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【新步步高】2017版高考数学(理江苏专用)大二轮总复习与增分策略专题三 第2讲三角变换与解三角形_图文

专题三 三角函数、解三角形与平面向量

第2讲 三角变换与解三角形

栏目索引

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高考真题体验

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热点分类突破

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高考押题精练

高考真题体验

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64 3 25 1.(2016· 课标全国丙改编)若 tan α= ,则 cos2α+2sin 2α=________. 4
解析
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3 tan α= , 4
2

cos α+2sin 2 α 1+4tan α 64 则 cos α+2sin 2α= = . 2 2 2 = cos α+sin α 1+tan α 25

解析答案

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2.(2016· 天津改编)在△ABC 中,若 AB= 13,BC=3,∠C=120° ,则 AC

1 =________.
解析 由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC· BC· cos C, 即13=AC2+9-2AC×3×cos 120°, 化简得AC2+3AC-4=0, 解得AC=1或AC=-4(舍去).

解析答案

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π 5π , 6 6 3.(2016· 上海)方程3sin x=1+cos 2x在区间[0,2π]上的解为__________.
解析 3sin x=2-2sin2x,即2sin2x+3sin x-2=0,

∴(2sin x-1)(sin x+2)=0,
1 π 5π ∴sin x= ,∴x= , . 2 6 6

解析答案

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4.(2016·江 苏 ) 在 锐 角 三 角 形 ABC 中 , 若 sin A = 2sin Bsin C ,

8 则tan Atan Btan C的最小值是________.

解析

答案

考情考向分析
正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容,主要考查: 1.边和角的计算; 2.三角形形状的判断; 3.面积的计算; 4.有关的范围问题 .由于此内容应用性较强,与实际问题结合起来进行 命题将是今后高考的一个关注点,不可轻视.

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热点分类突破

热点一 三角恒等变换 1.三角求值“三大类型”
“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”.

2.三角函数恒等变换“四大策略”
(1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin2θ+cos2θ=tan 45°等;

(2)项的分拆与角的配凑:如sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α,α=
(α-β)+β等;

(3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次;
(4)弦、切互化:一般是切化弦.

例1

1 1 47 3 (1)若 α、 β 均为锐角, 且 cos α= , cos(α+β)=- , 则 cos β=_____. 17 51

解析 由于 α、β 都是锐角,所以 α+β∈(0,π), 1 47 又 cos α= ,cos(α+β)=- , 17 51 12 2 14 2 所以 sin α= ,sin(α+β)= , 17 51
cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α

47 1 14 2 12 2 1 =- × + × = . 51 17 51 17 3
解析答案

π 5 10 4 (2)已知 sin α= , sin(α-β)=- , α,β 均为锐角,则角 β=________. 5 10 π π 解析 因为 α,β 均为锐角,所以- <α-β< . 2 2
10 3 10 又 sin(α-β)=- ,所以 cos(α-β)= . 10 10 5 2 5 又 sin α= ,所以 cos α= , 5 5

所以sin β=sin[α-(α-β)] =sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)
5 3 10 2 5 10 2 = × - ×(- )= . 5 10 5 10 2 π 所以 β= . 4
思维升华 解析答案

跟踪演练 1

(1)已知

? π? 7 2 ? ? sin?α- ?= ,cos 4? 10 ?

3 7 5 2α= ,则 sin α=________. 25

解析

答案

π π (2)若 f(x)= 3sin(x+θ)-cos(x+θ)(- ≤θ≤ )是定义在 R 上的偶函数, 2 2 π - 则 θ=________. 3

π 解析 f(x)=2sin(x+θ- ), 6 π π 由题意得 θ- = +kπ(k∈Z), 6 2 π π π 因为- ≤θ≤ ,所以 k=-1,θ=- . 2 2 3

解析答案

热点二

正弦定理、余弦定理

a b c 1.正弦定理:在△ABC 中, = = =2R(R 为△ABC 的外接圆 sin A sin B sin C a 半径).变形:a=2Rsin A,sin A= ,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C 等. 2R

2.余弦定理:在△ABC中, a2=b2+c2-2bccos A;
2 2 2 b + c - a 变形:b2+c2-a2=2bccos A,cos A= . 2bc

例2

(2015· 课标全国Ⅱ)如图,在△ABC中,D是BC上

的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.
sin B (1)求 ; sin C 1 解 S△ABD= AB· ADsin∠BAD, 2 1 S△ADC= AC· ADsin∠CAD. 2

因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.
sin B AC 1 由正弦定理可得 = = . sin C AB 2
解析答案

2 (2)若 AD=1,DC= ,求 BD 和 AC 的长. 2 解 因为 S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以 BD= 2.

