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第15讲:高频考点分析之最值探讨


第 15 讲:高频考点分析之最值探讨
最值问题是中学数学的重要内容,它分布在中学数学的各个部分和知识水平层面。以最值为载体,可 以考查中学数学的许多知识点,考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法,还可以考 查学生的思维能力、实践和创新能力。纵观近年高考,从题型分布来看,大多数一道填空题或选择题,一 道解答题;从分值来看,约占总分的 10%左右,它在高考中占有比较重要的地位。 分析考题的类型,高考中最值问题的呈现方式一般有以下几种: 1.函数(含三角函数)的最值; 2.学科内的其它最值,如几何中的最值问题、数列的最大项等等; 3.字母(函数)的取值范围; 4.不等式恒成立问题、存在性问题,常常转化为求函数的最值,例如: f ? x ? ? 0 对 x ? R 恒成立

? f ? x ? 的最小值≥0 成立, f ? x ? ? 0 对 x ? R 恒成立 ? f ? x ? 的最大值≤0 成立,等等;
5.实际应用问题,如最优化问题,可以通过建模可化为最值问题,等等。 结合中学数学的知识,高考中最值问题的求解方式一般有以下几种: 1.应用配方法求最值; 2.应用不等式(含基本不等式)求最值; 3.应用导数求最值; 4.应用单调性等性质求最值; 5.应用函数的值域求最值; 6.应用三角函数求最值; 7.应用几何、向量知识求最值; 8.应用线性规划求最值。 结合 2012 年全国各地高考的实例,我们从以上八方面探讨最值问题的求解。

一、应用配方法求最值: 典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】
例 1. (2012 年浙江省文 5 分)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x ? 4 y 的最小值是【 A. 】

24 5

B.

28 5

C.5

D.6

【答案】C。 【考点】基本不等式或配方法的应用。

【解析】∵x+3y=5xy,∴

1 3 1? 1 3? ? ? 5 , ? ? ? ?1。 y x 5? y x ?

∴ 不等式得)

1 1 3 1 3x 12 y 13 1 3x 12 y 2 2 36 13 (或由基本 (3x ? 4 y) ? ( ? ) ? ( ? )? ? ( ? ) ? ? ?5。 5 y x 5 y x 5 5 y x 5 5

∴ 3x ? 4 y ? 5,即 3x ? 4 y 的最小值是 5。故选 C。 例 2.(2012 年上海市理 14 分)海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北 方向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系(以 1 海里为单位长度) ,则救援船恰在失事船的正南方向 12 海里 A 处,如图. 现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线 y ?

12 2 x ;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往 49

救援;③救援船出发 t 小时后,失事船所在位置的横坐标为 7 t . (1)当 t ? 0.5 时,写出失事船所在位置 P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和 方向; 分) (6 (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?(8 分)

【答案】解:(1) t ? 0.5 时,P 的横坐标 xP ? 7t =
2

7 12 2 ,代入抛物线方程 y ? x 得 P 的纵坐标 yP ? 3 。 2 49

949 2 ?7? ∵A(0,12), ∴ AP = ? ? + ? 3+12 ? ? 。 2 ?2?
∴救援船速度的大小为 949 海里/时。

7 7 7 由 tan∠OAP= tan?OAP ? 2 ? ,得 ?OAP ? arctan , 3+12 30 30
∴救援船速度的方向为北偏东 arctan

7 弧度。 30
2

(2)设救援船的时速为 v 海里,经过 t 小时追上失事船,此时位置为 (7t , 12t ) 。 由 vt ?

(7t ) 2 ? (12t 2 ? 12) 2 ,整理得 v 2 ? 144(t 2 ?

1 1 ) ? 337 ? 144(t ? ) 2 ? 625 ? 625 。 2 t t

∵当 t ? 即 t =1 时 v2 最小,即 v ? 25 。 ∴救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船。 【考点】曲线与坐标。 【解析】 (1)求出 A 点和 P 点坐标即可求出。 (2)求出时速 v 关于时间 t 的函数关系式求出极值。 例 3. 2012 年山东省文 13 分)如图,椭圆 M: ( 所围成的矩形 ABCD 的面积为 8. (Ⅰ)求椭圆 M 的标准方程; (Ⅱ) 设直线 l : y ? x ? m(m ? R) 与椭圆 M 有两个不同的交点 P, l 与矩形 ABCD 有两个不同的交点 Q, S,T.求
| PQ | 的最大值及取得最大值时 m 的值. | ST | 3 x 2 y2 ,直线 x ? ?a 和 y ? ? b ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

1 t

【答案】解:(Ⅰ)∵椭圆 M: ∴e ?

3 x 2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

c 3 a2 ? b2 3 ? ,即 ? ……①。 a 2 a2 4

∵矩形 ABCD 面积为 8,∴ 2a ? 2b=8 ,即 ab=2 ……② 由①②解得: a=2,b=1 。 ∴椭圆 M 的标准方程是

x2 ? y2 ? 1 。 4

? x2 ? ? y2 ? 1 (II)由 ? 4 得 5x 2 ? 8mx+4m2 ? 4=0 。 ?y ? x ? m ?
8 4m 2 ? 4 设 P x p,yp ,Q x q,yq ,则 x p ? x q = ? m,x p ? x q = 。 5 5

?

?

?

?

由 ? =64m 2 ? 20 4m 2 ? 4 > 0 得 ? 5 < m < 5 。

?

?

4m2 ? 4 4 2 ? 8 ? ∴ | PQ | = 2 ? ? m ? ? 4 ? = 5 ? m2 。 5 5 ? 5 ?
2

当 l : y ? x ? m(m ? R) 过 A 点时, m=1 ,当 l : y ? x ? m(m ? R) 过 C 点时, m= ?1 。 ①当 ? 5 < m < ?1 时,有 S? ?m ? 1,- 1?,T ? 2,2+ m?, = 2 ?3 ? m? , ST ∴

| PQ | 4 = | ST | 5

5 ? m2

?3 ? m?

2



设 t=3 ? m ,则

| PQ | 4 = | ST | 5

5 ? m2

?3 ? m ?

= 2

4 4 6 4 ?1 3 ? 5 ? 2 ? ? 1= ?4 ? ? ? ? 。 5 t t 5 ?t 4? 4

2

| PQ | 1 3 4 5 2 ∴当 = ,即 t= ,m= ? 时, 取得最大值 5。 | ST | t 4 3 3 5 | PQ | 5 2 ②当 1 < m < 5 时,由对称性,可知,当 m= 时, 取得最大值 5。 | ST | 3 5

③当 ?1 ? m ?1 时, ST =2 2 , ∴当 m=0 时,

| PQ | 2 = 5 ? m2 , | ST | 5

| PQ | 2 取得最大值 5。 | ST | 5

| PQ | 5 2 综上可知,当 m=0,? 时, 取得最大值 5。 | ST | 3 5

【考点】椭圆的性质,矩形的性质,函数的极值。 【解析】 (Ⅰ)由已知条件,根据椭圆 M 的离心率为 面积为 8,列方程组组求解。 (Ⅱ)应用韦达定理、勾股定理,用 m 表示出 种情况分别求解。
| PQ | 1 ,分 ? 5 <m < ? ,?1 ? m ?1 ,1 < m < 5 三 | ST | 3 ,直线 x ? ?a 和 y ? ? b 所围成的矩形 ABCD 的 2

x2 ? y 2 ? 1相交于 A, 例 4.(2012 年辽宁省文 12 分)如图,动圆 C1 : x ? y ? t , 1 ? t ? 3 ,与椭圆 C2 : 9
2 2 2

B,C,D 四点,点 A , A2 分别为 C2 的左,右顶点。 1 (Ⅰ)当 t 为何值时,矩形 ABCD 的面积取得最大值?并求出其最大面积; (Ⅱ) 求直线 AA1 与直线 A2 B 交点 M 的轨迹方程。

【答案】解: (I)设 A x1,y1 ,则矩形 ABCD 的面积 S ? 4 x1 ? y1 。 ( )



x12 x2 ? y12 ? 1 得 y12 ? 1 ? 1 , 9 9
2 2 2 1 1 2 1

? x2 ? 1? 2 9? 9 ∴ x y ? x ?1 ? 1 ? = ? ? x1 ? ? + 。 9 ? 9? 2? 4 ?
y ∴当 x1 = , 1 ?
2 2

9 2

1 9 时, t 2 ? 5 , x12 y12 最大为 , Smax ? 6 。 2 4

∵1 ? t ? 3 , ∴当 t = 5 时,矩形 ABCD 的面积取得最大值,最大面积为 6。

( ),B x2,y2 , ( ) (Ⅱ)设 A x1,y1 ( 0 ),A2 3, , ( 0 ) ∵ A1 ? 3,
∴直线 A1A 的方程为 y ?

y y1 ? x ? 3? ① ,直线 A2B 的方程为 y ? ? 1 ? x ? 3? ② 。 x2 ? 3 x1 ? 3

由①× ②可得: y 2 ? ?

y12 ? x2 ? 9? ③ 。 x12 ? 9

( ) ∵ A x1,y1 在椭圆 C2 上,∴

x12 x2 ? y12 ? 1 。∴ y12 ? 1 ? 1 。 9 9

? x2 ? ? ?1 ? 1 ? 9 ? 2 代入③可得: y 2 ? ? 2 ? x ? 9? , x1 ? 9
∴点 M 的轨迹方程为

x2 ? y 2 ? 1( x < ?3,y<0) 。 9

【考点】直线、圆、椭圆的方程,椭圆的几何性质,轨迹方程的求法。

( ) 【解析】 (I)设 A x1,y1 ,应用函数方程思想求出 x1 y1 最大时的情况即可。

2

2

(Ⅱ)设出线 A1A 的方程、直线 A2B 的方程,求得交点满足的方程,利用 A 在椭圆 C2 上,化简即可 得到点 M 的轨迹方程。

二、应用不等式(含基本不等式)求最值: 典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】
例 1. (2012 年安徽省理 13 分)设 f ( x) ? ae ?
x

1 ? b(a ? 0) ae x

(I)求 f ( x) 在 [0, ??) 上的最小值; (II)设曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 的切线方程为 y ? 【答案】解: (I)设 t ? e (t ? 1) ,则 y ? at ?
x

3 x ;求 a , b 的值。 2

1 ?b。 at

∴ y? ? a ?

1 a 2t 2 ? 1 ? 。 at 2 at 2

1 ? b 在 t ? 1 上是增函数。 at 1 ∴当 t ? 1( x ? 0) 时, f ( x) 的最小值为 a ? ? b 。 a 1 ?b ? 2?b ②当 0 ? a ? 1 时, y ? at ? at 1 x ∴当且仅当 at ? 1(t ? e ? , x ? ? ln a ) 时, f ( x) 的最小值为 b ? 2 。 a 1 1 x x (II)∵ f ( x) ? ae ? x ? b ,∴ f ?( x ) ? ae ? x 。 ae ae
①当 a ? 1 时, y? ? 0 。∴ y ? at ?

2 ? 2 1 ? ae ? 2 ? b ? 3 a? 2 ? f (2) ? 3 ? ? ? ? ? ae e 由题意得: ? ,解得 ? 。 3 ,即 ? ?(2) ? 1 3 1 f 2 ? ae ? ?b? ? ? ? 2 ? ? ae2 2 ? 2 ?
【考点】复合函数的应用,导数的应用,函数的增减性,基本不等式的应用。 【解析】 (I)根据导数的的性质分 a ? 1 和 0 ? a ? 1 求解。 (II)根据切线的几何意义列方程组求解。 例 2.(2012 年安徽省文 12 分)设定义在(0,+ ? )上的函数 f ( x) ? ax ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小值; (II)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ?

1 ? b(a ? 0) ax

3 x ,求 a , b 的值。 2

【答案】解: (I)∵ f ( x) ? ax ?

1 1 ? b ? 2 ax? ? b ? b ? 2 , ax ax

1 ) 时, f ( x) 的最小值为 b ? 2 。 a 3 3 (II)∵曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? x ,∴ f (1) ? 。 2 2 1 3 ∴a? ?b ? ①。 a 2 1 1 3 又∵ f ?( x) ? a ? 2 ,∴ f ?(1) ? a ? ? ②。 ax a 2
∴当且仅当 ax ? 1( x ? 解①②得: a ? 2, b ? ?1 。 【考点】基本不等式的应用,导数的应用。 【解析】 (I)应用基本不等式 a 2 ? b 2 ? 2ab 即可求得 f ( x ) 的最小值。 (II)由 f (1) ?

3 3 和 f ?(1) ? 联立方程组,求解即可求得 a , b 的值。 2 2

2 2 c2 例 3. 2012 年陕西省理 5 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,若 a ?b ? 2 ,则 cos C (

的最小值为【



A.

3 2

B.

2 2

C.

1 2

D. ?

1 2

【答案】C。 【考点】余弦定理,基本不等式的应用。 【解析】通过余弦定理求出 cosC 的表达式,利用基本不等式求出 cosC 的最小值:

a 2 ? b2 ∵ a ? b ? 2c ,∴ c ? 。 2
2 2 2

2

∴由余弦定理得, cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 a 2 ? b2 1 ? ? 当且仅当 a = b 时取“=”。 2ab 4ab 2

1 。故选 C。 2 ? ? ? ? ? ? b 例 4.(2012 年安徽省理 5 分)若平面向量 a, b 满足: 2a ? b ? 3 ;则 a ? 的最小值是
∴ cos C 的最小值为 【答案】 ?





9 。 8

【考点】平面向量,基本不等式的应用。

【解析】∵ 2a ? b ? 3 ,∴ 4a ? b ? 9 ? 4a? 。 b

? ?

? 2 ?2

??

b 又∵ 4a ? b ? 4 a b ? ?4a? ,∴ 9 ? 4a? ? ?4a? 。∴ a? ? ? b b b
∴ a ? 的最小值是 ? b

?2

?2

? ?

? ?

??

??

? ?

? ?

9 。 8

9 。 8

例 5.(2012 年天津市理 5 分)设 m , n ? R ,若直线 (m ? 1) x+(n ? 1) y ? 2=0 与圆 (x ? 1)2 +(y ?1)2 =1相 切,则 m +n 的取值范围是【 (A) [1 ? 3,1+ 3] (C) [2 ? 2 2,2+2 2] 【答案】D。 【考点】直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式,重要不等式,一元二次不等式的解法 【分析】∵直线 (m ? 1) x+(n ? 1) y ? 2=0 与圆 (x ? 1)2 +(y ?1)2 =1相切, ∴圆心 (1,1) 到直线的距离为 d = 】 (B) ( ? ?,1 ? 3] ? [1+ 3,+?) (D) ( ? ?,2 ? 2 2] ? [2+2 2,+?)

|(m ? 1)+(n ? 1) ? 2| (m ? 1)2 +(n ? 1)2
2 2

=1,∴ mn ? m ? n ? 1 。

又∵ 2mn ? m ? n ,∴ 4mn ? m ? n +2mn = ? m+n ?
2 2

2

? m+n ? ,即 mn ?
4

2



∴ m ? n ?1 ?

(m ? n) 2 。 4

1 2 t ? t +1 ,解得 t ? (??,2 ? 2 2] ? [2+2 2,+?) 。故选 D。 4 8 例 6. (2012 年湖南省理 5 分)已知两条直线 l1 : y ? m 和 l2 : y ? ? m > 0 ? ,l1 与函数 y ? log2 x 2m+1
设 t =m ? n ,则 的图像从左至右相交于点 A,B , l2 与函数 y ? log2 x 的图像从左至右相交于 C,D .记线段 AC 和 BD 在 X 轴上的投影长度分别为 a , b ,当 m 变化时, A. 16 2 【答案】B。 【考点】数形结合,函数的图象,基本不等式的应用。 【解析】如图,在同一坐标系中作出 y ? m , y ? B. 8 2 C. 8 3 4 D. 4 3 4

b 的最小值为【 a



[来源%&:中国~*教育# 出版网]

8 ? m > 0? , 2m+1

y ? log2 x 图像,

由 log2 x =m ,得 x1 ? 2?m , x2 ? 2m , 由 log 2 x ?
8 8 ? 8 ,得 x3 ? 2 2 m?1 , x4 ? 2 2 m?1 。 2m+1
8

?m 根据题意得 a ? 2 ? 2

?

8 2 m ?1

, b ? 2m ? 2 2 m ?1 ,

8

b ? a

2m ? 2 2 m ?1 2
?m

?2

?

8 2 m ?1

? 2m 2 2 m ?1 ? 2

8

m?

8 2 m ?1



7 b 8 1 4 1 1 7 ∵m? ? m? ? ? ? 4 ? ? ,∴ ( ) min ? 2 2 =8 2 。故选 B。 a 2m ? 1 2 m? 1 2 2 2 2

例 7. (2012 年福建省理 5 分)下列不等式一定成立的是【
2 1 A.lg?x +4?>lgx(x>0) ? ?

】 【版权归锦元数学工作室,不得转载】

1 B.sinx+ ≥2(x≠kπ,k∈ Z ) sinx C.x2+1≥2|x|(x∈ R ) 1 D. 2 >1(x∈ R ) x +1 【答案】C。 【考点】不等式的性质以及基本不等式的应用。 1 2 1 【解析】对于 A,当 x= 时,lg?x +4?=lgx,所以 A 不一定成立; ? ? 2 对于 B,当 sinx>0 时,不等式才成立,所以 B 不一定成立; 对于 C,命题显然正确; 1 对于 D,∵x2+1≥1,∴0< 2 ≤1,所以 D 不成立. x +1 故选 C。 例 8. (2012 年北京市理 14 分)已知曲线 C: (5-m)x 2+(m-2)y2 ? 8(m ? R) (1)若曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆,求 m 的取值范围; (2)设 m=4,曲线 c 与 y 轴的交点为 A,B(点 A 位于点 B 的上方) ,直线 y ? kx ? 4 与曲线 c 交于不同 的两点 M、N,直线 y=1 与直线 BM 交于点 G。求证:A,G,N 三点共线。 【答案】 (1)原曲线方程可化为:

x2 y2 + ?1。 8 8 5-m m-2

∵曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆,

8 ? 8 ? 5-m > m-2 ? 7 ? 8 >0 ∴? ,是 < m < 5 。 2 ? 5-m ? 8 ? m-2 > 0 ?
∴若曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆,则 m 的取值范围为 < m < 5 。 (2)证明:∵m=4,∴曲线 c 的方程为 x 2+2y2 ? 8 。 将已知直线代入椭圆方程化简得:

7 2

? 2k

2

? 1 x 2 ? 16kx ? 24=0 。
2

?

由 ?= ?16k ? ? 4 ? 2k 2 ? 1 ? 24=32 2k 2 ? 3 > 0 得,

?

?

?

?

3 k2 > 。 2
由韦达定理得: x M +x N = ?

16k 24 ,x M ? x N = 2 。 2 2k ? 1 2k ? 1

设 M ? x M,kx M ? 4?,N ? x N,kx N ? 4?,G ? xG, ? 。 1 则 MB 的方程为 y=

? 3x M ? kx M ? 6 x ? 2 ,∴ G ? , ?。 1 xM ? kx M ? 6 ?

AN 的方程为 y=

kx N ? 2 x?2。 xN

欲证 A,G,N 三点共线,只需证点 G 在直线 AN 上。

? 3x M ? kx ? 2 kx ? 2 3x M x ? 2 ,得 1= N ? ? 2, 将 G? , ? 代入 y= N 1 xN xN kx M ? 6 ? kx M ? 6 ?
即 ?kx M ? x N ? 6x N =3kx M ? x N ? 6x M ,即 4kx M ? x N ? 6 ? x M ? x N ? =0 , 即 4?

