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河南省南阳市2017届高三上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析


2016-2017 学年河南省南阳市高三(上)期末数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个 选项中,有且只有一项符合题目要求. 1. 2, 3, 4}, 已知集合 M={1, 则集合 P={x|x∈M, 且 2x?M}的子集个数为 ( A.2 B.3 C.4 D.8 =( ) )

2.己知复数 z=cosθ+isinθ(i 是虚数单位),则 A.cosθ+isinθ B.2cosθ C.2sinθ D.isin2θ

3.直线 x+(1+m)y=2﹣m 和直线 mx+2y+8=0 平行,则 m 的值为( A.1 B.﹣2 C.1 或﹣2 D.﹣



4.已知公差不为 0 的等差数列{an}满足 a1,a3,a4 成等比数列,Sn 为数列{an} 的前 n 项和,则 A.2 B.3 的值为( )

C.﹣2 D.﹣3

5.五位同学站成一排照相留念,则在甲乙相邻的条件下,甲丙也相邻的概率为 ( A. ) B. C. D.

6.若如图框图所给的程序运行结果为 S=41,则图中的判断框(1)中应填入的 是( )

A.i>6? B.i≤6? C.i>5? D.i<5? 7.已知三棱锥的俯视图与左视图如图所示,俯视图是边长为 2 的正三角形,左 视图是有一条直角边为 2 的直角三角形,则该三棱锥的主视图可能为( )

A.

B.

C.

D.

8.将函数 f(x)=sin(2x﹣ 则 g(x)具有性质( )

)的图象向右平移

个单位后得到函数 g(x),

A.最大值为 1,图象关于直线 x= B.在(0, C.在(﹣

对称

)上单调递减,为奇函数 , )上单调递增,为偶函数 ,0)对称

D.周期为 π,图象关于点(

9. y 满足 已知实数 x,

, 若目标函数 z=﹣mx+y 的最大值为﹣2m+10, )

最小值为﹣2m﹣2,则实数 m 的取值范围是( A.[﹣1,2] 10.已知函数 f(3x+1)+f(x)>1 的解集为( A. 11.过双曲线 x2﹣ B. ) B.[﹣2,1]

C.[2,3] D.[﹣1,3] ,则关于 x 的不等式

C.(0,+∞) D.(﹣∞,0)

=1 的右支上一点 P,分别向圆 C1:(x+4)2+y2=4 和圆 C2: )

(x﹣4)2+y2=1 作切线,切点分别为 M,N,则|PM|2﹣|PN|2 的最小值为( A.10 B.13 C.16 D.19 12.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f'(x)﹣f(x)=x?ex,且 最大值为( A.1 ) ,则



B.﹣ C.﹣1 D.0

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. x02+mx0+2m﹣3<0”为假命题, 若命题“? x0∈R, 则实数 m 的取值范围是 14.已知 15.已知△ABC 中, ,则二项式 的展开式中 x﹣3 的系数为 ,D 为边 BC 的中点,则 = . . …

16.在正三棱锥 V﹣ABC 内,有一个半球,其底面与正三棱锥的底面重合,且与 正三棱锥的三个侧面都相切,若半球的半径为 2,则正三棱锥的体积的最小时, 其底面边长为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验 算过程. 17. (10 分) 设 (1)证明:数列 an+1=f , 令 a1=1, (an) , 又 为等差数列,并求数列{an}的通项公式; .

(2)求数列{bn}的前 n 项和. 18.(12 分)已知△ABC 的面积为 S,且 ? =S,| ﹣ |=3.

(Ⅰ)若 f(x)=2cos(ωx+B)(ω>0)的图象与直线 y=2 相邻两个交点间的最 短距离为 2,且 f( )=1,求△ABC 的面积 S; (Ⅱ)求 S+3 cosBcosC 的最大值.

19.(12 分)某校高三学生有两部分组成,应届生与复读生共 2000 学生,期末 考试数学成绩换算为 100 分的成绩如图所示,从高三的学生中,利用分层抽样, 抽取 100 名学生的成绩绘制成频率分布直方图: (1)若抽取的学生中,应届生与复读生的比为 9﹕1,确定高三应届生与复读生 的人数; (2)计算此次数学成绩的平均分; (3)若抽取的[80,90),[90,100]的学生中,应届生与复读生的比例关系也 是 9﹕1,从抽取的[80,90),[90,100]两段的复读生中,选两人进行座谈, 设抽取的[80,90)的人数为随机变量 ξ,求 ξ 的分布列与期望值.

