第一章集合与常用逻辑用语第一节集 合

第一章 集合与常用逻辑用语
抓 纲 扣 本 夯 实 基 础

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第一章
集合与常用逻辑用语

达 标 训 练 技 能 过 关

剖 题 探 法 突 破 考 点

菜

单

第一章 集合与常用逻辑用语
抓 纲 扣 本 夯 实 基 础

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第一节 集 合
剖 题 探 法 突 破 考 点

达 标 训 练 技 能 过 关

菜

单

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考点关注
1.集合的 含义与表 示 2.集合间 的基本关 系

1.了解集合的含义、元素与集合的“属 于”关系． 2.能用自然语言、图形语言、集合语言 (列举法或描述法)描述不同的具体问题. 3.理解集合之间包含与相等的含义，能 识别给定集合的子集． 4.在具体情境中，了解全集与空集的含 义. 5.理解两个集合的并集与交集的含义， 会求两个简单集合的并集与交集． 6.理解在给定集合中一个子集的补集的 含义，会求给定子集的补集． 7.能使用Venn图表示集合的关系及运算.
单

★
达 标 训 练

★★★

剖 题 探 法 突 破 考 点

技 能 过 关

3.集合的 运算

★★★★

菜

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抓纲扣本 · 夯实基础
一、集合与元素 [要点梳理] 1．集合中元素的特性：确定性 、互异性 、 无序性 ． 2．集合与元素的关系
达 标 训 练 技 能 过 关

剖 题 探 法 突 破 考 点

(1)a属于集合A，用符号语言记作 a∈A .
(2)a不属于集合A，用符号语言记作 a?A .

菜

单

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3．常见集合的符号表示

数集
符号

自然数集 非负整数集 N

整数集
Z

有理数集
Q

实数集
R

达 标 训 练 技 能 过 关

剖 题 探 法 突 破 考 点

4.集合的表示法： 列举法 、 描述法 、Venn图法．

菜

单

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[理解深化] 1．注意集合中元素的互异性

对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检
验集合的元素是否满足互异性． 2．常见集合的意义
达 标 训 练

剖 题 探 法 突 破 考 点

集合

{x|f(x) ＝0}

{x|f(x) ＞0}

{x|y＝ f(x)}

{y|y＝ f(x)}

{(x，y)|y＝ f(x)}

技 能 过 关

方程 不等式 函数y＝ 函数y＝ 函数y＝f(x) 集合的 f(x) ＝0 f(x) ＞0 f(x) 的 f ( x) 的 的图象上 意义 的解集 的解集 定义域 值域 的点集

菜

单

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[对点训练] 1 ． (2012· 新课标全国 ) 已知集合 A ＝ {1,2,3,4,5} ， B ＝

{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为
A．3 C．8 解析 B．6 D．10 按集合含义对集合元素的要求，逐个试验，不
达 标 训 练 技 能 过 关

剖 题 探 法 突 破 考 点

难得到： x ＝ 5 ， y ＝ 1,2,3,4 ； x ＝ 4 ， y ＝ 1,2,3 ； x ＝ 3 ， y ＝

1,2；x＝2，y＝1，共10个，故选D.
答案 D

菜

单

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二、集合间的基本关系 [要点梳理] 表示 关系 相等 子集 文字语言 符号语言
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剖 题 探 法 突 破 考 点

真子集

空集
菜

元素 A?B且 集合A与集合B中的所有_____ B?A?A＝B 相同 A中任意一个元素均为B中的 A?B 或_____ B?A 元素 A中任意一个元素均为B中的 B?A 元素，且B中至少有一个元素 A?B 或_____ 不是A中的元素 空集是 任何集合 的子集， ??A ??B(B≠?) 是 任何非空集合 的真子集
单

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[理解深化]

1．空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，
是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止 漏解． 2 ．子集与真子集的区别与联系：集合 A的真子集一定
达 标 训 练 技 能 过 关

剖 题 探 法 突 破 考 点

是其子集，而集合A的子集不一定是其真子集；若集合A有n

个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1.

