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2017年辽宁省本溪高中、大连育明高中、大连二十四中联考高考数学模拟试卷(理科)(解析版)


2017 年辽宁省本溪高中、大连育明高中、大连二十四中联考高 考数学模拟试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={﹣1,1},B={x|mx=1},且 A∪B=A,则 m 的值为( A.1 B.﹣1 C.1 或﹣1 D.1 或﹣1 或 0 的虚部为( ) )

2.设 z=1﹣i(i 是虚数单位) ,则 A.﹣i B.1﹣i C.﹣1 D.﹣1﹣i

3.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损 术”.执行该程序框图,若输入的 a,b 分别为 8,12,则输出的 a=( )

A.4

B.2

C.0

D.14 ,0) ,则函数 g

4.已知函数 f(x)=sinx+λcosx 的图象的一个对称中心是点( (x)=λsinxcosx+sin2x 的图象的一条对称轴是直线( A.x= B.x= C.x= D.x=﹣ )

5.已知等差数列{an}的公差 d≠0,且 a1,a3,a13 成等比数列,若 a1=1,Sn 是数 列{an}前 n 项的和,则 A.4 B.3 C.2 (n∈N+)的最小值为( ﹣2 D. )

6.对于任意 a∈[﹣1,1],函数 f(x)=x2+(a﹣4)x+4﹣2a 的值总大于 0,则 x 的取值范围是( )
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A.{x|1<x<3} B.{x|x<1 或 x>3}

C.{x|1<x<2} D.{x|x<1 或 x>2}

7.已知 A,B,C 是平面上不共线的三点,O 是△ABC 的重心,动点 P 满足 ,则 P 一定为△ABC 的( A.AB 边中线的三等分点(非重心) C.AB 边中线的中点 )

B.AB 边的中点 D.重心

8.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图, 则该多面体的各面中,面积最大的是( )

A.8

B.

C.12 D.16 下,目标函数 z=x+my 的最大值小于 2,则 m

9.设 m>1,在约束条件 的取值范围为( A. (1, )

) B. (

,+∞) C. (1,3) D. (3,+∞) ﹣ =1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为

10.己知 O 为坐标原点,双曲线

l1,l2,右焦点为 F,以 OF 为直径作圆交 l1 于异于原点 O 的点 A,若点 B 在 l2 上, 且 A. =2 ,则双曲线的离心率等于( B. C.2 D.3 +sin +sin +…+sin ) ,则与 S 的 )

11.已知 S= 值最接近的是(

?(sin )

A.0.99818 B.0.9999 C.1.0001 D.2.0002 12.已知函数 g(x)=a﹣x2( ≤x≤e,e 为自然对数的底数)与 h(x)=2lnx
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的图象上存在关于 x 轴对称的点,则实数 a 的取值范围是( A.[1, +2]B.[1,e2﹣2] C.[



+2,e2﹣2] D.[e2﹣2,+∞)

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.抛物线 y=ax2 的准线方程是 y=﹣1,则 a 的值为 14.如图,平面四边形 ABCD 中,AB=AD=CD=1,BD= . ,BD⊥CD,将其沿对角

线 BD 折成四面体 A′﹣BCD,使平面 A′BD⊥平面 BCD.四面体 A′﹣BCD 顶点在同 一个球面上,则该球的体积为 .

15.已知△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边依次为 a,b,c,外接圆半径为 1, 且满足 ,则△ABC 面积的最大值为 .

16.已知函数 f(x)=|xex|,方程 f2(x)+tf(x)+1=0(t∈R)有四个实数根, 则 t 的取值范围 .

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.) 17.已知 a、b、c 分别是△ABC 的三个内角∠A、∠B、∠C 的对边,acosB+ b=c. (1)求∠A 的大小; (2)若等差数列{an}中,a1=2cosA,a5=9,设数列{ 求证:Sn< .
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}的前 n 项和为 Sn,

18.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,∠BAD=60°,Q 为 AD 的 中点. (Ⅰ)若 PA=PD,求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (Ⅱ)若平面 PAD⊥平面 ABCD,且 PA=PD=AD=2,点 M 在线段 PC 上,试 确定点 M 的位置,使二面角 M﹣BQ﹣C 大小为 60°,并求出 的值.