20. AD∥BC, (12 分) 已知四棱锥 P﹣ABCD, 底面 ABCD 是直角梯形, ∠BCD=90°, PA⊥底面 ABCD,△ABM 是边长为 2 的等边三角形, (Ⅰ)求证:平面 PAM⊥平面 PDM; (Ⅱ)若点 E 为 PC 中点,求二面角 P﹣MD﹣E 的余弦值. .

21.(12 分)已知椭圆 C: 的直线 l,与圆 x2+y2= (1)求椭圆 C 的方程;

+

=1(a>b>0),过椭圆的上顶点与右顶点

相切,且椭圆 C 的右焦点与抛物线 y2=4x 的焦点重合;

(2)过点 O 作两条互相垂直的射线与椭圆 C 分别交于 A,B 两点,求△OAB 面 积的最小值. 22.(12 分)已知 f(x)=xlnx+mx,且曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切 线斜率为 1. (1)求实数 m 的值; (2)设 求 a 的取值范围; (3)已知 λ>0,在(2)的条件下,若不等式 立,求 λ 的取值范围. 恒成 在定义域内有两个不同的极值点 x1,x2,

2016-2017 学年河南省南阳市高三 (上) 期末数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个 选项中,有且只有一项符合题目要求. 1. 2, 3, 4}, 已知集合 M={1, 则集合 P={x|x∈M, 且 2x?M}的子集个数为 ( A.2 B.3 C.4 D.8 )

【考点】集合中元素个数的最值. 【分析】根据题意,写出集合 P 即可. 【解答】解:根据题意, 若 1∈P,则 2×1=2∈M,故不满足题意; 若 2∈P,则 2×2=4∈M,故不满足题意; 若 3∈P,则 2×3=6?M,故满足题意; 若 4∈P,则 2×4=8?M,故满足题意; 综上,P={3,4}, 所以集合 P 的子集有:?,{3},{4},{3,4}, 故选:C. 【点评】本题考查集合的定义及子集,属于基础题.

2.己知复数 z=cosθ+isinθ(i 是虚数单位),则 A.cosθ+isinθ B.2cosθ C.2sinθ D.isin2θ

=(



【考点】复数代数形式的乘除运算. z=cosθ+isinθ 代入 【分析】 【解答】解:∵z=cosθ+isinθ, ∴ = = , 然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

= 故选:B.

=



【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了三角函数的化简求值,是基 础题.

3.直线 x+(1+m)y=2﹣m 和直线 mx+2y+8=0 平行,则 m 的值为( A.1 B.﹣2 C.1 或﹣2 D.﹣



【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系. 【分析】由直线平行可得 1×2﹣(1+m)m=0,解方程排除重合可得. 【解答】解:∵直线 x+(1+m)y=2﹣m 和直线 mx+2y+8=0 平行, ∴1×2﹣(1+m)m=0,解得 m=1 或﹣2, 当 m=﹣2 时,两直线重合. 故选:A. 【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系,属基础题.

4.已知公差不为 0 的等差数列{an}满足 a1,a3,a4 成等比数列,Sn 为数列{an} 的前 n 项和,则 A.2 B.3 的值为( )

C.﹣2 D.﹣3

【考点】等比数列的性质;等差数列的性质. 【分析】由题意可得:a3=a1+2d,a4=a1+3d.结合 a1、a3、a4 成等比数列,得到 a1=﹣4d,进而根据等差数列的通项公式化简所求的式子即可得出答案. 【解答】解:设等差数列的公差为 d,首项为 a1, 所以 a3=a1+2d,a4=a1+3d. 因为 a1、a3、a4 成等比数列, 所以(a1+2d)2=a1(a1+3d),解得:a1=﹣4d. 所以 故选:A. = =2,

【点评】 解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列与等差数列的性质,利用性质 解决问题.

5.五位同学站成一排照相留念,则在甲乙相邻的条件下,甲丙也相邻的概率为 ( A. ) B. C. D.