在△ABD和△ADC中,由余弦定理知 AB2=AD2+BD2-2AD· BDcos∠ADB, AC2=AD2+DC2-2AD· DCcos∠ADC. 故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6, 由(1)知AB=2AC,所以AC=1.

思维升华

解析答案

π 跟踪演练 2 (1)(2016· 课标全国丙改编)在△ABC 中,B= ,BC 边上的高 4 10 1 - 等于 BC,则 cos A=________. 10 3

解析

答案

π 2π 4 (2)(2015· 北京)在△ABC 中,a=3,b= 6,A= ,则 B=________. 3
2π 6sin bsin A 3 2 解析 由正弦定理得 sin B= = = , 3 2 a

π 因为 A 为钝角,所以 B= . 4

解析答案

热点三

解三角形与三角函数的综合问题

解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点,主要考查三角形的 基本量,三角形的面积或判断三角形的形状.

例3

(2015· 山东)设 f(x)=sin xcos

? π? ? 2? x-cos ?x+ ?. 4? ?

(1)求f(x)的单调区间;

解析答案

(2)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 f 1,求△ABC 面积的最大值.

?A? ? ? ? ?=0,a= ?2 ?

1 1 解 由f A- =0,得 sin A= , 2 2 3 由题意知 A 为锐角,所以 cos A= . 2 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,
可得 1+ 3bc=b +c ≥2bc,
2 2

?A? ? ? ? ?=sin ?2 ?

2+ 3 1 即 bc≤2+ 3,且当 b=c 时等号成立. 因此 bcsin A≤ . 2 4 2+ 3 所以△ABC 面积的最大值为 . 4

思维升华

解析答案

跟踪演练 3

设△ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , a =

btan A,且B为钝角.
π (1)证明:B-A= ; 2

证明 由a=btan A及正弦定理,
sin A a sin A 得 = = ,∴sin B=cos A, cos A b sin B
π π π 即 sin B=sin( +A),又 B 为钝角,因此 +A∈( ,π), 2 2 2 π π 故 B= +A,即 B-A= . 2 2
解析答案

(2)求sin A+sin C的取值范围. 解
π π π 由(1)知,C=π-(A+B) =π-(2A+2)=2-2A>0,∴A∈(0,4),

π 于是 sin A+sin C=sin A+sin( -2A) 2

12 9 =sin A+cos A+1 =-2(sin A- ) + , 4 8 2 12 9 9 π 2 ∵0<A< ,∴0<sin A< , 因此 2 <-2(sin A-4) +8≤8, 4 2

2A=-2sin2A+sin

2 9 由此可知 sin A+sin C 的取值范围是( , ]. 2 8
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高考押题精练

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2 1.在△ABC 中,内角 A,B ,C 的对边分别为 a,b ,c.已知 cos A= ,sin B 3 5 2 = 5cos C,并且 a= 2,则△ABC 的面积为________.

押题依据

三角形的面积求法较多,而在解三角形中主要利用正弦、余

弦定理求解,此题很好地体现了综合性考查的目的,也是高考的重点.

押题依据

解析

答案

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2π 2.已知函数 f(x)= 3sin ωx· cos ωx-cos ωx(ω>0)的最小正周期为 . 3
2

(1)求ω的值; (2)在△ABC中,sin B,sin A,sin C成等比数列,求此时f(A)的值域. 押题依据 三角函数和解三角形的交汇点命题是近几年高考命题的趋

势,本题综合考查了三角变换、余弦定理和三角函数的值域,还用到
数列、基本不等式等知识,对学生能力要求较高.

押题依据

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