19.已知从“神十”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为 ,某植物 研究所进行该种子的发芽实验,每次实验种一粒种子,每次实验结果相互独立, 假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的,如果种子没有发芽,则称该次实 验是失败的.若该研究所共进行四次实验,设 ξ 表示四次实验结束时实验成功的 次数与失败的次数之差的绝对值. (Ⅰ)求随机变量 ξ 的分布列及 ξ 的数学期望 E(ξ) ; (Ⅱ)记“不等式 ξx2﹣ξx+1>0 的解集是实数集 R”为事件 A,求事件 A 发生的概
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率 P(A) .

20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0) ,圆 Q: (x﹣2)2+(y﹣ )到椭圆 C 的右焦点的距离为 .

)2=2 的圆心

Q 在椭圆 C 上,点 P(0, (1)求椭圆 C 的方程;

(2)过点 P 作互相垂直的两条直线 l1,l2,且 l1 交椭圆 C 于 A,B 两点,直线 l2 交圆 Q 于 C,D 两点,且 M 为 CD 的中点,求△MAB 的面积的取值范围.

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21.已知函数 f(x)=x﹣alnx﹣1, (Ⅰ)求函数 g(x)的极值;

,其中 a 为实数.

( Ⅱ ) 设 a < 0 , 若 对 任 意 的 x1 、 x2 ∈ [3 , 4] ( x1 ≠ x2 ), 恒成立,求实数 a 的最小值.

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请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选 修 4-4:坐标系与参数方程](共 1 小题,满分 10 分) 22 .已知曲线 C1 的极坐标方程为 ρcosθ ﹣ ρsinθ+2=0 ,曲线 C2 的参数方程为 (α 为参数) ,将曲线 C2 上的所有点的横坐标变为原来的 3 倍,纵坐 标变为原来的 倍,得到曲线 C3. (1)写出曲线 C1 的参数方程和曲线 C3 的普通方程; (2)已知点 P(0,2) ,曲线 C1 与曲线 C3 相交于 A,B,求|PA|+|PB|.

[选修 4-5:不等式选讲](共 1 小题,满分 0 分)
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23.已知 a,b∈(0,+∞) ,且 2a4b=2. (Ⅰ)求 的最小值; 成立,求

(Ⅱ)若存在 a,b∈(0,+∞) ,使得不等式 实数 x 的取值范围.

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2017 年辽宁省本溪高中、大连育明高中、大连二十四中 联考高考数学模拟试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={﹣1,1},B={x|mx=1},且 A∪B=A,则 m 的值为( A.1 B.﹣1 C.1 或﹣1 D.1 或﹣1 或 0 )

【考点】集合的包含关系判断及应用. 【分析】利用 A∪B=A? B? A,写出 A 的子集,求出各个子集对应的 m 的值. 【解答】解:∵A∪B=A∴B? A ∴B=?; B={﹣1}; B={1}

当 B=?时,m=0 当 B={﹣1}时,m=﹣1 当 B={1}时,m=1 故 m 的值是 0;1;﹣1 故选:D

2.设 z=1﹣i(i 是虚数单位) ,则 A.﹣i B.1﹣i C.﹣1 D.﹣1﹣i 【考点】复数代数形式的混合运算. 【分析】把 z=1﹣i 代入 实部和虚部即可. 【解答】解:∵z=1﹣i,∴ ∴ 的虚部是﹣1, =﹣2i+

的虚部为(



后,利用共轭复数对分母实数化进行化简,整理出

=﹣2i+

=1﹣i,

故选 C.
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3.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损 术”.执行该程序框图,若输入的 a,b 分别为 8,12,则输出的 a=( )

A.4

B.2

C.0

D.14

【考点】程序框图. 【分析】由循环结构的特点,先判断,再执行,分别计算出当前的 a,b 的值, 即可得到结论. 【解答】解:由 a=8,b=12,不满足 a>b, 则 b 变为 12﹣8=4, 由 b<a,则 a 变为 8﹣4=4, 由 a=b=4, 则输出的 a=4. 故选:A.

