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《正弦定理和余弦定理》新课程高中数学高三第一轮学案和测评复习课件_图文

第七节
基础梳理

正弦定理和余弦定理

1. 设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a,b,c,R是△ABC的外 接圆半径. (1)正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即
a b c ? ? sin A sin B sin C

=2R.

(2)正弦定理的三种形式 ①a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; ②sin A=
a 2R

,sin B=

b ,sin 2R

C= 2 R ;

c

③a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.

2. 三角形常用面积公式 (1)S= 2 ah(h表示三角形长为a的边上的高). (2)S=
1 1 2 ah= 2 1 1

acsin B= bcsin A=

1 2

1 2 absin

C.

(3)S= 2 r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).
3. 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与 它们夹角的余弦的积的两倍.即
a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A, b2 ? c2 ? a2 ? 2ca cos B, c2 ? b2 ? a2 ? 2ab cos C,



b2 ? c 2 ? a 2 cos A ? , 2bc

a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 cos B ? , cos C ? . 2ac 2ab

4. 勾股定理是余弦定理的特殊情况 在余弦定理表达式中分别令A、B、C为90°,则上述关系式分别化为: a 2 ? b2 ? c2, b2 ? c2 ? a 2 , c 2 ? a 2 ? b2 .

典例分析
题型一 正弦定理和余弦定理的应用

【例1】在△ABC中,已知a= 3 ,b= 2 ,B=45°,求A、C和c. 分析 已知两边和其中一边的对角的解三角形问题,可运用正弦定 理来求解,但应注意解的情况.或借助余弦定理,先求出边c后,再 求出角C与角A.

解 方法一:∵B=45°<90°,且b<a,∴问题有两解. 由正弦定理,得sin A=
a sin B 3 sin 45? 3 ? ? , b 2 2

∴A=60°或A=120°. (1)当A=60°时,C=180°-A-B=75°, ∴c=
b sin C 2 sin 75? 6? 2 ? ? . ? sin B sin 45 2

(2)当A=120°时,C=180°-A-B=15°, ∴c=
b sin C 2 sin15? 6? 2 ? ? . ? sin B sin 45 2
6? 2 或A=120°,C=15°,c= 6 ? 2 2 2

故A=60°,C=75°,c=

.

方法二:由余弦定理有 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B, 即?
2

? ? ?
2

?

3 ? c2 ? 2 3c cos 45? ,

2

整理得 c2 ? 又cosA=

6c ? 1 ? 0, 解得c= 6 ? 2 或c= 6 ? 2 .
2 2

b2 ? c 2 ? a 2 , 2bc


1

当a=

3 ,b= 2 ,c= 6 ? 2 时,由①可得cosA=2 2

,故A=120°;
,故A=60°.
6? 2 2

当a= 3 ,b= 2 ,c=

1 6? 2 时,由①可得 cosA= 2 2

故A=60°,C=75°,c=

6? 2 或A=120°,C=15°,c= 2

.

学后反思 对于解三角形,若已知两边和其中一边的对角,要注意解的 个数,往往需要分类讨论.用正弦定理,则对角进行分类讨论;用余弦 定理,则对边进行分类讨论.

举一反三
1. 已知在△ABC中,a=7,b=3,c=5,求三角形中的最大角及角C的正弦值. 解析: ∵a>c>b,∴角A为最大角.
b2 ? c 2 ? a 2 1 ?? , 2bc 2

由余弦定理有cosA= ∴sin A=
3 2

∴A=120°,

a c ? ,再根据正弦定理,有 sin A sin C ,

∴sin C= sin A ? ?

c a

5 7

3 5 3 ? . 2 14

题型二

三角形的面积问题

【例2】在△ABC中,A=60°,b=1,其面积为 3 ,则△ABC外接圆的 直径是 . 分析 三角形外接圆的直径是和正弦定理联系在一起的,已经知 道了A=60°,只要再能求出边a,问题就解决了,结合已知条件求边 a是解决问题的关键. 解 由题意知,S?ABC = bcsin A,所以c=4. 由余弦定理知:a=
a

1 2

b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 13,
13 2 39 ? . 3 3 2
2 39 3

再由正弦定理2R= sin A ?

即△ABC外接圆的直径是

.

