 A. B. 2 2

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3 C. 2
? ?

7 D. 2
? ?

? ? ? 【解析】由? ?a?=?b?=a?b=2 可知 a,b 的夹角为 60°,不

妨设 a=(2,0),b=(1, 3),c=(x,y),则由(a-c)?(b -2c)=0 可得(2-x)(1-2x)+(-y)( 3-2y)=0, 整理可 5 2 3 2 3 得 2x -5x+2y - 3y+2=0 即(x- ) +(y- ) = ,则 4 4 4
2 2

? ? ?

?= b-c? (x-1)2+(y- 3)2的最小值为 ?

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5 2 3 2 3 7- 3 (1- ) +( 3- ) - = . 4 4 2 2 【答案】B (2)特殊函数 π 定义在(0, )上的函数 f(x), 其导函数是 f′(x), 2 且恒有 f(x)<f′(x)?tan x 成立,则( ). π π π π A.f( )> 3f( ) B.f( )< 3f( ) 6 3 6 3 π π π π C. 3f( )>f( ) D. 3f( )<f( ) 6 3 6 3

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【解析】根据条件不妨设 f(x)=-cos x,则 f(x)=- cos x 满足题意,选项代入可知 D 正确. 【答案】D (3)特殊数列 已知等比数列{an}的公比为 q, 则 “0<q<1” 是 “{an} 为递减数列”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

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1 n 【解析】设等比数列{an}的通项为 an=-( ) ,则公比 2 1 q= ,但该等比数列不是递减数列,所以“0<q<1”推不出 2 n “{an}为递减数列” ; 设等比数列{an}的通项为 an=-2 , 则该等比数列是递减数列, 但 q=2, 所以 “{an}为递减数列” 推不出“0<q<1” .所以选 D. 【答案】D

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(4)特殊位置 如图,P 为椭圆 + =1 上第一象限 25 9 内的任意一点, 过椭圆的右顶点 A、 上顶点 B 分别 作 y 轴、x 轴的平行线,它们相交于点 C,过 P 引 BC、AC 的平行线交 AC 于 N,交 BC 于 M,交 AB 于 D、E,记 矩形 PMCN 的面积为 S1,三角形 PDE 的面积为 S2,则 S1∶S2 =( ). 1 1 A.1 B.2 C. D. 2 3 9 【解析】不妨取点 P 的坐标为(4, ),则可计算 S1=(3 5

x2

y2

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9 6 1 9 3 6 - )?(5-4)= ,S2= ?(4-2)?( - )= ,所以 5 5 2 5 5 5 S1∶S2=1. 【答案】A (5)特殊方程

x2 y2 x2 y2 若椭圆 C1: 2+ 2=1(a1>b1>0)和椭圆 C2: 2+ 2= a1 b1 a2 b2 1(a2>b2>0)的焦点相同且 a1>a2.
给出如下四个结论: ①椭圆 C1 和椭圆 C2 一定没有公共点;

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a1 b1 ② > ; a2 b2 2 2 2 ③a2 1-a2=b1-b2; ④a1-a2<b1-b2.
其中,所有正确结论的序号是( ). A.①③ B.①③④ C.①②④ D.②③④ 【解析】设椭圆 C1 的方程为 + =1,椭圆 C2 的方程 10 6 为 +y =1,则可知①③④是正确的. 5 【答案】B

x2

y2

x2

2

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(6)特殊图形 在 Rt△ABC 中,AB⊥AC,AB=2AC, 在平面内将△ABC 绕点 C 逆时针旋转 180°, 点 A,B 旋转后分别记为 A1,B1,则 cos∠B1BA1=( 3 10 A. 10 10 B. 10 5 C. 10 5 D. 15 ).