? 16k ? ? 6??? 2 ? =0 ,等式恒成立。 2k ? 1 ? 2k ? 1 ? 24
2

? 3x M ? 由于以上各步是可逆的,从而点 G ? , ? 在直线 AN 上。 1 ? kx M ? 6 ?
∴A,G,N 三点共线。 【考点】椭圆的性质,韦达定理的应用,求直线方程,三点共线的证明。 【解析】(1)根据椭圆长轴大于短轴和长、短轴大于 0 得不等式组求解即得 m 的取值范围。

(2)欲证 A,G,N 三点共线,只需证点 G 在直线 AN 上。故需求出含待定系数的直线 MB 和 AN 的方程,点 G 的坐标,结合韦达定理的应用用逆推证明。也可通过证明直线 MB 和 AN 在 y=1 时横坐 标相等来证 A,G,N 三点共线或直线 AN 和 AG 斜率相等。还可用向量求解。 例 9. ( 2012 年 四 川 省 理 12 分 ) 如 图 , 动 点 M 到 两 定 点 A(?1, 0) 、 B(2, 0) 构 成 ?M A B , 且

?M B A ? 2 ? M A B ,设动点 M 的轨迹为 C 。
(Ⅰ)求轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y ? ?2 x ? m 与 y 轴交于点 P ,与轨迹 C 相交于点 Q、R ,且 | PQ |?| PR | ,求 值范围。

| PR | 的取 | PQ |

y

M

A

O

B x

【答案】解: (Ⅰ)设 M 的坐标为(x,y) ,显然有 x>0 且 y ? 0 。 当∠MBA=90° 时,点 M 的坐标为(2,, ± 。 3) 当∠MBA≠90° 时,x≠2。由 ?MBA ? 2?MAB 得

2 2 tan ?MAB | y| x ?1 ? tan∠MBA= ,即 ? x ? 2 1 ? ( | y | )2 1 ? tan 2 ?MAB x ?1
化简得: 3x 2 ? y 2 ? 3 ? 0 。 而点(2,,± 3)在 3x 2 ? y 2 ? 3 ? 0 上。 ∵ y =0 时, x =1 ,∴ x > 1 。 综上可知,轨迹 C 的方程为 3x 2 ? y 2 ? 3 ? 0 ( x > 1 ) 。

| y|

(II)由方程

? y ? ?2 x ? m 2 2 消去 y,可得 x ? 4m x ? m ? 3 ? 0 。 (*) ? 2 2 ?3x ? y ? 3 ? 0
2 2

由题意,方程(*)有两根且均在(1,+ ? )内,设 f ( x) ? x ? 4mx? m ? 3 ,

? ? 4m ?? 2 ? 1 ? ? ∴ ? f (1) ? 12 ? 4m ? m 2 ? 3 ? 0 ,解得,m>1 且 m ? 2。 ?? ? (?4m) 2 ? 4(m 2 ? 3) ? 0 ? ? ?
设 Q、R 的坐标分别为 ( xQ , yQ ),( xR , yR ) ,由 PQ ? PR 有

xR ? 2m ? 3(m 2 ? 1), xQ ? 2m ? 3(m 2 ? 1) 。

1 2 ? 3(1 ? 2 ) PR xR 2m ? 3(m 2 ? 1) 4 m ? ?1 ? ? ? ? ∴ 。 2 PQ xQ 2m ? 3(m ? 1) 1 1 2 ? 3(1 ? 2 ) 2 ? 3(1 ? 2 ) m m
由 m>1 且 m ? 2 得

1 ? ?1 ?

4 1 2 ? 3(1 ? 2 ) m

? 7 ? 4 3 且 ?1 ?

?7。 1 2 ? 3 1 ? 2) ( m

4



PR 的取值范围是 ?1,7? ? (7,7 ? 4 3) 。 PQ

【考点】直线、双曲线、轨迹方程的求法,倍角公式的应用。 【解析】 (Ⅰ) M 的坐标为 设 (x, , y) 当∠MBA=90° 可直接得到点 M 的坐标为 时, (2, ± ; , 3) 当∠MBA≠90° 时,由 ?MBA ? 2?MAB 应用倍角公式即可得到轨迹 C 的方程。 (Ⅱ)直线 y ? ?2 x ? m 与 3x 2 ? y 2 ? 3 ? 0 联立,消元可得 x ? 4m x ? m ? 3 ? 0 ①,利用①有两
2 2

根且均在(1,+∞)内可知,m>1,m≠2。设 Q,R 的坐标,求出 xR,xQ,利用 的取值范围。

PR PQ

?

PR xR ,即可确定 xQ PQ

例 10. (2012 年四川省文 12 分) 如图, 动点 M 与两定点 A(?1, 0) 、B(1, 0) 构成 ?MAB , 且直线 MA、MB 的斜率之积为 4,设动点 M 的轨迹为 C 。 (Ⅰ)求轨迹 C 的方程;

| (Ⅱ)设直线 y ? x ? m(m ? 0) 与 y 轴交于点 P ,与轨迹 C 相交于点 Q、R ,且 | PQ | ? PR | ,求
取值范围。

| PR | 的 | PQ |

y

M

A

O B

x

【答案】解: (Ⅰ)设 M 的坐标为(x,y) , ∵当 x=-1 时,直线 MA 的斜率不存在;当 x=1 时,直线 MB 的斜率不存在; ∴ x ? ?1 ,MA 的斜率为 由题意,有

y y ,MB 的斜率为 。 x ?1 x ?1

y y · =4,化简可得, 4 x2 ? y 2 ? 4 ? 0 。 x ?1 x ?1

∴轨迹 C 的方程为 4 x2 ? y 2 ? 4 ? 0 ( x ? ?1 ) 。 (Ⅱ)由 ?

?y ? x ? m ?4 x ? y ? 4 ? 0
2 2

消去 y,可得 3x 2 ? 2mx ? m2 ? 4 ? 0 (﹡)

对于方程(﹡),其判别式 ? ? ? 2m)2-4 ? 3 ? m2 ? 4 ? 16m2 ? 48 ? 0 , ( ( ) 而当 1 或-1 为方程(*)的根时,m 的值为-1 或 1, 结合题设 m ? 0 可知, m ? 0 ,且 m≠1。 设 Q、R 的坐标分别为 xQ , yQ , ? xR , yR ? ,,则 xQ , xR 为方程(*)的两根。 ( ) ∵ PQ ? PR ,∴ xQ ? xR 。 ∴ xQ ?

m ? 2 m2 ? 3 m ? 2 m2 ? 3 。 , xR ? 3 3

∴ PR x ? R ? PQ xQ

2 1?

3 ?1 。 2 m2 ?1? 3 3 2 1? 2 ?1 2 1 ? 2 ?1 m m

此时 1 ? ∴1 ? 1 ?

3 3 ? 1 ,且 1 ? 2 ? 2 。 2 m m

2 2 1? 3 ?1 m2

? 3 且1 ? 2 1?

2 3 ?1 m2

?

5 。 3

∴1 ?

x x PR PR 5 ? R ? 3且 ? R ? 。 PQ xQ PQ xQ 3

综上所述,

PR PQ

的取值范围为 1 (,)( , 。 ? 3 )

5 3

5 3

【考点】直线、双曲线、轨迹方程的求法。 【解析】 (Ⅰ)设 M 的坐标为(x,y) ,由当 x=-1 时,直线 MA 的斜率不存在;当 x=1 时,直线 MB 的斜 率不存在,得到 x ? ?1 ,由直线 MA、MB 的斜率之积为 4 列式即可得到轨迹 C 的方程。 (Ⅱ) 直线 y ? x ? m(m ? 0) 与 4 x2 ? y 2 ? 4 ? 0 联立, 消元可得 3x 2 ? 2mx ? m2 ? 4 ? 0 (﹡), 利用(﹡) 有两根且 m ? 0 ,且 m≠1。设 Q,R 的坐标,求出 xR,xQ,利用

PR PQ

?

PR xR ,即可确定 的取值范围。 xQ PQ

例 11.(2012 年江苏省 14 分)如图,建立平面直角坐标系 xoy , x 轴在地平面上, y 轴垂直于地平面,单位 长度为 1 千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y ? kx ? 其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小) ,其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超过多少时, 炮弹可以击中它?请说明理由.

1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 表示的曲线上, 20

【答案】解: (1)在 y ? kx ?

1 1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 中,令 y ? 0 ,得 kx ? (1 ? k 2 ) x2 =0 。 20 20

由实际意义和题设条件知 x > 0,k > 0 。 ∴ x=

20k 20 20 = ? =10 ,当且仅当 k =1 时取等号。 2 1 1? k ?k 2 k

∴炮的最大射程是 10 千米。 (2)∵ a > 0 ,∴炮弹可以击中目标等价于存在 k ? 0 ,使 ka ? 即关于 k 的方程 a 2 k 2 ? 20ak ? a 2 ? 64=0 有正根。 由 ?= ? ?20a ? ? 4a 2 a 2 ? 64 ? 0 得 a ? 6 。
2

1 (1 ? k 2 )a2 =3.2 成立, 20

?

?

此时, k =

20a ?

? ?20a ?

2

? 4a 2 ? a 2 ? 64 ?

2a 2

。 > 0 (不考虑另一根)

∴当 a 不超过 6 千米时,炮弹可以击中目标。 【考点】函数、方程和基本不等式的应用。 【解析】 (1)求炮的最大射程即求 y ? kx ? 解。 (2)求炮弹击中目标时的横坐标的最大值,由一元二次方程根的判别式求解。

1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 与 x 轴的横坐标,求出后应用基本不等式求 20

三、应用导数求最值: 典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】
例 1. (2012 年全国课标卷理 5 分)设点 P 在曲线 y ? 为【 】

1 x e 上,点 Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上,则 PQ 最小值 2

( A) 1 ? ln 2
【答案】 B 。

( B)

2(1 ? ln 2)

(C ) 1 ? ln 2

( D) 2(1 ? ln 2)

【考点】反函数的性质,导数的应用。 【解析】∵函数 y ?

1 x e 与函数 y ? ln(2 x) 互为反函数,∴它们的图象关于 y ? x 对称。 2

1 x e ?x 1 x 1 x 2 ∴函数 y ? e 上的点 P ( x, e ) 到直线 y ? x 的距离为 d ? 2 2 2
设函数 g ( x) ?

1 x 1 1 ? ln 2 e ? x ,则 g ?( x) ? e x ? 1 ,∴ g ( x)min ? 1 ? ln 2 。∴ d min ? 。 2 2 2

∴由图象关 于 y ? x 对称得: PQ 最小值为 2dmin ? 2(1 ? ln 2) 。故选 B 。

例 2. (2012 年重庆市理 5 分)设函数 f ( x ) 在 R 上可导,其导函数为 f' ( x ) ,且函数 y ? (1 ? x) f' ( x) 的图 像如题图所示,则下列结论中一定成立的是【 (A)函数 f ( x ) 有极大值 f (2) 和极小值 f (1) (B)函数 f ( x ) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (1) (C)函数 f ( x ) 有极大值 f (2) 和极小值 f (?2) (D)函数 f ( x ) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (2) 】

【答案】D。 【考点】函数在某点取得极值的条件,函数的图象。 【分析】由图象知, y ? (1 ? x) f' ( x) 与 x 轴有三个交点,-2,1,2, ∴ f' (?2)=0,f' (2)=0 。 由此得到 x , y , 1 ? x , f' ( x ) 和 f ( x ) 在 (??, ? ?) 上的情况:

x
y

(??, ?2)
+ + + ↗

-2 0 + 0 极大值

(?2,1)
- + - ↘

1 0 0 - 非极值

(1, 2)
+ - - ↘

2 0 - 0 极小值

(2, ??)
- - + ↗

1? x

f' ( x ) f ( x)

∴ f ( x ) 的极大值为 f (?2) , f ( x ) 的极小值为 f (2) 。故选 D。 例 3. (2012 年陕西省理 5 分)设函数 f ( x) ? xe ,则【
x



A. x ? 1 为 f ( x ) 的极大值点 C. x ? ?1 为 f ( x ) 的极大值点 【答案】D。

B. x ? 1 为 f ( x ) 的极小值点 D. x ? ?1 为 f ( x ) 的极小值点

【考点】应用导数求函数的极值。 【解析】∵ f ?( x) ? ( x ? 1)e x ,令 f ?( x) ? 0, 得 x ? ?1 。 ∴当 x < - 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) ? xe x 为减函数;当 x > - 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) ? xe x 为增 函数,所以 x ? ?1 为 f ( x ) 的极小值点。 故选 D。 例 4. (2012 年陕西省文 5 分)设函数 f ? x ? ? A. x =

2 + ln x 则【 x
B. x =



1 为 f ? x ? 的极大值点 2

1 为 f ? x ? 的极小值点 2

C. x =2 为 f ? x ? 的极大值点 【答案】D。 【考点】应用导数求函数的极值。 【解析】∵ f ?( x) ? ?

D. x =2 为 f ? x ? 的极小值点

2 1 x?2 ? = 2 ,令 f ?( x) ? 0, 得 x ? 2 。 x2 x x 2 ∴当 0 < x < 2 时, f ?( x) ? 0 , f ? x ? ? + ln x 为减函数; x 2 当 x > 2 时, f ?( x) ? 0 , f ? x ? ? + ln x 为增函数。 x

∴ x ? 2 为 f ( x ) 的极小值点。 故选 D。 例 5. (2012 年全国课标卷理 12 分)已知函数 f ( x ) 满足满足 f ( x) ? f ?(1)e (1)求 f ( x ) 的解析式及单调区间;
x ?1

? f (0) x ?

1 2 x ; 2

1 2 x ? ax ? b ,求 (a ? 1)b 的最大值。 2 1 2 x ?1 x ?1 【答案】解: (1)∵ f ( x) ? f ?(1)e ? f (0) x ? x ,∴ f ?( x) ? f ?(1)e ? f (0) ? x 。 2 1 2 x ?1 令 x ? 1 得, f (0) ? 1 。∴ f ( x) ? f ?(1)e ? x ? x 。 2
(2)若 f ( x) ? ∴ f (0) ? f ?(1)e
?1

? 1 ,得 f ?(1) ? e 。
x

∴ f ( x ) 的解析式为 f ( x ) ? e ? x ?
x

1 2 x 。 2
x

设 g ( x) ? f ?( x) ? e ?1 ? x ,则 g ?( x) ? e ? 1 ? 0 。

∴ g ( x) 在 x ? R 上单调递增。 又∵ f ?( x) ? 0 ? f ?(0) 时, x ? 0 , f ( x ) 单调递增;

f ?( x) ? 0 ? f ?(0) 时, x ? 0 , f ( x) 单调递减。
∴ f ( x ) 的单调区间为:单调递增区间为 (0, ??) ,单调递减区间为 ( ??, 0) 。 (2)∵ f ( x) ?

1 2 x ? ax ? b ,∴ ex ? (a ? 1) x ? b ? 0 。 2

令 h( x) ? e x ? (a ? 1) x ? b 得 h?( x) ? ex ? (a ? 1) 。 ①当 a ? 1 ? 0 时, h?( x) ? 0 ,∴ h( x) 在 x ? R 上单调递增。 但 x ??? 时, h( x) ? ?? 与 h( x) ? 0 矛盾。 ②当 a ? 1 ? 0 时,由 h?( x) ? 0 得 x ? ln(a ? 1) ;由 h?( x) ? 0 得 x ? ln(a ? 1) 。 ∴当 x ? ln(a ? 1) 时, h( x)min ? (a ? 1) ? (a ? 1)ln(a ? 1) ? b ? 0 ∴ (a ? 1)b ? (a ? 1)2 ? (a ? 1)2 ln(a ? 1) 。 令 F ( x) ? x2 ? x2 ln x( x ? 0) ;则 F ?( x) ? x(1 ? 2ln x) 。 由 F ?( x) ? 0 得 0 ? x ? e ;由 F ?( x) ? 0 得 x ? ∴当 x ?

e。

e 时, F ( x ) max ?

e 2
e 。 2

∴当 a ? e ?1, b ? e 时, (a ? 1)b 的最大值为 【考点】函数和导函数的性质。 【解析】 (1)由 f ( x) ? f ?(1)e 性质求出单调区间。 (2)由 f ( x ) ? e ? x ?
x x ?1

? f (0) x ?

1 2 x 求出 f (0) 和 f ?(1) 即可得到 f ( x) 的解析式,根据导数的 2

1 2 1 x 和 f ( x) ? x 2 ? ax ? b ,表示出 (a ? 1)b ,根据导函数的性质求解。 2 2

例 6. (2012 年北京市理 13 分)已知函数 f ? x ? ? ax 2+ ? a ? 0? ,g ? x ? ? x3+bx 1 (1)若曲线 f ? x ? 与曲线 g ? x ? 在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a、b 的值; (2)当 a 2 ? 4b 时,求函数 f ? x ? ? g ? x ? 的单调区间,并求其在区间(-∞,-1)上的最大值。 【答案】解: (1)∵(1,c)为公共切点,∴ f ?1? ? a+ 1=c, g ?1? ? 1+b=c 。

∴ a+1 ? 1+b ,即 a ? b ①。 又∵ f' ? x ? ? 2ax, g' ? x ? ? 3x 2+b ,∴ f' ?1? ? 2a, g' ?1? ? 3+b 。 又∵曲线 f ? x ? 与曲线 g ? x ? 在它们的交点(1,c)处具有公共切线, ∴ 2a ? 3+b ②。 解①②,得 a ? b=3 。 (2)∵ a 2 ? 4b ,∴设 h ? x ? =f ? x ? ? g ? x ? =x3 ? ax 2 ? a 2 x+1 。 则 h' ? x ? =3x 2 ? 2ax ? a 2 。令 h' ? x ? =3x 2 ? 2ax ? a 2 =0 ,解得 x1 = ? ,x 2 = ? ∵ a ? 0 ,∴ ? < ? 。 又∵ h' ? x ? 在各区间的情况如下:

1 4

1 4

1 4

a 2

a 。 6

a 2

a 6

x
h' ? x ?

a? ? ? ? ??, ? 2? ?


?

a 2

? a a? ? ?? , ? ? 2 6?


?

a 6

? a ? ? ?? , ?? ? 6 ?


0

0

a? ? ? a a? ? a ? ? ? ? ∴ f ? x ? ? g ? x ? 在 ? ??, ? 单调递增,在 ? ? , ? 单调递减,在 ? ? , ? ? 上单调递增。 2? 2 6? 6 ? ? ? ?
①若 ?1 ? ?

a2 a ,即 a ? 2 时, f ? x ? ? g ? x ? 最大值为 f ? ?1? ? g ? ?1? =a ? ; 4 2

②若 ? < ?1 < ?

a 2

a ? a? ? a? ,即 2 < a < 6 时, f ? x ? ? g ? x ? 最大值为 f ? ? ? ? g ? ? ? =1 。 6 ? 2? ? 2?

③若 ?1 ? ?

a ? a? ? a? 时,即 a ? 6 时, f ? x ? ? g ? x ? 最大值为 f ? ? ? ? g ? ? ? =1 。 6 ? 2? ? 2?
a2 ;当 a > 2 时, f ? x ? ? g ? x ? 最大值为 1。 4

综上所述:当 a ? 2 时, f ? x ? ? g ? x ? 最大值为 a ?

【考点】函数的单调区间和最大值,切线的斜率,导数的应用。 【解析】(1)由曲线 f ? x ? 与曲线 g ? x ? 有公共点(1,c)可得 f ?1? ? g ?1? ;由曲线 f ? x ? 与曲线 g ? x ? 在它 们的交点(1,c)处具有公共切线可得两切线的斜率相等,即 f' ?1? ? g' ?1? 。联立两式即可求出 a、b 的值。 (2)由 a 2 ? 4b 得到 f ? x ? ? g ? x ? 只含一个参数的方程,求导可得 f ? x ? ? g ? x ? 的单调区间;根据

a a a a ?1 ? ? , ? < ?1 < ? 和 ?1 ? ? 三种情况讨论 f ? x ? ? g ? x ? 的最大值。 2 2 6 6

例 7. (2012 年天津市理 14 分)已知函数 f (x)=x ? ln (x+a) 的最小值为 0 ,其中 a >0 . (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若对任意的 x ? [0,+?) ,有 f (x) ? kx 2 成立,求实数 k 的最小值; (Ⅲ)证明

? 2i ? 1 ? ln (2n+1)<2 (n ? N
i =1

n

2

*

).
1 x +a ? 1 ? . x +a x +a

【答案】解: (Ⅰ)函数的定义域为 ? ?a, ?? ,求导函数可得 f' (x)=1 ? ? 令 f' (x)=0 ,得 x =1 ? a > ?a 。 当 x 变化时, f' (x ) 和 f (x) 的变化情况如下表:

x

1 ? ?a, ? a?