【考点】古典概型及其概率计算公式. 【分析】五位同学站成一排照相留念,且甲乙相邻,先求出基本事件种数,再求 出甲丙也相邻包含的基本事件个数,由此能求出甲丙也相邻的概率. 【解答】解:五位同学站成一排照相留念,且甲乙相邻, 基本事件种数 n= =48, =12,

其中甲丙也相邻包含的基本事件个数 m= ∴甲丙也相邻的概率 p= 故选:A. .

【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件 概率计算公式的合理运用.

6.若如图框图所给的程序运行结果为 S=41,则图中的判断框(1)中应填入的 是( )

A.i>6? B.i≤6? C.i>5? D.i<5? 【考点】程序框图. 【分析】模拟程序的运行,当 k=5 时,不满足判断框的条件,退出循环,从而到 结论.

【解答】解:模拟执行程序,可得 i=10,S=1 满足条件,执行循环体,第 1 次循环,S=11,K=9, 满足条件,执行循环体,第 2 次循环,S=20,K=8, 满足条件,执行循环体,第 3 次循环,S=28,K=7, 满足条件,执行循环体,第 4 次循环,S=35,K=6, 满足条件,执行循环体,第 5 次循环,S=41,K=5, 此时 S 不满足输出结果,退出循环, 所以判断框中的条件为 k>5. 故选:C. 【点评】本题主要考查了循环结构,是当型循环,当满足条件,执行循环,同时 考查了推理能力,属于基础题.

7.已知三棱锥的俯视图与左视图如图所示,俯视图是边长为 2 的正三角形,左 视图是有一条直角边为 2 的直角三角形,则该三棱锥的主视图可能为( )

A.

B.

C.

D.

【考点】简单空间图形的三视图. 【分析】由已知中的三视图,可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,即 可得出结论. 【解答】 解: 由已知中的三视图, 可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥, 其直观图如下所示:

从而该三棱锥的主视图可能为



故选 A. 【点评】本题考查的知识点是三视图,解决本题的关键是得到该几何体的形状.

8.将函数 f(x)=sin(2x﹣ 则 g(x)具有性质( )

)的图象向右平移

个单位后得到函数 g(x),

A.最大值为 1,图象关于直线 x= B.在(0, C.在(﹣

对称

)上单调递减,为奇函数 , )上单调递增,为偶函数 ,0)对称

D.周期为 π,图象关于点(

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】有条件利用 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得 g(x)的解析式,再 利用正弦函数周期性、单调性,以及它的图象的对称性,得出结论. 【解答】解:将函数 f(x)=sin(2x﹣ 函数 g(x)=sin[2(x﹣ 当 x= )﹣ )的图象向右平移 个单位后得到

]=sin(2x﹣π)=﹣sin2x 的图象, 对称,

时,求得 g(x)=0,不是最值,故 g(x)的图象不关于直线 x=

故排除 A. 在(0, )上,2x∈(0, ),sin2x 单调递增,故 g(x)单调递减,且 g(x)

为奇函数, 故 B 满足条件,C 不满足条件.

当 x=

时,g(x)=﹣

≠0,故 g(x)的图象不关于点(

,0)对称,

故选:B. 【点评】本题主要考查 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数周期性、单 调性,以及它的图象的对称性,属于基础题.

9. y 满足 已知实数 x,

, 若目标函数 z=﹣mx+y 的最大值为﹣2m+10, )

最小值为﹣2m﹣2,则实数 m 的取值范围是( A.[﹣1,2] B.[﹣2,1]

C.[2,3] D.[﹣1,3]

【考点】简单线性规划的应用. 【分析】 作出不等式组对应的平面区域, 利用目标函数的几何意义, 由 z=﹣mx+y 的最大值为﹣2m+10,即当目标函数经过点(2,10)时,取得最大,当经过点 (2,﹣2)时,取得最小值,利用数形结合确定 m 的取值范围. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分 ABC). 由目标函数 z=﹣mx+y 得 y=mx+z, 则直线的截距最大,z 最大,直线的截距最小,z 最小. ∵目标函数 z=﹣mx+y 的最大值为﹣2m+10,最小值为﹣2m﹣2, ∴当目标函数经过点(2,10)时,取得最大, 当经过点(2,﹣2)时,取得最小值, ∴目标函数 z=﹣mx+y 的目标函数的斜率 m 满足比 x+y=0 的斜率大, 比 2x﹣y+6=0 的斜率小, 即﹣1≤m≤2, 故选:A.