4.已知函数 f(x)=sinx+λcosx 的图象的一个对称中心是点( (x)=λsinxcosx+sin2x 的图象的一条对称轴是直线( A.x= B.x= C.x= D.x=﹣ )

,0) ,则函数 g

【考点】两角和与差的正弦函数;正弦函数的对称性. 【分析】由对称中心可得 λ=﹣ = ﹣sin(2x+ ) ,令 2x+ ,代入 g(x)由三角函数公式化简可得 g(x) 解 x 可得对称轴,对照选项可得. ,0) ,

=kπ+

【解答】解:∵f(x)=sinx+λcosx 的图象的一个对称中心是点( ∴f( )=sin +λcos = + λ=0,解得 λ=﹣
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∴g(x)=﹣ = sin2x+

sinxcosx+sin2x

= ﹣sin(2x+ 令 2x+ =kπ+

) , 可得 x= + + ,k∈Z,

∴函数的对称轴为 x=

,k∈Z, 符合题意,

结合四个选项可知,当 k=﹣1 时 x=﹣ 故选:D

5.已知等差数列{an}的公差 d≠0,且 a1,a3,a13 成等比数列,若 a1=1,Sn 是数 列{an}前 n 项的和,则 A.4 B.3 C.2 (n∈N+)的最小值为( ﹣2 D. )

【考点】等差数列的性质. 【分析】由题意得(1+2d)2=1+12d,求出公差 d 的值,得到数列{an}的通项公 式,前 n 项和,从而可得 小值. 【解答】解:∵a1=1,a1、a3、a13 成等比数列, ∴(1+2d)2=1+12d. 得 d=2 或 d=0(舍去) , ∴an =2n﹣1, ∴Sn= ∴ = =n2, . ,换元,利用基本不等式,即可求出函数的最

令 t=n+1,则

=t+ ﹣2≥6﹣2=4

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当且仅当 t=3,即 n=2 时,∴ 故选:A.

的最小值为 4.

6.对于任意 a∈[﹣1,1],函数 f(x)=x2+(a﹣4)x+4﹣2a 的值总大于 0,则 x 的取值范围是( ) C.{x|1<x<2} D.{x|x<1 或 x>2}

A.{x|1<x<3} B.{x|x<1 或 x>3} 【考点】二次函数在闭区间上的最值.

【分析】把二次函数的恒成立问题转化为 y=a(x﹣2)+x2﹣4x+4>0 在 a∈[﹣1, 1]上恒成立, 再利用一次函数函数值恒大于 0 所满足的条件即可求出 x 的取值范 围. 【解答】 解: 原题可转化为关于 a 的一次函数 y=a (x﹣2) +x2﹣4x+4>0 在 a∈[﹣ 1,1]上恒成立, 只需 故选 B. ? ? x<1 或 x>3.

7.已知 A,B,C 是平面上不共线的三点,O 是△ABC 的重心,动点 P 满足 ,则 P 一定为△ABC 的( A.AB 边中线的三等分点(非重心) C.AB 边中线的中点 D.重点 )

B.AB 边的中点

【考点】向量的线性运算性质及几何意义. 【分析】根据题意,画出图形,结合图形,利用向量加法的平行四边形法则以及 共线的向量的加法法则,即可得出正确的结论. 【解答】解:如图所示:设 AB 的中点是 E, ∵O 是三角形 ABC 的重心, ∵ ∵2 = , = ( +2 ) ,

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= ×(4

+

)=

∴P 在 AB 边的中线上,是中线的三等分点,不是重心. 故选:A

8.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图, 则该多面体的各面中,面积最大的是( )

A.8

B.

C.12 D.16

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】 根据三视图得出该几何体是在棱长为 4 的正方体中的三棱锥, 画出图形, 求出各个面积即可. 【解答】解:根据题意,得; 该几何体是如图所示的三棱锥 A﹣BCD, 且该三棱锥是放在棱长为 4 的正方体中, 所以,在三棱锥 A﹣BCD 中,BD=4 S△ABC= ×4×4=8.S△ADC= 中,作 CE⊥ S△ABD= E,连结 DE,则 CE= =12.
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,AC=AB= =4

=

,AD=

=6,

,S△DBC= ×4×4=8,在三角形 ABC = ,DE= = ,

故选:C.