菜

单

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[对点训练] 2．(2012· 大纲版全国)已知集合A＝{1,3， {1，m}，A∪B＝A，则m等于 A．0或 3 C．1或 3 B．0或3 D．1或3
达 标 训 练 技 能 过 关

m }，B＝

剖 题 探 法 突 破 考 点

解析 ∵A∪B＝A.∴B?A.∵A＝{1,3， m }，B＝{1， m}，∴m∈A.∴m＝3，或m＝ m＝3. m ，∴m＝0，m＝1(舍去)，

答案 B
菜 单

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三、集合的基本运算 [要点梳理] 基本 运算 并集 A∪B 交集 补集 若全集为U，集合A为 全集U的一个子集，则 集合A的补集为?UA
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符号 表示
剖 题 探 法 突 破 考 点

A∩B

图形 表示 数学语 言表示
菜

{x|x∈A或 x∈B}
单

{x|x∈A 且x∈B}

?UA＝{x|x∈U且x?A}

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[理解深化]
集合基本运算的一些结论 (1)A∩B?A，A∩B?B， (2)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A， (3)A?A∪B，B?A∪B，
达 标 训 练 技 能 过 关

(4)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A，
剖 题 探 法 突 破 考 点

(5)(?UA)∪A＝U，(?UA)∩A＝?， (6)若A∩B＝A，则A?B，反之也成立，

(7)若A∪B＝B，则A?B，反之也成立，
(8)若x∈(A∩B)，则x∈A且x∈B， (8)若x∈(A∪B)，则x∈A或x∈B.
菜 单

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[对点训练]

3 ． (2012· 山 东 ) 已 知 全 集 U ＝ {0,1,2,3,4} ， 集 合 A ＝
{1,2,3}，B＝{2,4}，则(?UA)∪B为 A．{1,2,4} C．{0,2,4} B．{2,3,4} D．{0,2,3,4}
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剖 题 探 法 突 破 考 点

解析 ?UA＝{0,4}，(?UA)∪B＝{0,2,4}．故选C.

答案 C

菜

单

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剖题探法 · 突破考点
考点一 集合的基本概念 [例 1] (1)(2013·长春模拟)设P、Q为两个非空实数集
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合，定义集合 P＋Q＝ {a ＋b|a∈P， b∈Q} ，若P＝ {0,2,5} ，
剖 题 探 法 突 破 考 点

Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是

A．9
C．7

B．8
D．6

(2)已知－3∈A＝{a－2,2a2＋5a,12}，则a＝________.

菜

单

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[审题指导 ]

(1) 从 P＋Q的定义入手，可列表求出 a ＋ b

的值．
(2)－3是A中的元素，说明A中的三个元素有一个等于－ 3，可分类讨论． 【自主解答】 (1)根据新定义将a＋b的值列表如下： a＋b a b 1 2 1 2 3 4 6 7 0 2 5
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剖 题 探 法 突 破 考 点

6 6 8 11 由集合中元素的互异性知P＋Q中有8个元素，故选B.
菜 单

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(2)∵－3∈A，∴a－2＝－3或2a2＋5a＝－3， 3 ∴a＝－1或a＝－ . 2 当a＝－1时，a－2＝2a ＋5a＝－3，不合题意；
? ? 3 ? 7 ? ? 当a＝－2时，A＝ －2，－3，12?，符合题意， ? ? ? ?
2
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剖 题 探 法 突 破 考 点

3 故a＝－2.

3 【答案】 (1)B (2)－2

菜

单

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[题后反思]—方法技巧

(1) 求解本题易出现的错误就是求出答案后，不进行检
验，忽视了元素的互异性． (2) 研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后 再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意分析
达 标 训 练 技 能 过 关

剖 题 探 法 突 破 考 点

其代表元素，弄清集合表示的意义．

菜

单

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1．(2013·潍坊模拟)已知集合A＝{x|x2－2x＋a＞0}，且 1?A，则实数a的取值范围是 A．(－∞，1) C．[1，＋∞) B．(－∞，1] D．(0，＋∞)
达 标 训 练 技 能 过 关

剖 题 探 法 突 破 考 点

解析

当1∈A时，把1代入x2－2x＋a＞0成立，即1－2

＋a＞0，∴a＞1，∴1?A时，a≤1. 答案 B

菜

单

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考点二 集合间的基本关系 [例 2] (1)已知
? b ? ? ? ? a∈R， b∈R， 若 a，a，1?＝{a2， a＋b,0}， ? ? ? ?
达 标 训 练 技 能 过 关