【点评】本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,确定目标函 数的斜率是解决本题的关键, 利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方 法.

10.已知函数 f(3x+1)+f(x)>1 的解集为( A. B. )

,则关于 x 的不等式

C.(0,+∞) D.(﹣∞,0)

【考点】指、对数不等式的解法. 【分析】设 g(x)=2016x+log2016( +x)﹣2016﹣x,判断 g(x)的奇偶性及

其单调性,求出 g(﹣x)=﹣g(x),通过求 g′(x),并判断其符号可判断其单 调性,从而原不等式可变成,g(3x+1)>g(﹣x),而根据 g(x)的单调性即 可得到关于 x 的一元一次不等式,解该不等式即得原不等式的解集. 【解答】解:设 g(x)=2016x+log2016( g(﹣x)=2016﹣x﹣log2016( g′(x)=2016xln2016+ ∴g(x)在 R 上单调递增, ∴由 f(3x+1)+f(x)>1,得 g(3x+1)+2+g(x)+2>4. 则 g(3x+1)>g(﹣x). ∴3x+1>﹣x, +x)﹣2016﹣x,

+x)﹣2016x=﹣g(x). +2016﹣xln2016>0;

解得 x>﹣ . ∴原不等式的解集为(﹣ ,+∞). 故选:A. 【点评】本题考查对数的运算性质,考查奇函数的判断方法,训练了利用导数研 究函数的单调性,体现了数学转化思想方法,是中档题.

11.过双曲线 x2﹣

=1 的右支上一点 P,分别向圆 C1:(x+4)2+y2=4 和圆 C2: )

(x﹣4)2+y2=1 作切线,切点分别为 M,N,则|PM|2﹣|PN|2 的最小值为( A.10 B.13 C.16 D.19 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】 求得两圆的圆心和半径, 设双曲线 x2﹣

=1 的左右焦点为 F1 0) (﹣4, ,

F2(4,0),连接 PF1,PF2,F1M,F2N,运用勾股定理和双曲线的定义,结合三 点共线时,距离之和取得最小值,计算即可得到所求值. 【解答】解:圆 C1:(x+4)2+y2=4 的圆心为(﹣4,0),半径为 r1=2; 圆 C2:(x﹣4)2+y2=1 的圆心为(4,0),半径为 r2=1, 设双曲线 x2﹣ =1 的左右焦点为 F1(﹣4,0),F2(4,0),

连接 PF1,PF2,F1M,F2N,可得 |PM|2﹣|PN|2=(|PF1|2﹣r12)﹣(|PF2|2﹣r22) =(|PF1|2﹣4)﹣(|PF2|2﹣1) =|PF1|2﹣|PF2|2﹣3=(|PF1|﹣|PF2|)(|PF1|+|PF2|)﹣3 =2a(|PF1|+|PF2|﹣3=2(|PF1|+|PF2|)﹣3≥2?2c﹣3=2?8﹣3=13. 当且仅当 P 为右顶点时,取得等号, 即最小值 13. 故选 B.

【点评】本题考查最值的求法,注意运用双曲线的定义和圆的方程,考查三点共 线的性质,以及运算能力,属于中档题.

12.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f'(x)﹣f(x)=x?ex,且 最大值为( A.1 )

,则



B.﹣ C.﹣1 D.0

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;函数的最值及其几何意义. 【分析】先构造函数,F(x)= = ,根据题意求出 f(x)的解析式,即可得到

,再根据基本不等式即可求出最大值. ,则 F′(x)= =x,

【解答】解:令 F(x)= 则 F(x)= x2+c, ∴f(x)=ex( x2+c), ∵f(0)= , ∴c= , ∴f(x)=ex( x2+ ), ∴ x>0, ∴ = = , =