9.设 m>1,在约束条件 的取值范围为( A. (1, )

下,目标函数 z=x+my 的最大值小于 2,则 m

) B. (

,+∞) C. (1,3) D. (3,+∞)

【考点】简单线性规划的应用. 【分析】根据 m>1,我们可以判断直线 y=mx 的倾斜角位于区间( , )上,

由此我们不难判断出满足约束条件

的平面区域的形状,再根据目标函数

Z=X+my 对应的直线与直线 y=mx 垂直,且在直线 y=mx 与直线 x+y=1 交点处取得 最大值,由此构造出关于 m 的不等式组,解不等式组即可求出 m 的取值范围. 【解答】解:∵m>1 故直线 y=mx 与直线 x+y=1 交于 点, 点,取得最

目标函数 Z=X+my 对应的直线与直线 y=mx 垂直,且在 大值
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其关系如下图所示: 即 解得 1﹣ 又∵m>1 解得 m∈(1, 故选:A. ) , <m<

10.己知 O 为坐标原点,双曲线



=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为

l1,l2,右焦点为 F,以 OF 为直径作圆交 l1 于异于原点 O 的点 A,若点 B 在 l2 上, 且 A. =2 ,则双曲线的离心率等于( B. C.2 D.3 )

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】求出双曲线的渐近线的方程和圆的方程,联立方程求出 A,B 的坐标, 结合点 B 在渐近线 y=﹣ x 上,建立方程关系进行求解即可. 【解答】解:双曲线的渐近线方程 l1,y= x,l2,y=﹣ x, F(c,0) , 圆的方程为(x﹣ )2+y2= 得(x﹣ )2+( x)2= 即 x2=cx,则 x=0 或 x= , ,当 x= 时,y═ ? = ,即 A( , ) , ,将 y= x 代入(x﹣ )2+y2= ,

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设 B(m,n) ,则 n=﹣ ?m, 则 ∵ = (m ﹣ =2 , ,n﹣ =2( )=2( ﹣c) ,n﹣ , ﹣2c)=﹣ + , ﹣c, =2? ) , ,n﹣ ) , =( ﹣c, ) ,

∴(m﹣ 则 m﹣ 即 m= 即 即

﹣2c,n= =﹣ ?( = ,

则 c2=3a2, 则 = ,

故选:B.

11.已知 S= 值最接近的是(

?(sin )

+sin

+sin

+…+sin

) ,则与 S 的

A.0.99818 B.0.9999 C.1.0001 D.2.0002 【考点】正弦函数的定义域和值域. 【分析】把区间[0, 的矩形的高为 sin ]平均分成 10000 份,每一个矩形的宽为 ,第 k 个

,则 S 表示这 20000 个小矩形的面积之和,且这 10000 所围成的面积.再根据定积分的

个小矩形的面积之和略大于 y=sinx 与 x=0、x=
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定义求得 y=sinx 与 x=0、x= 给的选项,得出结论. 【解答】解:把区间[0, k 高为 sin 则 S= , ? (sin +sin

所围成的面积为 1,可得 S 的值略大于 1,结合所

]平均分成 10000 份,每一个矩形的宽为

,第

+sin

+…+sin

) 表示这 20000 个小

矩形的面积之和, 且这 10000 个小矩形的面积之和略大于 y=sinx 与 x=0、x= 再根据定积分的定义, y=sinx 与 x=0 、 x= 所围成的面积. =﹣

所围成的面积为

cosx

=1,

故 S 的值略大于 1,结合所给的选项, 故选:C.

12.已知函数 g(x)=a﹣x2( ≤x≤e,e 为自然对数的底数)与 h(x)=2lnx 的图象上存在关于 x 轴对称的点,则实数 a 的取值范围是( A.[1, +2]B.[1,e2﹣2] C.[ )

+2,e2﹣2] D.[e2﹣2,+∞)

【考点】对数函数的图象与性质. 【分析】由已知,得到方程 a﹣x2=﹣2lnx?﹣a=2lnx﹣x2 在 函数 f(x)=2lnx﹣x2,求出它的值域,得到﹣a 的范围即可. 【解答】解:由已知,得到方程 a﹣x2=﹣2lnx?﹣a=2lnx﹣x2 在 设 f(x)=2lnx﹣x2,求导得:f′(x)= ﹣2x= ∵ ≤x≤e,∴f′(x)=0 在 x=1 有唯一的极值点, ∵f( )=﹣2﹣ ,f(e)=2﹣e2,f(x)极大值=f(1)=﹣1,且知 f(e)<f( ) , 上有解等价于 2﹣e2≤﹣a≤﹣1.
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上有解,构造

上有解.



