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2016-2017学年新人教A版必修1高中数学 3.2.2 函数模型的应用实例学案(精品)


3.2.2 函数模型的应用实例 [学习目标] 1.会利用已知函数模型解决实际问题.2.能建立函数模型解决实际问题. [预习导引] 1.解决函数应用问题的基本步骤 利用函数知识和函数观点解决实际问题时,一般按以下几个步骤进行: (一)审题;(二)建模;(三)求模;(四)还原. 这些步骤用框图表示如图: 2.数学模型 就是把实际问题用数学语言抽象概括, 再从数学角度来反映或近似地反映实际问题, 得出关 于实际问题的数学描述. 解决学生疑难点 要点一 用已知函数模型解决问题 例 1 通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生接受能力依赖于老师引入概念和描述 问题所用的时间.讲座开始时,学生的兴趣激增,中间有一段不太长的时间,学生的兴趣保 持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,分析结果和实验表明,用 f(x)表示学生掌 握和接受概念的能力(f(x)值越大, 表示接受的能力越强), x 表示提出和讲授概念的时间(单 位:min),可有以下的公式: 1 -0.1x +2.6x+43,0<x≤10, ? ? f(x)=?59,10<x≤16, ? ?-3x+107,16<x≤30. (1)开始后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多长时间? (2)开讲后 5 min 与开讲后 20 min 比较,学生的接受能力何时强一些? (3)一个数学难题,需要 55 的接受能力以及 13 min 时间,老师能否及时在学生一直达到所 需接受能力的状态下讲授完这个难题? 解 跟踪演练 1 统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量为 y(升)关于行驶速 1 3 度 x(千米/时)的函数解析式可以表示为:y= x3- x+8(0<x≤120).已知甲、乙两 12 800 80 地相距 100 千米.当汽车以 40 千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? 解 要点二 建立函数模型解决实际问题 例 2 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的 车流速度 v(单位:千米/时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度 为 60 千米/时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆 / 时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/时) 解 跟踪演练 2 某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是 M(亿元)和 N(亿元),它 1 们与投资额 t(亿元)的关系有经验公式:M= 3 2 t,N= t,今该公司将用 3 亿元投资这两个 1 6 项目,若设甲项目投资 x 亿元,投资这两个项目所获得的总利润为 y 亿元. (1)写出 y 关于 x 的函数表达式; (2)求总利润 y 的最大值. 解 1.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系, 如图所示, 由图中 2 给出的信息可知,营销人员没有销售量时的收入是( ) A.310 元 B.300 元 C.390 元 D.280 元 2. 小明的父亲饭后出去散步, 从家中走 20 分钟到一个离家 900 米的报亭看 10 分钟报纸后, 用 20 分钟返回家里,下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间与距离之间的关系的

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