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2015年秋高二数学人教A版选修4-4课件:2.4 渐开线与摆线_图文

2.4 渐开线与摆线 栏 目 链 接 1.了解圆的渐开线的参数方程,了解摆线的生成过 程及它的参数方程. 2.掌握用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步 骤. 栏 目 链 接 题型一 圆的渐开线、摆线的参数方程理解 例 1 已知圆的渐开线的参数方程为: ? ?x=3cos φ +3φsin φ , ? (φ 为参数). ? y = 3sin φ - 3 φ cos φ ? 根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是__________, 当参 数φ取 π 时对应的曲线上的点的坐标是________. 2 栏 目 链 接 分析: 本题考查对渐开线参数方程的理解. 对照一般情况下基圆半径 ? ?x=r(cos 为 r 的渐开线的参数方程? ? ?y=r(sin φ+φsin φ), φ-φcos φ) (φ 为参数)可求 π r 的值,然后把 φ= 代入方程,即得对应的点的坐标. 2 解析:所给的圆的渐开线的参数方程可化为 ? ?x=3(cos ? ?y=3(sin ? φ+φsin φ), φ-φcos φ), 栏 目 链 接 π 所以基圆半径 r=3.把 φ= 代入方程,可得 2 3π ? ? ?x= 2 , ? ? π π π? 即? ?sin ?, ? y = 3 - cos ? ? 2 2 2 ? ?y=3. ? π π π? x=3?cos + sin ?, 2 2 2? ? ?3π ? π 所以当参数 φ 取 时对应的曲线上的点的坐标是? ,3?. 2 ? 2 ? 答案:3 ?3π ? ? ,3? ? 2 ? 例 2 已知一个圆的摆线过一定点(1,0),请写出该摆线的参数 方程. 解析:由 y=0 知,r(1-cos φ)=0, ∵r≠0,∴cos φ=1,∴φ=2kπ(k∈Z). 代入 x=r(φ-sin φ)=1,得 2kπr=1(k∈Z). 由于 r 表示圆的半径,故 r>0,∴r= x= 1 (k∈N*) 2kπ 栏 目 链 接 ? 故所求摆线的参数方程为? 1 y= ? 2kπ(1-cos φ) φ 为参数,其中 k∈N*). 1 (φ-sin φ), 2kπ ?变式训练 1.已知圆的渐开线的参数方程是 ? ?x=cos φ +φsin φ , ? (φ 为参数),则此渐开线对应的基圆的直 栏 ? ?y=sin φ -φcos φ 目 链 π 径 是 ________ , 当 参 数 φ = 时 对 应 的 曲 线 上 的 点 的 坐 标 为 接 4 __________________. 1 ? 2 2π 2π ? 2 ? + ? , - 2 8 2 8 ? ? 题二 渐开线、摆线参数方程的应用 ? ?x=t-sin t, 例 3 设摆线? (t 为参数,0≤t≤2π )与直线 y=1 ?y=1-cos t ? 相交与 A,B 两点,求 A,B 两点间的距离. 解析:由 y=1 及 y=1-cos t 得 cos t=0, 又 0≤t≤2π, π 3π π ∴t1= ,t2= .当 t1= 时, 2 2 2 π π π π x= -sin = -1,y=1-cos =1. 2 2 2 2 栏 目 链 接 ?π ? 3π ∴A? -1,1?.当 t2= 时, 2 2 ? ? 3π 3π 3π x= -sin = +1, 2 2 2 ?3π ? 3π y=1-cos =1,∴B? +1,1?. 2 2 ? ? 栏 目 链 接 故 A,B 两点间的距离为 |AB|= ??3π ? ?π ??2 ?? +1?-?2-1?? +(1-1)2= (π+2)2=π+2. ?? ?? 2 ? ? ?变式训练 ? ?x=3cos φ , 2.已知一个圆的参数方程为? (φ 为参数),那么圆 ? y = 3sin φ ? ?3π ? π 的摆线方程中与参数 φ= 对应的点 A 与点 B? ,2?之间的距离为 2 2 ? ? ( C ) π A. -1 2 C. 10 B. 2 D. 3π -1 2 栏 目 链 接 析疑难 提 能 力 栏 目 链 接 例 1 关于渐开线与摆线的叙述,正确的是( A.只有圆才有渐开线 ) B.渐开线和摆线的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所 以才能得到不同的图形 C.正方形也可以有渐开线 D.对于同一个圆,如果建立的直角坐标系的位置不同,那么画 出的渐开线形状就不同 栏 目 链 接 分析:本题容易错选 A.渐开线不是圆独有的.其他图形,例如 椭圆、正方形也有.渐开线和摆线的定义虽然在字面上有相似之处, 栏 但是它们的实质是完全不一样的, 因此得出的图形也不相同. 对于同 目 链 接 一个圆, 不论在什么地方建立直角坐标系, 画出的渐开线的大小和形 状都是一样的,只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同. 答案:C 易错点:对圆的渐开线和摆线的概念理解不透导致错误 【易错点辨析】 渐开线和摆线的概念虽有相似之处, 但它们的本 质完全不同,渐开线的本质是直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹, 摆线的本质是一个圆沿着一条定直线无滑动的滚动时圆周上一个定 点的轨迹,在运用时往往因理解不透导致判断错误. 栏 目 链 接 例 2 半径为 2 的圆的渐开线的参数方程是( ? ?x=2(cos θ -θsin θ ), A.? (θ 为参数) ? y = 2 ( sin θ + θ cos θ ) ? ? ?x=2(cos θ +θsin θ ), B.? (θ 为参数) ?y=2(sin θ +θcos θ ) ? ? ?x=2(cos θ +θcos θ ), C.? (θ 为参数) ? ?y=2(sin θ +θsin θ ) ? ?x=2(cos θ +θsin θ ), D.? (θ 为参数) ? y = 2 ( sin θ - θ cos θ ) ? ) 栏

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