【解析】根据条件可构造特殊的三角形,如图所示,不 妨设点 A(0,0),B(2,0),C(0,1), →1=(-4,2),BA →1=(-2, 则 B1(-2,2),A1(0,2),BB 2),

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12 3 10 ∴cos∠B1BA1= = = . →1|?|BA →1| 10 20? 8 |BB 【答案】A 【点评】在题设条件都成立的情况下,用特殊方法(取 得越简单越好)进行探求,从而清晰、快捷地得到正确的答 案,即通过对特殊情况的研究来判断一般规律,是解答此类 选择题的最佳策略. 方法三:图解法(数形结合) 图解法就是利用函数图象或数学结果的几何意义, 将数的问 题(如解方程、解不等式、求最值、求取值范围等)与某些图 形结合起来,利用几何直观性,再辅以简单计算,确定正确 答案的方法.解法贯穿数形结合思想,每年高考均有许

→1?BA →1 BB

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多选择题(也有填空题、 解答题)可以用数形结合思想解 决,既简捷又迅速. 已知函数 f(x)=lg(ax +2bx+a),且 a,b∈R, 若 f(x) 的值域为 R ,则 (a + 2)2 + (b - 1)2 的取值范围是 ( ). A.(2,+∞) B.[2,+∞) C.[4,+∞) D.(4,+∞)
2

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【解析】∵f(x)=lg(ax +2bx+a)的值域为 R, ∴
? ?a=0, ? ? ?b≠0

2



? ?a>0, ? 2 2 ? ?Δ=4b -4a ≥0

?

? ?a=0, ? ? ?b≠0



? ?a>0, ? ? ?(b-a)(b+a)≥0.

画出可行域如右图所示,由(a+2) +(b-1) 的几何意 2 2 义可知(a+2) +(b-1) ≥4,故选 C. 【答案】C 在△OAB 中,∠AOB=120°,OA=2,OB=1,D、

2

2

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C 分别是线段 AB、OB 的中点,则→ OD?→ AC=(
3 1 3 A.-2 B.- C.- D. 2 2 4

).

【解析】以 OA 所在的直线为 x 轴,垂直于 OA 的直线为 y 轴,建立直角坐标系,则点 A 的坐标为(2,0),点 B 的坐 1 3 3 3 1 3 标为(- , ),根据条件可得 D( , ),C(- , ), 2 2 4 4 4 4 3 3 → 9 3 → 所以OD=( , ),AC=(- , ), 4 4 4 4

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27 3 3 → → 则OD?AC=- + =- . 16 16 2 【答案】B 已知实数 x,y 满足 x2+y2-4x+6y+12=0,则
? ? ? ?的最小值是( 2x-y-2? ?

).

A.5- 5 C. 5-1
2 2

B.4- 5 D.5 5
2 2

【解析】x +y -4x+6y+12=0 可化为(x-2) +(y+3) =
2 2 ?可看成是圆(x-2) +(y+3) =1 上的 2 x - y - 2 1,则? ? ?

?

?

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点到直线 2x-y-2=0 距离的 5倍,由条件可得圆(x -2)2+(y+3)2=1 与直线 2x-y-2=0 相离,所以圆上的
? ? ? 的最小值为 5 - 2 x - y - 2 点到直线的最小值为 5-1,则? ? ?

5. 【答案】A 已知函数
? ?2,x≥0, f(x)=? 2 的图象与直线 ? ?x +4x+2,x<0

y=k(x+2)-2 恰有三个公共点,则实数 k 的取值范围是
( ). A.(0,2) B.(0,2]

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【解析】直线 y=k(x+2)-2 过定点(-2,-2),作出 函数 f(x)的图象如图,

要使函数 f(x)与直线 y=k(x+2)-2 恰有三个公共点, -2-2 则 0<k<kCD.因为 kCD= =2,所以实数 k 的取值范围是 -2 0<k<2,即 k∈(0,2),所以选 A. 【答案】A

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【点评】图解法并非属于选择题解题思路范畴,但用它 解某些选择题时非常简便有效. 不过运用图解法解题一定要 对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉.图解法实际 上是一种数形结合的解题策略. 方法四:代入检验法(验证法) 将选项中给出的答案或其特殊值, 代入题干逐一去验证 是否满足题设条件,然后选择符合题设条件的选项. 若复数 z 满足:z+1=(z-1)i,则复数 z 的共 轭复数- z =( A.-i ). B.i C.1-i D.1+i

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【解析】 若- z =-i, 则 z=i, 不满足 z+1=(z-1)i, 所以 A 不对;若 z=i,则- z =-i,满足 z+1=(z-1)i, 所以 B 正确. 【答案】B 阅读下边的程序框图, 若输出的 S 的结果是-14, 则判断框内可填写( ).

