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第一章集合与常用逻辑用语第一节集 合


第一章 集合与常用逻辑用语
抓 纲 扣 本 夯 实 基 础

数 学 [BSD ? 文科]

第一章
集合与常用逻辑用语

达 标 训 练 技 能 过 关

剖 题 探 法 突 破 考 点





第一章 集合与常用逻辑用语
抓 纲 扣 本 夯 实 基 础

数 学 [BSD ? 文科]

第一节 集 合
剖 题 探 法 突 破 考 点

达 标 训 练 技 能 过 关





第一章 集合与常用逻辑用语
抓 纲 扣 本 夯 实 基 础

数 学 [BSD ? 文科]
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考点关注
1.集合的 含义与表 示 2.集合间 的基本关 系

1.了解集合的含义、元素与集合的“属 于”关系. 2.能用自然语言、图形语言、集合语言 (列举法或描述法)描述不同的具体问题. 3.理解集合之间包含与相等的含义,能 识别给定集合的子集. 4.在具体情境中,了解全集与空集的含 义. 5.理解两个集合的并集与交集的含义, 会求两个简单集合的并集与交集. 6.理解在给定集合中一个子集的补集的 含义,会求给定子集的补集. 7.能使用Venn图表示集合的关系及运算.



达 标 训 练

★★★

剖 题 探 法 突 破 考 点

技 能 过 关

3.集合的 运算

★★★★



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抓 纲 扣 本 夯 实 基 础

数 学 [BSD ? 文科]

抓纲扣本 · 夯实基础
一、集合与元素 [要点梳理] 1.集合中元素的特性:确定性 、互异性 、 无序性 . 2.集合与元素的关系
达 标 训 练 技 能 过 关

剖 题 探 法 突 破 考 点

(1)a属于集合A,用符号语言记作 a∈A .
(2)a不属于集合A,用符号语言记作 a?A .





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抓 纲 扣 本 夯 实 基 础

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3.常见集合的符号表示

数集
符号

自然数集 非负整数集 N

整数集
Z

有理数集
Q

实数集
R

达 标 训 练 技 能 过 关

剖 题 探 法 突 破 考 点

4.集合的表示法: 列举法 、 描述法 、Venn图法.





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[理解深化] 1.注意集合中元素的互异性

对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检
验集合的元素是否满足互异性. 2.常见集合的意义
达 标 训 练

剖 题 探 法 突 破 考 点

集合

{x|f(x) =0}

{x|f(x) >0}

{x|y= f(x)}

{y|y= f(x)}

{(x,y)|y= f(x)}

技 能 过 关

方程 不等式 函数y= 函数y= 函数y=f(x) 集合的 f(x) =0 f(x) >0 f(x) 的 f ( x) 的 的图象上 意义 的解集 的解集 定义域 值域 的点集





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数 学 [BSD ? 文科]

[对点训练] 1 . (2012· 新课标全国 ) 已知集合 A = {1,2,3,4,5} , B =

{(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为
A.3 C.8 解析 B.6 D.10 按集合含义对集合元素的要求,逐个试验,不
达 标 训 练 技 能 过 关

剖 题 探 法 突 破 考 点

难得到: x = 5 , y = 1,2,3,4 ; x = 4 , y = 1,2,3 ; x = 3 , y =

1,2;x=2,y=1,共10个,故选D.
答案 D





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二、集合间的基本关系 [要点梳理] 表示 关系 相等 子集 文字语言 符号语言
达 标 训 练 技 能 过 关

剖 题 探 法 突 破 考 点

真子集

空集


元素 A?B且 集合A与集合B中的所有_____ B?A?A=B 相同 A中任意一个元素均为B中的 A?B 或_____ B?A 元素 A中任意一个元素均为B中的 B?A 元素,且B中至少有一个元素 A?B 或_____ 不是A中的元素 空集是 任何集合 的子集, ??A ??B(B≠?) 是 任何非空集合 的真子集


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[理解深化]

1.空集在解题时有特殊地位,它是任何集合的子集,
是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止 漏解. 2 .子集与真子集的区别与联系:集合 A的真子集一定
达 标 训 练 技 能 过 关

剖 题 探 法 突 破 考 点

是其子集,而集合A的子集不一定是其真子集;若集合A有n

个元素,则其子集个数为2n,真子集个数为2n-1.





