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x1.2.1排列(一)_图文

问题引入
问题1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活 动,其中1名同学参加上午的活动,另名同学参加下 午的活动,有多少种不同的选法?

问题2:从1,2,3,4这4个数中,每次取出3个排成 一个三位数,共可得到多少个不同的三位数?

上面两个问题有什么共同特征?可以用 怎样的数学模型来刻画?

探究:
问题1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活 动,其中1名同学参加上午的活动,另名同学参加下 午的活动,有多少种不同的选法?

分析:把题目转化为从甲、乙、丙3名同学中选2名, 按照参加上午的活动在前,参加下午的活动在后的 顺序排列,求一共有多少种不同的排法?

第一步:确定参加上午活动的同学即从3名中任 选1名,有3种选法.
第二步:确定参加下午活动的同学,有2种方法 根据分步计数原理:3×2=6
上午
甲 乙

即共6种方法。
相应的排法
甲乙 甲丙

下午
乙 丙 甲 丙 甲 乙

乙甲 乙丙
丙甲 丙乙



把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问 题1就可以叙述为:
从3个不同的元素a,b,c中任取2个,然后按照一定 的顺序排成一列,一共有多少种不同的排列方法? ab, ac, ba, bc, ca, cb

问题2:从1,2,3,4这4个数中,每次取出3个排成 一个三位数,共可得到多少个不同的三位数?
2 1 3 4
3

1

2 3 41 41

4
3

1 2

3 2

4 2 2

1
3 1

4 2
3 1

3

3 42 42 3

41 4 1

2

有此可写出所有的三位数:

123,124,132,134,142,143; 213,214,231,234,241,243,
312,314,321,324,341,342; 412,413,421,423,431,432。

从4个不同的元素a,b,c,d 中任取3个,然后按照一定的顺 序排成一列,共有多少种不同的排列方法?

abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc; cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.

基本概念
1、排列: 一般地,从n个不同中取出m (m ? n)个元素, 按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元 素中取出m个元素的一个排列。

说明:
1、元素不能重复。n个中不能重复,m个中也不能重复。 2、“按一定顺序”就是与位置有关,这是判断一个问题是 否是排列问题的关键。 3、两个排列相同,当且仅当这两个排列中的元素完全相同, 而且元素的排列顺序也完全相同。 4、m<n时的排列叫选排列,m=n时的排列叫全排列。 5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏,最好采用 “树形图”。

例1、下列问题中哪些是排列问题?
(1)10名学生中抽2名学生开会 (2)10名学生中选2名做正、副组长
(4)从2,3,5,7,11中任取两个数相除

×√ (3)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘 × √ (5)20位同学互通一次电话 √ (6)20位同学互通一封信√ × √ (9)有10个车站,共需要多少种车票?√

(7)以圆上的10个点为端点作弦 (8)以圆上的10个点中的某一点为起点,作过另一个点的 射线

(10)有10个车站,共多少种不同的火车票价?

×

2、排列数:
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素 的所有排列的个数,叫做从n个不同的元素中 m 取出m个元素的排列数。用符号 An 表示。
“一个排列”是指:从 n 个不同元素中,任取
按照一定的顺序排成一列,不是数;

“排列”和“排列数”有什么区别和联 系?

m 个元素

“排列数”是指从 n 个不同元素中,任取 m 个元素的 m 所有排列的个数,是一个数;所以符号 An 只表示
排列数,而不表示具体的排列。

问题1中是求从3个不同元素中取出2个元素的 2 2 排列数,记为 A3 ,已经算得 A3 ? 3? 2 ? 6 问题2中是求从4个不同元素中取出3个元素的 3 3 排列数,记为 A4 ,已经算出 A4 ? 4 ? 3? 2 ? 24

探究:从n个不同元素中取出2个元素的排列 2 3 m 数 An 是多少? An 呢? An 呢?
2 An ? n(n ?1)

A ? n(n ?1)(n ? 2)
m n

(n ? m ?1)

3 An ? n(n ?1)(n ? 2)

第 1位

第 2位

第 3位

第m位

……
n种 (n-1)种 (n-2)种 (n-m+1)种

(1)排列数公式(1):

A ? n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1)(m, n ? N *, m ? n)
m n
n 当m=n时,An ? n(n ? 1)( n ? 2)?3 ? 2 ?1

正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用

n!表示。

n! (2)排列数公式(2): A ? (n ? m)!
m n

n n个不同元素的全排列公式: An ? n!

说明:

为了使当m=n时上面的公式也成立,规定: 0!? 1
1、排列数公式的第一个常用来计算,第二个常用来证明。

2、对于 m ? n 这个条件要留意,往往是解方程时的隐含条 件。

例题分析

m ? 17 ?16 ?15 ? 例2.若An n ? 17 .

? 5 ? 4 ,则 m ?

14 ,

课堂练习
3 2 1.计算:(1) 5 A5 ? 4 A4 ? 348
3 2 5 A5 ? 4 A4 ? 5 ? 5 ? 4 ? 3 ? 4 ? 4 ? 3 ? 348
1 2 3 4 A4 ? A4 ? A4 ? A4 ? 4 ? 4 ? 3 ? 4 ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 64

1 2 3 4 (2) A4 ? A4 ? A4 ? A4 ? 64

2.从4种蔬菜品种中选出3种,分别种植在不同土质的3块土地 上进行试验,有 24 种不同的种植方法?
3 A4 ? 4 ? 3 ? 2 ? 24

3.从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛, 并排定他们的出场顺序,有 60 种不同的方法?
3 A5 ? 5 ? 4 ? 3 ? 60

4.信号兵用3种不同颜色的旗子各一面,每次打出3面,最多能 打出不同的信号有( C ) A.  1种 B.3 种 C.6种 D.27种
3 A3 ? 3 ? 2 ?1 ? 6

小结
排列问题,是取出m个元素后,还要按一 定的顺序排成一列,取出同样的m个元素,只 要排列顺序不同,就视为完成这件事的两种 不同的方法(两个不同的排列). 由排列的定义可知,排列与元素的顺序有 关,也就是说与位置有关的问题才能归结为排 列问题.当元素较少时,可以根据排列的意义 写出所有的排列.

思考题

三张卡片的正反面分别写着数字 2和3,4和5,7和8,若将这三张卡片 的正面或反面并列组成一个三位数, 可以得到多少个不同的三位数?


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