1? a

?1? a,? ??
+ ↗

f' (x)
f (x)

- ↘

0 极小值

∴ f (x) 在 x =1 ? a 处取得极小值。 ∴由题意,得 f (1 ? a)=1 ? a ? ln1=1 ? a=0 。∴ a =1 。 (Ⅱ)当 k ≤0 时,取 x =1 ,有 f (1)=1 ? ln 2 < 0 ,故 k ≤0 不合题意。 当 k >0 时,令 g x) (x) kx 2 ,即 g x) x ? ln (x+1) ? kx2 。 ( ?f ? ( ?

( ? 求导函数可得 g' x) 1 ?

1 x +1 ? 1 ? 2kx 2 ? 2kx x ?1 ? 2kx ? 2k ? ? 2kx = = 。 x +1 x +1 x +1
1 ? 2k >?1 。 2k

( ? 令 g' x) 0 ,得 x1 ? 0,x2 ?
①当 k ?

1 1 ? 2k ( < 时, ≤0, g' x) 0 在(0,+∞)上恒成立,因此 g x) (x) kx ( ?f ? 2 2 2k

( ? ( =0 在(0,+∞)上单调递减,从而对任意的 x ??0, ?? ) ,总有 g x) g 0) ,即对任意的 x??0, ?? , + +
有 f (x) ? kx 成立。
2

∴k ?

1 符合题意。 2

1 1 ? 2k 1 ? 2k ( >0,因此 g x) ( 在 时, >0,对于 x?(0, ), g' x) 2 2k 2k 1 ? 2k 1 ? 2k (0, )上单调递增,因此取 x?(0, )时, g x0) g 0) ,即有 f (x0 ) ? kx02 不成立。 ( ? ( =0 2k 2k 1 ∴ 0 < k < 不合题意。 2 1 综上,实数 k 的最小值为 。 【版权归锦元数学工作室,不得转载】 2
②当 0 < k < (Ⅲ)证明:当 n =1 时,不等式左边=2-ln3<2=右边,所以不等式成立。 当 n ≥2 时,
n 2 ?? n 2 2 ? ? 2 ? n ? 2 ? ? f? =? ? ? ln ?1+ =? ?? ln ?1+ ? ? 2i ?1 ? i =1 ? 2i ?1 ? 2i ?1 ?? i =1 2i ?1 i =1 ? 2i ?1 ? ? ?? ? i =1 n

=?
i =1

n

2 ? ln ? 2n ? 1? 。 2i ? 1
1 1 2 ,得 f (x) ? x ? x ? 0 ? , 2 2

在(2)中,取 k = ∴f?
n

2 2 ? 2 ? < ? i ? N +,i ? 2 ? 。 ?? 2 ? 2i ? 3?? 2i ? 1? ? 2i ? 1 ? ? 2i ? 1?



? 2i ?1 ? ln ? 2n ?1? =? f ? 2i ?1 ? =f ? 2?+? f ? 2i ?1 ? < 2 ? ln 2+? ? 2i ? 3?? 2i ?1? ? ? ? ?
i =1 i =1 i =2 i =2
n 1 ? 1 ? 1 =2 ? ln 3+? ? ? <2 。 ? =2 ? ln 3+1 ? 2i ? 1 ? 2n ? 1 i =2 ? 2i ? 3 n

2

n

? 2 ?

n

? 2 ?

n

2

综上,

? 2i ? 1 ? ln (2n+1)<2 (n ? N
i =1

2

*

)。

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数求闭区间上函数的最值。 【分析】 (Ⅰ)确定函数的定义域,求导函数,确定函数的单调性,求得函数的最小值,利用 函数

f ( x)=x ? ln (x +a ) 的最小值为 0 ,即可求得 a 的值。 = (Ⅱ) k ≤0 时, x =1 , f ()1 n2 ?0 当 取 有 1 l
求导函数,令导函数等于 0,分类讨论:①当 k ?

< , k ≤0 不合题意。 k >0 时, g x) (x) kx2 , 故 当 令( ? f ?

1 1 ? 2k ( 在(0,+∞)上单调递减,从 时, ≤0, g x) 2 2k 1 1 ? 2k 1 ? 2k ( ? ( =0 而对任意的 x??0, ?? ) ,总有 g x) g 0) 。②当 0 < k < 时, >0,对于 x?(0, ), + 2 2k 2k 1 ? 2k g' x) ( >0,因此 g x) ( 在(0, )上单调递增。由此可确定 k 的最小值。 2k

(Ⅲ)当 n =1 时,不等式左边=2-ln3<2=右边,所以不等式成立。当 n ≥2 时,由

? f ? 2i ?1 ? ? ?
i =1

n

? 2 ?

=?

1 1 2 ? ln ? 2n ? 1? ,在(Ⅱ)中,取 k = 得 f (x) ? x 2 ,从而可得 2 2 i =1 2i ? 1
+

n

2 2 ? 2 ? , f? < ?? 2 ? 2i ? 1 ? ? 2i ? 1? ? 2i ? 3?? 2i ? 1?

? i ? N ,i ? 2 ? 由此可证结论。
例 8. (2012 年安徽省理 13 分)设 f ( x) ? ae ?
x

1 ? b(a ? 0) ae x

(I)求 f ( x) 在 [0, ??) 上的最小值; (II)设曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 的切线方程为 y ? 【答案】解: (I)设 t ? e (t ? 1) ,则 y ? at ?
x

3 x ;求 a , b 的值。 2

1 ?b。 at

∴ y? ? a ?

1 a 2t 2 ? 1 ? 。 at 2 at 2

1 ? b 在 t ? 1 上是增函数。 at 1 ∴当 t ? 1( x ? 0) 时, f ( x) 的最小值为 a ? ? b 。 a 1 ?b ? 2?b ②当 0 ? a ? 1 时, y ? at ? at 1 x ∴当且仅当 at ? 1(t ? e ? , x ? ? ln a ) 时, f ( x) 的最小值为 b ? 2 。 a 1 1 x x (II)∵ f ( x) ? ae ? x ? b ,∴ f ?( x ) ? ae ? x 。 ae ae
①当 a ? 1 时, y? ? 0 。∴ y ? at ?

2 ? 2 1 ? ? f (2) ? 3 ?ae ? ae2 ? b ? 3 ?a ? e2 ? ? ? 由题意得: ? ,解得 ? 。 3 ,即 ? ? ae2 ? 1 ? 3 ?b? 1 ? f ?(2) ? 2 ? ? ? ae2 2 ? 2 ?
【考点】复合函数的应用,导数的应用,函数的增减性,基本不等式的应用。 【解析】 (I)根据导数的的性质分 a ? 1 和 0 ? a ? 1 求解。 (II)根据切线的几何意义列方程组求解。
3 例 9. (2012 年浙江省理 14 分)已知 a ? 0 , b ? R ,函数 f ( x) ? 4ax ? 2bx ? a ? b .

(Ⅰ)证明:当 0 ? x ? 1 时, (i)函数 f ( x ) 的最大值为 | 2a ? b | ?a ;

(ii) f ( x)? | 2a ? b | ?a ? 0 ;

1] (Ⅱ)若 ?1 ? f ( x) ? 1 对 x ? [0 , 恒成立,求 a ? b 的取值范围.
【答案】(Ⅰ) 证明: (ⅰ) f ? ? x ? ? 12ax2 ? 2b . 当 b≤0 时, f ? ? x ? ? 12ax2 ? 2b >0 在 0≤x≤1 上恒成立, 此时 f ? x ? 的最大值为: f ?1? ? 4a ? 2b ? a ? b ? 3a ? b =|2a-b|﹢a; 当 b>0 时, f ? ? x ? ? 12ax 2 ? 2b 在 0≤x≤1 上的正负性不能判断, 此时 f ? x ? 的最大值为:
?b ? a,b ? 2a f max ? x ? ? max{ f (0),( ) ? max{(b ? a),(3a ? b) ? ? f 1} } =|2a-b|﹢a。 b ?3a ? b, ? 2a

综上所述:函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a-b|﹢a。 (ⅱ) 设 g ? x ? =﹣ f ? x ? , ∵ g ? x ? ? ?4ax3 ? 2bx ? a ? b ,∴令 g ? ? x ? ? ?12ax 2 ? 2b ? 0 ? x ? 当 b≤0 时, g ? ? x ? ? ?12ax2 ? 2b <0 在 0≤x≤1 上恒成立, 此时 g ? x ? 的最大值为 : g ? 0? ? a ? b ? 3a ? b =|2a-b|﹢a; 当 b<0 时, g ? ? x ? ? ?12ax 2 ? 2b 在 0≤x≤1 上的正负性不能判断,
?4 b b 4 b b ? a ? b, ? 6a ? b ? a ? b,b ? 2a} ? ? 3 6a g max ? x ? ? max{g ( ),(1) ? max{ b g } b ? 6a 6a 3 6a ?b ? 2a, ?
b 。 6a

≤|2a-b|﹢a。 综上所述:函数 g ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a, 即 f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0 在 0≤x≤1 上恒成立。 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知:函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a-b|﹢a, 且函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最小值比﹣(|2a-b|﹢a)要大。 ∵﹣1≤ f ? x ? ≤1 对 x ? [0,1]恒成立,∴|2a-b|﹢a≤1。

取 b 为纵轴,a 为横轴.
?a > 0 ?a > 0 ? ? 则可行域为: ? b ? 2a 和 ?b ? 2a ,目标函数为 z=a+b。 ? b ? a ? 1 ?3a ? b ? 1 ? ?

作图如下:

由图易得:当目标函数为 z=a+b 过 P(1,2)时,有 zmax ? 3 . ∴所求 a+b 的取值范围为: ? ?1,3? 。 【考点】分类思想的应用,不等式的证明,利用导数求闭区间上函数的最值,简单线性规划。 【解析】(Ⅰ) (ⅰ)求导后,分 b≤0 和 b>0 讨论即可。 (ⅱ) 利用分析法, 要证 f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0, 即证 g ? x ? =﹣ f ? x ? ≤|2a-b|﹢a, 亦即证 g ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数在 0≤x≤1 上的最大值为|2a-b|﹢a,且函数在 0≤x≤1 上的最小值比 ﹣(|2a-b|﹢a)要大.根据-1≤ f ? x ? ≤1 对 x∈[0,1]恒成立,可得|2a-b|﹢a≤1,从而利用线性规划知识, 可求 a+b 的取值范围。 例 10. (2012 年湖南省理 13 分)某企业接到生产 3000 台某产品的 A,B,C三种部件的订单,每台产品 需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件, 或C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件, 生产B部件的人数与生产A部 件的人数成正比,比例系数为 k(k 为正整数). (Ⅰ)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间; (Ⅱ)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数 k 的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间

最短时具体的人数分组方案. 【答案】解: (Ⅰ)设完成 A,B,C三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为 T1 ( x), T2 ( x), T3 ( x), 由题设有 T1 ( x) ?

2 ? 3000 1000 2000 1500 ? , T2 ( x) ? , T3 ( x) ? , 6x x kx 200 ? (1 ? k ) x

其中 x, kx, 200 ? (1 ? k ) x 均为 1 到 200 之间的正整数。 (Ⅱ)完成订单任务的时间为 f ( x) ? max ?T1 ( x), T2 ( x), T3 ( x)?, 其定义域为 ? x 0 ? x ?

? ?

200 ? , x? N??。 1? k ?

易知, T1 ( x), T2 ( x) 为减函数, T3 ( x) 为增函数。 ∵ T2 ( x ) ?

2 T1 ( x), 于是 k

(1)当 k ? 2 时, T1 ( x) ? T2 ( x), 此时 f ( x) ? max ?T1 ( x), T3 ( x)? ? max ? 由函数 T1 ( x), T3 ( x) 的单调性知,

?1000 1500 ? , ?, ? x 200 ? 3x ?

400 1000 1500 ? 时 f ( x ) 取得最小值,解得 x ? 。 9 x 200 ? 3x 400 250 300 ? 45, 而f (44) ? T1 (44) ? , f (45) ? T3 (45) ? , f (44) ? f (45) , 由于 44 ? 9 11 13 250 故当 x ? 44 时完成订单任务的时间最短,且最短时间为 f (44) ? 。 11
当 (2)当 k ? 2 时, T1 ( x) ? T2 ( x), 由于 k 为正整数,故 k ? 3 , 此时 T ( x) ?

375 , ? ( x) ? max ?T1 ( x), T ( x)? 。 50 ? x

易知 T ( x) 为增函数,则 f ( x) ? max ?T1 ( x), T3 ( x)? ? max ?T1 ( x), T ( x)?

?1000 375 ? ? ? ( x) ? max ? , ?。 ? x 50 ? x ?
由函数 T1 ( x), T ( x) 的单调性知,

400 1000 375 ? 时 ? ( x) 取得最小值,解得 x ? 。 11 x 50 ? x 400 250 250 375 250 ? 37, 而? (36) ? T1 (36) ? ? , ? (37) ? T (37) ? ? , 由于 36 ? 11 9 11 13 11 250 此时完成订单任务的最短时间大于 。 11


(3)当 k ? 2 时, T1 ( x) ? T2 ( x), 由于 k 为正整数,故 k ? 1 , 此时 f ( x) ? max ?T2 ( x), T3 ( x)? ? max ? 由函数 T2 ( x), T3 ( x) 的单调性知,

? 2000 750 ? , ?。 ? x 100 ? x ?

800 2000 750 ? 时 f ( x ) 取得最小值,解得 x ? 。 11 x 100 ? x 250 250 类似(2)的讨论,此时完成订单任务的最短时间为 ,大于 。 9 11
当 综上所述,当 k ? 2 时完成订单任务的时间最短,此时生产A,B,C三种部件的人数 分别为 44,88,68。 【考点】分段函数、函数单调性、最值,分类思想的应用。 【解析】 (Ⅰ)根据题意建立函数模型。 (Ⅱ)利用单调性与最值,分 k ? 2 、 k ? 2 和 k ? 2 三种情况讨论即可得出结论。 例 11. (2012 年湖南省理 13 分)已知函数 f ( x) ? ea x ? x ,其中 a ≠0. (Ⅰ)若对一切 x ∈R, f ( x ) ≥1 恒成立,求 a 的取值集合. (Ⅱ)在函数 f ( x ) 的图像上取定两点 A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 ))( x1 ? x2 ) ,记直线 AB 的斜率为 k ,问:

( 是否存在 x0 ? x1,x2) ,使 f ?( x0 ) ? k 成立?若存在,求 x 0 的取值范围;若不存在,请说明理由.
ax 【答案】解: (Ⅰ)若 a ? 0 ,则对一切 x ? 0 , f ( x ) ? e ? x ? 1 ,这与题设矛盾,

又 a ? 0 ,故 a ? 0 。
ax ∵ f ?( x) ? ae ? 1, ∴令 f ?( x) ? 0, 得x ?

1 1 ln 。 a a

1 1 ln 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减; a a 1 1 当 x ? ln 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增. a a 1 1 1 1 1 1 1 ∴当 x ? ln 时, f ( x ) 取最小值 f ( ln ) ? ? ln 。 a a a a a a a 1 1 1 于是对一切 x ? R, f ( x) ? 1 恒成立,当且仅当 ? ln ? 1 a a a
当x? 令 g (t ) ? t ? t ln t , 则 g ?(t ) ? ? ln t 。



当 0 ? t ? 1 时, g ?(t ) ? 0, g (t ) 单调递增;当 t ? 1 时, g ?(t ) ? 0, g (t ) 单调递减,

∴当 t ? 1 时, g (t ) 取最大值 g (1) ? 1 。 ∴当且仅当

1 ? 1 即 a ? 1 时,①式成立。 a

综上所述, a 的取值集合为 ?1? 。

f ( x2 ) ? f ( x1 ) eax2 ? eax1 (Ⅱ)存在。由题意知, k ? ? ?1 。 x2 ? x1 x2 ? x1
令 ? ( x) ? f ?( x) ? k ? aeax ?

eax2 ? eax1 ,则 x2 ? x1

? ( x1 ) ? ?

eax1 eax2 ?ea ( x2 ? x1 ) ? a( x2 ? x1 ) ? 1? , ? ( x2 ) ? ?ea ( x1 ? x2 ) ? a( x1 ? x2 ) ? 1? 。 ? ? x2 ? x1 ? x2 ? x1 ?

令 F (t ) ? et ? t ?1 ,则 F ?(t ) ? et ? 1 。 当 t ? 0 时, F ?(t ) ? 0, F (t ) 单调递减;当 t ? 0 时, F ?(t ) ? 0, F (t ) 单调递增,
t ∴当 t ? 0 , F (t ) ? F (0) ? 0, 即 e ? t ? 1 ? 0 。

∴e

a ( x2 ? x1 )

? a( x2 ? x1 ) ?1 ? 0 , ea( x1 ?x2 ) ? a( x1 ? x2 ) ?1 ? 0 。

又∵

eax1 eax2 ? 0, ? 0, ∴ ? ( x1 ) ? 0, ? ( x2 ) ? 0 。 x2 ? x1 x2 ? x1

∵函数 y ? ? ( x) 在区间 ? x1 , x2 ? 上的图像是连续不断的一条曲线, ∴存在 x0 ? ( x1 , x2 ) 使 ? ( x0 ) ? 0, 的,且 c ?

??( x) ? a2eax ? 0,? ( x) 单调递增,故这样的 c 是唯一

1 eax2 ? eax1 1 eax2 ? eax1 ,故当且仅当 x ? ( ln ln , x2 ) 时, f ?( x0 ) ? k 。 a a( x2 ? x1 ) a a( x2 ? x1 )
综上所述,存在 x0 ? ( x1 , x2 ) 使 f ?( x0 ) ? k 成立.且 x0 的取值范围为

1 eax2 ? eax1 ( ln , x2 ) 。 a a( x2 ? x1 )
【考点】利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立, 分类讨论思想、函数与方程思想,转化与划 归思想等数学思想方法的应用。 【解析】 (Ⅰ)用导函数法求出 f ( x ) 取最小值 f ( ln ) ? 化为 f ( x)min ? 1,从而得出 a 的取值集合。

1 a

1 a

1 1 1 ? ln ,对一切 x ∈R, f ( x) ≥1 恒成立转 a a a

(Ⅱ)在假设存在的情况下进行推理,通过构造函数,研究这个函数的单调性及最值来进行分析判 断。 例 12. (2012 年江苏省 16 分) 若函数 y ? f (x) 在 x ? x0 处取得极大值或极小值, 则称 x0 为函数 y ? f (x) 的极值点。 【版权归锦元数学工作室,不得转载】 已知 a, b 是实数,1 和 ?1是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g ( x) 的导函数 g ?( x) ? f ( x) ? 2 ,求 g ( x) 的极值点;

2] (3)设 h( x) ? f ( f ( x)) ? c ,其中 c ? [?2 , ,求函数 y ? h( x) 的零点个数.
【答案】解: (1)由 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ,得 f' ( x) ? 3x2 ? 2ax ? b 。 ∵1 和 ?1是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的两个极值点, ∴ f' (1) ? 3 ? 2a ? b=0 , f' (?1) ? 3 ? 2a ? b=0 ,解得 a =0,b = ? 3 。 (2)∵ 由(1)得, f ( x) ? x3 ? 3x , ∴ g?( x) ? f ( x) ? 2=x3 ? 3x ? 2= ? x ? 1? ? x ? 2? ,解得 x1 =x2 =1,x3 = ? 2 。
2

∵当 x < ?2 时, g ?( x) < 0 ;当 ?2 < x < 1 时, g ?( x) > 0 , ∴ x = ? 2 是 g ( x) 的极值点。 ∵当 ?2 < x < 1 或 x > 1 时, g ?( x) > 0 ,∴ x =1 不是 g ( x) 的极值点。 ∴ g ( x) 的极值点是-2。 (3)令 f ( x)=t ,则 h( x) ? f (t ) ? c 。 先讨论关于 x 的方程 f ( x )=d 根的情况: d ?? ?2, 2? 当 d =2 时,由(2 )可知, f ( x)= ? 2 的两个不同的根为 I 和一 2 ,注意到 f ( x) 是奇函 数,∴ f ( x )=2 的两个不同的根为一和 2。 当 d < 2 时,∵ f (?1) ? d =f (2) ? d =2 ? d > 0 , f (1) ? d =f (?2) ? d = ? 2 ? d < 0 , ∴一 2 , -1,1 ,2 都不是 f ( x )=d 的根。 由(1)知 f' ( x)=3? x ? 1?? x ? 1? 。 ① 当 x ? ? 2, ? ? 时, f' ( x) > 0 ,于是 f ( x) 是单调增函数,从而 f ( x) > f (2)=2 。 ?

