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2015年四县一模文科数学 试卷


2015 年 3 月长望浏宁高三模拟考试

文科数学试卷
时量:120 分钟 总分 150 分

考生注意: 1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上,考生要认真核对条形 码上的准考证号、姓名、考试科目与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写 作答,在试题卷上作答的答案无效。 3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的。 1、复数 z ? 1 ? 2i ,则 z 的模为 A. ? 1 ? 2 2、函数 f (x ) ? A. {x | x ? 6} B. 3 C. 1 ? 2 D. 5

x ? 3 ? log2 (6 ? x ) 的定义域是
B. {x | ?3 ? x ? 6} C. {x | x ? ?3} D. {x | ?3 ? x ? 6}

3、根据如下样本数据

x y

3 4.0

4 2.5

5
? 0.5

6 0.5

7
? 2.0

? ? bx ? a .若 a ? 7.9 ,则 x 每增加 1 个单位, y 就 得到的回归方程为 y
A.增加 1.4 个单位; B.减少 1.4 个单位; C.增加1.2 个单位; D.减少1.2 个单位. 4、 “ p ? q 为真命题”是“ p ? q 为真命题”的

文科数学

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A、充分不必要条件; B、必要不充分条件; C、充要条件; 5、将函数 y ? sin ? 2x ?

D、非充分非必要条件

? ?

??

? ? 的图象向右平移 12 个单位,然后纵坐标不变横坐标伸长为原 3?

来的 2 倍,得到函数解析式为 A. y ? ? cos x B. y ? cos x C. y ? sin ? x ?
2 2 2

? ?

5? ? ? 12 ?

D. y ? ? sin x

6、已知 M (a, b) (ab ? 0) 是圆 O : x ? y ? r 内一点,现有以 M 为中点的弦所在 直线 m 和直线 l : ax ? by ? r ,则
2

A. m // l ,且 l 与圆相交 C. m // l ,且 l 与圆相离 7、执行如图所示的程序框图,输出的 x 值为 A.7 B.6 C.5

B. l ? m ,且 l 与圆相交 D. l ? m ,且 l 与圆相离

D.4

8、已知某三棱锥的三视图均为腰长为 2 的等腰直角三角形(如图) ,则该棱锥的外接球的 半径是 A.

3 2

B. 3

C.2

D. 2 3

第 7 题图

第 8 题图

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?loga x , x ? 0 9、设 a 为大于 1 的常数,函数 f (x ) ? ? , 若关于 x 的方程 f ? x ? ?a , x ? 0

2

(x ) ? bf (x ) ? 0

恰有三个不同的实数解,则实数 b 的取值范围是 A.0<b≤1 B.0<b<1 C.0≤b≤1 D.b>1.

10、如图,正 ?ABC 的中心位于点 G (0, 1) ,A (0, 2) ,动点 P 从 A 点出发沿 ?ABC 的边界 按逆时针方向运动,设旋转的角度 ?AGP ? x (0 ≤ x ≤ 2? ) ,向量 OP 在 a ? (1,0) 方向的投影 为 y(O 为坐标原点) ,则 y 关于 x 的函数 y ? f ( x) 的图像是
y
3 2 3 2

y
2? x

O
3 ? 2

2? 3

4? 3

2? x

O
3 ? 2

2? 3

4? 3

A.
y
2? 3

B.
y
2? 3

3 2

3 2

O

第 10 题图

3 ? 2

4? 3

2? x

O
3 ? 2

4? 3

2? x

C.

D.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11、设集合 A ? ?? 1,0,1,2?, B ? x x 12、在极坐标系中,点 (3,

?

2

? x ,则集合 A ? B =


?

.

2? ) 到直线 ? cos? ? 1的距离是 3

?x ? y ? 13、设实数 x , y 满足 ? y ? 6 ? 2 x ,则目标函数 m ? ?2x ? y 的最小值为 ?x ? 1 ?



14、如图,直线 y ? x ? 2 与圆 x
2

2

? y 2 ? 4x ? 3 ? 0

及抛物线 y ? 8x 依次交于 A、B、C、D 四点,则

| AB | ? | CD |?

.
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第 14 题图

15、若存在 实数 b ? [?1,2] ,使得 2 (a ? b ) ? 4 ,则实数 a 的取值范围是 ..
b

.

三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 75 分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演 算步骤。 16. (本小题满分 12 分)

an ? 满足 a2 =5,且其前 n 项和 S n ? pn 2 ? n . 已知数列 ? an ? 的通项公式; (Ⅰ)求 p 的值和数列 ?

b n ?为等比数列,公比为 p ,且其前 n 项和T n 满足T 5 ? S 5 ,求 b 1 的取值范围. (Ⅱ)设 ?

17. (本小题满分 12 分) 某网站针对“2015 年春节放假安排”开展网上问卷调查, 提出了 A, B 两种放 假方 案, 调查结果如下表(单位:万人) : 人群 支持 A 方案 支持 B 方案 青少年 200 100 中年人 400 100 老年人 800

n
3 5

已知从所有参与调查的人中任选 1 人是“老年人”的概率为 . (Ⅰ)求 n 的值; (Ⅱ)从参与调查的“老年人”中,用分层抽样的方法抽取 6 人,在这 6 人中任意选取 2 人,求恰好有 1 人“支持 B 方案”的概率.

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18、 (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, ?PAB 是正三角形,四边形 ABCD 是矩形,且平面

PAB ? 平面 ABCD , PA ? 2 , PC ? 4 .
(Ⅰ)若点 E 是 PC 的中点,求证: PA / / 平面 BDE ; (Ⅱ)若点 F 在线段 PA 上,且 FA ? ? PA ,当三棱锥 B ? AFD 的体积为 的值.

4 时,求实数 ? 3

第 18 题图

19. (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? cos x ?
2

3 sin x cos x ?

1 2

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期及值域; (Ⅱ) 已知 ?ABC 中, 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , 若 f (B ? C ) ?

3 ,a ? 3 , 2

b ? c ? 3 ,求 ?ABC 的面积.

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20、 (本小题满分 13 分) 如图所示的“8”字形曲线是由两个关于 x 轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的 图形,其中上半个圆所在圆方程是 x2 ? y 2 ? 4 y ? 4 ? 0 ,双曲线的左、右顶点 A 、 B 是该 圆与 x 轴的交点, 双曲线与半圆相交于与 x 轴平 行的直径的两端点. (1)试求双曲线的标准方程; (2) 记双曲线的左、 右焦点为 F1 、F2 , 试在 “8” 字形曲线上求点 P ,使得 ?F 1PF 2 是直角.

第 20 题图

21. (本小题满分 13 分)

a?x ,其中 a 为常数,且 a ? 0 . x 1 (1)若曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 y ? x ? 1 垂直,求 a 的值; 2 1 (2)若函数 f ( x ) 在区间 [1, 2] 上的最小值为 ,求 a 的值. 2
已知函数 f (x ) ? ln x ?

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