? ? ? 2R 学后反思 要注意正弦定理的统一形式: sin A sin B sin C (其中R为三角形外接圆的半径),这个定理还可以写成

a

b

c

a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C,或

? a ? 2 R sin A, ? ? b ? 2 R sin B, ? c ? 2 R sin C ?

等形式.

举一反三
2. (2009· 北京)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,B= ? ,
3

cos A=

4 ,b= 3 . 5

(1)求sin C的值; (2)求△ABC的面积.

解析

2? 3 3 ? 2? ? C ? ? A ,sin A ? , ? sin C ? sin ? A ? cos A ? ? ? ∴ 3 5 3 2 ? ? 1 3 4 1 3 3? 4 3 ? sin A ? ? ? ? ? 2 2 5 2 5 10

4 ? (1)∵角A、B、C为△ABC的内角,且B= ,cos A= , 5 3

(2)由(1)知sin A ? 3 ,sin C ? 3 ? 4 3
5 10

.

b sin A 6 ? a ? ? 又∵B= ,b= 3,∴在△ABC中,由正弦定理得 . sin B 5 3

于是△ABC的面积S=12absin C= ? ? 3 ? 题型三 判断三角形的形状

1 6 2 5

3 ? 4 3 36 ? 9 3 ? 10 50

.

【例3】在△ABC中,acos A+bcos B=ccos C,试判断三角形的形状.

分析 判定三角形的类型,一般是从题设条件出发,依正弦定理、 余弦定理和面积公式,运用三角函数式或代数式的恒等变形导出 角或边的某种特殊关系,从而判定三角形的类型.
解 方法一:由正弦定理,设sin A ? sin B ? sin C =k>0, ∴a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C,代入已知条件得 ksin Acos A+ksin Bcos B=ksin Ccos C, 即sin Acos A+sin Bcos B=sin Ccos C. 根据二倍角公式得sin 2A+sin 2B=sin 2C, sin[(A+B)+(A-B)]+sin[(A+B)-(A-B)]= 2sin Ccos C, ∴2sin(A+B)cos(A-B)=2sin Ccos C. ? A+B=π-C,∴sin(A+B)=sin C≠0, ∵A+B+C=π? ∴cos(A-B)=cos C, ∴cos(A-B)+cos(A+B)=0, ∴2cos Acos B=0? ? cos A=0或cos B=0, 即A=90°或B=90°,∴△ABC是直角三角形.
a b c

方法二:由余弦定理知
cosA=
b2 ? c 2 ? a 2 , 2bc

cosB=
b2 ? c 2 ? a 2 2bc

a 2 ? c 2 ? b2 , 2ac

cosC= a

2

? b2 ? c 2 , 2ab

代入已知条件得a·
通分得

+b·

a 2 ? c2 ? b2 2ac

+c·

a 2 ? b2 ? c 2 2ab

=0,

a 2 ? b 2 ? c 2 ? a 2 ? ? b 2 ? a 2 ? c 2 ? b 2 ? ? c 2 ? c 2 ? a 2 ? b 2 ? ? 0,

展开整理得 ? a

2

? b2 ? ? c 4 ,? a 2 ? b2 ? ?c 2,
2

即a

2

? b2 ? c 2

或b

2

? a2 ? c2

.

根据勾股定理知△ABC是直角三角形. 学后反思 (1)判断三角形的形状,主要有两条思路:一是化角为 边,二是化边为角. (2)若等式两边是关于三角形的边或内角正弦函数齐次式,则可 ? a ?b ? c ? 以根据正弦定理互相转化.如asin A+bsin B=csin C??
2 2 2

sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C.

举一反三
3. A. B. C. D.
a 2 tan B ? b2 tan A ,判断三角形的形状是( ) △ABC中, 等腰三角形 直角三角形 等腰三角形或直角三角形 等腰直角三角形

解析:由正弦定理得 sin 2 A tan B ? sin 2 B tan A , sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B. 又因为A,B∈(0,π),所以A=B或A+B=90°. 答案:C

题型四

正、余弦定理的综合应用

【例4】(12分)△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, 且 b ? c ? a ? bc ? 0. (1)求角A的大小; (2)若a= 3 ,求bc的最大值; ?30 ? C ? 的值. (3)求 a sin b ?c
2 2 2

?