此时 f ( x )=d 在 ? 2, ? ? 无实根。 ? ② 当 x ? ?1 2 ? 时. f' ( x) > 0 ,于是 f ( x) 是单调增函数。 , 又∵ f (1) ? d < 0 , f (2) ? d > 0 , y =f ( x) ? d 的图象不间断, ∴ f ( x )=d 在(1 , 2 )内有唯一实根。 同理, f ( x )=d 在(一 2 ,一 I )内有唯一实根。 ③ 当 x? ? ?1 1? 时, f' ( x) < 0 ,于是 f ( x) 是单调减两数。 , 又∵ f (?1) ? d > 0 , f (1) ? d < 0 , y =f ( x) ? d 的图象不间断, ∴ f ( x )=d 在(一 1,1 )内有唯一实根。 因此,当 d =2 时, f ( x )=d 有两个不同的根 x1,x2 满足 x1 =1,x2 =2 ;当 d < 2 时

f ( x )=d 有三个不同的根 x3,x1,x5 ,满足 xi < 2,i =3, 4, 5 。
现考虑函数 y ? h( x) 的零点: ( i )当 c =2 时, f (t )=c 有两个根 t1,t2 ,满足 t1 =1,2 =2 。 t 而 f ( x)=t1 有三个不同的根, f ( x)=t2 有两个不同的根,故 y ? h( x) 有 5 个零点。 ( 11 )当 c < 2 时, f (t )=c 有三个不同的根 t3,t4,t5 ,满足 ti < 2,i=3, 4, 5 。 而 f ( x)=ti ? i =3, 4, 5? 有三个不同的根,故 y ? h( x) 有 9 个零点。 综上所述,当 c =2 时,函数 y ? h( x) 有 5 个零点;当 c < 2 时,函数 y ? h( x) 有 9 个零 点。 【考点】函数的概念和性质,导数的应用。 【解析】 (1)求出 y ? f (x) 的导数,根据 1 和 ?1是函数 y ? f (x) 的两个极值点代入列方程组求解即可。 (2)由(1)得, f ( x) ? x3 ? 3x ,求出 g ?( x) ,令 g ?( x)=0 ,求解讨论即可。 (3)比较复杂,先分 d =2 和 d < 2 讨论关于 x 的方程 f ( x )=d 根的情况;再考虑函数 y ? h( x) 的零点。 例 13. (2012 年全国课标卷文 5 分)设函数 f ? x ? ? ex-ax-2 (Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间

(Ⅱ)若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时, ? x ? k ? f' ? x ? ? x ?1 > 0 ,求 k 的最大值 【答案】解:(I) f(x)的的定义域为 ? ?∞, ∞? , f' ? x ? ? ex-a 。 ? 若 a ? 0 ,则 f' ? x ? ? ex-a > 0 ,∴ f ? x ? 在 ? ?∞, ∞? 上单调递增。 ? 若 a > 0 , 则 当 x ? ? ?∞, l n? a时 , f' ? x ? ?
x

, a - < a ; 当 x ? ? l n ? ∞? 时 , e 0

f' ? x ? ?

x

? - > a ,∴在 ? ?∞,lna ? 上单调递减, f ? x ? 在 ? lna, ∞? 上单调递增。 e 0
(Ⅱ)∵a=1,∴ ? x ? k ? f' ? x ? ? x ? 1= ? x ? k ? e x ? 1 ? x ? 1 。 ∴当 x>0 时, ? x ? k ? e x ? 1 ? x ? 1 > 0 ,它等价于 k <

?

?

?

?

x ?1 ?x ex ? 1

? x > 0? 。

e ? xe x ? 1 x ?1 ? 1= ? x ,则 g' ? x ? = 令 g?x?= x 2 e ?1 ex ? 1

x

?

?

?e ?e

x x

?x?2 ?1

?

2

?。

由(I)知,函数 h ? x ? =ex ? x ? 2 在 ? 0, ∞? 上单调递增。 ? ∵ h ?1? =e ? 3 < 0 , h ? 2? =e2 ? 4 > 0 ,∴ h ? x ? 在 ? 0, ∞? 上存在唯一的零点。 ? ∴ g' ? x ? 在 ? 0, ∞? 上存在唯一的零点,设此零点为 a ,则 a ? ?1,2? 。 ? 当 x ? ? 0,a ? 时, g' ? x ? < 0 ;当 x ? ? a, ∞? 时, g' ? x ? > 0 。 ?

x ?1 ? x 在 ? 0, ∞? 上的最小值为 g ? a ? 。 ? ex ? 1 a ?1 ? a =a+1 ? ? 2,3 ? 。 又∵ g' ? a ? =0 ,即 ea =a ? 2 ,∴ g ? a ? = a e ?1
∴ g?x?= 因此 k < g ? a ? ,即整数 k 的最大值为 2。 【考点】函数的单调性质,导数的应用。 【解析】(I)分 a ? 0 和 a > 0 讨论 f ? x ? 的单调区间即可。 (Ⅱ)由于当 x>0 时, x ? k ? e x ? 1 ? x ? 1 > 0 等价于 k < ? 求出导数,根据函数的零点情况求出整数 k 的最大值。 例 14. ( 2012 年 江 西 省 文 14 分 ) 已 知 函 数 f ? x? ? ax ? bx ) x e ? 0, 1? 上 单 调 递 减 且 满 足 ( 2 ? c 在

?

?

x ?1 ?x ex ? 1

令 ? x > 0? , g ? x ? =

x ?1 ?x , ex ? 1

f ? 0? ? 1 f ?1? ? 0 。 ,
(1)求 a 的取值范围;

(2)设 g ? x ? ? f ? x ? ? f ? ? x ? ,求 g ? x ? 在 ? 0, 1? 上的最大值和最小值。 【答案】解: (1)∵ f (0) ? c ? 1 , f (1) ? (a ? b ? c)e ? 0 ,∴ a ? b ? ?1 。 ∴ f ? x ? ? [ax2 ? ? a ? 1? x ? 1]e x 。∴ f ? ? x ? ? [ax2 ? ? a ? 1? x ? a]e x 。 ∵函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c e x 在 ? 0, 1? 上单调递减, ( ) ∴对于任意的 x ? ? 0, ? ,都有 f '( x) ? 0 。 1 ∴由 f '(0)= ? a ? 0 得 a > 0 ;由 f '(1)=[a ? ? a ?1? ? a]e ? 0 得 a ? 1 。 ∴ 0 ? a ?1 。 又当 a =0 时,对于任意的 x ? ? 0, ? ,都有 f '( x)= ? x ? 0 ,函数符合条件; 1
2 x 当 a =1 时,对于任意的 x ? ? 0, ? ,都有 f '( x)= x ? 1 e ? 0 ,函数符合条件。 1

?

?

综上所述, a 的取值范围是 0≤ a ≤1。

) (2)∵ g ? x ? ? f ? x ? ? f ? ? x ? ? ? ax 2 ? ? a ? 1? x ? 1? e x ? ? ax 2 ? ? a ? 1? x ? a ? e x ? ? 2ax ? a ? 1 e x ? ? ? ? (
∴ g? ? x ? ? ? ?2ax ? a ? 1? e x 。 (i)当 a =0 时,对于任意 x ? ? 0, ? 有 g? ? x ? ? ex > 0 , 1 ∴ g ? x ? 在[0,1]上的最小值是 g ? 0? ? 1 ,最大值是 g ?1? ? e ; (ii)当 a =1 时,对于任意 x ? ? 0, ? 有 g? ? x ? ? ?2xex < 0 , 1 ∴ g ? x ? 在[0,1]上的最小值是 g ?1? ? 0 ,最大值是 g ? 0? ? 2 ; (iii)当 0< a <1 时,由 g? ? x ? ? 0 得 x ? ①若

1? a >0 , 2a

1? a 1 ? 1 ,即 0 < a ? 时, g ? x ? 在[0,1]上是增函数, 2a 3

∴ g ? x ? 在[0,1]上最大值是 g ?1? ? ?1 ? a ? e ,最小值是 g ? 0? ? 1 ? a ; ②若
1? a 1? a 1? a 1 1? a ( ) 2 ae 2 a g,在 x =0 ? 取得最大值 g <1 ,即 < a <1 时, g ? x ? 在 x ? 2a 2a 3 2a

或 x =1 时取到最小值:

() g1 ? 1 ) ∵ g 0 ? 1 ? a,()( ? a e ,
∴当 < a ?

1 3

e ?1 时, g ? x ? 在 x =0 取到最小值 g ? 0? ? 1 ? a ; e ?1



e ?1 < a ? 1 时, g ? x ? 在 x =1 取到最小值 g ?1? ? ?1 ? a ? e 。 e ?1

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性。 【解析】 (1)由题意,函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c e x 在[0,1]上单调递减且满足 f ? 0? ? 1 f ?1? ? 0 ,可求 ( ) , 出函数的导数,将函数在[0,1]上单调递减转化为导数在[0,1]上的函数值恒小于等于 0,再结合 f ? 0? ? 1 ,

f ?1? ? 0 这两个方程即可求得 a 取值范围。
(2)由题设条件,先求出 g ? x ? ? f ? x ? ? f ? ? x ? 的解析式,求出导函数 g? ? x ? ? ? ?2ax ? a ? 1? e x , 由于参数 a 的影响,函数在[0,1]上的单调性不同,结合(1)的结论及 g ? ? x ? 分 a =0, a =1, 0< a <1 三类对函数的单调性进行讨论,确定并求出函数的最值。 例 15. (2012 年湖北省文 14 分)设函数 f(x)=axn(1-x)+b(x>0),n 为整数,a,b 为常数.曲线 y=f(x) 在(1,f(1))处的切线方程为 x+y=1. (Ⅰ)求 a,b 的值; (II)求函数 f(x)的最大值; 1 (III)证明:f(x)< . ne 【答案】解: (Ⅰ)∵f(1)=b,由点(1,b)在 x+y=1 上,可得 1+b=1,即 b=0。 ∵f′(x)=anxn 1-a(n+1)xn,∴f′(1)=-a。 又∵切线 x+y=1 的斜率为-1,∴-a=-1,即 a=1。 ∴a=1,b=0。 n + - (II)由(Ⅰ)知,f(x)=xn(1-x)=xn-xn 1,f′(x)=(n+1)xn 1?n+1-x?。 ? ? n n 令 f′(x)=0,解得 x= ,即 f′(x)在(0,+∞)上有唯一零点 x0= 。 n+1 n+1 n n ∵在?0,n+1?上,f′(x)>0,f(x)单调递增;在?n+1,+∞?上,f′(x)<0,f(x)单调递减,


?

?

?

?

n n n nn ∴f(x)在(0,+∞)上的最大值为 f?n+1?=?n+1?n?1-n+1?= ? ? ? ?? ? ?n+1?n+1。 1 1 1 t-1 (III)证明:令 φ(t)=lnt-1+ (t>0),则 φ′(t)= - 2= 2 (t>0)。 t t t t ∵在(0,1)上,φ′(t)<0,φ(t)单调递减;在(1,+∞)上,φ′(t)>0,φ(t)单调递增, 1 ∴φ(t)在(0,+∞)上的最小值为 φ(1)=0。 ∴φ(t)>0(t>1),即 lnt>1- (t>1)。 t n+1 n+1?n+1 1 1 令 t=1+ ,得 ln > ,即 ln? n n ? n ? >lne。 n+1

∴?

n+1?n+1 nn 1 >e,即 n+1< 。 ne ? n ? ?n+1?

nn 1 由(II)知,f(x)≤ ,∴所证不等式成立。 + < ?n+1?n 1 ne 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方 程。 【解析】 (I)由题意曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为 x+y=1,故可根据导数的几何意义与切点处的 函数值建立关于参数的方程求出两参数的值。 n + - (II)由于 f(x)=xn(1-x)=xn-xn 1,可求 f′(x)=(n+1)xn 1?n+1-x?,利用导数研究函数的单调性, ? ? 即可求出函数的最大值。
n 1 ? n ?=? n ?n?1- n ?= n + ,故 (III)结合(II) ,欲证:f(x)< .由于函数 f(x)的最大值 f n+1 ne ? ? ?n+1? ? n+1? ?n+1?n 1

此不等式证明问题可转化为证明

nn 1 n+1< ,对此不等式两边求以 e 为底的对数发现,可构造函数 φ(t) ne ?n+1?

1 =lnt-1+ (t>0),借助函数的最值辅助证明不等式。 t 例 16.(2012 年重庆市文 13 分)已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? c 在 x ? 2 处取得极值为 c ? 16 (1)求 a 、 b 的值(6 分) ; (2)若 f ( x ) 有极大值 28,求 f ( x ) 在 [?3,3] 上的最大值(7 分) . 【答案】解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? ax3 ? bx ? c , ∴ f ?( x) ? 3ax 2 ? b 。 ∵ f ( x ) 在点 x ? 2 处取得极值,
[来源:21 世纪教育网]

∴?

? f ?(2) ? 0 ? 12a ? b ? 0 ?12a ? b ? 0 ? a ?1 ,即 ? ,化简得 ? ,解得 ? 。 ? f (2) ? c ? 16 ?8a ? 2b ? c ? c ? 16 ?4a ? b ? ?8 ?b ? ?12

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? x3 ?12 x ? c , f ?( x) ? 3x2 ?12 令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ?2, x2 ? 2 。

x , f' ( x) 和 f ( x) 在 (??, ? ?) 上的情况如下表:
x
(??, ?2)
?2

(?2, 2)

2

(2, ??)

f' ( x )



0



0



f ( x)



极小值



极大值



由此可知 f ( x ) 在 x1 ? ?2 处取得极大值 f (?2) ? 16 ? c , f ( x ) 在 x2 ? 2 处取得 极小值 f (2) ? c ? 16 。 ∵ f ( x ) 有极大值 28,∴ 16 ? c ? 28 ,解得 c ? 12 。 此时 f (?3) ? 9 ? c ? 21, f (3) ? ?9 ? c ? 3 , f (2) ? c ? 16 ? ?4 ∴ f ( x ) 上 [?3,3] 的最小值为 f (2) ? ?4 。 【考点】函数的导数与极值,最值之间的关系。 【分析】 (Ⅰ)先对函数 f ( x ) 进行求导,根据 f ?(2) ? 0 =0, f (2) ? c ? 16 ,求出 a 、 b 的值。 (Ⅱ)根据(Ⅰ)对函数 f ( x ) 进行求导,令 f ?( x) ? 0 ,解出 x ,列表求出函数的极大值和极小 值。再比较函数的极值与端点函数值的大小,端点函数值与极大值中最大的为函数的最大值,端点函数值 与极小值中最小的为函数的最小值。 例 17.(2012 年浙江省文 14 分)如图,在直角坐标系 x Oy 中,点 P(1, 0)的准线的距离为

1 )到抛物线 C: y 2 =2px(p> 2

5 。点 M(t,1)是 C 上的定点,A,B 是 C 上的两动点,且线段 AB 被直线 OM 平分。 4

(1)求 p,t 的值。 (2)求△ABP 面积的最大值。

1 ? 2 pt ? 1 ? ? ?p ? 【答案】解: (1)由题意得 ? 2。 p 5 ,解得 ? ?1 ? 2 ? 4 ?t ? 1 ? ?
(2)设 A( x1, y1 ), B ? x2 , y2 ? ,由(1)知线段 AB 的中点坐标为 Q(m, m) 。
2 设直线 AB 的斜率为 k(k ? 0 ) ,由(1)知抛物线 C: y =x。

则k ?

y2 ? y1 y ?y 1 1 。 ? 2 12 = = 2 x2 ? x1 y2 ? y1 y1 ? y2 2m
1 ( x ? m) ,即 x ? 2my ? 2m2 ? m ? 0 .。 2m

∴直线 AB 的方程为 y ? m ?

? x ? 2my ? 2m2 ? m ? 0 ? 由? 2 ,整理得 y 2 ? 2my ? 2m2 ? m ? 0 。 ?y ? x ?
∴ ? ? 4m ? 4m , y1 ? y2 ? 2m , y1 y2 ? 2m2 ? m 。
2

∴ AB ? 1 ?

1 y1 ? y2 ? 1 ? 4m2 4m ? 4m2 。 2 k
1 ? 2m ? 2 m 2 1 ? 4m 2


设点 P 到直线 AB 的距离为 d,则 d ? 设 ? ABP 的面积为 S,则 S ?
2

1 AB ? d ? 1 ? 2(m ? m2 ) ? m ? m 2 。 2

由 ? ? 4m ? 4m ? 0 ,得 0 ? m ? 1 。 令 t ? m ? m2 , 0 ? t ? 则 S ? ? 1 ? 6t 。
2

1 2 ,则 S ? t (1 ? 2t ) 。 2

由 S ? ? 1 ? 6t ? 0 ,得 t ?
2

6 ? 1? ? ? 0, ? 。 6 ? 2?

∴ S max ?

6 6 ,即 ? ABP 的 面积的最大值为 。 9 9

【考点】抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系。应用导数求最大值。 【解析】 (1)直接由已知和抛物线的几何性质列式求解即可。 (2)求出△ABP 面积关于线段 AB 的中点坐标的关系式,应用导数求最大值。

四、应用单调性等性质求最值: 典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】
例 1. (2012 年四川省理 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a2 an ? S2 ? Sn 对一切正整数 n 都成立。 且 (Ⅰ)求 a1 , a2 的值; (Ⅱ)设 a1 ? 0 ,数列 {lg

10a1 } 的前 n 项和为 Tn ,当 n 为何值时, Tn 最大?并求出 Tn 的最大值。 an


【答案】解: (Ⅰ)取 n=1,得 a2 a1 ? S2 ? S1 ? 2a1 ? a2

取 n=2,得 a22 ? 2a1 ? 2a2

② ③

由②-①,得 a2 (a2 ? a1 ) ? a2 (1)若 a2 =0, 由①知 a1 =0。 (2)若 a2 ? 0 ,则 a2 ? a1 ? 1 , 由①④得: a1 ? ④

2 ? 1, a2 ? 2 ? 2; a1 ? 1 ? 2, a2 ? 2 ? 2 。

(Ⅱ)当 a1 ? 0 时,由(I)知, a1 ? 2 ? 1, a2 ? 2 ? 2 。 当 n ? 2 时,有 2 ? 2 an ? S2 ? Sn ⑤ , 2 ? 2 an?1 ? S2 ? Sn?1 ⑥, ( ) ( ) ⑤-⑥ Sn ? Sn?1 =( ? 2 ? an ? an?1 ? ,即 an =( ? 2 ? an ? an?1 ? 2 ) 2 ) ∴ an = 2an?1 (n ? 2) 。∴ an ? a1 ( 2 ) n?1 ? ( 2 ? 1) ? ( 2 ) n?1 。 令 bn ? lg

10a1 1 100 ,则 bn ? 1 ? lg( 2)n?1 ? lg n?1 an 2 2

∴数列{ bn }是以 ?

