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5.6正弦函数的图象与性质(综合)


正弦函数的图象与性质

探 究 1: 如何画 y ? sin x, x ? R
正弦函数的最小正周期:

的图像?
2?

代数描点法:列表、描点、作图

质疑思考
(1)在直角坐标系中怎样确定这些点的横坐标? (2)在直角坐标系中怎样确定这些点的纵坐标?

y P (u,v)
T

正弦函数的定义:
-1

? O
M

A(1,0) x

角? 的终边与单位圆交点的纵 坐标叫 ? 的正弦函数。(如图) 其中MP叫 ? 的正弦线

MP=y=sin ?

? ? sin )? 探究2:在直角坐标系中如何作点( , 3 3
y P
1

C(

?
3

, sin

?
3

)

x
M O
-1

?

一、正弦函数的图象
x ? [0,2? ]的图象的步骤? 作出正弦函数 y ? sin x,

1.建立直角坐标系

2.将[0,2π]单位圆分成12等份 3.写出13个点的横坐标,计算出相应的纵坐标
4.在直角坐标系内描出相应的点 5.连线

一、正弦函数的图象
用描点法作出正弦函数在[0,2π]上的图象
(1) 列表

y ? sin x, x ? ?0,2? ?
? 3
3 2

x
y

0

?
6
1 2

?
2

2? 3
3 2

5? 6
1 2

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

0

1
y 10

0 ? 12

? 23 ? 1

? 23 ? 12 0

(2) 描点

?

2

?

-

-

-

-

3? 2

2?

x

(3) 连线

?1 -

正弦函数的图象
问题:如何作出正弦函数的图像?

几何描点 法

途径:利用单位圆中正弦线来解决。 描图:用光滑曲线 y 将这些正弦线的终 B 1 点连结起来
O1

A O
-1

? 3

2? 3

?

4? 3

5? 3

2?

x

利用图像平移 y=sinx , x?[0,2?]

y=sinx , x?R 周期性

一、正弦函数的图象

正弦曲线
y
1-

? 6?
-

? 4?
-

? 2?
-

o-1

2?
-

4?
-

6?
-

x

-

∵终边相同的角的三角函数值相同, ∴y=sinx的图像在…, [-4π,-2π] ,[-2π,0] ,[0,2π] ,[2π,4π] … 与y=sinx,x∈[0,2π]的图像相同

一、正弦函数的图象
y
1 O -1
π 2

最高点

y ? sin x, x ? ? 0, 2π ?

中点

终点
x

π

3π 2



起点 最低点 五个关键点: 五点法

?π ? 3π ? ? π ,0 , ,1 , ? ? (0, 0), ? , ? 1 , ? ? ? ?2 ? ? 2 ?

? 2π,0?.

一、正弦函数的图象

总结“五点法”作图的关键
找出这“五点”

这“五点”的特征:界限角(特殊角)的正弦 值

一、正弦函数的图象
例 用“五点法”画出下列函数在区间[0,2π]的简图。 (1)y=-sin x; (2)y=1+sin x.
解 (1)列表: x sin x y=-sin x 描点得y=-sin x的图 象

0 0
0 y 1

?
2
1
-1 y=sin x x∈[0,2π]

?
0
0

3? 2

2?
0
0

-1
1

2. π π . . . . 0 x
? 2

3? 2

-1 y=-sin x x∈[0,2π]

一、正弦函数的图象
利用“五点法”作函数 y ? 1 ? sin x 在 ?0,2π? 上的图像

x
sin x
y ? 1 ? sin x

0
0 1
y 2 1? O

π 2
1 2

π
0 1

3π 2
-1 0


0 1

?

y ? 1 ? sin x, x ? ? 0, 2π ?

?
π 2

?
3π 2

π

?