分析(1)由 b ? c ? a ? bc ? 0 的结构形式,可联想余弦定理,求出cos A,进而求出A的值. (2)由a= 3 及b ? c ? a ? bc ? 0 ,可求出关于b,c的关系式,利用不等式 即可求出bc的最大值. (3)由正弦定理可实现将边化角的功能,从而达到化简求值的目的.
2 2 2 2 2 2

解 (1)∵cosA= ……………………………1′ ∴A=120°…………………………………………………..2′ (2)由a= 3 ,得 b ? c ? 3 ? bc. …………………………………….3′ 又∵ b ? c ≥2bc(当且仅当c=b时取等号), ∴3-bc≥2bc(当且仅当c=b时取等号),………………..4′ 即当且仅当c=b=1时,bc取得最大值为1…………………..6′
2 2 2 2

b2 ? c 2 ? a 2 bc 1 ?? ?? , 2bc 2bc 2

(3)由正弦定理,得 ∴
?

? 3?1 3 sin C ? ? cos C ? a sin ? 30 ? C ? 2 R sin A sin ? 30 ? C ? sin A sin ? 30 ? C ? 2 ?2 2 ? ? ? ? ? b?c 2 R sin B ? 2 R sin C sin B ? sin C sin ? 60 ? C ? ? sin C
? ?

a b c ? ? ? 2 R, sin A sin B sin C

…………………….7′

3 3 cos C ? sin C 1 4 ? 4 ? . 2 3 3 cos C ? sin C 2 2

……………………………..12′

学后反思 (1)在三角形中求角,往往选择先求该角的余弦值, 然后利用余弦函数在(0,π)上的单调性求角. (2)正、余弦定理均能实现边角转化,在解题时一定要注意根据 条件的形式,选择转化方式.

举一反三
4. 在△ABC中,A、B、C所对的边长分别为a、b、c.设a、b、c满足 c 1 ? ? 3 ,求A和tan B的值. 条件 b ? c ? bc ? a 和 b 2
2 2 2

解析:由余弦定理cosA= ,因此A=60°. 在△ABC中,C=180-A-B=120°-B. 由已知条件,应用正弦定理,得 1 c sin C sin ?120 ? B ? sin120 cos B ? cos120 sin B 3 1 ? 3? ? ? ? ? cot B ? ,
? ? ?

b 2 ? c 2 ? a 2 bc 1 ? ? 2bc 2bc 2

2

b

sin B

sin B

sin B

2

2

解得cot B=2,从而tan B= .

1 2

易错警示
c 【例】在△ABC中,若C=3B,求 b

的取值范围.

错解 ∵

? c sin C sin ?120 ? B ? sin 3B sin ? 2B ? B ? sin 2B cos B ? cos 2B sin B ? ? ? ? b sin B sin B sin B sin B sin B

?

2sin B cos2 B ? ?1 ? 2sin 2 B ? sin B

sin B 3 3sin B ? 4sin B ? ? 3 ? 4sin 2 B. sin B

?

2sin B ?1 ? 2sin 2 B ? ? sin B ? 2sin 3 B sin B

? 0 ? sin 2 B ? 1,??1 ? 3 ? 4sin 2 B ? 3,? 0 ?

c ? 3. b

错解分析 上面解答忽视了隐含条件B的范围. ∵C=3B,A=π-4B>0,即0<B< 4 ,∴0<sin B≤ 1 .
?

正解 ∵A+B+C=π,∴C=3B,∴A=π -4B>0, 1 2 ∴0<B< ? ,∴0<sin B < 2 . 4
c sin C sin 3B 2 又∵ b ? sin B ? sin B ? 3 ? 4sin B,

∴1<3-4 sin 2 B <3,∴1< <3.

c b

考点演练
10.(2010· 东营模拟)在△ABC中,BC=a,AC=b,a、b是方程 x2 ? 2 3x ? 2 ? 0 的两 根且2cos(A+B)=1,则AB= 解析: .
? ? a?b?2 3 1 设AB=c, ? ? ab ? 2 ? cos C ? ? ? 2 ? 1 ?cos ? A ? B ? ? ? 2
2 2 2

? 2ab ? c 2 8 ? c 2 a ?b ?c 1 又 ? cos C ? ? ?? 2ab 2ab 4 2 ,? c 2 ? 10,? c ? 10, 即AB ? 10

?a ? b? =

2

11. 在△ABC中,已知sin C=2sin(B+C)cos B,判断△ABC的形状. 解析: 方法一:由sin C=2sin(B+C)cos B,得sin C=2sin A· cos B.再结
c a a 2 ? c 2 ? b2 ? 2? ? 合正、余弦定理,得 , 2R 2R 2ab

整理得a 2 ? b 2 ,所以△ABC是等腰三角形.