故方程﹣a=2lnx﹣x2 在

从而 a 的取值范围为[1,e2﹣2]. 故选 B.

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.抛物线 y=ax2 的准线方程是 y=﹣1,则 a 的值为 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】由于抛物线 y=ax2 即 x2= y 的准线方程为 y=﹣ 可求得 a. 【解答】解:抛物线 y=ax2 即 x2= y 的准线方程为 y=﹣ 由题意可得﹣ 解得 a= . 故答案为 . =﹣1 , , ,可得﹣ =﹣1,即 .

14.如图,平面四边形 ABCD 中,AB=AD=CD=1,BD=

,BD⊥CD,将其沿对角

线 BD 折成四面体 A′﹣BCD,使平面 A′BD⊥平面 BCD.四面体 A′﹣BCD 顶点在同 一个球面上,则该球的体积为 .

【考点】球的体积和表面积. 【分析】由题意可知,四面体 A'﹣BCD 顶点在同一个球面上,BC 的中点就是球 心,求出球的半径,即可得到球的体积. 【解答】解:平面四边形 ABCD 中,AB=AD=CD=1,BD= 角线 BD 折成四面体 A'﹣BCD, 使平面 A'BD⊥平面 BCD.四面体 A'﹣BCD 顶点在同一个球面上,△BCD 和△A'BC 都是直角三角形,
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,BD⊥CD,将其沿对

BC 的中点就是球心,所以 BC= 所以球的体积为: 故答案为: .

,球的半径为: = ;



15.已知△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边依次为 a,b,c,外接圆半径为 1, 且满足 ,则△ABC 面积的最大值为 .

【考点】正弦定理;余弦定理. 【分析】 利用同角三角函数间的基本关系化简已知等式的左边,利用正弦定理化 简已知的等式右边, 整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简,根 据 sinC 不为 0,可得出 cosA 的值,然后利用余弦定理表示出 cosA,根据 cosA 的 值,得出 bc=b2+c2﹣a2,再利用正弦定理表示出 a,利用特殊角的三角函数值化 简后,再利用基本不等式可得出 bc 的最大值,进而由 sinA 的值及 bc 的最大值, 利用三角形的面积公式即可求出三角形 ABC 面积的最大值. 【解答】解:由 r=1,利用正弦定理可得:c=2rsinC=2sinC,b=2rsinB=2sinB, ∵tanA= ∴ = ,tanB= = , = ,

∴sinAcosB=cosA(2sinC﹣sinB)=2sinCcosA﹣sinBcosA, 即 sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC=2sinCcosA, ∵sinC≠0,∴cosA= ,即 A= ∴cosA= = , ,

∴bc=b2+c2﹣a2=b2+c2﹣(2rsinA)2=b2+c2﹣3≥2bc﹣3, ∴bc≤3(当且仅当 b=c 时,取等号) , ∴△ABC 面积为 S= bcsinA≤ ×3× 则△ABC 面积的最大值为: . = ,

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故答案为:



16.已知函数 f(x)=|xex|,方程 f2(x)+tf(x)+1=0(t∈R)有四个实数根, 则 t 的取值范围 .

【考点】根的存在性及根的个数判断. 【分析】函数 f(x)=|xex|是分段函数,通过求导分析得到函数 f(x)在(0,+ ∞)上为增函数,在(﹣∞,﹣1)上为增函数,在(﹣1,0)上为减函数,求 得函数 f(x)在(﹣∞,0)上,当 x=﹣1 时有一个最大值 ,所以,要使方程 f2(x)+tf(x)+1=0(t∈R)有四个实数根,f(x)的值一个要在 个在 取值范围. 【解答】解:f(x)=|xex|= 当 x≥0 时,f′(x)=ex+xex≥0 恒成立,所以 f(x)在[0,+∞)上为增函数; 当 x<0 时,f′(x)=﹣ex﹣xex=﹣ex(x+1) , 由 f′(x)=0,得 x=﹣1,当 x∈(﹣∞,﹣1)时,f′(x)=﹣ex(x+1)>0,f(x) 为增函数, 当 x∈(﹣1,0)时,f′(x)=﹣ex(x+1)<0,f(x)为减函数, =|xex|在 所以函数 f(x) (﹣∞,0)上有一个极大值为 f(﹣1)=﹣(﹣1)e﹣1= , 要使方程 f2(x)+tf(x)+1=0(t∈R)有四个实数根, 令 f(x)=m,则方程 m2+tm+1=0 应有两个不等根,且一个根在 个根在 内, 内,一 内,一