2π x

练习

用“五点法”画出下列函数在区间[0,2π]的图。 (1)y=2+sin x; (2)y=sin x-1; (3)y=3sin x.

x
sin x
y=2+sin x y 3 2 1

0
0 2

π 2
1 3

π
0 2

3π 2
-1 1


0 2

y=2+sin x x∈[0,2π]

2. π π . . . . 0 x
? 2

3? 2

-1

练习

(2)y=sin x-1
x
y 3 2

0
0 -1

π 2
1 0

π
0 -1

3π 2
-1 -2


0 -1

sin x
y=sin x-1

1
2. π π . . . . 0 x
? 2
3? 2

-1

y=sin x -1

x∈[0,2π]

练习

(3)y=3sin x.
x
y 3 2

0
0 0

π 2
1 3

π
0 0

3π 2
-1
-3


0
0

sin x
y=3sin x

y=sin 3x x∈[0,2π]
1
2. π π . . . . 0 x
? 2
3? 2

-1

二、周期
对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,
当x取定义域D内的每一个值时,都有x+T∈D, 并且等式f(x+T)=f(x)成立,那么,函数y=f(x)叫 做周期函数,常数T叫做这个函数的一个周期.

正弦函数y=sinx是否是周期函数?

二、周期

sin(? ? 2kπ)=sin? (k ? Z), 对于正弦函数有:

正弦函数是周期函数.
周期有:2 π, 4π, 6π, … 和 -2π, -4π,-6π, …
周期中最小的正数叫做

最小正周期

今后研究的函数的周期,都是指最小正周期.
正弦函数的周期是

2 π.

二、周期
例、下列函数是不是周期函数?若是,求出其周期。 (1) f(x)=-2sinx; (2) f(x)=2+3sinx
解: f(x+2kπ)=-2sin(x+2kπ) =-2sinx 解: f(x+2kπ)=2+3sin(x+2kπ)

=2+3sinx
=f(x) ∴f(x)是周期函数, 其周期为T=2π

=f(x)
∴f(x)是周期函数, 其周期为T=2π

二、周期
练习:P154练习1、2

三、正弦函数的性质

y=sinx (x?R)
y
1 -3?
? 5? 2

图像关于原点对称

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

三、正弦函数的性质
正弦函数的奇偶性
y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

y=sinx (x?R) 是奇函数

sin(-x)= - sinx (x?R)

定义域关于原点对称

f (- x)= -f (x)

三、正弦函数的性质
正弦函数单调性 、值域
y
1 -3?
? 5? 2

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

x
sinx

?

?
2



0
0



? 2



?
0



3? 2

-1

1

-1

y=sinx (x?R) 增区间为

[ [?

减区间为 [

? ? ? +2k?, +2k?],k?Z 其值从-1增至1 观察得到最大值 2 ,2 ]2 2 为1最小值为-1 ? 3? 3? ? , ?, ] +2k?],k?Z 其值从 1减至-1 所以值域为 ? 1,1 +2k 2 2 2 2

?

?

三、正弦函数的性质
正弦函数的有界性
对任意的角 x ,都有 sin x ? 1成立, 函数的这种性质叫做有界性.

y 1

y ? sin x, x ? R

-3π

-2π -π

O -1

π







x

正弦函数是R内的有界函数.

三、正弦函数的性质 y
1

y ?1
3? 2

? 2?

??

?

?
2

O

?1

?
2

?

2?

3?

4?
y ? ?1

x

正弦函数y=sinx的性质: (1)定义域

实数集 R
? ? 2k? ymax ? _____ 1 当x=________________ 时, 2

(2)值域

? ? 2k? ymin 2 当x=________________ 时,
?

? 1 值域是: ? _____ ?? 1, 1?

(3)周期性

sin(x+2kπ)=sin x, (k∈Z), 2k?

三、正弦函数的性质 y
1

y ?1
3? 2

? 2?

??

?

?
2

O

?1

?
2

?

2?

3?

