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指数函数图像和性质


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引例1:某种细胞分裂时,由1 个细胞分裂成2 个,2个分裂成4个,......,一个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞个数y与分裂次数x有怎样 的函数关系?
引例2:某种商品的价格从今年起每年降低15设 原来的价格为1,x年后的价格为y,则y与x的函 数关系式?

引例1 细胞分裂过程 细胞个数 2=21 4=22 8=23
2^x

第一次
第二次 第三次 第x次

表达式

y=2 …………
……

x

细胞个数y关于分裂次数x的表达式为

引例2:某种商品的价格从今年起每年降低15%,设 原来的价格为1,x年后的价格为y,则y与x的函数 关系式? 列表: x y 1 2 3 4 5 0.85 0.852 0.853 0.854 0.855 6 0.856

由上面的对应关系可知,函数关系是:

y ? 0.85 x



y?2

x

和 y ? 0.85 中指数x是自变量,
x

底数是一个大于0且不等于1的常量. 我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个 大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数. 指数函数的定义: 函数

y ? a (a ? 0且a ? 1)
x

叫做指数函数,其中x是自变量,函数定义域是R。

探究1:为什么要规定a>0,且a
? ?

? 1呢?
a

①若a=0,则当x>0时,

0

1

=0; x 当x ? 0时, a 无意义. x ②若a<0,则对于x的某些数值,可使 a 无意义. 1 1 x 如 (?2) ,这时对于x= ,x= 4 2 ……等等,在实数范围内函数值不存在. ③若a=1,则对于任何x? R,

a

x

a x=1,是一个常量,没有研究的必要性.
为了避免上述各种情况,所以规定a>0且a?1。

练习: 若 y ? (a 2 ? 4) x 是一个指数函数,求a的取值范围。 解:由指数函数的定义可知,底数应该是大于0 且不等于1的常量。所以,

a ? 4 ? 0, 且a ? 4 ? 1
2 2

探究2:函数 y ? 2 ? 3 x 是指数函数吗? 指数函数的解析式y= a 中,a 的系数是1. 有些函数貌似指数函数,实际上却不是,如
x

x

y ?a ?k
x

(a ? 0且a ? 1, k ? z )
(a ? 0, 且a ? 1)
?1? y?? ? ?a?
x

有些函数看起来不像指数函数,实际上却是,如

y ? a?x
因为它可以化为

1 1 ( ? 0, 且 ? 1) a a

练习2:
下列函数是否是指数函数:

(1) y ? 0.2x (4) y ? 3? x

(2) y ? ? x

(3) y ? (?2) x

(5) y ? 1x

答案:(1) ,(2), (4)是指数函数。

用描点法作函数y ? 2 和y ? 3 的图象.
x x

函 数 图 象 特 征

x
y=2x




-3
1/8

-2
1/4

-1
?

0
1

1
2

2
4

3
8




y=3x

… 1/27

1/9

1/3
x

1

3

9

27



yy ? 3

y ? 2x

1
-3 -2 -1

o

1

2

3

x

函 数 图 象 特 征

1 x 1 x 用描点法作函数y ? ( ) 和y ? ( ) 的图象. 2 3
x … -3 -2 4 9
1 x y?( ) 3

-1 2 3 Y

0 1 1

1

2

3



y=2-x … 8 y=3-x … 27
1 x y?( ) 2

1/2 1/4 1/3 1/9

1/8 … 1/27 …

Y=1
O X

问题一: 图象分别在哪几个象限?

1x 观察右边图象,回答下列问题: ( 1 ) x y ? ( 3) y? 2

y=3X

Y

y = 2x

Ⅰ、Ⅱ 答四个图象都在第____象限。

Y=1

问题二: 图象的上升、下降与底数a有联系吗?

O

X

a>1 0< a<1 答:当底数__ 时图象上升;当底数____时图象下降.
问题三: 图象中有哪些特殊的点?

(0,1) 答:四个图象都经过点____.

观察右边图象,回答下列问题:1 x y ? ( 1 ) x y=3X y?( ) 3 2 问题四: 1 Y y = 2x x 指数函数 y ? ( 2 ) 图像是否具有 对称性? 答: 不关于Y轴对称不关于 Y=1 原点中心对称 X O 问题五: y ? 3x 与 y ? ( 1 ) x 图象有 函数 3 什么关系 ? 当底数a (a ? 0且a ? 1) 答: 关于Y轴对称。
取任意值时,指数 函数图象是什么样?

指数函数的图象和性质
a>1
y

0<a<1
y=ax (0<a<1) y=1 x 0 y (0,1) x

图 象
a>1 图 象 特

y=1 0

y=ax (a>1)

0<a<1

1.图象全在x轴上方,与x轴无限接近. 2.图象过定点(0,1) 3.自左向右图 3.自左向右图 象逐渐上升 象逐渐下降 4.图象分布在左 下和右上两个 区域内 4.图象分布在左 上和右下两个区 域内

a>1 0<a<1 1.定义域为R,值域为(0,+?).



2.当x=0时,y=1 3.在R上是增 3.在R上是减 函数 函数 4.当x>0时, 0<y<1;当x<0 时, y>1.

质 4.当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1.

征 不关于Y轴对称不关于原点中心对称

非奇非偶函数

应用示例: 例1、求下列函数的定义域:


y?2

x 2 ?1
3? x

?1? ② y?? ? ?3?
解: ① ②

x?R

由 3 ? x ? 0,得 x ? 3

应用示例: 例2已知指数函数 f ( x ) ? a
x

(a>0,且a≠1)的图象

经过点(3,π),求 f(0)、f(1)、f(-3)的值.
分析:要求f (0), f (1), f ( ?3)的值,需要我们先求 出指数函数的解析式。根据函数图像经过(3,?) 这一条件,可以求得底数a的值。

解:因为指数函数y=ax的图像经过点(3,?),所以 f (3) ? ? .

即a3 ? ? , 解得a ? ? , 于是f ( x) ? ? .
所以,f (0) ? ? 0 ? 1,f (1) ? ? ? 3 ? ,f (?3) ? ? ?1 ?
1 3

1 3

x 3

1

?

.

反思:
你能说出确定一个指数函数需要什么 条件吗?

提高练习:
求函数的定义域:

f ( x) ? 1 ? a x

,(a ? 0, a ? 1)

x 小结: 1.指数函数的定义: 函数 y ? a (a ? 0且a ? 1) 叫做指数函数,其中x是自变量,函数定义域是R。 2.指数函数的的图象和性质: a>1 0<a<1
6

图 象
-4 -2

6

5

5

4

4

3
3

2
2

1

1

1
-4 -2

1

0
-1

0
-1

2

4

6

2

4

6

性 1.定义域:R 质 2.值域:(0,+∞) 3.过点(0,1),即x=0时,y=1
4.在 R上是增函数 在R上是减函数

方法:利用函数图像研究函数性质是一种直观而形象的 方法,记忆指数函数性质时可以联想指数函数的图像。

课后作业:
必做题: 习题2.1A 选做题: 习题2.1B 1 5、6.


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