方法二:由sin C=2sin Acos B,得sin(A+B)=2sin Acos B,整理
得sin(A-B)=0,从而A=B,所以△ABC是等腰三角形. 12. (2009· 浙江)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足
cos A 2 5 ? 2 5

,AB· AC=3.

(1)求△ABC的面积;

(2)若b+c=6,求a的值.

解析: (1)∵ cos ∴ cos A ? 2cos 2

A 3 4 ? 1 ? ,sin A ? 2 5 5

A 2 5 ? 2 5

, .

由AB· AC=3,得bccos A=3,∴bc=5.
∴S△ABC= bcsin A=2.
1 2

(2)由(1)知,bc=5,又b+c=6,
∴b=5,c=1或b=1,c=5. 由余弦定理,得 a 2 ? b2 ? c2 ? 2bccos A ? 20 , ∴a= 2 5 .

第八节
基础梳理

正、余弦定理的应用举例

1. 解三角形 一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 2. 解三角形的类型 (1)已知三边求三角,用余弦定理; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角, 用余弦定理; (3)已知两角和任一边,求其他两边和一角,用正弦定理; (4)已知两边和一边的对角,求第三边和其他两角,用正弦定理.

典例分析
题型一 正、余玄定理的综合应用
31 且 32

【例1】如图,在△ABC中,BC=5,AC=4,cos∠CAD=
AD=BD,求△ABC的面积.

分析 解答本题可先由余弦定理求出CD的长,再利用正弦定理求∠C的正弦值, 最后根据S= BC· AC· sin C求解△ABC的面积 解 设CD=x,则AD=BD=5-x, 在△CAD中,由余弦定理可知: 2 5 ? x ? ? 42 ? x 2 31 ,解得x=1. ? cos?CAD ? ?
AD CD ? 在△CAD中,由正弦定理可知: sin C sin?CAD

1 2

2 ? 4 ? ?5 ? x ?

32

? sin C ?

AD ? 1 ? cos 2 ?CAD CD 31 3 ? 4 1 ? ( )2 ? 7, 32 8

∴S△CAB ?

1 1 3 15 AC ?BC ? sin C ? ? 4 ? 5 ? 7 ? 7 2 2 8 4



∴三角形ABC的面积为15 7 .
4

学后反思 (1)求三角形的面积时,要充分挖掘题目中的条件 将其转化为求两边及夹角正弦的问题,要注意方程思想在解 题中的应用. (2)由α+β=180°,得cos α=-cos β和sin α=sin β,

这是解三角形中经常用到的等量关系.

举一反三
1. 如图,在四边形ABCD中,BC=a,DC=2a,四个内角A、B、C、D的度数

之比为3∶7∶4∶10,求AB的长.
解析: 设四个内角A、B、C、D的大小为3x、7x、4x、10x(x>0),由四边形

内角和为360°,得3x+7x+4x+10x=360°,∴x=15°,
即A=45°,B=105°,C=60°,D=150°.

连接BD,在△BCD中,由余弦定理,得 2 BD 2 ? a 2 ? ? 2a ? ? 2?a?2a?cos 600 ? 3a 2 ,? BD ? 3a . 1 CD 2 ? BC 2 ? BD 2 , 且BC ? CD 此时, , 2 ∴△BCD为直角三角形,且∠BDC=30°, ∴∠ADB=150°-30°=120°. 在△ABD中,∵ AB ? BD ,
sin?ADB sin A

BD? sin ?ADB 3a sin1200 3 2 ? ? a ∴ AB ? 0 sin A sin 45 2

题型二

构造三角形模型解应用题

【例2】(12分)一次机器人足球比赛中,甲队1号机器人由点A开 始做匀速直线运动,到达点B时,发现足球在点D处正以2倍于自 己的速度向点A做匀速直线滚动.如图所示,已知AB= 4 2 dm,AD=17 dm,∠BAC=45°.若忽略机器人原地旋转所需的时间,则该机器人 最快可在何处截住足球?