1 lg 2 为公差,且单调递减的等差数列。 2 1 100 1 10 ? lg1 ? 0 ;当 n≥8 时,bn≤b8= lg ? lg1 ? 0 。 2 128 2 8

∴b1>b2>b3>…>b7= lg

∴n=7 时, Tn 取得最大值,且 Tn 的最大值为 T7 =

(b1 ? b7) 7 21 ? 7 ? lg 2 。 2 2

【考点】等差数列、等比数列、对数等基础知识,方程、分类与整合、化归与转化等数学思想的应用。 【解析】 (Ⅰ)取 n=1 和 n=2 可得关于 a1 , a2 的方程,解之即得。 (Ⅱ)作差求得 an ? ( 2 ? 1) ? ( 2)n?1 ,代入 {lg
?

10a1 } ,根据对数的性质求解。 an

例 2. (2012 年湖南省文 5 分)对于 n ? N ,将 n 表示为 n ? ak ? 2k ? ak ?1 ? 2k ?1 ? ?? a1 ? 21 ? a0 ? 20 , 当 i ? k 时 ai ? 1 ,当 0 ? i ? k ? 1 时 ai 为 0 或 1,定义 bn 如下:在 n 的上述表示中,当 a0 , a1 ,a2,…,ak 中等于 1 的个数为奇数时,bn=1;否则 bn=0. (1)b2+b4+b6+b8= ▲ .; ▲ ..
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(2)记 cm 为数列{bn}中第 m 个为 0 的项与第 m+1 个为 0 的项之间的项数,则 cm 的最大值是 【答案】 (1)3; (2)2。 【考点】数列问题。 【解析】 (1)观察知 1 ? a0 ? 2 , a0 ? 1, b1 ? 1 ; 2 ? 1? 2 ? 0 ? 2 , a1 ? 1, a0 ? 0, b2 ? 1 ;
0 1 0

依次类推 3 ? 1? 21 ? 1? 20 , b3 ? 0 ; 4 ? 1? 22 ? 0 ? 21 ? 0 ? 20 , b4 ? 1;

5 ? 1? 22 ? 0 ? 21 ?1? 20 , b5 ? 0 ; 6 ? 1? 22 ? 1? 21 ? 0 ? 20 , b6 ? 0 ; b7 ? 1, b8 ? 1 ;
∴b2+b4+b6+b8=3。 (2)由(1)知 cm 的最大值为2。 例 3. (2012 年四川省文 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,常数 ? ? 0 ,且 ?a1an ? S1 ? Sn 对一切 正整数 n 都成立。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 a1 ? 0 , ? ? 100 ,当 n 为何值时,数列 {lg

1 } 的前 n 项和最大? an

【答案】解: (Ⅰ)取 n=1,得 ?a12 ? 2S1 =2a1 ,∴ a1 (? a1 ? 2) ? 0 。 若 a1 =0,则 S1 =0, 当 n ? 2 时, an =Sn ? Sn?1 ? 0 。 若 a1 ? 0 ,则 a1 ?

2

?





当 n ? 2 时, 2an ?

2

?

? Sn , 2an?1 ?
2n

2

?

? Sn?1 ,

两个相减得: an ? 2an ?1 ,∴ an ?

?

。∴数列 {an } 公比是 2 的等比数列。

综上所述,若 a1 =0, 则 an ? 0 ;若 a1 ? 0 ,则 an ? (Ⅱ)当 a1 ? 0 且 ? ? 100 时,令 bn ? lg

2n

?



1 ,则 bn ? 2 ? n lg 2 。 an

∴ {bn } 是单调递减的等差数列(公差为-lg2) 则 b1>b2>b3>…>b6= lg 当 n≥7 时,bn≤b7= lg

100 100 ? lg ? lg1 ? 0 ; 6 64 2

100 100 ? lg ? lg1 ? 0 。 7 128 2

∴数列{lg

1 1 }的前 6 项的和最大,即当 n =6 时,数列 {lg } 的前 n 项和最大。 an an

【考点】等差数列、等比数列、对数等基础知识,分类与整合、化归与转化等数学思想的应用。 【解析】 (I)由题意,n=1 时,由已知可知 a1 (? a1 ? 2) ? 0 ,分类讨论:由 a1 =0 及 a1 ? 0 ,结合数列的和与 项的递推公式可求。

(II)由 a1 ? 0 且 ? ? 100 时,令 bn ? lg

1 ,则 bn ? 2 ? n lg 2 ,结合数列的单调性可求和的最大项 。 an
2

例 4. (2012 年四川省理 14 分)

已知 a 为正实数, n 为自然数,抛物线 y ? ? x ?

an 与 x 轴正半轴相 2

交于点 A ,设 f ( n) 为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距。 (Ⅰ)用 a 和 n 表示 f ( n) ; (Ⅱ)求对所有 n 都有

f (n) ? 1 n3 成立的 a 的最小值; ? 3 f (n) ? 1 n ? 1

(Ⅲ)当 0 ? a ? 1 时,比较

? f (k ) ? f (2k ) 与
k ?1

n

1

27 f (1) ? f (n) 的大小,并说明理由。 ? 4 f (0) ? f (1)

? an ? an 2 ,0 ? ,对 y ? ? x ? 【答案】解: (Ⅰ)由已知得,交点 A 的坐标为 ? 求导得 y' ? ?2x 。 ? 2 ? 2 ? ?

? an ? ∴抛物线在点 A 处的切线方程为 y ? ? 2a ? x ? ? ,即 y ? ? 2a n x +a n 。 ? 2 ? ? ?
n

∴ f (n)=a n 。 (Ⅱ)由(1)知 f (n)=a n ,则

f ( n) ? 1 n3 ? 3 成立的充要条件是 a n ? 2n3 ? 1 。 f ( n) ? 1 n ? 1

即知, a n ? 2n3 ? 1 对于所有的 n 成立,特别地,取 n=2 时,得到 a ? 17 。 当 a ? 17, n ? 3 时,
1 2 3 1 2 3 an ? 4n = ?1+3? =1 ? Cn ? 3+Cn ? 32 +Cn ? 33 + ??? ? 1 ? Cn ? 3+Cn ? 32 +Cn ? 33

n

1 2 ? 1 ? 2n3 + n ?5 ? n ? 2? + ? 2n ? 5?? > 2n3 +1 。 ? ? 2
当 n=0,1,2 时,显然 ∴当 a ? 17 时,

?

17

?

n

? 2n 3 ? 1 。

f ( n) ? 1 n3 ? 3 对所有自然数都成立。 f ( n) ? 1 n ? 1

∴满足条件的 a 的最小值是 17 。 (Ⅲ)由(1)知 f (n)=a ,则
n

?
k ?1

n

n 1 1 f (1) ? f (n) a ? a n ? , 。 =? k f (0) ? f (1) 1 ? a f (k ) ? f (2k ) k ?1 a ? a 2k

下面证明: ?
k ?1

n

1 27 f (1) ? f (n) ? ? 。 f (k ) ? f (2k ) 4 f (0) ? f (1)

首先证明:当 0<x<1 时, 设函数 g ( x) ?

1 27 ? x, 3 x?x 4

27 81 2 x( x2 ? x) ? 1,0 ? x ? 1 ,则 g '( x) ? x( x ? ) 。 4 4 3 2 2 ' ? ∵当 0 ? x ? 时, g(x) 0 ;当 ? x ? 1 时, g '( x) ? 0 , 3 3
∴ g ( x) 在区间(0,1)上的最小值 g ( x) min=g ( ) ? 0 。

2 3

1 27 ? x。 3 x?x 4 1 27 由 0<a<1 知 0<ak<1( k ? N ? ),∴ k ? ak 。 2k a ?a 4
∴当 0<x<1 时, g ( x) ≥0,即得 从而 ?
k ?1 n n 27 n 27 a ? a n +1 27 a ? a n 27 f (1) ? f (n) 1 1 ?? k ? ? ak ? ? ? ? ? ? 。 f (k ) ? f (2k ) k ?1 a ? a 2k 4 k ?1 4 1? a 4 1? a 4 f (0) ? f (1)

【考点】导数的应用、不等式、数列。 【解析】 (Ⅰ)根据抛物线 y ? ? x ?
2

? an ? an ,0 ? ,进一步可求抛物线 与 x 轴正半轴相交于点 A,可得 A ? ? 2 ? 2 ? ?

在点 A 处的切线方程,从而可得 f (n)=a n (Ⅱ) (Ⅰ) f ( ) a 由 知 n=
n

, 则

f ( n) ? 1 n3 ? 3 成立的充要条件是 a n ? 2n3 ? 1 , 即知,a n ? 2n3 ? 1 f ( n) ? 1 n ? 1
n

对所有 n 成立。当 a ? 17, n ? 3 时, an ? 4n = ?1+3? > 2n3 +1 ;当 n=0,1,2 时, 可得 a 的最小值。 ( Ⅲ ) 由 ( Ⅰ ) 知 f ( n) =a , 证 明 当 0 < x < 1 时 ,
n

?

17

?

n

? 2n3 ? 1 ,由此

1 27 ? x 即可证明: 3 x?x 4

? f (k ) ? f (2k ) ?
k ?1

n

1

27 f (1) ? f (n) ? 。 4 f (0) ? f (1)

例 5.(2012 年四川省文 14 分)已知 a 为正实数, n 为自然数,抛物线 y ? ? x ?
2

an 与 x 轴正半轴相交于 2

点 A ,设 f ( n) 为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距。 (Ⅰ)用 a 和 n 表示 f ( n) ; (Ⅱ)求对所有 n 都有

f ( n) ? 1 n ? 成立的 a 的最小值; f ( n) ? 1 n ? 1

(Ⅲ) 0 ? a ? 1 时, 当 比较 并说明理由。

1 1 1 f (1) ? f (n ? 1) 与6? 的大小, ? ? ??? ? f (1) ? f (2) f (2) ? f (4) f (n) ? f (2n) f (0) ? f (1)

? an ? an ,0 ? ,对 y ? ? x 2 ? 【答案】解: (Ⅰ)由已知得,交点 A 的坐标为 ? 求导得 y' ? ?2x 。 ? 2 ? 2 ? ?
∴抛物线在点 A 处的切线方程为 y ? ? 2a ? x ?
n

? ? ?

an 2

? ? ,即 y ? ? 2a n x +a n 。 ? ?

∴ f (n)=a n 。 (Ⅱ)由(1)知 f (n)=a n ,则

f ( n) ? 1 n 成立的充要条件是 a n ? 2n ? 1 。 ? f ( n) ? 1 n ? 1

即知, a n ? 2n ? 1 对于所有的 n 成立,特别地,取 n=1 时,得到 a ? 3 。 当 a ? 3, n ? 1 时,
1 2 3 an ? 3n = ?1+2? =1 ? Cn ? 2+Cn ? 22 +Cn ? 23 + ??? ? 2n ? 1 。 n

当 n=0 时, a n ? 2n ? 1 。 ∴当 a ? 3 时,

f ( n) ? 1 n 对所有自然数都成立。 ? f ( n) ? 1 n ? 1

∴满足条件的 a 的最小值是 3。 (Ⅲ)由(1)知 f (n)=a n , 下面证明:

1 1 1 f (1) ? f (n ? 1) ? ? ?? ? 6. 。 f (1) ? f (2) f (2) ? f (4) f ( n ) ? f ( 2n ) f (0) ? f (1)
1 ? 6x , x ? x2

首先证明:当 0<x<1 时,

设函数 g ? x ? ? 6 x x 2 ? x ? 1,0 ? x ? 1 ,则 g ' ( x) ? 18 x( x ? ) 。

?

?

2 3

2 2 ' ? 时, g(x) 0 ;当 ? x ? 1 时, g '( x) ? 0 , 3 3 2 1 ∴ g ( x) 在区间(0,1)上的最小值 g ( x) min=g ( ) ? > 0 。 3 9 1 ∴当 0<x<1 时, g ( x) ≥0,即得 ? 6x 。 x ? x2 1 由 0<a<1 知 0<ak<1( k ? N ? ),∴ k ? 6ak 。 2k a ?a
∵当 0 ? x ?

从而

1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? 2 ?? n 2 4 f (1) ? f (2) f (2) ? f (4) f (n) ? f (2n) a ? a a ?a a ? a2n

? 6(a ? a 2 ??? a n ) ? 6 ?
【考点】导数的应用、不等式、数列。 【解析】 (Ⅰ)根据抛物线 y ? ? x ?
2

a ? a n ?1 f (1) ? f (n ? 1) 。 ? 6? 1? n f (0) ? f (1)

? an ? an ,0 ? ,进一步可求抛物线 与 x 轴正半轴相交于点 A,可得 A ? ? 2 ? 2 ? ?

在点 A 处的切线方程,从而可得 f (n)=a n (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f (n)=a n ,则

f (n) ?1 n ? 成立的充要条件是 a n ? 2n ? 1 ,即知, a n ? 2n ? 1 f (n) ?1 n ?1
n

对所有 n 成立。当 a ? 3, n ? 1 时, an ? 3n = ?1+2? ? 2n ? 1 ;当 n=0 时, a n ? 2n ? 1 ,由此可得 a 的最小值。 (Ⅲ)由(Ⅰ)知 f (n)=a ,证明当 0<x<1 时,
n

1 ? 6x 即可证明: x ? x2

1 1 1 f (1) ? f (n ? 1) ? ? ?? ? 6. 。 f (1) ? f (2) f (2) ? f (4) f ( n ) ? f ( 2n ) f (0) ? f (1)
例 6. (2012 年北京市文 5 分) 某棵果树前 n 年的总产量 S 与 n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看, 前 m 年的年平均产量最高。m 值为【 A.5 B.7 C.9 D.11 】

【答案】C。 【考点】直线斜率的几何意义。 【解析】 据图像识别看出变化趋势, 利用变化速度可以用导数 来解,但图像不连续,所以只能是广义上的。实际上,前 n

年的年平均产量就是前 n 年的总产量 S 与 n 的商:

S? n ? n

,在图象上体现为这一点有纵坐标与横坐标之比。

因此,要使前 m 年的年平均产量最高就是要这一点的纵坐标与横坐标之比最大,即这一点与坐标 原点连线的倾斜角最大。图中可见。当 n=9 时,倾斜角最大。从而 m 值为 9。故选 C。 例 7. (2012 年山东省理 13 分)在平面直角坐标系 xOy 中,F 是抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点,M 是 抛物线 C 上位于第一象限内的任意一点,过 M,F,O 三点的圆的圆心为 Q,点 Q 到抛物线 C 的准线的距 离为

3 。 4

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)是否存在点 M,使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说 明理由; (Ⅲ)若点 M 的横坐标为 2 ,直线 l:y=kx+ 同的交点 D,E,求当

1 与抛物线 C 有两个不同的交点 A,B,l 与圆 Q 有两个不 4

1 2 2 ? k ? 2 时, AB ? DE 的最小值。 2
x 2 p ) ,设 M (x 0 , 0 )(x 0 ? 0) , Q(a, b) 。 2p 2

【答案】解: (Ⅰ)F 抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点 F (0, 由题意可知 b ?

p , 4 p p p 3 3 ? ? ? p ? ,解得 p ? 1 。 2 4 2 4 4

则点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 b ? ∴抛物线 C 的方程为 x 2 ? 2y 。

(Ⅱ)假设存在点 M,使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M,

x 2 1 1 ), O(0, 0), M (x 0 , 0 ) , Q(a, ) , QM ? OQ ? QF , 2 2 4 2 x x 3 3 1 1 ∴ (x 0 ? a) 2 ? ( 0 ? ) 2 ? a 2 ? ,即 a ? 0 ? x 0 。 8 8 2 4 16
而 F(0,

1 x 02 ? 1 3 1 1 2 4 由 x ? 2y 可得 y' ? x , k ? x 0 ? 3 2 ,则 x 04 ? x 02 ? ? x 02 , 8 8 4 2 x0 3 ? x0 8 8 1 即 x04 ? x02 ? 2 ? 0 ,解得 x 0 ? 1,点 M 的坐标为 (1, ) 。 2 2 1 , )。 (Ⅲ)∵点 M 的横坐标为 2 ,∴点 M ( 2, 1) , Q(? 8 4
? x 2 ? 2y 1 ? 2 由? 1 可得 x ? 2kx ? ? 0 。 2 ? y ? kx ? 4 ?

设 A(x1 , y1 ), B(x 2 , y2 ) ,则 x1 ? x 2 =2k,x1 ? x 2 = ?
2

1 。 2

∴ AB ? (1 ? k 2 )[(x1 ? x 2 )2 ? 4x1 ? x 2 ] ? (1 ? k 2 )(4k 2 ? 2) 。

k?
∵圆 Q : (x ?

2 2 1 2 1 3 ) ? (y ? ) 2 ? ? ? , 圆心到直线 l 的距离 d ? 8 4 64 16 32

? 2 8

1 ? k2

?

2k 8 1 ? k2



∴ DE ? 4[

2

3 k2 3 ? 2k 2 。 ? ]? 32 32(1 ? k 2 ) 8(1 ? k 2 )
2

∴ AB ? DE ? (1 ? k 2 )(4k 2 ? 2) ?

2

3 ? 2k 2 8(1 ? k 2 )





1 5 ? k ? 2 ,∴令 1 ? k 2 ? t ?[ ,5] 。 2 4
2 2

∴ AB ? DE ? (1 ? k 2 )(4k 2 ? 2) ? 设 g(t) ? 4t 2 ? 2t ?

3 ? 2k 2 8(1 ? k )
2

? t(4t ? 2) ?

2t ? 1 1 1 ? 4t 2 ? 2t ? ? 。 8t 8t 4

1 1 1 ? ,则 g' (t) ? 8t ? 2 ? 2 。 8t 8t 4 1 5 当 t ?[ ,5] 时, g' (t) ? 8t ? 2 ? 2 ? 0 , 8t 4 25 5 1 1 1 5 1 即当 t ? , k ? 时, g(t)min ? 4 ? ? 2? ? ? ?4 。 16 4 8? 5 4 10 4 2 4
∴当 k ?

1 1 2 2 时, ( AB ? DE )min ? 4 。 2 10

【考点】抛物线和圆的性质,切线斜率的应用和意义,韦达定理的应用,导数的应用。函数的单调性质。 【解析】 (Ⅰ)由已知条件,根据抛物线和圆的性质列式求解。 (Ⅱ)假设存在点 M,使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M,则由条件 QM ? OQ ? QF 列式, 并由切线斜率的应用和意义求出点 M 的坐标。 (Ⅲ)应用韦达定理、勾股定理,用 k 表示出 AB 和 DE ,根据函数的单调性质可求解。
2 2

五、应用函数的值域求最值: 典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】
?a2-ab,a≤b, ? 例 1. ( 2012 年 福 建 省 理 4 分 ) 对 于 实 数 a 和 b , 定 义 运 算 “*” : a*b = ? 2 ? ?b -ab,a>b.



f ? x ? ? (2x ? 1) *( x ? 1) ,且关于 x 的方程 f ? x ? ? m(m ? R) 恰有三个互不相等的实数根 x1,x2,x3,则 x1x2x3
的取值范围是 ▲ .

【答案】?

?1- 3 ?。 ? ? 16 ,0?

【考点】新定义,分段函数的图象和性质,分类讨论和数形结合思想的应用。

?(2x ? 1)2 ? (2x ? 1) ? ( x ? 1), (2x ? 1) ? ( x ? 1) ? 【解析】根据新运算符号得到函数为 f ? x ? ? (2x ? 1) *( x ? 1)= ? , 2 ?( x ? 1) ? (2x ? 1) ? ( x ? 1), (2x ? 1) > ( x ? 1) ?
化简得: f ? x ? = ?

?2x2 ? x, x ? 0 ? 。 2 ?? x +x, x > 0 ? ?2x2 ? x, x ? 0 ? 和 y ? m的 2 ?? x +x, x > 0 ?