≤1,

的最大值为 1,

故选:A. 【点评】 本题考查了导数和函数的关系以及函数的值域问题,关键是构造函数和 利用基本不等式求函数的值域,属于中档题.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. x02+mx0+2m﹣3<0”为假命题, 若命题“? x0∈R, 则实数 m 的取值范围是 【考点】特称命题;复合命题的真假. 【分析】由于命题 P:“ ”为假命题,可得¬P: …

“? x∈R,x2+mx+2m﹣3≥0”为真命题,因此△≤0,解出即可. 【解答】解:∵命题 P:“ ”为假命题,

∴¬P:“? x∈R,x2+mx+2m﹣3≥0”为真命题,∴△≤0,即 m2﹣4(2m﹣3)≤ 0,解得 2≤m≤6. ∴实数 m 的取值范围是[2,6]. 故答案为:[2,6]. 【点评】本题考查了非命题、一元二次不等式恒成立与判别式的关系,属于基础 题.

14. 已知

, 则二项式

的展开式中 x﹣3 的系数为

﹣160 .

【考点】二项式定理的应用. 【分析】求定积分得 a 的值,在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于﹣ 3,求出 r 的值,即可求得展开式中 x﹣3 的系数. 【解答】解: 则二项式 = =﹣cosx =2, ?(﹣2)r?x﹣r,

的展开式的通项公式为 Tr+1=

令﹣r=﹣3,可得 r=3,故展开式中 x﹣3 的系数为 故答案为:﹣160.

?(﹣2)3=﹣160,

【点评】本题主要考查求定积分,二项式定理的应用,二项展开式的通项公式, 二项式系数的性质,属于基础题.

15.已知△ABC 中, 【考点】平面向量数量积的运算.

,D 为边 BC 的中点,则

=



【分析】利用数量积的性质和向量的平行四边形法则即可得出. 【解答】解:如图,

= ∴ ∴ ∴ = . . = . =





故答案为:

【点评】本题考查了数量积的性质和向量的平行四边形法则,属于中档题.

16.在正三棱锥 V﹣ABC 内,有一个半球,其底面与正三棱锥的底面重合,且与 正三棱锥的三个侧面都相切,若半球的半径为 2,则正三棱锥的体积的最小时, 其底面边长为 .

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【分析】 由于正三棱锥的侧面为全等的等腰三角形,故侧面与球的切点在棱锥的 斜高上, 利用等积法得出棱锥的高与棱锥底面边长的关系,得出棱锥的体积关于 高 h 的函数 V(h),利用导数与函数的最值得关系计算 V(h)的极小值点,然 后转化为底面边长得答案. 【解答】解:设△ABC 的中心为 O,取 AB 中点 D,连结 OD,VD,VO, 设 OD=a,VO=h,则 VD= AB=2AD=2 a. = .

过 O 作 OE⊥VD,则 OE=2,

∴S△VOD= OD?VO= VD?OE, ∴ah=2 ,整理得 a2= (h>2).

∴V(h)= S△ABC?h= ×

×

a2h=

a2h=



∴V′(h)=4

×

=4

× .



令 V′(h)=0,得 h2﹣12=0,解得 h=2 当 2<h<2 ∴当 h=2 故答案为: 时,V′(h)<0,当 h>2 ,即 a= . ,也就是 AB=

时,V′(h)>0, 时,V(h)取得最小值.

【点评】本题考查了球与外切多面体的关系,棱锥的体积计算,导数与函数的最 值,属于中档题.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验 算过程. 17.(10 分)(2016 秋?南阳期末)设 又 (1)证明:数列 . 为等差数列,并求数列{an}的通项公式; ,令 a1=1,an+1=f(an),

(2)求数列{bn}的前 n 项和. 【考点】数列的求和;等差数列的通项公式.

【分析】(1)由题意可得:an+1=

.将其变形可得



= ,由等差数

列的定义进而得到答案,进而求得数列{an}的通项公式; (2) 设 Sn 是数列{bn}的前 n 项和. 由 (1) 可得 bn=an?an+1=a2 ( 用“裂项求和”的方法求出答案即可. 【解答】解:(1)证明:∵an+1=f(an)= ∴ ∴ ∴ ﹣ = . , ﹣ ) . 利

是首项为 1,公差为 的等差数列, =1+(n﹣1) . ; ? =a2( ﹣ ). + . ﹣ +… ﹣ )

整理得 an= (2)bn=an?an+1=

设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,则 Tn=a2( ﹣ =a2( ﹣ )=a2( ﹣ )=a2? . =

∴数列{bn}的前 n 项和为

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、“裂项 求和”,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

18.(12 分)(2016?贵阳校级模拟)已知△ABC 的面积为 S,且 | ﹣ |=3.