分析 “最快截住”是指“机器人从点B沿直线运动时和足球在 直线AD上的点C处相遇”,此时CD=2BC,将问题归结到△ABC中, 用余弦定理解决.

解 设该机器人最快可在点C处截住足球,点C在线段AD上,设 BC=x dm,由题意知,CD=2x dm,AC=AD-CD=(17-2x) dm. 在△ABC中,由余弦定理得, BC ? AB ? AC -2AB· AC· cos A, 即 x ? ? 4 2 ? ? ?17 ? 2x ? -2× cos 45°. 4 2 ×(17-2x)·
2 2 2
2 2 2

解得 x1 =5 dm, x2 = 37 dm, 3 ∴AC=17-2x=7 dm或- 3 dm(不合题意,舍去). 所以该机器人最快可在线段AD上离点A 7 dm的点C处截住足球.
23

学后反思 本题中机器人在从点B开始运动时必须选择一个方向, 在这个方向上沿直线运动恰好与足球在直线AD上的点C相遇,这样 才能达到“最快截住”的目的,否则就不是“最快截住”.这样就 可以把问题归结到一个三角形中,用正、余弦定理来解决问题.

举一反三
2. 如图,甲船以每小时30 2海里的速度向正北方航 行,乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A1处 时,乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处,此时 两船相距20海里,当甲船航行20分钟到达A2处时, 乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处,此时两 船相距10 2 海里.问:乙船每小时航行多少海里? 解析:方法一:如图,连接 A1B,由已知 2
A2 B2 ? 10 2
1 2 2

,AA
1

2

? 30 2 ?

20 ? 10 2, 60

∴ A1 A2 ? A2 B2 .

又?A A B =180°-120°=60°, ∴△ A A B是等边三角形,∴ A2 B2 ? A1 A2 ? 10 2. 由已知, A B =20,∠B1 A1B2=105°-60°=45°, 在△ B A B 1中,由余弦定理得
1 2 2 1 1 1 1 2

B1B22 ? A1B12 ? 2 A1B1 ? A1B2 ? cos 45?
? 202 ? 10 2

?

?

2

? 2 ? 20 ?10 2 ?
10 2 20

2 ? 200,? B1B2 ? 10 2. 2 30 2

因此,乙船的速度为

×60= 30 2 (海里/小时).

方法二:如图,连接 A2 B1 ,由已知 A1B1 =20, 20 A1 A2 ? 30 2 ? ? 10 2, ∠B1 A1 A2 =105°, 60 cos 105°=cos(45°+60°) 2 ?1 ? 3 ? =cos 45°cos 60°-sin 45°sin 60°= 4 , sin 105°=sin(45°+60°) 2 ?1 ? 3 ? , =sin45°cos 60°+cos45°sin 60°= 4 在△ A2 A1B1 中,由余弦定理,得
A2 B12 ? A1 B12 ? A2 A2 2 ? 2 A1 B1 ? A1 A2 ? cos105? ? 20 ? 10 2
2

?

? 100 4 ? 2

?

? ? ? ? 2 ? 20 ?10 2 ? 4 3 ? ,? A B ? 10 ?1 ? 3 ? .
2

2 1? 3

2

1

由正弦定理得
??A1 A2 B1 ? 45?

sin ?A1 A2 B1 ?

2 1? 3 A1 B1 20 2 sin ?B1 A1 A2 ? ? ? , A2 B1 4 2 10 1 ? 3

?

?

?

?

,即∠B1 A2 B2 =60°-45°=15°,
2 1? 3 4

cos 15°=sin 105°=

?

?,
2,

在△ B1 A2 B2 中,由已知 A2 B2 ? 10

由余弦定理得 B1B22 ? A2 B12 ? A2 B22 ? 2 A2 B1 ? A2 B2 ? cos15?
? 102 ? 1 ? 3

?

? ?
2

? 10 2

?

2

? 2 ?10 ? 1 ? 3 ?10 2 ?