如图, 作出函数 f ? x ? = ? 图象,

如果 f ? x ? ? m 有三个不同的实数解, 即直线 y ? m 与函数 f(x)的图象有三个交点,如图,

?1 1? (1)当直线 y ? m 过抛物线 y ? ? x2 +x 的顶点 ? , ? 或 y ? m=0 时,有两个交点; ?2 4?
1? ? (2)当直线 y ? m 中 ? m > ? ? ? m < 0 ? 时,有一个交点; 4? ?
(3)当直线 y ? m 中 0 < m < 时,有三个交点。 【版权归锦元数学工作室,不得转载】 1 设三个交点分别为:x1,x2,x3,且依次是从小到大的顺序排列,所以 x1 即为方程 2x2-x= 小于 4 1- 3 1- 3 1 1 1- 3 1 0 的解,解得 x1= ,此时 x2=x3= ,所以 x1·2·3= x x ××= 。 4 2 4 2 2 16 x x y ? m 与函数 f(x)有 2 个交点的最低位置是当 y=m 与 x 轴重合时,此时 x1·2·3=0。 所以当方程 f ? x ? ? m(m ? R) 有三个不等实根时,x1·2·3∈? x x 例 2. (2012 年全国课标卷文 5 分)当 0<x ? (A)(0, 2 ) 2 (B)( 2 ,1) 2

1 4

?1- 3 ?。 ? ? 16 ,0?


1 时, 4x ? loga x ,则 a 的取值范围是【 2
(D)( 2,2)

(C)(1, 2)

【答案】B。 【考点】指数函数和对数函数的性质。 【解析】设 f ? x ? =4x , g ? x ? =loga x ,作图。

1 时, 4x ? loga x , 2 1 ∴在 0<x ? 时, g ? x ? =loga x 的图象在 f ? x ? =4x 的图象上方。 2
∵当 0<x ?

根据对数函数的性质, a ? 1 。∴ g ? x ? =loga x 单调递减。 ∴由 x ?

2 1 1 时, 4x ? loga x 得 4 2 ? log a ,解得 a ? 。 2 2 2 2 1 时, 4x ? loga x ,必须 a > 。 2 2
2 ,1) 。故选 B。 2

1

∴要使 0<x ?

∴a 的取值范围是(

例 3. (2012 年陕西省理 14 分)设函数 fn ( x) ? xn ? bx ? c (1)设 n ? 2 , b ? 1,

(n ? N? , b, c ? R)

?1 ? c ? ?1,证明: f n ( x) 在区间 ? ,1? 内存在唯一的零点; ?2 ?

(2)设 n ? 2 ,若对任意 x1 , x2 ?[?1,1] ,有 | f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) |? 4 ,求 b 的取值范围; (3)在(1)的条件下,设 xn 是 f n ( x) 在 ? ,1? 内的零点,判断数列 x2 , x3 ,?, xn ?的增减性. 【答案】解: (1)证明: b ? 1, c ? ?1 , n ? 2 时, fn ( x) ? xn ? x ?1 。 ∵ f n ( ) f n (1) ? (

?1 ? ?2 ?

1 2

1 1 ?1 ? ? ) ?1 ? 0 ,∴ f n ( x) 在 ? ,1? 内存在零点。 n 2 2 ?2 ?

又∵当 x ? ? ,1? 时, f n?( x) ? nxn?1 ? 1 ? 0 ,∴ f n ( x) 在 ? ,1? 上单调递增。

?1 ? ?2 ?

?1 ? ?2 ?

∴ f n ( x) 在 ? ,1? 内存在唯一零点。 (2)当 n ? 2 时, f2 ( x) ? x2 ? bx ? c 。 对任意 x1 , x2 ?[?1,1] 都有 | f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) ? 4等价于 f 2 ( x) 在 [?1,1] 上最大值与最小 | 值之差 M ? 4 ,据此分类讨论如下:

?1 ? ?2 ?

b |? 1 ,即 | b |? 2 时, M ?| f2 (1) ? f 2 (?1) |? 2 | b |? 4 ,与题设矛盾。 2 b b b 2 (ⅱ)当 ?1 ? ? ? 0 ,即 0 ? b ? 2 时, M ? f 2 (?1) ? f 2 (? ) ? ( ? 1) ? 4 恒成立。 2 2 2 b b b 2 (ⅲ)当 0 ? ? 1 ,即 ?2 ? b ? 0 时, M ? f 2 (?1) ? f 2 (? ) ? ( ? 1) ? 4 恒成立。 2 2 2
(ⅰ)当 | 综上所述, b 的取值范围为 ?2 ? b ? 2 。

(3)设 xn 是 f n ( x) 在 ? ,1? 内的唯一零点 (n ? 2) ,

?1 ? ?2 ?

n n?1 则 fn ( xn ) ? xn ? xn ?1 , f n?1 ( xn?1 ) ? xn?1 ? xn?1 ?1 ? 0 , xn ?1 ? ?

?1 ? ,1? 。 ?2 ?

n?1 n ∴ fn ( xn ) ? 0 ? fn?1 ( xn?1 ) ? xn?1 ? xn?1 ?1 ? xn?1 ? xn?1 ?1 ? fn ( xn?1 ) 。

又由(1)知 f n ( x) 在 ? ,1? 上是递增的,∴ xn ? xn?1 (n ? 2) 。 ∴数列 x2 , x3 ,?, xn ?是递增数列。 【考点】函数与方程,导数的综合应用、函数与数列的综合。 【 解 析 】 1 ) 一 方 面 由 f n ( ) f n (1)? ( n ? (

?1 ? ?2 ?

1 2

1 2

1 ?1 ? ? 1 0 f n ( x) 在 ? ,1? 内 存 在 零 点 ; 另 一 方 面 由 当 ) ? 得 2 ?2 ?

?1 ? ?1 ? ?1 ? x ? ? ,1? 时, fn?( x) ? nxn?1 ? 1 ? 0 得 f n ( x) 在 ? ,1? 上单调递增。从而得出 f n ( x) 在 ? ,1? 内存在唯一 ?2 ? ?2 ? ?2 ?
零点。 (2)对任意 x1 , x2 ?[?1,1] 都有 | f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) |? 4 等价于 f 2 ( x) 在 [?1,1] 上最大值与最小值之差

M ? 4 ,据此分 |

b b b |? 1 、 ?1 ? ? ? 0 和 0 ? ? 1 讨论即可。 2 2 2

n?1 (3)设 xn 是 f n ( x) 在 ? ,1? 内的唯一零点 (n ? 2) , 则可得 fn ( xn ) ? 0 ? fn?1 ( xn?1 ) ? xn?1 ? xn?1 ?1

?1 ? ?2 ?

?1 ? n ? xn?1 ? xn?1 ?1 ? fn ( xn?1 ) 。又由(1)知 f n ( x) 在 ? ,1? 上是递增的,∴ xn ? xn?1 (n ? 2) 。从而得到数列 ?2 ?

x2 , x3 ,?, xn ?是递增数列。
另解: 设 xn 是 f n ( x) 在 ? ,1? 内的唯一零点, ∵ f n?1 ( xn ) f n?1 (1) ? ( xn
n?1 n n ? xn ?1)(1n?1 ?1 ?1) ? xn ?1 ? xn ?1 ? xn ? xn ?1 ? 0

?1 ? ?2 ?

则 f n ?1 ( x) 的零点 xn ?1 在 ( xn ,1) 内,故 xn ? xn?1 (n ? 2) 。 所以,数列 x2 , x3 ,?, xn ?是递增数列。

例 4. (2012 年天津市文 14 分)已知函数 f ( x) ? (I)求函数 f (x) 的单调区间;

1 3 1? a 2 x ? x ? ax ? a , x ? R 其中 a > 0 . 3 2

(II)若函数 f (x) 在区间(-2,0)内恰有两个零点,求 a 的取值范围; (III) a =1 时, 当 设函数 f (x) 在区间 [t , t ? 3] 上的最大值为 M t ) 最小值为 m t ) g ? t ? =M ? t ? ? m ? t ? , ( , ( ,记 求函数 g ? t ? 在区间 [ ?3,?1] 上的最小值。 【答案】解: (I)求导函数可得 f' ( x) ? x2 ? ?1 ? a ? x ? a= ? x+1?? x ? a ? 。 令 f' ( x) ? 0 ,可得 x1 = ? 1,x2 =a > 0 。 当 x 变化时, f' ( x ) 和 f ( x) 的变化情况如下表:

x
f' ( x ) f ( x)

? ??,?1?
+ ↗

?1
0 极大值

? ?1,a ?
- ↘

a
0 极小值

? a,+??
+ ↗

∴函数的递增区间为 ? ??,? 1? , ? a,+?? ,单调递减区间为 ? ?1,a ? 。 (II)由(I)知函数在区间(-2,-1)内单调递增,在(-1,0)内单调递减, ∴函数在(-2,0)内恰有两个零点。

?f ? ∴? f ? ?f

3 1? a 2 ?1 ? 3 ? ?2 ? ? 2 ? ?2 ? ? a ? ?2 ? ? a < 0 ? ?2 ? < 0 ? 1? a 1 ?1 ? ?1?2 ? a ? ?1? ? a > 0 ,解得 0 < a < 。 ? ?1? > 0 ,即 ? ? ?1?3 ? 2 3 ?3 ?0? < 0 ??a < 0 ? ?

∴ a 的取值范围为(0, )。

1 3

1 (III) a =1 时, f ( x) ? x3 ? x ? 1 ,由(I)知,函数在(-3,-1)上单调递增,在(-1,1)上 3
单调递减,在(1,2)上单调递增。 ①当 t ???3, 2? ]时, t +3 ? ?0, ? ,-1∈[ t , t +3], f ( x) 在[ t ,-1]上单调递增,在 ? 1 [-1, t +3]上单调递减。 ∴函数在[ t , t +3]上的最大值为 M( t )= f ? ?1? = ? ,而最小值 m( t )为 f (t ) 与 f (t +3) 中 的较小者。

1 3

由 f (t +3) ? f (t )=3? t +1??t +2? 知,当 t ∈[-3,-2]时, f (t ) ? f (t +3) ,故 m( t )=f( t ) , 所以 g ? t ? =f ? ?1? ? f ? t ? 。 而 f (t ) 在[-3,-2]上单调递增,因此 f (t ) ? f (?2)= ?

5 。 3

1 ? 5? 4 ∴ g ? t ? 在[-3,-2]上的最小值为 g ? t ? = ? ? ? ? ? = 。 3 ? 3? 3
②当 t ∈[-2,-1]时, t +3∈[1,2],-1,1∈[ t , t +3]。 下面比较 f (?1),f (1),f (t ),f (t +3) 的大小: 由 f ( x) 在[-2,-1],[1,2]上单调递增,有 f (?2) ? f (t ) ? f (?1),f (1) ? f (t +3) ? f (2) 。 ∵ f (1)=f (?2)= ? ,f (?1)=f (2)= ? ∴M( t )= f (?1)= ?

5 3

1 , 3

1 5 ,m( t )= f (?2)= ? 3 3

1 ? 5? 4 ∴ g ? t ? 在[-2,-1]上的最小值为 g ? t ? = ? ? ? ? ? = 。 3 ? 3? 3
综上,函数 g ? t ? 在区间[-3,-1]上的最小值为

4 。 3

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值和单调性。 【分析】 (I)求导函数,令 f' ( x ) >0,可得函数的递增区间;令 f' ( x ) <0,可得单调递减区间。 (II)由(I)知函数在区间(-2,-1)内单调递增,在(-1,0)内单调递减,从而函数在 (-2,0)内恰有两个零点,由此可求 a 的取值范围。

1 (III) a =1 时, f ( x) ? x3 ? x ? 1 ,由(I)知,函数在(-3,-1)上单调递增,在(-1,1) 3
上单调递减,在(1,2)上单调递增,再进行分类讨论: ①当 t ∈[-3,-2]时,t +3∈[0,1],-1∈[ t ,t +3], f ( x) 在[ t ,-1]上单调递增,在[-1,t +3] 上单调递减, 因此函数在[ t ,t +3]上的最大值为 M t ) f ? ?1? = ? ( = 中的较小者,从而可得 g ? t ? 在[-3,-2]上的最小值; ②当 t ∈[-2,-1]时, t +3∈[1,2],-1,1∈[ t , t +3],比较 f (?1),f (1),f (t ),f (t +3) 的大小, 从而可确定函数 g ? t ? 在区间[-3,-1]上的最小值。

1 , 而最小值 m t ) f (t ) 与 f (t +3) ( 为 3

六、应用三角函数求最值: 典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】

例 1. (2012 年天津市文 5 分)将函数 f ? x ? ? sin? (其中 ? >0)的图像向右平移 像经过点(

3? ,0) ,则 ? 的最小值是【 】 4 1 5 (A) (B)1 (C) 3 3

? 个单位长度,所得图 4

(D)2

【答案】D。

( ) 【考点】函数 y ? Asin ?x ? ? 的图象变换。
【分析】将函数 f ? x ? 的图像向右平移

? ? ? ?? )。 得到函数 g ( x) ? f ( x ? ) ? sin ? ( x ? ) ? sin(?x ? 4 4 4 4 3? 3? ? 3? ? ?? ,0) ,∴ sin ? ( ? ) ? 0 ,即 ?( ? ) ? ∵此时函数过点 ( ? k? 。 4 4 4 4 4 2
∴ ? ? 2k , k ? Z 。 又∵ ? >0,∴ ? 的最小值为 2。故选 D。

??x ? ? ? ? (0 ? x ? 9) 的最大值与最小值之和为【 例 2.(2012 年山东省文 5 分)函数 y ? 2sin ? ? 6 3?



A 2? 3 【答案】A。

B0

C -1

D ?1 ? 3

【考点】三角函数的值域。 【解析】∵ 0 ? x ? 9 ? 0 ?

3? ? ? x ? 7? , ?? ? ? ? 6 2 3 6 3 6 ?x ? ? ??x ? ? ? ?? ? ? 最小,为 2sin ? ? ? = ? 3 ∴当 ? = ? 时, y ? 2sin ? 6 3? 6 3 3 ? ? 3? ?x ? ? ? ??x ? ? ? ? 最大,为 2sin =2 。 当 ? = 时, y ? 2sin ? 6 3 2 2 ? 6 3? ??x ? ? ? ? (0 ? x ? 9) 的最大值与最小值之和为 2 ? 3 。故选 A。 ∴函数 y ? 2sin ? ? 6 3? ?

?x

例 3. (2012 年上海市文 4 分)函数 f ( x) ? 【答案】 ? 。

sin x 2 的最小正周期是 ?1 cos x



【考点】行列式的基本运算,三角函数的值域,二倍角公式。 【解析】∵ f ( x) ?

sin x 2 1 ? sin x cos x ? 2 ? sin 2 x ? 2 , ?1 cos x 2 sin x 2 2? ?? 。 的最小正周期是 2 ?1 cos x

∴函数 f ( x) ?

例 4. (2012 年北京市文 13 分)已知函数 f ? x ? = (1)求 f ? x ? 的定义域及最小正周期; (2)求 f ? x ? 的单调递增区间。 【答案】解: (1)由 sin x=0 解得 x=k? ? k ? Z ? ,

? sin x ? cos x ? sin 2x
sin x



∴ f ? x ? 的定义域为 ?x x ? k?,k ? Z? 。 又∵ f ? x ? =

? sin x ? cos x ? sin 2x = ? sin x ? cos x ? 2sin x cos x =2
sin x sin x

? sin x ? cos x ? cos x
k

= sin 2x ?

?? ? 1 + c o s x =? 2 ? i n , x ? ?, x ?xZ ? k s ? ?2 4? ?
2? =? 。 2

∴ f ? x ? 的最小正周期为

?? ? (2)∵ f ? x ? = 2 sin ? 2x ? ?,x x ? k?,k ? Z ? , ? 4? ?
∴根据正弦函数的增减性,得 ?

?
2

? 2k? ? 2x ?

?
4

< 2k? 或 2k? < 2x ?

?
4

?

?
2

? 2k? ,

k ?Z 。
解得 ?

?
8

? k? ? x <

?
8

? k? 或

?
8

? k? < x ?

3? ? k? , k ? Z 。 8

? 3? ? ? ? ?? ? ∴ f ? x ? 的单调递增区间为 ? ? ? k?, +k? ? ? ? ? k?, +k? ?,k ? Z 。 8 8 ? 8 ? ?8 ?
【考点】三角函数的定义域、最小正周期和单调增减性。 【解析】(1)根据分式分母不为 0 的条件,结合正弦函数的零点得出 f ? x ? 的定义域。将 f ? x ? 变形,即可 由求最小正周期的公式求得。 (2)根据正弦函数的增减性,结合 f ? x ? 的定义域,求出 f ? x ? 的单调递增区间。 例 5.(2012 年四川省文 12 分)已知函数 f ( x) ? cos (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若 f (? ) ?
2

x x x 1 ? sin cos ? 。 2 2 2 2

3 2 ,求 sin 2? 的值。 10
2

【答案】解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? cos

x x x 1 1 2 ? 1 1 ? sin cos ? ? ( ? cosx ? sinx ? ? cos(x ? ), 1 ) 2 4 2 2 2 2 2 2 2

∴ f ( x ) 的最小正周期为 2 ? ,值域为 ? ?

? ?

2 ,2 ? , ?。 2 2 ? ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f (? ) = ∴ sin 2? ? ?cos (

2 ? 3 2 ?? 3 ? cos(? ? ) ? , ∴cos ? ? ? ? ? 。 2 4 10 4? 5 ?

) 4 ? 18 7 2 ? 1 ? 2cos(? ? ) 1 ? ? ? 。 4 25 25 2

?

? 2?) ?cos (? ? ? 2

?

【考点】三角函数的性质、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式。

) cs 【解析】 (Ⅰ) f ( x ? o 将
期和值域。 (Ⅱ)由 f (? ) = 公式可求得 sin2? 的值。

2

x x sn c s i? o 2 2

x 1 2 ? ? 化为 f ( x) ? cos(x ? ) 即可求得 f ( x) 的最小正周 2 4 2 2

2 ? 3 2 ?? 3 ? cos(? ? ) ? 可求得 cos ? ? ? ? ? ,由余弦函数的二倍角公式与诱导 2 4 10 4? 5 ?

例 6. (2012 年湖北省文 12 分)设函数 f(x)=sin2ωx+2 3sinωx· cosωx-cos2ωx+λ(x∈R)的图象关于直线 x 1 =π 对称,其中 ω,λ 为常数,且 ω∈?2,1?. ? ? (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期; π (Ⅱ)若 y=f(x)的图象经过点?4,0?,求函数 f(x)的值域 ? ? 【答案】解: (Ⅰ)∵f(x)=sin2ωx-cos2ωx+2 3sinωx· cosωx+λ π =-cos2ωx+ 3sin2ωx+λ=2sin?2ωx-6?+λ., ? ? 且直线 x=π 是 y=f(x)图象的一条对称轴, π ∴sin?2ωx-6?=± ? ? 1。 π π k 1 ∴2ωπ- =kπ+ (k∈R),即 ω= + (k∈R)。 6 2 2 3 1 5 又∵ω∈?2,1?,k∈R,∴k=1。∴ω= 。 ? ? 6 6π ∴f(x)的最小正周期是 。 5 π π 5 π π π (Ⅱ)由 y=f(x)的图象过点?4,0?,得 f?4?=0,即 λ=-2sin?6× -6?=-2sin =- 2。 ? ? ? ? ? 2 ? 4 5 π ∴f(x)=2sin?3x-6?- 2,函数 f(x)的值域为[-2- 2,2- 2] ? ?