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A.i<6 B.i<8 C.i<5 D.i<7 【解析】若 i<6,则 S=2-1-3-5=-7;若 i<8,则 S=2-1-3-5-7=-14,符合题意,所以选 B. 【答案】B

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? ? ? ? ? ? ? n? ? ?

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1 等比数列 a 中, a1=317, q=- , 记 f(n)=a1a2? 2 an,则当 f(n)最大时,n 的值为( ). A.7 B.8 C.9 D.10 n(n-1) n 【解析】 此题对于 f(n) = a1a2?an = a1q , 2 1 21 7 因此将数据代入检验可知,f(7)=317 ?(- ) <0,f(8)= 2 1 28 1 45 8 10 317 ?(- ) >0,f(9)>0,f(10)=317 ?(- ) <0,因此 2 2 1 36 9 f(9)=317 ?(- ) >f(8),故选 C. 2

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【答案】C 【点评】代入法适合题设复杂、结论简单的选择题.若 能据题意确定代入顺序,则能较大提高解题速度. 方法五:筛选法(也叫排除法、淘汰法) 筛选法就是充分运用选择题是单选题的特征, 即有且只 有一个正确选项的特点,从选项入手,根据题设条件与各选 项的关系, 通过分析、 推理、 计算、 判断, 对选项进行筛选, 将其中与题设相矛盾的干扰项逐一排除, 从而获得正确结论 的方法.使用筛选法的前提是“答案唯一” ,即四个选项中 有且只有一个正确答案.

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lg|x| 函数 y= 的图象大致是(

x

).

lg|x| 【解析】y= 为奇函数,故排除 B.

x 又当 x=1 时,y=0,故排除 C.

1 2 1 又当 x=10 时,y= ,当 x=100 时,y= < ,故 10 100 10 排除 A. 【答案】D

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设 a,b,c,d∈R,若 a,1,b 成等比数列,且

c,1,d 成等差数列,则下列不等式恒成立的是( A.a+b≤2cd B.a+b≥2cd C.|a+b|≤2cd D.|a+b|≥2cd

).

1 【解析】取 a=2,b= ,c=0,d=2,可排除 A,C; 2 1 取 a=-2,b=- ,c=0,d=2 可排除 B.所以选 D. 2 【答案】D 【点评】筛选法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当 题目中的条件多于一个时, 先根据某些条件在选项中找出明 显与之矛盾的,予以否定,再根据另外一些条件在缩

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小的选项范围内找出矛盾,这样逐步筛选,直到得出正 确的选择.它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常 用方法. 方法六:推理分析法 推理分析法就是对有关概念进行全面、正确、深刻的理 解或对有关信息提取、 分析和加工后而作出判断和选择的方 法. (1)特征分析法——根据题目所提供的信息,如数值特 征、结构特征、位置特征等,进行快速推理,迅速作出判断 的方法,称为特征分析法.

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函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象关于直线 x

b =- 对称.据此可推测,对任意的非零实数 a,b,c,m, 2a n, p 关于 x 的方程 m[f(x)]2+nf(x)+p=0 的解集都不可能
是( ). A.{1,2} B.{1,4} C.{1,2,3,4} D.{1,4,16,64} 【解析】若解集不可能是 A,则解集也不可能是 C,所 以不选 A,同理也不选 B,答案只能在 C、D 中产生;若方程 有四个解, 根据题意可知其中两组解必是关于某条直线对称, 在 C 选项中:1、4 关于 x=2.5 对称,2、3 也关于 x=2.5 对称,所以是可能的解,而 D 选项没有这样的对称轴.

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【答案】D (2)逻辑分析法——通过对四个选项之间的逻辑关系的 分析,达到否定谬误项,选出正确项的方法,称为逻辑分析 法. 4 2 当 x∈[-4,0]时,a+ -x -4x≤ x+1 恒成 3 立,则 a 的一个可能取值为( ). 5 5 A.5 B. C.- D.-5 3 3 【解析】若 A 正确,则 B、 C、D 正确;若 B 正确,则 C、D 正确;若 C 正确,则 D 也正确.所以选 D. 【答案】D