内,然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解 t 的

再令 g(m)=m2+tm+1, 因为 g(0)=1>0, 则只需 g( )<0,即 ,解得:t<﹣ .

所以,使得函数 f(x)=|xex|,方程 f2(x)+tf(x)+1=0(t∈R)有四个实数根
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的 t 的取值范围 是 故答案为 . .

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.) 17.已知 a、b、c 分别是△ABC 的三个内角∠A、∠B、∠C 的对边,acosB+ b=c. (1)求∠A 的大小; (2)若等差数列{an}中,a1=2cosA,a5=9,设数列{ 求证:Sn< . 【考点】数列的求和;余弦定理. 【分析】 (1) 过点 C 作 AB 边上的高交 AB 与 D, 通过 acosB+ b=c, 可知∠A=60°; (2)通过(1)及 a1=2cosA、a5=9 可知公差 d=2,进而可得通项 an=2n﹣1,分离 分母得 = ( ﹣ ) ,并项相加即可. }的前 n 项和为 Sn,

【解答】 (1)解:过点 C 作 AB 边上的高交 AB 与 D, 则△ACD、△BCD 均为直角三角形, ∵acosB+ b=c. ∴AD=AB﹣BD=c﹣acosB= b, ∴∠A=60°; (2)证明:由(1)知 a1=2cosA=2cos60°=1, 设等差数列{an}的公差为 d, ∵a5=a1+(5﹣1)d=9,∴d=2, ∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1, ∴ ∴Sn= ( = + +…+ = ( ﹣ ﹣ ) ) ,

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= (1﹣ < .



18.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,∠BAD=60°,Q 为 AD 的 中点. (Ⅰ)若 PA=PD,求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (Ⅱ)若平面 PAD⊥平面 ABCD,且 PA=PD=AD=2,点 M 在线段 PC 上,试 确定点 M 的位置,使二面角 M﹣BQ﹣C 大小为 60°,并求出 的值.

【考点】与二面角有关的立体几何综合题;平面与平面垂直的判定. 【分析】 (I)由已知条件推导出 PQ⊥AD,BQ⊥AD,从而得到 AD⊥平面 PQB, 由此能够证明平面 PQB⊥平面 PAD. ( II)以 Q 为坐标原点,分别以 QA,QB,QP 为 x,y,z 轴,建立空间直角坐 标系,利用向量法能求出结果. 【解答】 (I)证明:∵PA=PD,Q 为 AD 的中点,∴PQ⊥AD, 又∵底面 ABCD 为菱形,∠BAD=60°,∴BQ⊥AD, 又∵PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面 PQB, 又∵AD? 平面 PAD,∴平面 PQB⊥平面 PAD. ( II)∵平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD,PQ⊥AD, ∴PQ⊥平面 ABCD. 以 Q 为坐标原点,分别以 QA,QB,QP 为 x,y,z 轴, 建立空间直角坐标系如图. 则由题意知:Q(0,0,0) ,P(0,0, 设 (0<λ<1) ,则
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) ,B(0,

