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2015年秋高二数学人教A版选修4-4课件:2.4 渐开线与摆线


2.4 渐开线与摆线 栏 目 链 接 1.了解圆的渐开线的参数方程,了解摆线的生成过 程及它的参数方程. 2.掌握用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步 骤. 栏 目 链 接 题型一 圆的渐开线、摆线的参数方程理解 例 1 已知圆的渐开线的参数方程为: ? ?x=3cos φ +3φsin φ , ? (φ 为参数). ? y = 3sin φ - 3 φ cos φ ? 根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是__________, 当参 数φ取 π 时对应的曲线上的点的坐标是________. 2 栏 目 链 接 分析: 本题考查对渐开线参数方程的理解. 对照一般情况下基圆半径 ? ?x=r(cos 为 r 的渐开线的参数方程? ? ?y=r(sin φ+φsin φ), φ-φcos φ) (φ 为参数)可求 π r 的值,然后把 φ= 代入方程,即得对应的点的坐标. 2 解析:所给的圆的渐开线的参数方程可化为 ? ?x=3(cos ? ?y=3(sin ? φ+φsin φ), φ-φcos φ), 栏 目 链 接 π 所以基圆半径 r=3.把 φ= 代入方程,可得 2 3π ? ? ?x= 2 , ? ? π π π? 即? ?sin ?, ? y = 3 - cos ? ? 2 2 2 ? ?y=3. ? π π π? x=3?cos + sin ?, 2 2 2? ? ?3π ? π 所以当参数 φ 取 时对应的曲线上的点的坐标是? ,3?. 2 ? 2 ? 答案:3 ?3π ? ? ,3? ? 2 ? 例 2 已知一个圆的摆线过一定点(1,0),请写出该摆线的参数 方程. 解析:由 y=0 知,r(1-cos φ)=0, ∵r≠0,∴cos φ=1,∴φ=2kπ(k∈Z). 代入 x=r(φ-sin φ)=1,得 2kπr=1(k∈Z). 由于 r 表示圆的半径,故 r>0,∴r= x= 1 (k∈N*) 2kπ 栏 目 链 接 ? 故所求摆线的参数方程为? 1 y= ? 2kπ(1-cos φ) φ 为参数,其中 k∈N*). 1 (φ-sin φ), 2kπ ?变式训练 1.已知圆的渐开线的参数方程是 ? ?x=cos φ +φsin φ , ? (φ 为参数),则此渐开线对应的基圆的直 栏 ? ?y=sin φ -φcos φ 目 链 π 径 是 ________ , 当 参 数 φ = 时 对 应 的 曲 线 上 的 点 的 坐 标 为 接 4 __________________. 1 ? 2 2π 2π ? 2 ? + ? , - 2 8 2 8 ? ? 题二 渐开线、摆线参数方程的应用 ? ?x=t-sin t, 例 3 设摆线? (t 为参数,0≤t≤2π )与直线 y=1 ?y=1-cos t ? 相交与 A,B 两点,求 A,B 两点间的距离. 解析:由 y=1 及 y=1-cos t 得 cos t=0, 又 0≤t≤2π, π 3π π ∴t1= ,t2= .当 t1= 时, 2 2 2 π π π π x= -sin = -1,y=1-cos =1. 2 2 2 2 栏 目 链 接 ?π ? 3π ∴A? -1,1?.当 t2= 时, 2 2 ? ? 3π 3π 3π x= -sin = +1, 2 2 2 ?3π ? 3π y=1-cos =1,∴B? +1,1?. 2 2 ? ? 栏 目 链 接 故 A,B 两点间的距离为 |

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