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【点评】通过观察题目的特征,结合题意,巧妙运用逻 辑推理方法得出正确答案. 推理分析法可以有效地缩短解题 时间,对难度中上的问题形成有效的突破,达到快速求解的 目的. 方法七:估算法 估算法就是把复杂问题转化为较简单的问题, 求出答案 的近似值,或把有关数值扩大或缩小,从而对运算结果确定 出一个范围或作出一个估计,进而作出判断的方法. 1 设 a=log32,b=ln 2,c=5- ,则 a、b、c 的 2 大小关系是( ). A.a<b<c B.c<b<a

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C.c<a<b D.b<c<a 1 5 1 ln 2 ln 3 1 【解析】c=5- = < ,a=log32= > = , 2 5 2 ln 3 ln 3 2 ln 2 且 a=log32= <ln 2,所以 c<a<b. ln 3 【答案】C 如图, 设 D 是图中边长为 2 的正方 形区域, E 是函数 y=x3 的图象与 x 轴及直线 x=±1 围成的 阴影区域.向 D 中随机投一点,则该点落入 E 中的概率为 ( ).

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1 1 A. B. 16 8 1 1 C. D. 4 2 【解析】从图象中可以看到,阴影部分的面积小于正方 1 1 形面积的 ,所以该点落入 E 中的概率小于 ,所以排除 C, 4 4 1 D;又因为阴影部分的面积接近正方形面积的 ,所以估计事 8 1 件发生的概率为 . 8 【答案】B

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2 2 x y 已 知 抛 物 线 y2 = 2px(p>0) 与 双 曲 线 2 - 2 = a b 1(a>0,b>0)有相同的焦点 F,点 A 是两曲线的一个交点, 且 AF⊥x 轴,若 l 为双曲线的一条渐近线,则 l 的倾斜角所

在的区间可能是( ). π π π A.(0, ) B.( , ) 6 6 4 π π π π C.( , ) D.( , ) 4 3 3 2 【解析】由于抛物线与双曲线有相同的焦点 F,所以 = 2

p

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x2 y2 c,又 AF⊥x 轴,设 A(c,2c),代入 2- 2=1 消去 c 得 a b b 2 2 2 4 4 4a (a +b )=b ,两边同除以 a ,得 k= = 2+2 2> 3, a
π π 则 l 的倾斜角所在的区间可能是( , ). 3 2 【答案】D 【点评】 估算法省去了很多推导过程和比较复杂的计算, 节省了时间, 从而变得快捷. 它是人们发现问题、 研究问题、 解决问题的一种重要方法. 方法八:极限法 从有限到无限,从近似到精确,从量变到质变,应用极

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限思想解决某些问题,可以避开抽象、复杂的运算,降 低解题难度,优化解题过程.在一些选择题中,有一些任意 选取或者变化的元素, 我们对这些元素的变化趋势进行研究, 分析它们的极限情况或者极端位置,并进行估算,以此来判 断选择的结果.这种通过动态变化,或对极端取值来解选择 题的方法称为极限法.

函数 y=sin(πx+φ)(φ>0)的部分图象如右图

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所示,设 P 是图象的最高点,A,B 是图象与 x 轴的交 点,记∠APB=θ,则 sin 2θ的值是( ). 16 63 A. B. 65 65 16 16 C.- D.- 63 65 π 【解析】 由图可知, θ→ , C、 D 是负值根本不可能. 则 2 2θ→π,故 sin 2θ→0,故排除 B. 【答案】A →1? →2 已知 F1、 F2 是椭圆的两个焦点, 若存在满足MF MF =0 的点 M 在椭圆外部, 则椭圆离心率的取值范围是( ).

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专题7

1 2 2 A.(0,1) B.( ,1) C.( ,1) D.[ ,1) 2 2 2 【解析】由题知,垂足 M 的轨迹为以焦距为直径的圆, 若存在点 M 在椭圆的外部, 则圆的半径必大于椭圆的短半轴 2 2 2 2 2 1 长, c>b?c >b =a -c ?e > , 可见椭圆可趋向于线的状态, 2 2 则 e→1,又 e∈(0,1),所以 e∈( ,1). 2 【答案】C 【点评】极限法是解选择题的一种有效方法.它根据题干及 选项的特征,考虑极端情形,有助于缩小选择面,迅速

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专题7

找到答案. 【总结】 从考试的角度来看,解选择题只要选对就行,至于用什 么“策略” “手段”都是无关紧要的,所以解题可以“不择 手段” .但平时做题时要尽量弄清每一个选项正确的理由与 错误的原因,另外,在解答一道选择题时,往往需要同时采 用几种方法进行分析、推理,只有这样,才会在高考时充分 利用题目自身提供的信息,化常规为特殊,避免小题大做, 真正做到准确和快速. 总之, 解答选择题既要用各类常规题的解题思想原则来指导 选择题的解答,但更应该充分挖掘题目的“个性” ,寻

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专题7

求简便解法,充分利用选项的暗示,迅速地做出正确的 选择.这样不但可以迅速、准确地获取正确答案,还可以提 高解题速度,为后续解题节省时间.