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[对点训练] 2.(2012· 大纲版全国)已知集合A={1,3, {1,m},A∪B=A,则m等于 A.0或 3 C.1或 3 B.0或3 D.1或3
达 标 训 练 技 能 过 关

m },B=

剖 题 探 法 突 破 考 点

解析 ∵A∪B=A.∴B?A.∵A={1,3, m },B={1, m},∴m∈A.∴m=3,或m= m=3. m ,∴m=0,m=1(舍去),

答案 B
菜 单

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三、集合的基本运算 [要点梳理] 基本 运算 并集 A∪B 交集 补集 若全集为U,集合A为 全集U的一个子集,则 集合A的补集为?UA
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符号 表示
剖 题 探 法 突 破 考 点

A∩B

图形 表示 数学语 言表示


{x|x∈A或 x∈B}


{x|x∈A 且x∈B}

?UA={x|x∈U且x?A}

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[理解深化]
集合基本运算的一些结论 (1)A∩B?A,A∩B?B, (2)A∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A, (3)A?A∪B,B?A∪B,
达 标 训 练 技 能 过 关

(4)A∪A=A,A∪?=A,A∪B=B∪A,
剖 题 探 法 突 破 考 点

(5)(?UA)∪A=U,(?UA)∩A=?, (6)若A∩B=A,则A?B,反之也成立,

(7)若A∪B=B,则A?B,反之也成立,
(8)若x∈(A∩B),则x∈A且x∈B, (8)若x∈(A∪B),则x∈A或x∈B.
菜 单

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[对点训练]

3 . (2012· 山 东 ) 已 知 全 集 U = {0,1,2,3,4} , 集 合 A =
{1,2,3},B={2,4},则(?UA)∪B为 A.{1,2,4} C.{0,2,4} B.{2,3,4} D.{0,2,3,4}
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剖 题 探 法 突 破 考 点

解析 ?UA={0,4},(?UA)∪B={0,2,4}.故选C.

答案 C





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剖题探法 · 突破考点
考点一 集合的基本概念 [例 1] (1)(2013·长春模拟)设P、Q为两个非空实数集
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合,定义集合 P+Q= {a +b|a∈P, b∈Q} ,若P= {0,2,5} ,
剖 题 探 法 突 破 考 点

Q={1,2,6},则P+Q中元素的个数是

A.9
C.7

B.8
D.6

(2)已知-3∈A={a-2,2a2+5a,12},则a=________.





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[审题指导 ]

(1) 从 P+Q的定义入手,可列表求出 a + b

的值.
(2)-3是A中的元素,说明A中的三个元素有一个等于- 3,可分类讨论. 【自主解答】 (1)根据新定义将a+b的值列表如下: a+b a b 1 2 1 2 3 4 6 7 0 2 5
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剖 题 探 法 突 破 考 点

6 6 8 11 由集合中元素的互异性知P+Q中有8个元素,故选B.
菜 单

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(2)∵-3∈A,∴a-2=-3或2a2+5a=-3, 3 ∴a=-1或a=- . 2 当a=-1时,a-2=2a +5a=-3,不合题意;
? ? 3 ? 7 ? ? 当a=-2时,A= -2,-3,12?,符合题意, ? ? ? ?
2
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剖 题 探 法 突 破 考 点

3 故a=-2.

3 【答案】 (1)B (2)-2





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[题后反思]—方法技巧

(1) 求解本题易出现的错误就是求出答案后,不进行检
验,忽视了元素的互异性. (2) 研究一个集合,首先要看集合中的代表元素,然后 再看元素的限制条件,当集合用描述法表示时,注意分析
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剖 题 探 法 突 破 考 点

其代表元素,弄清集合表示的意义.