【考点】三角函数的恒等变化,正弦函数的定义域和值域。 【解析】 (Ⅰ)先利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数 f(x)化为 y=Asin(ωx+φ)+k 型函数,再利用 函数的对称性和 ω 的范围,计算 ω 的值,最后利用周期计算公式得函数的最小正周期。 (Ⅱ)先将已知点的坐标代入函数解析式,求得 λ 的值,再利用正弦函数的图象和性质即可求得 函数 f(x)的值域。 例 7. (2012 年重庆市文 12 分) 设函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )(其中 A ? 0, ? ? 0, ?? ? ? ? ? ) x ? 在

?
6

? 处取得最大值 2,其图象与轴的相邻两个交点的距离为 。 2
(I)求 f ( x ) 的解析式(5 分) ; (II)求函数 g ( x ) ?

6 cos 4 x ? sin 2 x ? 1 f (x ? ) 6

?

的值域(7 分) 。

【答案】解: (Ⅰ)∵函数 f ( x ) 图象与轴的相邻两个交点的距离为 ∴ f ( x ) 的周期为 T ? ? ,即 ∵ f ( x) 在 x ? ∴ 2sin(2 ? ∴

2?

? , 2

?
6

?

? ? ,解得 ? ? 2 。

处取得最大值 2,∴ A =2。

?

?
3

? ? ) ? 2 ,即 sin( ? ? ) ? 1 。 6 3

?

?? ?

?

2

+2k?,k ? Z 。

又∵ ?? ? ? ? ? ,∴ ? ?

?
6



∴ f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? 2sin(2x ? (Ⅱ)∵函数 g ( x) ?

?
6

)。

6cos 4 x ? sin 2 x ?1 6cos 4 x ?sin 2 x ?1 6cos 4 x+ cos 2 x ?2 = = ? ? 2cos 2 x f (x ? ) 2sin(2 x ? ) 6 2

? 2cos =

x ? 1?? 3cos 2 x+2 ? 3 2 1? ? = cos x+1 ? cos 2 x ? ? , 2 2 2? 2 ? 2cos x ? 1? ?
2
2

2 又∵ cos x ?[0,1] ,且 cos x ?

1 , 2

∴ g ( x) 的值域为 [1, ) ? ( , ] 。 【考点】三角函数中的恒等变换应用,由 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 的部分图象确定其解析式。

7 4

7 5 4 2

【分析】 (Ⅰ)通过函数的周期求出 ω,求出 A ,利用函数经过的特殊点求出 ? ,推出 f ( x ) 的解析式。 (Ⅱ)利用(Ⅰ)推出函数 g ( x ) ?

6 cos 4 x ? sin 2 x ? 1 f (x ? ) 6

?

的表达式,应用同角函数关系式、倍角函

数关系式得到 g ( x)=

1 3 1? ? cos 2 x+1 ? cos 2 x ? ? 。通过 cos2 x ?[0,1] ,且 cos 2 x ? ,求出 g ( x) 的值域。 2 2 2? ?

例 8. (2012 年全国课标卷理 5 分)已知 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(? x ? 取值范围是【 】

?

) 在 ( , ? ) 上单调递减。则 ? 的 2 4

?

1 5 ( A) [ , ] 2 4
【答案】 A 。 【考点】三角函数的性质。

1 3 ( B) [ , ] 2 4

1 (C ) (0, ] 2

( D) (0, 2]

【解析】根据三角函数的性质利用排它法逐项判断:

例 9. (2012 年湖南省理 5 分)函数 f ? x ? ? sinx ? cos( x ? A. ? ?2, 2? 【答案】B。 【考点】三角恒等变换。 B. ? ? 3, ?

5? 9? , ] ,不合题意,∴排除 ( D) 。 4 4 4 ? 3? 5? , ] ,合题意,∴排除 ( B)(C ) 。故选 A 。 ∵ ? ? 1 时, (? x ? ) ? [ 4 4 4 ?
∵ ? ? 2 时, (? x ?

?

) ?[

6

) 的值域为【
? ?



3? ?

C. ? ?1, 1?

D. ? ?

3 3? , ? 2 2 ?

【解析】利用三角恒等变换把 f ( x ) 化成 A sin(? x ? ? ) 的形式,利用 sin(? x ? ? ) ???1,1? ,求得 f ( x ) 的 值域:

? 3 ? ? 3 1 3 3 1 f ? x ? ? sinx ? cos( x ? ) ? sinx ? cosx ? sinx ? sinx ? cosx ? 3 ? sinx ? cosx ? ? 2 ? 6 2 2 2 2 2 ? ?

? ? ?? ? ? ? ? 3 ? cos sinx ? sin cosx ? ? 3sin ? x ? ? 6 6 6? ? ? ?
∵ sin( x ?

?

?? ? ) ? ? ?1,1? ,∴ 3sin ? x ? ? ? ? ? 3, 6? ? 6 ?

? 3? 。

∴函数 f ? x ? ? sinx ? cos( x ? 例 10. (2012 年四川省理 12 分)

?
6

) 的值域为 ? ? 3, ?
2

3 ? 。故选 B。 ?

函数 f ( x) ? 6 cos

?x
2

?

3 cos x ? 3( ? 0) ? ? 在一个周期内的图象

如图所示, A 为图象的最高点, B 、 C 为图象与 x 轴的交点,且 ?ABC 为正三角形。 (Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x ) 的值域; (Ⅱ)若 f ( x0 ) ?

10 2 8 3 ,且 x0 ? ( ? , ) ,求 f ( x0 ? 1) 的值。 3 3 5

【答案】解: (Ⅰ)由已知可得:

f ( x) ? 6 cos 2

?x

? 3 cos ? x ? 3 ? 3cos? x ? 3 sin ? x ? 2 3 sin(? x ? ) 2 3

?

又∵正 ?ABC 的高为 2 3 ,∴BC=4。 ∴函数 f ( x) 的同期 T ? 4 ? 2 ? 8 ,即 ∴函数 f ( x) 的值域为 [?2 3,2 3] 。 (Ⅱ)∵ f ( x0 ) ? 由 x0 ? ( ? ∴ cos(

2?

?

? 8 ,解得 ? ?

?
4



?x ? 8 3 8 3 ?x ? 4 ,由(Ⅰ)有 f ( x0 ) ? 2 3sin( 0 ? ) ? ,即 sin( 0 ? ) ? 。 5 4 3 5 4 3 5

10 2 2 , ) 得 x0 ? ? 10,),得 (? x0 ? ? ) ? (? ? , ? ) 。 ( 3 3 3 3 4 3 2 2
?

? x0
4

?
3

4 3 ) ? 1 ? ( )2 ? 5 5

∴ f ( x0 ? 1) ? 2 3sin (

?x0
4

?

?
4

?

?
3

) ? 2 3sin[(

?x0
4

?

?
3

)?

?
4

]

? 2 3[sin(

? x0

?x ? ? ? ? 4 2 3 2 7 6 ? )cos ? cos( 0 ? )sin ? 2 3( ? ? ? )? 。 4 3 4 4 3 4 5 2 5 2 5

【考点】三角函数的图像与性质,同角三角函数的关系、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式。 【解析】 (Ⅰ)将 f ( x) )化简为 f ( x) ? 2 3 sin(? x ? 函数 f ( x) 的值域。 (Ⅱ)由 x0 ? ( ?

?
3

) ,利用正弦函数的周期公式与性质可求 ? 的值及

10 2 8 3 ?x ? 4 , ) ,知 (? x0 ? ? ) ? (? ? , ? ) ,由 f ( x0 ) ? ,可求得即 sin( 0 ? ) ? , 5 3 3 4 3 5 4 3 2 2

利用两角和的正弦公式即可求得 f ( x0 ? 1) 。 例 11. (2012 年天津市理 13 分)已知函数 f (x)= sin (2 x + (Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f (x) 在区间 [ ?

?
3

)+sin(2 x ?

?
3

)+2cos 2 x ? 1, x ? R .

? ?

, ] 上的最大值和最小值. 4 4

【答案】解:(Ⅰ) ∵ f (x)=sin2x ? cos

?

3

? cos2x ? sin

?

3

? sin2x ? cos

?
3

? cos2x ? sin

?
3

? cos2x

? sin2x ? cos2x ? 2 sin( x ? ) 2 , 4
∴函数 f (x) 的最小正周期 T ?

?

2? ?? 。 2

? ? ?? ?? ? ? (Ⅱ)∵函数 f (x) 在区间 ? ? , ? 上是增函数,在区间 ? , ? 上是减函数, ? 4 8? ?8 4?
又 f (?

?
4

)= ? 1,f (

?
8

)= 2,f (

?
4

)=1 ,

∴函数 f (x) 在 [ ?

? ?

, ] 的最大值为 2 ,最小值为-1。 4 4

【考点】三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,三角函数的最值。 【分析】(Ⅰ)利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将 f (x)= sin (2 x +

? ? )+sin(2 x ? )+2cos 2 x ? 1 3 3

2 化为 f (x) ? 2 sin( x ? ) ,即可求得函数 f (x) 的最小正周期。 4
(Ⅱ)分析得到函数 f (x) 在区间 [ ? 值和最小值。 例 12. (2012 年安徽省理 12 分) 设函数 f ( x) ? (I)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (II)设函数 g ( x) 对任意 x ? R ,有 g ( x ? 求函数 g ( x) 在 [?? , 0] 上的解析式。 【答案】解: (I)∵ f ( x) ?

?

? ?
4 4 ,

] 上的增减性,即可是求得 f (x) 在区间 [ ?

? ?

, ] 的最大 4 4

2 ? cos(2 x ? ) ? sin 2 x 2 4

?

? 1 ) ? g ( x ) ,且当 x ? [0, ] 时, g ( x ) ? ? f ( x ) ; 2 2 2

2 ? 1 1 1 cos(2 x ? ) ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) 2 4 2 2 2

?

2? ?? 。 2 ? 1 1 (II)∵当 x ? [0, ] 时, g ( x) ? ? f ( x) ? sin 2 x 2 2 2
∴函数 f ( x ) 的最小正周期 T ? ∴ 当 x ? [?

1 1 ? sin 2 x , 2 2

, 0] 时, ( x ? ) ? [0, ] , 2 2 2 ? 1 ? 1 g ( x) ? g ( x ? ) ? sin 2( x ? ) ? ? sin 2 x 2 2 2 2 ) 时, ( x ? ? ) ? [0, ) , 2 2 1 1 g ( x) ? g ( x ? ? ) ? sin 2( x ? ? ) ? sin 2 x 。 2 2

?

?

?

当 x ? [?? , ?

?

?

? ? 1 ?? 2 sin 2 x(? 2 ? x ? 0) ? ∴函数 g ( x) 在 [?? , 0] 上的解析式为 g ( x) ? ? 。 ? 1 sin 2 x(?? ? x ? ? ) ? 2 ? 2
【考点】三角函数公式和性质。 , 【解析】 (I)将 f ( x) ? (II)由 g ( x ) ?

1 1 2 ? cos(2 x ? ) ? sin 2 x 化为 ? sin 2 x ,即可求出函数 f ( x) 的最小正周期。 2 2 2 4

1 ? ? f ( x ) 得出 g ( x) 关于 x 的函数关系式。由 g ( x ? ) ? g ( x ) 分区间讨论即可。 2 2 ? ? 例 13. (2012 年湖北省理 12 分) 已知向量 a = ? cos ? x ? sin ? x,sin ? x ? ,b= ? cos ? x ? sin ? x,2 3 cos ? x ,

?

?

设函数 f ? x ? =a? +? ? x ? R ? 的图像关于直线 x =π 对称,其中 ?,? 为常数,且 ? ? ? b (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最小正周期; 【版权归锦元数学工作室,不得转载】 (2)若 y=f ? x ? 的图像经过点 ?

??

?1 ? ,1? ?2 ?

?? ? ? 3? ? ,0 ? ,求函数 f ? x ? 在区间 ?0, ? 上的取值范围。 ?4 ? ? 5 ?

b 【答案】解: f ? x ? =a ? +? = ?sin ? x ? cos ? x ??sin ? x+ cos ? x ?+2 3 sin ? xcos ? x+ ?

? ?

?? ? = sin 2 ? x ? cos2 ? x+2 3 sin ? x cos ? x+? = 3 sin 2? x ? cos2?x+? =2sin ? 2? x ? ? +? 。 6? ?
(Ⅰ) ∵函数 f ? x ? =a? +? ? x ? R ? 的图像关于直线 x =π 对称, 2? ? ? ? ∴ b ∴?=

??

?
6

=k? +

?
2

,k ? Z 。

k 1 + ,k ? z 。 2 3

又∵ ? ? ?

5 ?1 ? ,1? ,∴ ? = 。 6 ?2 ?

∴ f ? x ? =2sin ?

?? 2? 6? ?5 。 x ? ? +? 的最小正周期为 = 5 6? 5 ?3 3
?? ? ?5 ? ? ? ,0 ? ,则有 2sin ? ? ? ? +? =0 ,∴ ? = ? 2 。 ?4 ? ?3 4 6 ?

(II)若 y=f ? x ? 的图像经过点 ? ∴ f ? x ? =2sin ?

?? ?5 x? ?? 2 。 6? ?3

∵ x ? ?0,

5 ? ? ? 5? ? ?? ? 3? ? ?5 ? ,∴ 3 x ? 6 ? ? ? 6 , 6 ? 。∴ 2sin ? 3 x ? 6 ? ? ? ?1,2? 。 ? 5 ? ? ? ? ? ? 3? ? 上的取值范围为 ? ?1 ? 2, 2 ? 2 ? 。 ? ? ? 5 ? ?

∴函数 f ? x ? 在区间 ?0,

【考点】数量积的坐标表达式,三角函数的恒等变化,正弦函数的定义域和值域。 【解析】 (Ⅰ)先利用向量数量积运算性质,求函数 f ? x ? 的解析式,再利用二倍角公式和两角差的余弦公 式将函数 f ? x ? 化为 2sin ? 2? x ? 的最小正周期。 (II)先将已知点的坐标代入函数解析式,求得 λ 的值,再求内层函数的值域,最后将内层函数看 做整体,利用正弦函数的图象和性质即可求得函数 f ? x ? 的值域。 例 14. (2012 年重庆市理 13 分)设 f ? x ? ? 4cos(? x ? )sin ? x ? cos(2? x ? x) ,其中 ? ? 0.

? ?

??

? +? ,最后利用函数的对称性和 ω 的范围,计算 ω 的值,从而得函数 6?

?

6

(Ⅰ)求函数 y ? f (x) 的值域; 分) (8 (Ⅱ)若 y ? f (x) 在区间 ??

? 3x ? ? 上为增函数,求 ? 的最大值.(5 分) , ? 2 2? ?
?
? sin ? x sin )sin ? x ? cos2? x 6 6

【答案】解: (Ⅰ) f ( x) ? 4(cos ? x cos

?

3 1 cos ? x ? sin ? x)sin ? x ? cos 2? x 2 2 ? 2 3 cos ? x sin ? x ? 2sin 2 ? x ? 1 ? 2sin 2 ? x ? 3 sin 2? x ? 1 ? 4(

∵ ?1 ? sin 2? x ? 1 ,∴ f ( x) ? 3sin 2? x ? 1?[1 ? 3,1 ? 3] 。 即函数 y ? f (x) 的值域为 [1 ? 3,1 ? 3] 。 (Ⅱ)由 ?

?
2

2 ? k? ? k? ∴ f ( x ) 在 [? ? , ? ] 上为增函数。 4? ? 4? ? 3? ?
∵ x ?[ ?

? 2k? ? 2?x ?

?

? 2k? (k ? Z ) 得 ?

? k? ? k? ? ?x? ? (k ? Z ) 。 4? ? 4? ?

, ] 时, f ( x) 为增函数, 2 2 3? ? ? k? ? k? ∴ [? , ] ? [? ? , ? ] 对某个整数 k 成立,易知必有 k =0。 2 2 4? ? 4? ? 3? ? ? ? ∴ [? , ] ? [? , ]。 2 2 4? 4? 3? ? ? ?? 4? ? ? 2 1 ? ∴? ,解得 ? ? 。 6 ? ? ?? ? 4? 2 ? 1 ∴ ? 的最大值为 。 6
【考点】二倍角的余弦和正弦,两角和与差的正弦函数,正弦函数的定义域和值域,正弦函数的单调性。 【分析】 (I)由题意,可由三角函数的恒等变换公式对函数的解析式进行化简得到 f ( x) ? 3sin 2? x ? 1 , 由此易求得函数的值域。 (II) f ( x) 在区间 [?

3? ? , ] 上为增函数,此区间必为函数某一个单调区间的子集,由此可根据复 2 2

合三角函数的单调性求出用参数表示的三角函数的单调递增区间,由集合的包含关系比较两个区间的端点 即可得到参数 ? 所满足的不等式,由此不等式解出它的取值范围,即可得到它的最大值。

七、应用几何、向量知识求最值: 典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】
例 1. (2012 年重庆市理 5 分)设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2 和 a ,且长为 a 的棱与长 为 2 的棱异面,则 a 的取值范围是【 (A) (0, 2) 【答案】A。 【考点】异面直线的判定,棱锥的结构特征,勾股定理和余弦定理的应用。 【分析】 如图所示, 设四面体 ABCD 的棱 AC 长为 a , BD 中点 P, 取 连接 AP, CP , 所以 AP ? BD, CP ? BD , (B) (0, 3) 】 (C) (1, 2) (D) (1, 3)

在 Rt?ABP 中,由勾股定理得 AP ? CP = ∴在 ?ACP 中,

2 。 2

AC2 ? a 2 ? AP2 ? CP 2 ? 2 AP ? CP cos?APC ? 1 ? cos ?APC 。
∵ ?APC ? (0, ? ) ,∴ cos ?APC ? (?1,1) 。∴ a2 ? (0,2) ∴ a ? (0, 2) 。故选 A。 例 2. (2012 年上海市理 4 分) 在平行四边形 ABCD 中,?A ?

?
3

, AB 、 AD 的长分别为 2、 若 M 、 边 1,

N 分别是边 BC 、 CD 上的点,且满足
【答案】 ? 2, ? 。 5 【考点】平面向量的基本运算。

| BM | | BC |

?

| CN | | CD |

,则 AM ? AN 的取值范围是



.

【解析】如图所示,以 A 为原点,向量 AB 所在直线为 x 轴,过 A 垂直 于 AB 的直线为 y 轴建立平面直角坐标系。 ∵平行四边形 ABCD 中, ?A ? ∴ A? 0,0?,B ? 2,0 ?,C ? ,

?
3

, AB ? 2, AD ? 1,

?5 3? ?1 3? 。 ? 2 2 ?,D ? 2 , 2 ? ? ? ? ? ? ? ?

设 N ? x,

? ? ?

??? ? ??? 5 ? ??? ? 3 ?? 1 5? , ? ? ? x ? ? ,则 BC ? 1 CN ? - x,CD ? 2 。 2 ?? 2 2? 2 ?

∴由

| BM | | BC |

?

| CN | | CD |

得, BM ? -

???? ?

5 1 x。 4 2

? 21 1 3 ?5 1 ? ?5 1 ? ? 5 3 ? x。 ∴ M 的横坐标为 2 ? ? - x ? cos = ? x , M 的纵坐标为 ? - x ? sin = 4 2 ? 3 8 4 3 8 4 ? ?4 2 ?
∴ AN ? ? x,

???? ? ? ?

? 3 ? ???? ? 21 1 5 3 3 ? ? x? ?,AM ? ? ? x, ? ?8 4 2 ? 8 4 ? ? ?

2 ???? ???? ? 3?5 3 3 ? 1 2 9 15 1? 9? ? 21 1 ? ? x ? ? ? x ? x ? = ? ? x ? ? +6 。 ∴ AN ? AM ? x ? ? x ? ? ? 4 ? 4 4 16 4? 2? ? 8 4 ? 2 ? 8 ? ?

1? 9? 9 ∵函数 y = ? ? x ? ? +6 在 x= 有最大值, 4? 2? 2

2

1 5 ? x ? 时,函数单调增加。 2 2 ???? ???? ? 9 5 ∴ AN ? AM 在 x= 时有最小值 2;在 x= 时有最大值 5。 2 2 ???? ???? ? ∴ AN ? AM 的取值范围是 ? 2, ? 。版权归锦元数学工作室,不得转载】 5
∴在
c 例 3. (2012 年上海市理 4 分)如图, AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱, BC ? 2 ,若 AD ? 2 ,

且 AB +BD ? AC +CD ? 2a ,其中 a 、 c 为常数,则四面体 ABCD 的体积的最大值是



.