?

?

2 1? 3 4

?

? ? 200,

? B1B2 ? 10 2,

∴乙船的速度为 10

2 ? 60 ? 30 2(海里/小时). 20

【例3】(12分)某观测站C在A城的南偏西20°的方向.由A城出 发的一条公路,走向是南偏东40°,在C处测得公路上B处有一 人距C为31千米,正沿公路向A城走去,走了20千米后到达D处, 此时CD间的距离为21千米,问这人还要走多少千米可到达A城?
分析 本题为解斜三角形的应用问题,要求这人要走多少路 可到达A城,也就是要求AD的长,在△ADC中,已知CD=21千米, ∠CAD=60°,只需再求出一个量即可. 解 设∠ACD=α,∠CDB=β,在△CDB中,由余弦定理得:
BD 2 ? CD 2 ? CB 2 202 ? 212 ? 312 1 cos? ? ? ?? 2 BD? CD 2 ? 20 ? 21 7

,……4′

则sin β=

4 3 7

,………………………5′

而sin α=sin(β-60°)=sin βcos 60°-cos βsin 60°
4 3 1 3 1 5 3 ? ? ? ? = ,………………………….7′ 7 2 2 7 14 21 AD ? 在△ADC中,由正弦定理得 sin 60? sin ?

21sin ? ∴AD= sin 60? ?

21?

答:这个人再走15千米就可到达A城………………12′

5 3 14 =15(千米)……………11′ 3 2

学后反思 测量距离问题的解题思路是把所要求的问题转 化到三角形中,然后利用正弦定理、余弦定理求解.常见 错误:(1)读不懂题意,从而不能准确作图、建模;(2) 算法不简练,算式不工整,计算不准确;(3)有单位时 漏单位或不作答.

举一反三
3. (2009· 辽宁)如图,A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内, B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角 分别为75°,30°,于水面C处测得B点与D点的仰角均为60°,AC=0.1 km.试探究图中B,D间距离与另外哪两点间距离相等,然后求B,D的距 离(计算结果精确到0.01 km, ≈1.414, 2 ≈2.449) 6 .

解析:在△ACD中,∠DAC=30°,∠ADC=60°-∠DAC=30°, ∴CD=AC=0.1.又∠BCD=180°-60°-60°=60°, ∴CB是△CAD底边AD的中垂线, ∴BD=BA,即B、D间的距离与A、B间的距离相等. ? 6 在△ABC中 AB ? AC ,即AB ? ACsin 60? ? 3 2 ,
因此,BD=
sin?BCA sin?ABC 3 2? 6 ≈0.33(km). 20 sin 15? 20

∴B、D的距离约为0.33 km.

题型三

三角形与函数的综合问题

【例3】在△ABC中,若AB=AC,则cos A+cos B+cos C的取值范围 为( )
0, ? A. ? ? 2? ? 3? 1, B. ? ? 2? ? ? 3?

1, C. ? ? 2? ?

? 3?

0, D. ? ? 2? ?

?

3?

分析 易用余弦定理把原式化成“边”的形式,又AB=AC,即b=c,B=C, a 则可把cos A+cos B+cos C转化为以 为自变量的二次函数.
b

解 由于AB=AC,所以b=c,B=C,由余弦定理得 cosA+cosB+cosC=
b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 1?a? a 1?a ? 3 ? 2? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? 1? ? , 2bc 2ac 2?b ? b 2?b ? 2
2 2

由于b+c>a,即2b>a,所以0<
2 3 1?a ? 3 ? 1? ? ≤ 于是1<? 2 ? 2 ?b ? 2

a b <2,

.故选B.

学后反思 解决三角形中的有关问题时,主要通过正弦定理和 余弦定理进行边角互化,但也要注意一些隐含条件的利用.例 如,在三角形中,两边之和大于第三边 ,两边之差小于第三边, ? 大边对大角,最大内角的取值范围是[ 3 ,π),最小内角的取值 ? 范围是(0, 3 ]等.

举一反三
3. 在△ABC中,已知内角A= 3 ,边BC= 2 3,设内角B=x,周长为y. (1)求函数y=f(x)的解析式和定义域; (2)求y的最大值.
? 解析:(1)△ABC的内角和A+B+C=π,由A= 3
2? ,B>0,C>0得0<B< 3
?