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1.(2013·潍坊模拟)已知集合A={x|x2-2x+a>0},且 1?A,则实数a的取值范围是 A.(-∞,1) C.[1,+∞) B.(-∞,1] D.(0,+∞)
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剖 题 探 法 突 破 考 点

解析

当1∈A时,把1代入x2-2x+a>0成立,即1-2

+a>0,∴a>1,∴1?A时,a≤1. 答案 B





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考点二 集合间的基本关系 [例 2] (1)已知
? b ? ? ? ? a∈R, b∈R, 若 a,a,1?={a2, a+b,0}, ? ? ? ?
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则 a2 014+b2 014=________. (2)(2013· 临沂模拟)已知集合 A={x|-2≤x≤7}, B={x|m

剖 题 探 法 突 破 考 点

+ 1 < x < 2m - 1} , 若 B ? A ,则实数 m 的取值范围是 ________. (3)设 A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0},若 B? A,求实数 a 组成的集合 C.
菜 单

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[审题指导]

(1)由两集合相等及a≠0知,b=0,从而a2

=1.
(2)分B=?与B≠?两种情况讨论. (3)化简集合A,结合方程ax-1=0的解的情况,分B= ?和B≠?两种情况讨论.
达 标 训 练 技 能 过 关

【自主解答】
剖 题 探 法 突 破 考 点

b (1)由题意知,a≠0,∴ =0,∴b=0. a

∴{a,0,1}={a,0,a2}. ∴a2=1,即a=± 1. 经验证当a=1时不合题意,当a=-1时,符合题意. ∴a=-1,∴a2 014+b2 014=(-1)2 014+02 014=1.
菜 单

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(2)当 B=?时,有 m+1≥2m-1,得 m≤2, ?m+1≥-2 ? 当 B≠?时,有?2m-1≤7 ?m+1<2m-1 ? 解得 2<m≤4, 由①②得:m≤4


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剖 题 探 法 突 破 考 点







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(3)∵A={3,5},B?A, ∴当 B=?时,方程 ax-1=0 无解,则 a=0,此时有 1 B?A;当 B≠?时,则 a≠0,由 ax-1=0,得 x= , a
? 1 ?1? ? ? ? 即 a ?{3,5},∴a=3 ? ? ? ?
达 标 训 练 技 能 过 关

1 或a=5,

剖 题 探 法 突 破 考 点

? 1 1? 1 1 ? ? ? ∴a=3或 a=5,∴C= 0,5,3?. ? ? ? ?

【答案】 (1)1 (2)m≤4

? 1 1? ? ? (3)?0,5,3? ? ? ? ?





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数 学 [BSD ? 文科]

[题后反思]—方法技巧 (1)解决集合相等问题的一般思路

若两个集合相等,首先分析已知元素在另一个集合中
与哪一个元素相等,有几种情况等,然后列方程组求解, 要注意挖掘题目中的隐含条件. (2)判断两集合关系的常用方法:
达 标 训 练 技 能 过 关

剖 题 探 法 突 破 考 点

①化简集合,从表达式中寻找两集合间的关系;

②用列举法表示各集合,从元素中寻找关系.
[ 误点警示 ] 题目中若有条件 B?A ,则应分 B = ? 和 B≠?两种情况讨论.
菜 单

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1 2.已知集合A={x|0<ax+1≤5},集合B={x|- 2 < x≤2}. (1)若A?B,求实数a的取值范围;
达 标 训 练 技 能 过 关

剖 题 探 法 突 破 考 点

(2)若B?A,求实数a的取值范围; (3)A、B能否相等?若能,求出a的值;若不能,试说明 理由.





第一章 集合与常用逻辑用语
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数 学 [BSD ? 文科]

解析 (1)A中不等式的解集应分三种情况讨论: ①若a=0,则A=R;
? ? ?4 1 ? ? ②若a<0,则A= x a≤x<-a ? ? ? ? ? ?; ? ? ? ? ?. ? ?
达 标 训 练 技 能 过 关

剖 题 探 法 突 破 考 点

? ? ? 1 4 ③若a>0,则A=?x?-a<x≤a ? ? ?





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(1)当 a=0 时,若 A?B,此种情况不存在. 当 a<0 时,若 A?B,如图,
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剖 题 探 法 突 破 考 点

1 ?4 ?a>-2 则? ?-1≤2 ? a

a<-8 ? ? ,∴? 1 ,∴a<-8. a≤-2 ? ?





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数 学 [BSD ? 文科]

当a>0时,若A?B,如图,

剖 题 探 法 突 破 考 点

1 ? 1 ?-a≥-2 则? ?4≤2 ?a

达 标 训 练

? ?a≥2 ,∴? ? ?a≥2

.∴a≥2.

技 能 过 关

综上知,当A?B时,a<-8或a≥2.