则 a2 014＋b2 014＝________. (2)(2013· 临沂模拟)已知集合 A＝{x|－2≤x≤7}， B＝{x|m

剖 题 探 法 突 破 考 点

＋ 1 ＜ x ＜ 2m － 1} ， 若 B ? A ，则实数 m 的取值范围是 ________． (3)设 A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若 B? A，求实数 a 组成的集合 C.
菜 单

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[审题指导]

(1)由两集合相等及a≠0知，b＝0，从而a2

＝1.
(2)分B＝?与B≠?两种情况讨论． (3)化简集合A，结合方程ax－1＝0的解的情况，分B＝ ?和B≠?两种情况讨论．
达 标 训 练 技 能 过 关

【自主解答】
剖 题 探 法 突 破 考 点

b (1)由题意知，a≠0，∴ ＝0，∴b＝0. a

∴{a,0,1}＝{a,0，a2}． ∴a2＝1，即a＝± 1. 经验证当a＝1时不合题意，当a＝－1时，符合题意． ∴a＝－1，∴a2 014＋b2 014＝(－1)2 014＋02 014＝1.
菜 单

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(2)当 B＝?时，有 m＋1≥2m－1，得 m≤2， ?m＋1≥－2 ? 当 B≠?时，有?2m－1≤7 ?m＋1＜2m－1 ? 解得 2＜m≤4， 由①②得：m≤4

①
达 标 训 练 技 能 过 关

，

剖 题 探 法 突 破 考 点

②

菜

单

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(3)∵A＝{3,5}，B?A， ∴当 B＝?时，方程 ax－1＝0 无解，则 a＝0，此时有 1 B?A；当 B≠?时，则 a≠0，由 ax－1＝0，得 x＝ ， a
? 1 ?1? ? ? ? 即 a ?{3,5}，∴a＝3 ? ? ? ?
达 标 训 练 技 能 过 关

1 或a＝5，

剖 题 探 法 突 破 考 点

? 1 1? 1 1 ? ? ? ∴a＝3或 a＝5，∴C＝ 0，5，3?. ? ? ? ?

【答案】 (1)1 (2)m≤4

? 1 1? ? ? (3)?0，5，3? ? ? ? ?

菜

单

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[题后反思]—方法技巧 (1)解决集合相等问题的一般思路

若两个集合相等，首先分析已知元素在另一个集合中
与哪一个元素相等，有几种情况等，然后列方程组求解， 要注意挖掘题目中的隐含条件． (2)判断两集合关系的常用方法：
达 标 训 练 技 能 过 关

剖 题 探 法 突 破 考 点

①化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；

②用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．
[ 误点警示 ] 题目中若有条件 B?A ，则应分 B ＝ ? 和 B≠?两种情况讨论．
菜 单

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1 2．已知集合A＝{x|0＜ax＋1≤5}，集合B＝{x|－ 2 ＜ x≤2}． (1)若A?B，求实数a的取值范围；
达 标 训 练 技 能 过 关

剖 题 探 法 突 破 考 点

(2)若B?A，求实数a的取值范围； (3)A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明 理由．

菜

单

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解析 (1)A中不等式的解集应分三种情况讨论： ①若a＝0，则A＝R；
? ? ?4 1 ? ? ②若a＜0，则A＝ x a≤x＜－a ? ? ? ? ? ?； ? ? ? ? ?. ? ?
达 标 训 练 技 能 过 关

剖 题 探 法 突 破 考 点

? ? ? 1 4 ③若a＞0，则A＝?x?－a＜x≤a ? ? ?

菜

单

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(1)当 a＝0 时，若 A?B，此种情况不存在． 当 a＜0 时，若 A?B，如图，
达 标 训 练 技 能 过 关

剖 题 探 法 突 破 考 点

1 ?4 ?a＞－2 则? ?－1≤2 ? a

a＜－8 ? ? ，∴? 1 ，∴a＜－8. a≤－2 ? ?

菜

单

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当a＞0时，若A?B，如图，

剖 题 探 法 突 破 考 点

1 ? 1 ?－a≥－2 则? ?4≤2 ?a

达 标 训 练

? ?a≥2 ，∴? ? ?a≥2

.∴a≥2.

技 能 过 关

综上知，当A?B时，a＜－8或a≥2.

菜

单

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(2)当a＝0时，显然B?A； 当a＜0时，若B?A，如图，
达 标 训 练

剖 题 探 法 突 破 考 点

1 ?4 ?a≤－2 则? ?－1＞2 ? a

a≥－8 ? ? ，∴? 1 . a＞－2 ? ?