4?
y ? ?1

x

正弦函数y=sinx的性质:

1 ymin (4)最大值与最小值 ymax ? _____
(5)单调性

? _____ ?1

? ?? ? 2 k ? ? , 2 k ? ? ? ?, k ? Z 2 2 ? ? 在x ? R内,x ? __________ __________ _ 为增函数,

? 3? ? ? 2 k ? ? , 2 k ? ? ,k ?Z ? ? 2 2 ? x ??__________ __________ __为减函数
(6)奇偶性

奇 函数,图象关于_______ 原点 对称 是______

三、正弦函数的性质
正弦函数的性质
定义域 值域 奇偶性 周期性 单调性 R [-1,1] 奇函数 2π
? ?? ? 在x ? ? 2k? ? , 2k? ? ? 上是增函数; 2 2? ? ? 3? ? ? 在x ? ?2k? ? , 2k? ? ? 上是减函数; 2 2? ?

最值

2 3? 当x ? 2k? ? 时,ymin ? ?1 2

当x ? 2k? ?

?

时,ymax ? 1

三、正弦函数的性质
例 已知 sin x ? a ? 3 , 求 a 的取值范围.

解 ∵ -1 ≤sinx≤1,
∴ -1 ≤ a-3≤1,

解得

2

≤a≤

4 .

故a的取值范围是 [2,4].

三、正弦函数的性质
2 不求值,比较下列各对正弦值的大小: (1) sin( ?
?
18 )与 sin( ?

?
10

)

2? 3? 与 sin (2) sin 3 4

? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? , 且y=sinx在?? , ? 上是增函数, 解:(1) 2 10 18 2 ? 2 2?
? sin( ? ? ? ? ) ? sin ? ? ? 18 ? 10 ?

?

? ? 3? ? 2? 3? 3? ? ? ? ? , 且y=sinx在? 2 , 2 ? 上是减函数, (2) ? ? 2 3 4 2

?

2? 3? ? sin ? sin 3 4

三、正弦函数的性质
不求值,比较下列各对正弦值的大小:
(3) 解:

sin 250?与sin 260?

? 90? ? 250? ? 260? ? 270?
并且y ? sin x在 ?90?, 270?? 上是减函数

? sin 250? ? sin 260?

三、正弦函数的性质
3 求函数y=2+sinx的最大值、最小值和周期,并求这个函数 取最大值、最小值的x值的集合。 解: y max ? 2 ? ?sin x ?max ? 2 ? 1 ? 3 使y=2+sinx取得最大值的x的集合是:
? ? ? x x ? ? 2k? , k ? Z ? ? 2 ? ?

周期T ? 2?

y min ? 2 ? ?sin x ?min ? 2 ? (?1) ? 1
使y=2+sinx取得最小值的x的集合是:
? ? ? x x ? ? ? 2 k ? , k ? Z ? ? 2 ? ?

三、正弦函数的性质
4 求y= 5-sinx这个函数的最大值、最小值和周期,并求这个函 数分别取得最大值及最小值的x的集合。

解: ymax ? 5 ? ?? sin x ?max ? 5 ? (sin x) min ? 6
使y= 5+sinx取得最大值的x的集合是:

? ? ? x x ? ? ? 2 k ? , k ? Z ? ? 2 ? ?

ymin ? 5 ? ?? sin x ?min ? 5 ? (sin x) max ? 4
使y= 5+sinx取得最小值的x的集合是:

T ? 2?

? ? ? x x ? ? 2 k ? , k ? Z ? ? 2 ? ?

“五点法”作 图
周期
f(x+T)=f(x) , T叫做周期.

性质 函数

定义 域 值域

奇偶 性

单调性
3? ?? ? ? 2 k ? , ? 2 k ? ? ? 2 ?2 ?

y ? sin x R

? ?1,1?

减区间 增区间



? ? ? ? ? ? 2 k ? , ? 2 k ? ? ? 2 ? 2 ?

再 见

1、终边相同的角的集合(两种形式) 2、角度弧度转换:1800=
3? ? 4

,2700= ,
5? ? 6

,600= ,
2? ? 3

3、弧长公式: 4、 角终边上点 P (x, y) , 则 r= 5、写出三个三角函数的符号表: 6、同角三角函数的两个基本关系式: 7、 cos(?? ) ? , tan(? ? ? ) ? ,sin ? ? , cos? ? , tan ? ? ;


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