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(2)当a=0时,显然B?A; 当a<0时,若B?A,如图,
达 标 训 练

剖 题 探 法 突 破 考 点

1 ?4 ?a≤-2 则? ?-1>2 ? a

a≥-8 ? ? ,∴? 1 . a>-2 ? ?

技 能 过 关

1 ∴-2<a<0;
菜 单

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当a>0时,若B?A,如图,

剖 题 探 法 突 破 考 点

1 ? 1 ?-a≤-2 则? ?4≥2 ?a

? ?a≤2 ,∴? ? ?a≤2

达 标 训 练

.∴0<a≤2.

技 能 过 关

1 综上知,当B?A时,-2<a≤2. (3)当且仅当A?B且B?A时,A=B,由(1)(2)知a=2.
菜 单

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考点三 集合的基本运算

[例 3]

(1)设全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},N=
B.{1,5} D.{4,5}
达 标 训 练 技 能 过 关

{1,3,5},则N∩(?UM)等于 A.{1,3} C.{3,5}

剖 题 探 法 突 破 考 点

(2)若集合A={x||x|≤1,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},

则A∩B等于
A.{x|-1≤x≤1} C.{x|0≤x≤1}
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B.{x|x≥0} D.?

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[审题指导] (1)求出?UM,利用Venn图求解.

(2)先求出集合A、B,再利用数轴即可求得交集.
【自主解答】 (1)易得?UM={2,3,5},N={1,3,5},则 N∩(?UM)={1,3,5}∩{2,3,5}={3,5}.故选C. (2)A=[-1,1],B=[0,+∞),利用数轴求交集得A∩B
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剖 题 探 法 突 破 考 点

={x|0≤x≤1}.

【答案】 (1)C (2)C





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[题后反思]—通性通法

(1) 判定集合间的关系及进行集合的运算的思路:先正
确理解各个集合的含义,认清集合元素的属性,再依据元 素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解,一般 的规律为:
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剖 题 探 法 突 破 考 点

①若给定的集合是不等式的解集,用数轴求解;

②若给定的集合是点集,用数形结合法求解;
③若给定的集合是抽象集合,用Venn图求解.





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(2)注意转化关系:

A?B?A∩B = A?A∪B = B ,同时应注意对集合 A 进行
讨论,A为空集或A为非空集合,遗漏A=?是易错点,要特 别注意. [易错提醒] 在本例(2)中的集合B,实际上是函数y=x2
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剖 题 探 法 突 破 考 点

的值域,而不是其定义域x∈R.





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3 . (2012· 浙江 ) 设集合 A = {x|1 < x < 4} ,集合 B = {x|x2 -2x-3≤0},则A∩(?RB)等于

A.(1,4)
C.(1,3)
剖 题 探 法 突 破 考 点

B.(3,4)
D.(1,2)∪(3,4)

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解析

化 简 集 合 B = [ - 1,3] . 则 ? RB = ( - ∞ , -

1)∪(3,+∞).所以A∩(?RB)=(3,4),故选B. 答案 B





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(一) 忽略空集致误

【经典考题】 (12分)(2013· 开封模拟)若集合A={x | - 2≤x≤5},B={x | m+1≤x≤2m-1},且B?A,求m的取值 范围.

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失误展示
? ?m+1≥-2? 据题意,可知,? ? ?m-1≤5 ? ?m≥-3? 即? ? ?≤3





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剖 题 探 法 突 破 考 点

∴-3≤m≤3. 故m的取值范围是 -3≤m≤3.





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规范解答 当m+1>2m-1,即m<2时, B=?,满足B?A; 若B≠?,且满足B?A,如图所示, (4分)
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剖 题 探 法 突 破 考 点

?m+1≤2m-1? ? 则?+1≥-2? ?m-1≤5 ? ∴2≤m≤3,

?m≥2? ? ,即?≥-3? ?≤3 ?

, (10分) (12分)

综上可知m的取值范围是m≤3.
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点拨提升

(1)根据集合间的关系求参数的取值范围是高考的重点
内容,解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合 元素的特征.
达 标 训 练 技 能 过 关

(2)在解答本题时,存在两个典型错误,一是忽略对空
剖 题 探 法 突 破 考 点

集的讨论,即当B=?,也满足条件B?A;二是漏掉隐含条 件的使用,即若B≠?,则需m+1≤2m-1.





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达标训练 技能过关

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