?

=S,

(Ⅰ)若 f(x)=2cos(ωx+B)(ω>0)的图象与直线 y=2 相邻两个交点间的最 短距离为 2,且 f( )=1,求△ABC 的面积 S; (Ⅱ)求 S+3 cosBcosC 的最大值.

【考点】余弦函数的图象;平面向量数量积的运算. 【分析】(Ⅰ)由条件利用余弦函数的图象特征求出 ω,可得 f(x)的解析式,

再根据 f( )=1 求得 B,再利用条件求得 A,从而△ABC 是直角三角形,从而 计算△ABC 的面积 S. (Ⅱ)利用正弦定理求得△ABC 的外接圆半径 R,再化减 S+3 cos(B﹣C),从而求得它的最大值. 【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=2cos(ωx+B)(ω>0)的图象与直线 y=2 相邻两 个交点间的最短距离为 T, ∴T=2,即: 又 ,解得 ω=π,故 f(x)=2cos(πx+B). ,即: ,∵B 是△ABC 的内角,∴ , cosBcosC 为 3

设△ABC 的三个内角的对边分别为 a,b,c, ∵ 解得 由已知 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,∴ , , ,从而△ABC 是直角三角形, 得, , = =2 bc+3 ,解得 R= cosBcosC , ,从而 , .

设△ABC 的外接圆半径为 R,则 2R= ∴S+3 =3 故 cosBcosC= bcsinA+3 cosBcosC=3 的最大值为

cosBcosC=

sinBsinC+3

cos(B﹣C), .

【点评】本题主要考查余弦函数的图象特征,正弦定理,两个向量的数量积的运 算,属于中档题.

19.(12 分)(2016?衡阳校级模拟)某校高三学生有两部分组成,应届生与复 读生共 2000 学生,期末考试数学成绩换算为 100 分的成绩如图所示,从高三的 学生中,利用分层抽样,抽取 100 名学生的成绩绘制成频率分布直方图: (1)若抽取的学生中,应届生与复读生的比为 9﹕1,确定高三应届生与复读生 的人数; (2)计算此次数学成绩的平均分;

(3)若抽取的[80,90),[90,100]的学生中,应届生与复读生的比例关系也 是 9﹕1,从抽取的[80,90),[90,100]两段的复读生中,选两人进行座谈, 设抽取的[80,90)的人数为随机变量 ξ,求 ξ 的分布列与期望值.

【考点】离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其 分布列. 【分析】(1)因为抽取的应届生与复读生的比为 9﹕1,求出应届生抽取 90 人, 复读生抽取 10 人,由此能确定确定高三应届生与复读生的人数. (2)由频率分布图中小矩形面积之和为 1,得 a=0.04,由此能求出此次数学成 绩的平均分. (3)根据频率分布直方图可知抽取的复读生的人数分别为 2,3 人抽取的[80, 90)的人数为随机变量 ξ,可知 ξ=0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出 ξ 的分布列与期望值. 【解答】解:(1)∵抽取的应届生与复读生的比为 9﹕1, ∴应届生抽取 90 人,复读生抽取 10 人, 应届生的人数为 90×20=1800,复读生的人数为 2000﹣1800=200. (2)10×(0.01+a+0.02+0.03)=1,∴a=0.04, 平均分为 10×(0.01×65+0.04×75+0.02×85+0.03×95)=82 (3)根据频率分布直方图可知,抽取的[80,90),[90,100]的学生分别为 100 ×0.2=20,100×0.3=30, 抽取的复读生的人数分别为 2,3 人 抽取的[80,90)的人数为随机变量 ξ,可知 ξ=0,1,2, 可知 ,



, ∴ξ 的分布列为: ξ p ∴ . 0 1 2

【点评】 本题考查频率分布直方图的应用,考查离散型随机变量的分布列和数学 期望的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意排列组合知识的合理运用.

