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最新人教版高中数学选修2-2第一章《定积分的概念》教材梳理

庖丁巧解牛 知识· 巧学 一、曲边梯形的面积 1.曲边梯形 我们把直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形. 2.曲边梯形面积的算法 把区间[a,b]分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形,每个小曲边梯形“以 直代曲”,即用矩形的面积近似替代小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值,对 这些近似值求和,就得到曲边梯形面积的近似值. 方法点拨 拆分越来越细,近似程度就会越来越好,即用划归为计算矩形面积和逼近的思 想方法求出曲边梯形的面积. 3.求曲边梯形面积的步骤 b?a b?a 2(b ? a ) ] , [ a+ ,a+ ] ,…, n n n (n ? 1)( b ? a ) (i ? 1)( b ? a) i (b ? a ) [a+ ,b].第 i 个区间为[a+ ,a+ ]. n n n (1) 分 割 : 将 [ a,b ] 等 分 成 n 个 小 区 间 : [ a,a+ 分别过 n 个小区间的端点作 y 轴的平行线将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形,每个小曲边梯形 的面积记作 ΔS1、ΔS2,…,ΔSn.S= ? ?S i ?1 n i . (2)近似代替:当 Δx 很小时,可用小矩形的面积 ΔSi′近似地代替 ΔSi, 即 ΔSi≈ΔSi′=f[a+ n (i ? 1)( b ? a) ]Δx. n i n ?? n (3)求和:Sn= ? ?S ? .(4)取极限:S= lim S i ?1 ? lim ? ?Si? . n ?? i ?1 n 深化升华 ①近似代替时,用第 i 个小区间左端点对应的函数值与 Δx 相乘求出的为不足 近似值.用右端点对应的函数值与 Δx 相乘求出的为过剩近似值;当 n→∞时这两种取法求得的 曲面面积是相同的,实质上只要取区间[a+ (i ? 1)( b ? a) i (b ? a ) ,a+ ]内任何一点对应的函 n n 数值计算小曲面的面积,只要 n→∞,求得的结果都一样. ②求和时首先可提公因式 1 ,再将和进行处理,算出 Sn. n ③取极限时注意 n→∞. 二、汽车行驶的路程 一般地,如果物体做变速直线运动,速度函数为 v=v(t),那么我们可以采用分割、近似代替、求 和、取极限的方法,求出它在 a≤t≤b 内所做的位移 s. 方法点拨 其解决的方法与求曲边梯形面积类似 ,我们采取“以不变代变”的方法,把求变 速直线运动的路程问题,化归为求匀速直线运动的路程问题. 三、定积分的概念 1.定积分的概念 如果函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b,将区间[a,b]等分成 n 个 小 区 间 , 在 每 个 小 区 间 [ xi-1,xi ] 上 任 取 一 点 ξi(i=1,2,…,n), 作 和 式 x= ? f (? i )?x ? ? i ?1 i ?1 n n b?a f(ξi),当 n→∞时,上述和式无限接近于某个常数,这个常数叫做函数 n f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作 ? b a f ( x)dx ,即 ? f ( x)dx ? ? b a i ?1 n b?a f (? i ) .这里 a 与 b 分 n 别叫做积分下限和积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数 f(x)叫做被积函数,x 叫做积分变 量,f(x)dx 叫做被积式. 疑点突破 ①定积分是一种“和”的极限.在定积分的定义中,含着分割、近似代替、求和、 取极限这种解决问题的思想.这种思想方法来源于“计算底在区间 [a,b]上,高为 y=f(x)的曲边 梯形的面积”等问题. ②定积分上限和下限之间的关系. 在定义中假设 a<b.当 a=b 或 a>b 时,不难验证 ? a a f ( x)dx =0, ? f ( x)dx = ? ? f ( x)dx . a b b a ③定积分的值仅与被积函数 f(x)及积分区间[a,b]有关,与积分变量用什么字母无关. ④定积分 ? b a f ( x)dx 存在的必要条件是函数 f(x)在区间[a,b]上有界.因此,当函数 f(x)在区间 [a,b]上无界时,定积分 ⑤定积分是一个常数. ? b a f ( x)dx 是不存在的. b b 因为定积分是一种“和”的极限值,所以是一个常数,因此,( 2.定积分的几何意义 ? a f ( x)dx )′=0,d ? f ( x)dx =0. a 图 1-5-1 当函数 f(x)在区间[a,b]上恒为正时,定积分 ? b a f ( x)dx 的几何意义是以曲线 f(x)为曲边的曲 b a 边梯形的面积.一般情况下(如图 1-5-1),定积分 ? f ( x)dx 的几何意义是介于 x 轴、函数 f(x) 的图象以及直线 x=a、x=b 之间各部分面积的代数和,在 x 轴上方的面积取正号;在 x 轴下方 的面积取负号. 3.定积分的性质 由定积分的定义,可得到定积分的如下性质: (1) (2) (3) ? b a b kf ( x)dx =k ? f ( x)dx (k 为常数). a b ? a b [ f1 ( x) ? f 2 ( x)]dx ? ? f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx . a a b b ? a f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx a c c b 深化升华 不论 a,b,c 三点的相互位置如何,恒有 一性质表明定积分对于积分区间具有可加性. 知识拓展 性质 4.若在区间[a,b]上,f(x)≥0,则 推论 1.若在区间[a,b]上,f(x)≤g(x),则 ? b a f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx .

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