【答案】

2 c a2 ? c2 ?1 。 3

【考点】四面体中线面的关系,椭圆的性质。 【解析】作 BE ? AD 于 E ,连接 CE ,则 ∵ BC ? AD , BE ? BC ? B ,∴ AD ⊥平面 BEC 。 又∵ CE ? 平面 BEC ,∴ CE ? AD 。 由题设, AB +BD ? AC +CD ? 2a ,∴ B 与 C 都在以 AD 为焦距的椭球上,且 BE 、 CE 都垂直于 焦距所在直线 AD 。∴ BE = CE 。 取 BC 中点 F ,连接 EF , ∵ BC ? 2 ,∴ EF ⊥ BC , BF ? 1 , EF ? BE 2 ? 1 。 ∴ S?BEF ? 1 BC ? EF ? BE 2 ? 1 。
2

∴四面体 ABCD 的体积 V ? S?BEC ? AD ?

1 3

2c BE 2 ? 1 。 3

显然,当 E 在 AD 中点,即 B 是短轴端点时, BE 有最大值为 b ? a2 ? c2 。 ∴ Vmax ?

2c 2 2 a ? c ?1 。 3

??? ??? ? ? 例 4.(2012 年北京市理 5 分)已知正方形 ABCD 的边长为 l,点 E 是 AB 边上的动点。则 DE ? CB 的值为


??? ??? ? ? ; DE ? DC 的最大值为



【答案】1;1。

【考点】平面向量的运算法则。 【解析】如图,根据平面向量的运算法则,得

??? ??? ??? ???? ??? ???? ? ? ? ? DE ? CB=DE ? DA ? DE ? DA cos ? 。

??? ? ???? ??? ??? ???? 2 ? ? ∵ DE cos? = DA , 正方形 ABCD 的边长为 l, DE ? CB= DA =1 。 ∴
??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ? 又∵ DE ? DC= DE ? DC cos ? = DE cos ? ,

??? ? ??? ? 而 DE cos ? 就是 DE 在 DC 上的射影,要使其最大即要点 E 与点 B
重合,此时 ? =450 。

??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ∴ DE ? DC 的最大值为 DE cos ? = DC =1 。版权归锦元数学工作室,不得转载】
例 5. (2012 年上海市文 4 分) 在矩形 ABCD 中, AB 、AD 的长分别为 2、 若 M 、N 分别是边 BC 、 边 1,

???? ? ??? ? BM CN ???? ???? ? CD 上的点,且满足 ??? ? ??? ,则 AM ? AN 的取值范围是 ? ? BC CD
【答案】 ?1,4? 。 【考点】平面向量的基本运算。



【解析】如图所示,以 A 为原点,向量 AB 所在直线为 x 轴,过 AD 所在 直线为 y 轴建立平面直角坐标系。 ∵在矩形 ABCD 中, AB ? 2, AD ? 1, ∴ A? 0,0?,B ? 2,0?,C ? 2,1?,D ? 0,1? 。

??? ? ???? ??? ? , 设 N ? x,1?? 0 ? x ? 2? ,则 BC ? 1 CN ? 2- x,CD ? 2 。
∴由

| BM | | BC |

?

| CN | | CD |

得, BM ? 1-

???? ?

1 x。 2

???? ???? ? ? 1 ? 1 ? ? ∴ M 的坐标为 ? 2, 1- x ? 。∴ AN ? ? x, 1?,AM ? ? 2, 1 ? x ? 。 2 ? 2 ? ? ?
∴ AN ? AM ? 2 x ? 1 ? ∵ 0 ? x ? 2 ,∴ 1 ?

???? ???? ?

1 3 x ? x ?1 。 2 2

3 x ?1 ? 4 。 2

???? ???? ? ∴ AN ? AM 的取值范围是 ?1,4? 。

例 6. 2012 年江苏省 5 分) ( 在平面直角坐标系 xOy 中, C 的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 , 圆 若直线 y ? kx ? 2 上 至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是 ▲ . 【答案】

4 。 3

【考点】圆与圆的位置关系,点到直线的距离。 【解析】∵圆 C 的方程可化为: ? x ? 4? ? y2 ? 1 ,∴圆 C 的圆心为 (4, 0) ,半径为 1。
2

∵由题意,直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点 A( x0 , kx0 ? 2) ,以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有 公共点; ∴存在 x0 ? R ,使得 AC ? 1 ? 1 成立,即 ACmin ? 2 。 ∵ ACmin 即为点 C 到直线 y ? kx ? 2 的距离 ∴ k 的最大值是

4k ? 2 k ?1
2

,∴

4k ? 2 k ?1
2

? 2 ,解得 0 ? k ?

4 。 3

4 。 3

例 7.(2012 年安徽省文 5 分)若直线 x ? y ? 1 ? 0 与圆 ( x ? a)2 ? y 2 ? 2 有公共点,则实数 a 取值范围是 【 】

( A) [? 3 ? 1 ] ,
【答案】 C 。

( B ) [?1,3]

(C ) [?3,1]

( D) (??, ?3] ? [1, ??)

【考点】圆与直线的位置关系,点到直线的距离公式,解绝对值不等式。 【解析】设圆 ( x ? a) ? y ? 2 的圆心 O (a, 0) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 d ,
2 2

则根据圆与直线的位置关系,得 d ? r ? 2 。 ∴由点到直线的距离公式,得

a ?1 2

? 2 ,解得 ?3 ? a ? 1 。故选 C 。

d ?r? 2?

a ?1 2

? 2 ? a ? 1 ? 2 ? ?3 ? a ? 1

八、应用线性规划求最值: 典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】
例 1. (2012 年天津市理 5 分) 已知函数 y =

|x 2 ? 1| 的图象与函数 y =kx ? 2 的图象恰有两个交点, 则实数 k x ?1

的取值范围是



.

【答案】 (0,1) ? (1,4) 。 【考点】函数的图像及其性质,利用函数图像确定两函数的交点。 【分析】函数 y ?

x2 ?1 x ?1

?

( x ? 1)(x ? 1) x ?1



当 x ? 1 时, y ?

x2 ?1 x ?1
x2 ?1

? x ?1 ? x ?1,

当 x ? 1 时, y ?

?? x ? 1,?1 ? x ? 1 ? ? x ?1 ? ? , x ?1 ? x ? 1, x ? ?1

? x ? 1,x ? 1 ? ? ?? x ? 1,?1 ? x ? 1 。 综上函数 y ? x ?1 ? ? x ? 1, x ? ?1 x2 ?1
作出函数的图象,要使函数 y 与 y ? kx 有两个不同的交点,则直线 y ? kx 必须在蓝色或黄色区 域内, 如图, 此时当直线经过黄色区域时 B(1,2) ,k 满足 1 ? k ? 2 , 当经过蓝色区域时,k 满足 0 ? k ? 1 , 综上实数 k 的取值范围是 (0,1) ? (1,4) 。 例 2. (2012 年陕西省理 5 分)设函数 f ( x) ? ?

?ln x, x ? 0 , D 是由 x 轴和曲线 y ? f ( x) 及该曲线 ??2 x ? 1, x ? 0
▲ .

在点 (1, 0) 处的切线所围成的封闭区域,则 z ? x ? 2 y 在 D 上的最大值为 【答案】2。 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程,简单线性规划。

【解析】先求出曲线在点(1,0)处的切线,然后画出区域 D,利用线性规划的方法求出目标函数 z 的最 大值即可:

?1 ? ,x ?0 ?( x) ? ? x ∵y? f , f ?(1) ? 1 , ??2, x ? 0 ?
∴曲线 y ? f ( x) 及该曲线在点 (1, 0) 处的切线方程 为 y = x - 1。

∴由 x 轴和曲线 y ? f ( x) 及 y = x - 1围成的封闭区域为三角形。 z ? x ? 2 y 在点 (0, - 1) 处取得 最大值 2。 例 3. (2012 年四川省理 5 分)某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、

B 原料 2 千克;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克, B 原料 1 千克。每桶甲产品的利润是 300 元,每桶
乙产品的利润是 400 元。公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗 A 、 B 原料都不超过 12 千克。 通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是【 A、1800 元 【答案】C。 【考点】线性规划的应用。 【解析】]设公司每天生产甲种产品 X 桶,乙种产品 Y 桶,公司共可获得 利润为 Z 元/天,则由已知,得 B、2400 元 C、2800 元 D、3100 元 】

? X ? 2Y ? 12 ?2 X ? Y ? 12 ? Z=300X+400Y,且 ? ?X ? 0 ?Y ? 0 ?
画可行域如图所示,目标函数 Z=300X+400Y 可变形为 Y= ?

3 z x? 4 400

这是随 Z 变化的一族平行直线,

解方程组 ?

?2x ? y ? 12 ? x ? 4 得? ,即 A(4,4) 。 ?x ? 2y ? 12 ? y ? 4

∴ Z max ? 1200 ? 1600 ? 2800 。故选 C。

? x ? 2y ? 2 ? 例 4. (2012 年山东省理 5 分) x, y 满足约束条件: 2x ? y ? 4 , 若 则目标函数 z=3x ? y 的取值范围是 【 ? ?4x ? y ? ?1 ?
? 2 ? A ? ? ,6 ? ? 3 ? ? 2 ? B ? ? ,? 1? ? 3 ?
C ? ?1 6? ,



3? ? D ? ?6, ? 2? ?

【答案】A。 【版权归锦元数学工作室,不得转载】 【考点】线性规划。 【解析】如图,作出可行域,直线 3x ? y ? 0 , 将直线平移至点(2,0)处有最大值: zmax =3 ? 2 ? 0=6 ,

1 3 1 将直线平移至点 ( , 3) 处有最小值: zmin =3 ? ? 3= ? 。 2 2 2

? 2 ? ∴目标函数 z=3x ? y 的取值范围是 ? ? ,6 ? 。故选 A。 ? 3 ?

?y ? 2 ? 例 5.(2012 年广东省理 5 分)已知变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z=3x+y 的最大值为【 ?x ? y ? 1 ?
A.12 B.11 C.3 D. ?1



【答案】B。 【考点】简单线性规划。

?y ? 2 ? 【解析】如图,作出变量 x,y 约束条件 ? x ? y ? 1 的可行域, ?x ? y ? 1 ?
解?

?y ? 2 得最优解(3,2) ?x ? y ? 1 ?x ? 3 时,目标函数 z=3x+y 的最大值为 zmax = 11。 ?y ? 2

当?

故选 B。 例 6.(2012 年江西省理 5 分)某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 计,投入资金不超过 54 万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 黄瓜 韭菜 4吨 6吨 年种植成本/亩 1.2 万元 0.9 万元 每吨售价 0.55 万元 0.3 万元

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入 ? 总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位: 亩)分别为【 A.50,0 【答案】B。 【考点】建模的思想方法,线性规划知识在实际问题中的应用。 【解析】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为 x,y 亩,总利润为 z 万元,则目 标函数为 】 B.30,20 C.20,30 D.0,50

z ? (0.55 ? 4 x ? 1.2 x) ? (0.3 ? 6 y ? 0.9 y) ? x ? 0.9 y .

? x ? y ? 50 ? x ? y ? 50 ?4 x ? 3 y ? 180 ?1.2 x ? 0.9 y ? 54 ? ? 线性约束条件为 ? ,即 ? 。 x?0 x?0 ? ? ?y ? 0 ?y ? 0 ? ? ? x ? y ? 50 ?4 x ? 3 y ? 180 ? 如图,作出不等式组 ? 表示的可行域,易求得点 A? 0,50? , B ?30,20? , C ? 0,45? 。 ?x ? 0 ?y ? 0 ?
平移直线 x ? 0.9 y ? 0 ,可知当直线 z ? x ? 0.9 y 经过点 B ? 30, 20? ,即 x ? 30, y ? 20 时,z 取得最 大值,且 zmax ? 48 (万元) 。故选 B。

?x ? y ? 3 ? 0 ? 例 7. (2012 年福建省理 5 分)若函数 y ? 2 图象上存在点(x,y)满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 则实数 m 的 ?x ? m ?
x

最大值为【 1 A. 2 【答案】B。

】 B.1 C. 3 2 D.2

【考点】线性规划。

?x ? y ? 3 ? 0 ? 【解析】约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 确定的区域为如图阴影部分,即 ?x ? m ?

△ABC 的 边 与 其 内 部 区 域 , 分 析 可 得 函 数 y ? 2x 与 边 界 直 线
x ? y ? 3=0 交与点(1,2) ,若函数 y ? 2x 图象上存在点(x,y)满
足约束条件,即 y ? 2x 图象上存在点在阴影部分内部,则必有 m≤1, 即实数 m 的最大值为 1。故选 B。

? x ? y ? 10 ? 例 8.(2012 年辽宁省理 5 分)设变量 x,y 满足 ?0 ? x ? y ? 20, 则 2 x ? 3 y 的最大值为【 ?0 ? y ? 15 ?
(A) 20 【答案】D。 【考点】简单线性规划问题。 (B) 35 (C) 45 (D) 55



【解析】如图,画出可行域:

根据图形可知当 x=5,y=15 时 2x+3y 最大,最大值为 55。故选 D。

?x ? y ? 1 ? 0 ? 例 9.(2012 年全国大纲卷理 5 分) x y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 , z =3x ? y 的最小值为 若 , 则 ?x ? 3y ? 3 ? 0 ?
【答案】 ?1 。 【考点】线性规划。





【解析】利用不等式组,作出可行域,可知区域表示的为三角形,当目标函数过点(3,0)时,目标函数 最大 ,当目标函数过点(0,1)时最小 zmin =3 ? 0 ? 1= ? 1 。

? x, y ? 0 ? 例 10.(2012 年全国课标卷理 5 分)设 x , y 满足约束条件: ? x ? y ? ?1 ;则 z ? x ? 2 y 的取值范围为 ? x? y ?3 ?
▲ 【答案】 [?3,3] 。

【考点】简单线性规划。 【解析】求 z ? x ? 2 y 的取值范围,则求出 z ? x ? 2 y 在约束条件下的最 大值和最小值即可。作图,可知约束条件对应四边形 OABC 边边际及内 的区域: O(0,0), A(0,1), B(1, 2), C (3,0) 。

, 2 当 x ? 3, y ? 0 时, z ? x ? 2 y 取得最大值 3;当 x ? 1 y ? 时, z ? x ? 2 y 取得最小值 ?3 。
∴ z ? x ? 2 y 的取值范围为 [?3,3] 。

? x?0 ? 例 11.. (2012 年安徽省理 5 分)若 x , y 满足约束条件: ? x ? 2 y ? 3 ;则 x ? y 的取值范围为 ?2 x ? y ? 3 ?
【答案】 [?3, 0] 。 【考点】简单线性规划。 【解析】求 x ? y 的取值范围,则求出 x ? y 的最大值和最小值即可。作图, 可知约束条件对应 ?ABC 边际及内的区域: A(0,3), B(0, ), C (1,1) 。 当 x ? 1, y ? 1 时, x ? y 取得最大值 0;当 x ? 0, y ? 3 时, x ? y 取 得最小值 ?3 。 ∴ x ? y 的取值范围为 [?3, 0] 。 【版权归锦元数学工作室,不得转载】



来源:21 世

3 2

b c c 例 12. (2012 年江苏省 5 分)已知正数 a , , 满足: 5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a , ln b ≥ a ? c ln c ,则
围是 ▲ . 【答案】 ? e, ? 。 7 【考点】可行域。

b 的取值范 a

c 【解析】条件 5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a , ln b ≥a ?c lnc 可化为:

? a b ?3 ? ? ? 5 ? c c ?a b ? ? ?4 。 ?c c a ?b ? ? ec ?c



a b =x,y = ,则题目转化为: c c

?3 x ? y ? 5 ?x ? y ? 4 y ? 已知 x y 满足 ? ,求 的取值范围。 , x x ?y ? e ? x > 0,y > 0 ?
作出( x y )所在平面区域(如图) 。求出 y =e x 的切 , 线的斜率 e ,设过切点 P ? x0,y0 ? 的切线为 y =ex ? m ? m ? 0? , 则

y0 ex0 ? m m = =e ? ,要使它最小,须 m =0 。 x0 x0 x0



y 的最小值在 P ? x0,y0 ? 处,为 e 。此时,点 P ? x0,y0 ? 在 y =e x 上 A, B 之间。 x

? y =4 ? x ?5 y =20 ? 5 x y 当( x y )对应点 C 时, ? ?? ? y =7 x ? =7 , , x ? y =5 ? 3x ?4 y =20 ? 12 x
∴ ∴

y 的最大值在 C 处,为 7。 x y b 的取值范围为 ? e, ? ,即 的取值范围是 ? e, ? 。 7 7 a x

例 13.(2012 年全国课标卷文 5 分)已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1),B(1,3),顶点 C 在第一象限,若点 (x,y)在△ABC 内部,则 z=-x+y 的取值范围是【 (A)(1- 3,2) 【答案】A。 【考点】简单线性规划,等边三角形的性质,勾股定理。 【解析】求 z=-x+y 的取值范围,则求出 z=-x+y 在正三角形 ABC 边际及内的区域的最大值和最小值即 可。 由 A(1,1),B(1,3),根据正三角形的性质可求 C 在第一象限的坐标为 (1+ 3,2) 。 作图,可知约束条件对应正三角形 ABC 内的区域: A(1,1),B(1,3), C(1+ 3,2) 。 当 x=1,y=3 时,z=-x+y 取得最大值 2;当 1+ 3,y=2 时,z=-x+y 取得最小值 1- 3。 ∴z=-x+y 的取值范围为(1- 3,2)。故选 A。 (B)(0,2) 】 (D)(0,1+ 3)

(C)( 3-1,2)

? x ? y ? ?3, ? x ? 2 y ? 12, ? ? 例 14. (2012 年四川省文 5 分) 若变量 x , y 满足约束条件 ?2 x ? y ? 12 , z ? 3x ? 4 y 的最大值是 则 【 ?x ? 0 ? ?y ? 0 ?
A、12 【答案】 C。 【考点】线性规划问题。 【解析】画可行域如图所示, 目 标 函数 z ? 3x ? 4 y 可 以 变形 为 y ? ? B、26 C、28 D、33



3 z x ? , 作函数 4 4

3 y ? ? x 的平行线,当其经过点 B(4,4)时截距最大时,即 z 有最大 4
值为 z ? 3x ? 4 y = 3 ? 4 ? 4 ? 4 ? 28 。故选 C。

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 例 15. (2012 年天津市文 5 分)设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则目标函数 z=3x-2y 的最小 ?x ? 1 ? 0 ?
值为【 (A)-5 【答案】B。 【考点】线性规划。 【分析】作出不等式对应的可行域如图,由 z ? 3x ? 2 y 得 y ? 】 (B)-4 (C)-2 (D)3

3 z x? 。 2 2 3 z 3 z 由图象可知当直线 y ? x ? 经过点 C (0,2) 时,直线 y ? x ? 的 2 2 2 2

截距最大, 而此时 z ? 3x ? 2 y 最小为 z ? 3x ? 2 y ? ?4 ,故选 B。

?x ? y ? 1 ? 例 16. (2012 年广东省文 5 分)已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? 2 y 的最小值为【 ?x ?1 ? 0 ?
A. 3 【答案】C。 【考点】简单线性规划。 B. 1 C. ?5 D ?6



?x ? y ? 1 ? 【解析】如图,作出变量 x,y 约束条件 ? x ? y ? 1 的可行域, ?x ?1 ? 0 ?
解?

?x ?1 ? 0 得最优解(-1,-2) ?x ? y ? 1

当?

? x ? ?1 时,目标函数 z ? x ? 2 y 的最小值为 zmin = - 5 。 ? y ? ?2

故选 C。


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