技 能 过 关

1 ∴－2＜a＜0；
菜 单

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当a＞0时，若B?A，如图，

剖 题 探 法 突 破 考 点

1 ? 1 ?－a≤－2 则? ?4≥2 ?a

? ?a≤2 ，∴? ? ?a≤2

达 标 训 练

.∴0＜a≤2.

技 能 过 关

1 综上知，当B?A时，－2＜a≤2. (3)当且仅当A?B且B?A时，A＝B，由(1)(2)知a＝2.
菜 单

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考点三 集合的基本运算

[例 3]

(1)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝
B．{1,5} D．{4,5}
达 标 训 练 技 能 过 关

{1,3,5}，则N∩(?UM)等于 A．{1,3} C．{3,5}

剖 题 探 法 突 破 考 点

(2)若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，

则A∩B等于
A．{x|－1≤x≤1} C．{x|0≤x≤1}
菜 单

B．{x|x≥0} D．?

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[审题指导] (1)求出?UM，利用Venn图求解．

(2)先求出集合A、B，再利用数轴即可求得交集．
【自主解答】 (1)易得?UM＝{2,3,5}，N＝{1,3,5}，则 N∩(?UM)＝{1,3,5}∩{2,3,5}＝{3,5}．故选C. (2)A＝[－1,1]，B＝[0，＋∞)，利用数轴求交集得A∩B
达 标 训 练 技 能 过 关

剖 题 探 法 突 破 考 点

＝{x|0≤x≤1}．

【答案】 (1)C (2)C

菜

单

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[题后反思]—通性通法

(1) 判定集合间的关系及进行集合的运算的思路：先正
确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性，再依据元 素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解，一般 的规律为：
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剖 题 探 法 突 破 考 点

①若给定的集合是不等式的解集，用数轴求解；

②若给定的集合是点集，用数形结合法求解；
③若给定的集合是抽象集合，用Venn图求解．

菜

单

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(2)注意转化关系：

A?B?A∩B ＝ A?A∪B ＝ B ，同时应注意对集合 A 进行
讨论，A为空集或A为非空集合，遗漏A＝?是易错点，要特 别注意． [易错提醒] 在本例(2)中的集合B，实际上是函数y＝x2
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剖 题 探 法 突 破 考 点

的值域，而不是其定义域x∈R.

菜

单

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3 ． (2012· 浙江 ) 设集合 A ＝ {x|1 ＜ x ＜ 4} ，集合 B ＝ {x|x2 －2x－3≤0}，则A∩(?RB)等于

A．(1,4)
C．(1,3)
剖 题 探 法 突 破 考 点

B．(3,4)
D．(1,2)∪(3,4)

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解析

化 简 集 合 B ＝ [ － 1,3] ． 则 ? RB ＝ ( － ∞ ， －

1)∪(3，＋∞)．所以A∩(?RB)＝(3,4)，故选B. 答案 B

菜

单

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(一) 忽略空集致误

【经典考题】 (12分)(2013· 开封模拟)若集合A＝{x | － 2≤x≤5}，B＝{x | m＋1≤x≤2m－1}，且B?A，求m的取值 范围.

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剖 题 探 法 突 破 考 点

菜

单

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失误展示
? ?m＋1≥－2? 据题意，可知，? ? ?m－1≤5 ? ?m≥－3? 即? ? ?≤3

，

，

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剖 题 探 法 突 破 考 点

∴－3≤m≤3. 故m的取值范围是 －3≤m≤3.

菜

单

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规范解答 当m＋1＞2m－1，即m＜2时， B＝?，满足B?A； 若B≠?，且满足B?A，如图所示， (4分)
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剖 题 探 法 突 破 考 点

?m＋1≤2m－1? ? 则?＋1≥－2? ?m－1≤5 ? ∴2≤m≤3，

?m≥2? ? ，即?≥－3? ?≤3 ?

， (10分) (12分)

综上可知m的取值范围是m≤3.
菜 单

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点拨提升

(1)根据集合间的关系求参数的取值范围是高考的重点
内容，解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合 元素的特征．
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(2)在解答本题时，存在两个典型错误，一是忽略对空
剖 题 探 法 突 破 考 点

集的讨论，即当B＝?，也满足条件B?A；二是漏掉隐含条 件的使用，即若B≠?，则需m＋1≤2m－1.

菜

单

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