1.已知集合 A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则 A ∩B=( ). A.(0,1) B.(0,2] C.(1,2) D.(1,2]

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专题7

【解析】 ( 直接法 )0<log4x<1?log41<log4x<log44 ,∴ 1<x<4,故 A={x|1<x<4},∴A∩B={x|1<x≤2}. 【答案】D 2.复数 z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位),则 z 的共轭复数为( ). A.2+i B.2-i C.5+i D.5-i 5 【解析】(直接法)由(z-3)(2-i)=5,得 z= +3 2-i 5(2+i) = +3=2+i+3=5+i,所以- z = 5- i , (2-i)(2+i) 选 D.

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专题7

【答案】D 3.设 a,b 是两条直线,α,β是两个平面,则 a⊥b 的一个充分条件是( ). A.a⊥α,b∥β,α⊥β B.a⊥α,b⊥β,α∥β C.a?α,b⊥β,α∥β D.a?α,b∥β,α⊥β 【解析】(特例法)如图举出 A、B、D 的反例,

因此选 C.

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专题7

【答案】C 4.若方程 ln x+x-4=0 在区间(a,b)(a,b∈Z,且 b-a=1)上有一根,则 a 的值为( ). A. 1 B.2 C.3 D.4 【解析】(筛选法)设 f(x)=ln x+x-4,然后把选项 一个一个地代入检验,可以发现 B 适合. 【答案】B 5.已知→ AB=(k,1),→ AC=(2,4),若 k 为满足|→ AB|≤4 的一随机整数,则△ABC 是直角三角形的概率为( 3 1 1 2 A. B. C. D. 7 7 3 3 ).

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专题7

【解析】(直接法)由|→ AB|≤4 可得 k2+1≤16,即 k2≤ 15,所以 k 的取值为-3,-2,-1,0,1,2,3,共 7 个, 满足△ABC 是直角三角形的 k 值有-2,-1,3,共 3 个, 3 所以所求事件的概率为 . 7 【答案】A 6.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( ).

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专题7

A.1 B.-1 C.-2 D.0 【解析】(直接法)由题意可知, T=0→T=1→S=0→T=1→S=-1→T=0→S=-1→T =-1→S=0, 所以选 D.

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专题7

【答案】D e -e 7.函数 y=ln x -x的图象大致为( e +e
x
-x

).

【解析】 (推理分析法)因为 ex+e-x>0, 所以 ex-e-x>0, x -x e - e 则 x>0, 所以 A, B 不对; 又因为 0<ex-e-x<ex+e-x, 所以 x e +e-x <1,则 y<0,所以 D 不对.故选 C.

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专题7

【答案】C

?x+2y-19≥0, ? 8.设二元一次不等式组?x-y+8≥0, 所表示的平 ? ?2x+y-14≤0 区域为 M,使函数 y=ax(a>0,a≠1)的图象过区域 M 的 a 的 取值范围是( ).
A.[1,3] B.[2, 10] C.[2,9] D.[ 10,9] 【解析】(图解法)画出线性区域如图所示.

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专题7

函数 y=ax(a>0, a≠1)的图象过 A 时有 a3=8, ∴a=2; 函数 y=ax(a>0, a≠1)的图象过 B 时有 a1=9, ∴a=9, 因此函数 y=ax(a>0, a≠1)的图象过区域 M 的 a 的取值 范围是??2,9??. 【答案】C 9.一个棱长为 2 的正方体沿其棱的中点截去部分后所 得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).
? ?