,0) ,C(﹣2, ,

,0) ,

平面 CBQ 的一个法向量是

=(0,0,1) , =(x,y,z) , ,

设平面 MQB 的一个法向量为 则 取 = ,

∵二面角 M﹣BQ﹣C 大小为 60°, ∴ 解得 ,此时 = . ,

19.已知从“神十”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为 ,某植物 研究所进行该种子的发芽实验,每次实验种一粒种子,每次实验结果相互独立, 假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的,如果种子没有发芽,则称该次实 验是失败的.若该研究所共进行四次实验,设 ξ 表示四次实验结束时实验成功的 次数与失败的次数之差的绝对值. (Ⅰ)求随机变量 ξ 的分布列及 ξ 的数学期望 E(ξ) ; (Ⅱ)记“不等式 ξx2﹣ξx+1>0 的解集是实数集 R”为事件 A,求事件 A 发生的概 率 P(A) . 【考点】相互独立事件的概率乘法公式;互斥事件的概率加法公式;离散型随机 变量的期望与方差. 【分析】 (1)四次实验结束时,实验成功的次数可能为 0,1,2,3,4,实验失
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败的次数可能为 4,3,2,1,0,ξ 的可能取值为 4,2,0.分别求出相应的概 率,由此能求出 ξ 的分布列和期望. (2)ξ 的可能取值为 0,2,4.当 ξ=0 时,不等式为 1>0 对 x∈R 恒成立,解集 为 R;当 ξ=2 时,不等式为 2x2﹣2x+1>0,解集为 R;ξ=4 时,不等式为 4x2﹣4x+1 >0,解集为 ,不为 R,由此能求出事件 A 发生的概率 P(A) .

【解答】解: (1)四次实验结束时,实验成功的次数可能为 0,1,2,3,4, 相应地,实验失败的次数可能为 4,3,2,1,0, 所以 ξ 的可能取值为 4,2,0. , , . 所以 ξ 的分别列为: ξ P 期望 (2)ξ 的可能取值为 0,2,4. 当 ξ=0 时,不等式为 1>0 对 x∈R 恒成立,解集为 R; 当 ξ=2 时,不等式为 2x2﹣2x+1>0,解集为 R; ξ=4 时,不等式为 4x2﹣4x+1>0,解集为 所以 .… ,不为 R, .… 0 2 4

20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0) ,圆 Q: (x﹣2)2+(y﹣ )到椭圆 C 的右焦点的距离为 .

)2=2 的圆心

Q 在椭圆 C 上,点 P(0, (1)求椭圆 C 的方程;

(2)过点 P 作互相垂直的两条直线 l1,l2,且 l1 交椭圆 C 于 A,B 两点,直线 l2 交圆 Q 于 C,D 两点,且 M 为 CD 的中点,求△MAB 的面积的取值范围.
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【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1)求得圆 Q 的圆心,代入椭圆方程,运用两点的距离公式,解方程 可得 a,b 的值,进而得到椭圆方程; (2)讨论两直线的斜率不存在和为 0,求得三角形 MAB 的面积为 4;设直线 y=kx+ ,代入圆 Q 的方程,运用韦达定理和中点坐标公式可得 M 的坐标,求 ,代入椭圆方程,运用韦达定理

得 MP 的长,再由直线 AB 的方程为 y=﹣ x+

和弦长公式,由三角形的面积公式,化简整理,由换元法,结合函数的单调性, 可得面积的范围. 【解答】解: (1)圆 Q: (x﹣2)2+(y﹣ 代入椭圆方程可得 由点 P(0, + =1, ,即有 = , )2=2 的圆心为(2, ) ,

)到椭圆 C 的右焦点的距离为

解得 c=2,即 a2﹣b2=4, 解得 a=2 ,b=2, + =1; ,

即有椭圆的方程为 (2)当直线 l1:y=

,代入圆的方程可得 x=2± ) ,又|AB|=4,

可得 M 的坐标为(2,

可得△MAB 的面积为 ×2×4=4; 设直线 y=kx+ 可得中点 M( ,代入圆 Q 的方程可得, (1+k2)x2﹣4x+2=0, , ) ,

|MP|=

=


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设直线 AB 的方程为 y=﹣ x+ (2+k2)x2﹣4 kx﹣4k2=0,

,代入椭圆方程,可得:

设(x1,y1) ,B(x2,y2) ,可得 x1+x2=

,x1x2=



则|AB|=

?

=

?



可得△MAB 的面积为 S= ?

?

?

=4



设 t=4+k2(5>t>4) ,可得 可得 S<4,且 S>0,

=

=



=1,

综上可得,△MAB 的面积的取值范围是(0,4].

21.已知函数 f(x)=x﹣alnx﹣1, (Ⅰ)求函数 g(x)的极值;

,其中 a 为实数.

