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4.1.1-2有理指数 (二)


指数 指 4.1.1 数 有理指数(二)

对数
对数

1 . a n = a×a×a×…×a a 0 = 1( a ≠ 0 ), a-n =

( n 个 a 连乘 )

1 ( a ≠ 0 ,n ? N+). an

2.运算法则 (1) a m ? a n = a m+n; (2)( a m ) n = a m n ; (3)( a b ) m = a m b m.

我国农业科学家在研究某农作物的生长状况时, 得到该农作物生长时间 x 周(从第 1 周到第 12 周)与 植株高度 y cm 之间的关系: y= 3
x 4

当该农作物生长了 4 周,8 周时, 植株高度分别是 3 cm,32 cm . 当该农作物生长了 1 周,5 周时, 植株的高度是多少呢?

一、根式 1.方根

一般地,若
x n = a( n > 1,n ? N ),

则 x 叫做 a 的 n 次方根.

例如: (1) 3 2 = 9 ,

则 3 是 9 的二次方根(平方根);
(-3) 2 = 9, 则 -3 也是 9 的二次方根(平方根); (2) (-5) 3 = -125, 则 -5 是 -125 的三次方根(立方根);

(3) 6 4 = 1 296,
则 6 是 1 296 的 4 次方根.

结论: (1) 当 n 为奇数时: 正数的 n 次方根为正数,负数的 n 次方根为负数. 记作 (2) 当 n 为偶数时: 正数的 n 次方根有两个(互为相反数). 记作 x = ±n x=
n

a

a

(3) 负数没有偶次方根.

2.根式 正数 a 的正 n 次方根叫做 a 的 n 次算术根. 当
n

a有意义时,

n

a叫做根式,n 叫根指数.

例如:
3

2 叫做 2 的 3 次算术根;
? 2 不叫根式,因为它是没有意义的.

4

根式的性质: (1) ( n

a ) n = a.

例如: (
3

27 ) 3 = 27;

( 5 ? 3 ) 5 = -3.

根式的性质:
n n (2) 当 n 为奇数时, a = a;

当 n 为偶数时, a

n

n

=|a|=

a (a≥0)

-a (a<0)

例如
3

(?2) = -2;
4

5

25 = 2;

3 = 3;
4

(?3) 2 = 3.

观察运算:

(a

1 3

)3 =

a
1 3

1 3

?3

=a

规 定

a = √a

1 3

3

即 a

是 a 的三次方根.
2 3

(a

2 3

)3

=a
2 3

?3

=

a2

规 定

a = √a 2

2 3

3

即 a

是 a 2 的三次方根.

二.分数指数幂 一般地,我们规定: a
n
1

=

n

a(a>0);
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a

m

n

=

n

m a (a>0,m,n ? N+,且 n 为既约分数).
m

负分数指数

a

-n

m

=

1

an

m

实数指数幂运算法则: (1) a? ? a? = a ? + ? ; (2) (a ? ) ? = a ? ? ; (3) (a b) ? = a ? b ?.

求下列各式的值: 8 8; 3 √3 × √3 × √3
3 6

3 5

2 5

8 ;
2 3 1 4

2 3

; (a b )3.

三、应用 例1 利用函数型计算器计算(精确到0.001).

(1)0.21.52;(2)3.14-2;(3)3.1 .
例2 利用函数型计算器计算函数值. 已知 f ( x ) = 2.71 x , 求:f (-3),f (-2) , f (-1) , f ( 1 ) , f ( 2 ) , f ( 3 )(精确到0.001).

2 3

1. 根式
1

分数指数幂

a

n

=

n

a(a>0);
m a (a>0,m,n ? N+,且 n 为既约分数).
m

a

m

n

=

n

2.指数的推广 正整指数幂 零指数幂 负整指数幂

整数指数幂

有理指数幂
分数指数幂

实数指数幂

3.利用函数型计算器求 a b 的值.

必做题:
教材P98,练习 B 组第 1 题 ;

选做题:
教材P98,练习 B 组第2 题.


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