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专题7

22 47 23 A.7 B. C. D. 3 6 3 【解析】(直接法)如图所示,该几何体是正方体截取两 1 个三棱锥所得的几何体, 所以该几何体的体积 V=8-2? ? 3 1 23 1? ?1?1= . 2 3

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专题7

【答案】D 10. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且满足 S15>0, S16<0,

S1 S2 S3 S9 则 , , ,?, 中最大的项为( a1 a2 a3 a9 S6 S7 A. B. a6 a7 S8 S9 C. D. a8 a9

).

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专题7

【解析】(估算法)由 S15>0,S16<0,可知等差数列{an} 的首项 a1>0,公差 d<0,且 a8>0,a9<0,则 S1,S2,?,S8

S1 逐渐增加,S9 开始减少,而 a1,a2,?,a8 逐渐减少,所以 a1 S2 S8 S9 < <?< > ,所以 C 正确. a2 a8 a9
【答案】C
? ? ? 11.若 a,b∈R,使? ?a?+?b?>1 成立的一个充分不必要条 ? ? ? ?

件是(
?

).
?

? A.? B.a≥1 ?a+b?≥1 ? C.? D.b<-1 ?a?≥0.5,且 b≥0.5 ? ?

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专题7

【解析】 (逆向法)当 a=1, b=0 时, 都满足选项 A, B,
? ? ? 但是不能得出? ?a?+?b?>1; ? 当 a=0.5,b=0.5 时, 满足选项 C,但是不能得出? ?a?+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

b >1.

【答案】D 12.一位同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○● ○○○●○○○○●○○○○○●?若将此若干个圈依此 规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前 120 个圈中的● 的个数是( ). A.12 B.13 C.14 D.15

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专题7

【解析】(推理分析法)对于圈的排列,可看做第一组是 2,第二组是 3,依次类推,第 n 组是 n+1,即有 2+3+? (n+3)n +(n+1)= =120, 没有整数解, 而对于 n=14 时, 2 2+3+?+(n+1)=2+3+?+14=119,后面的一个是白 的,因此前 120 个圈中的●的个数是 14. 【答案】C → → 13. 已知向量→ OB=(2, 0), OC=(2, 2), CA=( 2cos α, 2sin α),则向量→ OA与→ OB的夹角范围为( ).

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π π 5π A.[0, ] B.[ , ] 4 4 12 5π π π 5π C.[ , ] D.[ , ] 12 2 12 12 【解析】(图解法)如图,点 A 的轨迹是以 C(2,2)为圆 心、 2为半径的圆. 过原点 O 作此圆的切线, 切点分别为 M,N.连接 CM,CN. 1 → → → → ∵|OC|=2 2,且|CM|=|CN|= |OC|, 2 π ∴∠COM=∠CON= , 6

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专题7

π π 5 又∵∠COB= ,∴∠MOB= ,∠NOB= π. 4 12 12 【答案】D 14.已知 A,B 是双曲线 -y2=1 的两个顶点,点 P 是 4 双曲线上异于 A, B 的一点, 连接 PO(O 为坐标原点)交椭圆

x2

x2

4 +y2=1 于点 Q,如果设直线 PA,PB,QA 的斜率分别为 k1, 15 k2,k3,且 k1+k2=- ,假设 k3>0,则 k3 的值为( ). 8 1 A.1 B. C.2 D.4 2

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专题7

【解析】(直接法)设 P(x0,y0),Q(x1,y1),A(2,0), y0 y0 2x0y0 x0 B(-2,0),∵kPA+kPB= + = 2 2= ,kQA+kQB x0-2 x0+2 x0-2 2y0 2x1y1 x1 x0 x1 = 2 2=- , = ,∴kPA+kPB+kQA+kQB=0, x1-2 2y1 y0 y1 15 ∴kQA+kQB= , 8 y2 1 1 又 kQA?kQB= 2 2=- , x1-2 4 15 1 2 ∴kQA、kQB 是方程 x - x- =0 的两根, 8 4 又∵kQA>0,∴kQA=2.即 k3=2.

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专题7

【答案】C 15. 函数 f(x)=log2|x|, g(x)=-x2+2, 则 f(x)? g(x) 的图象只可能是( ).

【解析】(极限法)由函数 f(x)?g(x)的解析式可以看 出函数为偶函数, 所以可以排除 A、 D; 当 x→+∞时, f(x)>0, g(x)<0,所以 f(x)?g(x)<0,可排除 B,所以选 C. 【答案】C


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