( Ⅱ ) 设 a < 0 , 若 对 任 意 的 x1 、 x2 ∈ [3 , 4] ( x1 ≠ x2 ), 恒成立,求实数 a 的最小值. 【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭 区间上函数的最值. 【分析】 (Ⅰ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间, 从而求出函数的极值即可; (Ⅱ)设 ,根据函数的单调性得到 h(x)在[3,4]上为增函

数 , 问 题 等 价 于 f ( x2 ) ﹣ h ( x2 ) < f ( x1 ) ﹣ h ( x1 ) 设
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, 根据函数的单调性求出 a 的最小值即可. 【解答】解: (Ⅰ) x g'(x) g(x) ,令 g'(x)=0,得 x=1,列表如下: (﹣∞,1) + ↗ 1 0 极大值 (1,+∞) ﹣ ↘

∴当 x=1 时,g(x)取得极大值 g(1)=1,无极小值;… (Ⅱ)当 m=1 时,a<0 时,f(x)=x﹣alnx﹣1,x∈(0,+∞) , ∵ 设 在[3,4]恒成立,∴f(x)在[3,4]上为增函数, ,∵ 在[3,4]上恒成立,

∴h(x)在[3,4]上为增函数, 不妨设 x2>x1,则 等价于:f(x2)﹣f(x1)

<h(x2)﹣h(x1) ,即 f(x2)﹣h(x2)<f(x1)﹣h(x1) ,… 设 ∴ ∴ 设 恒成立,∴ ,则 u(x)在[3,4]上为减函数, 在[3,4]上恒成立, ,x∈[3,4],… , , ∴ ∴v(x)在[3,4]上的最大值 ∴a 的最小值为 .… ,∴v'(x)>0,v(x)为减函数, ,∴ , ∵

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请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选 修 4-4:坐标系与参数方程](共 1 小题,满分 10 分) 22 .已知曲线 C1 的极坐标方程为 ρcosθ ﹣ ρsinθ+2=0 ,曲线 C2 的参数方程为 (α 为参数) ,将曲线 C2 上的所有点的横坐标变为原来的 3 倍,纵坐 标变为原来的 倍,得到曲线 C3. (1)写出曲线 C1 的参数方程和曲线 C3 的普通方程; (2)已知点 P(0,2) ,曲线 C1 与曲线 C3 相交于 A,B,求|PA|+|PB|. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (1)由 x=ρcosθ,y=ρsinθ 化直线方程为普通方程,写出过 P(0,2)的 直线参数方程,由题意可得 ,运用同角平方关系化为普通方程;

(2)将直线的参数方程代入曲线 C3 的普通方程,可得 t 的方程,运用韦达定理 和参数的几何意义,即可得到所求和. 【解答】解: (1)曲线 C1 的极坐标方程为 ρcosθ﹣ρsinθ+2=0, 可得普通方程为 x﹣y+2=0, 则 C1 的参数方程为 (t 为参数) ,

由曲线 C2 的参数方程为 可得 ,

(α 为参数) ,

即有 C3 的普通方程为 x2+y2=9.… (2)C1 的标准参数方程为 与 C3 联立可得 t2+2 t﹣5=0, (t 为参数) ,

令|PA|=|t1|,|PB|=|t2|,由韦达定理, 则有 t1+t2=﹣2 ,t1t2=﹣5,

则|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|= = =2 …
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[选修 4-5:不等式选讲](共 1 小题,满分 0 分) 23.已知 a,b∈(0,+∞) ,且 2a4b=2. (Ⅰ)求 的最小值; 成立,求

(Ⅱ)若存在 a,b∈(0,+∞) ,使得不等式 实数 x 的取值范围. 【考点】绝对值三角不等式;基本不等式. 【分析】 (Ⅰ)由 2a4b=2 可知 a+2b=1,利用“1”的代换,即可求 (Ⅱ)分类讨论,解不等式,即可求实数 x 的取值范围. 【解答】 解: (Ⅰ) 由 2a4b=2 可知 a+2b=1, 又因为 由 a,b∈(0,+∞)可知 当且仅当 a=2b 时取等,所以 , 的最小值为 8.…

的最小值;



(Ⅱ)由题意可知即解不等式|x﹣1|+|2x﹣3|≥8, ① ② ,∴ ,∴x∈?, .

③ 综上,

,∴x≥4. .…

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2017 年 1 月 27 日

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