20.(12 分)(2016 秋?南阳期末)已知四棱锥 P﹣ABCD,底面 ABCD 是直角梯 形,AD∥BC,∠BCD=90°,PA⊥底面 ABCD,△ABM 是边长为 2 的等边三角形, . (Ⅰ)求证:平面 PAM⊥平面 PDM; (Ⅱ)若点 E 为 PC 中点,求二面角 P﹣MD﹣E 的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定. 【分析】(Ⅰ)证明 DM⊥AM.DM⊥PA,推出 DM⊥平面 PAM,即可证明平面 PAM⊥平面 PDM. (Ⅱ)以 D 为原点,DC 所在直线为 x 轴,DA 所在直线为 y 轴,过 D 且与 PA 平 行的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系 D﹣xyz,求出平面 PMD 的法向量,平面 MDE 的法向量,利用向量的 数量积求解二面角 P﹣MD﹣E 的余弦值. 【解答】解:(Ⅰ)证明:∵△ABM 是边长为 2 的等边三角形,底面 ABCD 是直 角梯形,∴ 又 ,

,∴CM=3,∴AD=3+1=4,∴AD2=DM2+AM2,∴DM⊥AM.

又 PA⊥底面 ABCD,∴DM⊥PA,∴DM⊥平面 PAM, ∵DM? 平面 PDM,∴平面 PAM⊥平面 PDM.

(Ⅱ)以 D 为原点,DC 所在直线为 x 轴,DA 所在直线为 y 轴, 过 D 且与 PA 平行的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系 D﹣xyz,





, ,



设平面 PMD 的法向量为 则 取 x1=3,∴ ∵E 为 PC 中点,则 设平面 MDE 的法向量为 , .(8 分) ,





,取 x2=3,∴

.(10 分)



. . (12 分)

∴二面角 P﹣MD﹣E 的余弦值为

【点评】本题考查二面角的平面镜的求法,平面与平面垂直的判定定理的应用, 考查空间想象能力以及计算能力.

21.(12 分)(2016?衡阳校级模拟)已知椭圆 C: 椭圆的上顶点与右顶点的直线 l,与圆 x2+y2= 线 y2=4x 的焦点重合;

+

=1(a>b>0),过

相切,且椭圆 C 的右焦点与抛物

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 O 作两条互相垂直的射线与椭圆 C 分别交于 A,B 两点,求△OAB 面 积的最小值. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】(1)写出过椭圆的上顶点与右顶点的直线方程,由的到直线的距离得 到关于 a,b 的等式,由抛物线方程求出焦点坐标,得到椭圆的半焦距长,结合 隐含条件联立可得 a,b 的值,则椭圆方程可求; (2)当两射线与坐标轴重合时,直接求出△OAB 面积,不重合时,设直线 AB 方程为 y=kx+m,与椭圆方程联立,结合 OA⊥OB 得到 k 与 m 的关系,进一步由 点到直线的距离得到 O 到 AB 的距离,再利用基本不等式求得 AB 的最小距离, 代入三角形面积公式求得最小值. 【解答】 解: (1) 过椭圆的上顶点与右顶点的直线 l 为 由直线与 相切,得 ,① , 即 bx+ay﹣ab=0,

∵抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),∴c=1. 即 a2﹣b2=1,代入①得 7a4﹣31a2+12=0, 即(7a2﹣3)(a2﹣4)=0,得 ∴b2=a2﹣1=3. 故椭圆 C 的方程为 ; ; (舍去),

(2)当两射线与坐标轴重合时,

当两射线不与坐标轴重合时,设直线 AB 的方程为 y=kx+m,A(x1,y1),B(x2, y2), 与椭圆 联立消去 y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0.

. ∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,

∴x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0. 即 把 , 代 入 , 得

, 整理得 7m2=12(k2+1), ∴O 到直线 AB 的距离 ∵OA⊥OB,∴OA2+OB2=AB2≥2OA?OB, 当且仅当 OA=OB 时取“=”号. 由 d?AB=OA?OB,得 ∴ , . . . .

,即弦 AB 的长度的最小值是

∴三角形的最小面积为 综上,△OAB 面积的最小值为

【点评】 本题考查椭圆的简单性质, 考查了直线与圆、 圆与椭圆位置关系的应用, 考查推理论证能力与计算能力, 考查三角形面积最值的求法,体现了分类讨论的 数学思想方法,是压轴题.