.

应用正弦定理知

BC 2 3 sin B ? sin x ? 4sin x, ? sin A sin 3 BC ?2 ? AB ? sin C ? 4sin ? ? ? x ? .∵y=AB+BC+AC, sin A ?3 ? AC ?
?2 ? 3

? ? x? ? 2 ∴y=4sin x+ 4sin ? ?3 ?

(0<x<3

2?

).

(2)∵y=4(sin x+

3 2

cos x+

1 2 sin

x)+ 2 3

=

?? ? 5? ? ? ?? 4 3 sin ? x ? ? ? 2 3 ? ? x ? ? ? 6? 6 6 ? ? ?6

,

? ∴当x+ 6

=

? ? 2 ,即x= 3

时,y取得最大值 6 3 .

考点演练
10. (2009· 深圳模拟)如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆上, 2? tan CD⊥AB于点D,且AD=3DB,设∠COD=θ,则 = . 2
解析: 由AD=3DB,可知D为OB中点.设圆的半径为R,则OD= 2 ,
3 1 CD⊥AB,CD= 3R.在直角三角形COD中, sin ? ? , cos ? ? ,
R

所以 tan 2 ? ?
2

2 2 ?1 ? cos? ?

sin ?
2

?

1 3

2

2

.

答案:

1 3

11. (2008· 上海)如图,某住宅小区的平面图呈扇形AOC,小区的 两个出入口设置在点A及点C处.小区里有两条笔直的小路AD、DC, 且拐弯处的转角为120°.已知某人从C沿CD走到D用了10分钟,从 D沿DA走到A用了6分钟.若此人步行的速度为每分钟50米,求该扇 形的半径OA的长(精确到1米).
解析: 方法一:设该扇形的半径为r米,由题意得 CD=500(米),DA=300(米),∠CDO=60°. 在△CDO中, CD2 ? OD2 ? 2CD? OD? cos 600 ? OC2 , 1 2 2 2 500 ? r ? 300 ? 2 ? 500 ? r ? 300 ? ? r ? ? ? ? 即 2 解得r=
4900 ≈445(米). 11

方法二:连接AC,作OH⊥AC,交AC于H.由题意得CD=500(米),
AD=300(米),∠CDA=120°,

△ACD中,AC 2 ? CD 2 ? AD 2 ? 2CD ?AD ? cos1200

? 5002 ? 300 2 ? 2 ? 500 ? 300 ?
∴AC=700(米),
AC 2 ? AD 2 ? CD2 11 cos∠CAD= ? 2?AC ?AD 14

1 ? 700 2 2

.

11 在Rt△HAO中,AH=350(米),cos∠HAO= , 14 AH 4 900 OA ? ? ∴ ≈445(米). cos?HAO 11

12. (2009· 海南、宁夏)为了测量两山顶M、N间的距离,飞机沿水 平方向在A、B两点进行测量.A、B、M、N在同一个铅垂平面内(如 图).飞机能够测量的数据有俯角和A、B间的距离.请设计一个方案, 包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);② 用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤. 解析: 方法一:①需要测量的数据有:点A到点M,N的俯角?1 , ?1 ; 点B到M,N的俯角 ?2 , ?2;A,B间的距离d(如图).
dsin? 2 sin ??1 ? ? 2 ? dsin? 2 AN ? 第二步:计算AN.由正弦定理得 sin ? ? 2 ? ?1 ?

②第一步:计算AM.由正弦定理得AM ?

第三步:计算MN.由余弦定理,得

MN ? AM 2 ? AN 2 ? 2 AM ? AN cos ??1 ? ?1 ?

.

方法二: ①需要测量的数据有:点A到点M,N的俯角 ?1 , ?1 ;

点B到M,N的俯角 ?2 , ?2 ;点A,B的距离d(如图所示).
②第一步:计算BM.由正弦定理得 BM ?
dsin?1 sin ??1 ? ? 2 ?

第二步:计算BN.由正弦定理得 BN ?

dsin?1 sin ? ? 2 ? ?1 ?

第三步:计算MN.由余弦定理得

MN ? BM 2 ? BN 2 ? 2 BM ? BN cos ? ? 2 ? ? 2 ?


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