22.(12 分)(2016 秋?南阳期末)已知 f(x)=xlnx+mx,且曲线 y=f(x)在点 (1,f(1))处的切线斜率为 1. (1)求实数 m 的值; (2)设 求 a 的取值范围; (3)已知 λ>0,在(2)的条件下,若不等式 立,求 λ 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在 恒成 在定义域内有两个不同的极值点 x1,x2,

最大值、最小值问题中的应用. 【分析】(1)求出原函数的导函数,得到 f′(1),由 f′(1)=1 求得 m 值; (2)求出函数 g(x)的导数,通过讨论 a 的范围,结合函数的单调性确定 a 的 具体范围即可; (3)求出 g(x),求其导函数,可得 lnx1=ax1,lnx2=ax2,原式等价于 ln <

恒成立.令 t=

,t∈(0,1),则不等式 lnt< ,根据函数的单调性求

在 t∈(0,1)上恒成立,令 h(t)=lnt﹣ 出 λ 的范围即可. 【解答】解:(1)f′(x)=1+lnx+m, 由题意知,f′(1)=1,即:m+1=1,解得 m=0;

(2)因为 g(x)在其定义域内有两个不同的极值点 x1,x2, 所以 g′(x)=f′(x)﹣ax﹣1=lnx﹣ax=0 有两个不同的根 x1,x2, 设 ω(x)=g′(x)=lnx﹣ax,则 φ′(x)= (x>0),

显然当 a≤0 时 ω′(x)>0,ω(x)单调递增,不符合题意,所以 a>0, 由 ω′(x)=0,得:x= , 当 0<x< 时,ω′(x)>0,ω(x)单调递增,当 x> 时,ω′(x)<0,ω(x) 单调递减, 所以 ω( )>0,从而得 0<a< ,… 又当 x→0 时,ω(x)→﹣∞,所以 ω(x)在(0, )上有一根; ∵ >e,∴ > ,取 x= ,ω( )=﹣2lna﹣ , >0,r(a)在(0, )上单调递增, )上有一根;

设 r(a)=﹣2lna﹣ ,则 r′(a)=

r(a)<r( )=2﹣e<0,所以 ω(x)在( ,

综上可知,当 0<a< 时,g′(x)=0 有两个不同的根

所以 a 的取值范围为(0, ). (3)∵e1+λ<x1?x2λ 等价于 1+λ<lnx1+λlnx2. g(x)=f(x)﹣ x2﹣x+a=xlnx﹣ x2﹣x+a, 由题意可知 x1,x2 分别是方程 g′(x)=0,即:lnx﹣ax=0 的两个根, 即 lnx1=ax1,lnx2=ax2. ∴原式等价于 1+λ<ax1+λax2=a(x1+λx2), ∵λ>0,0<x1<x2,∴原式等价于 a> 又由 lnx1=ax1,lnx2=ax2. 作差得,ln =a(x1﹣x2),即 a= , ,

∴原式等价于





∵0<x1<x2,原式恒成立,即 ln



恒成立.

令 t=

,t∈(0,1), 在 t∈(0,1)上恒成立. ,又 h′(t)= ,

则不等式 lnt< 令 h(t)=lnt﹣

当 λ2≥1 时,可得 t∈(0,1)时,h′(t)>0, ∴h(t)在 t∈(0,1)上单调增,又 h(1)=0, h(t)<0 在 t∈(0,1)恒成立,符合题意. 当 λ2<1 时,可得 t∈(0,λ2)时,h′(t)>0,t∈(λ2,1)时,h′(t)<0, ∴h(t)在 t∈(0,λ2)时单调增,在 t∈(λ2,1)时单调减,又 h(1)=0, ∴h(t)在 t∈(0,1)上不能恒小于 0,不符合题意,舍去. 综上所述,若不等式 e1+λ<x1?x2λ 恒成立,只须 λ2≥1, 又 λ>0,∴λ≥1.

【点评】 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查利用导数求函 数的极值, 考查数学转化思想方法, 训练了学生的灵活变形能力和应用求解能力, 属压轴题.


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