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51东北师大附属中学高三第一轮复习导学案-轨迹与轨迹方程学生版

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 051B

直线与圆锥曲线的位置关系(学案)B
一、知识梳理: 1. 求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题之一,求符合某种条件的动点轨迹方程, 其实质就是利用题设中的已知条件,用 “坐标化” 将其转化为寻求变量间的关系问 题,解决这类问题不但对圆锥曲线的定义、性质等基础知识要熟练掌握,还要利 用各种数学思想方法,同时具备一定的推理能力和运算能力。 2. 求曲线的轨迹方程常采用的方法有:直接法、定义法、参数法、几何法、交轨法 (1)、 定义法:若动点的轨迹条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆,双曲线,圆等)可用 定义直接求解. (2)、直接法:直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化,列出等式 后化简,得出动点的轨迹方程(也就是常说的五步法) (3)、相关点法(轨迹转移法) : 根据相关点所满足的方程,通过转换而求出动点轨迹 的方程. (4)、若动点的坐标(x,y)中的 x,y,分别随另一个变量的变化而变化,我们可以以这 个变量为参数建立轨迹的参数方程. (5)、交轨法:求两动曲线交点的轨迹时,可由方程直接消去参数,例如:求两动直线交 点的轨迹时常用此方法,也可以引入参数来建立这些动曲线之间的联系 ,然后消去参 数得到轨迹方程. 3.易错点提示: (1):要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”这两个不同的概念; ( 2) :检验是否有不符 合条件的眯或漏掉的点。 二、题型探究 探究 1:定义法 例 1: (1) 、则动点 p 向圆x 2 + y 2 =1 引两条切线 PA,PB,切点分别为 A,B,∠APB = 600 , 求动点 P 的轨迹方程。

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(2)已知?ABC三边 AB,BC,AC 的长度成等差数列,点 B,C 的坐标分别是(-1,0),C(1,0), 求点 A 的轨迹方程.

探究 2:直接法: 例 2:已知?ABC中,BC=2,BC = m(m > 0),求动点 A 的轨迹方程,并说明轨迹是 图形。
AB

探究 3:相关点法: 例 3:已知 P 是圆C:x2 + y 2 =1 上任意一点,由 P 向 x 轴作垂线段 PM,M 为垂足,求 线段 PM 的中点 N 的轨迹。

探究 4:参数法 例 4:设椭圆的方程为4x 2 + y 2 = 4,过点 M(0,1)的直线交椭圆于点 A,B,O 是坐 标原点,点 P 满足OP = 2 (OA + OB),当 l 绕点 M 旋转时,求动点 P 的轨迹方程。
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探究 5:交轨法: 例 5:双曲线x 2 ? 2y 2 = 2的左、右顶点分别为 A1,A2 ,点 P(x1,y1) ,Q(x1,-y1) 是双曲线上不同的两个动点,求直线 A1P 与 A2 Q 交点的轨迹 E 的方程。

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三、方法提升: 求轨迹方程时,一般先观察能否根据条件直接判断轨迹是什么图形,设出方程, 利用等定系数法求方程,即定义法;否则通过条件列出动点坐标所满足的方程,若能 直接列出就是直接法;否则寻求动点的坐标与其它动点的坐标的关系即相关点法,或 寻求动点坐标与其它参数的关系,消去参数得到轨迹方程即参数法,交轨法关键是处 理涉及到的轨迹方程,消去多余参数得到方程。 四、反思感悟

五、课时作业 一、选择题(每小题 6 分,共 42 分) 1.如果椭圆 A.x-2y=0

x2 y2 =1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( ? 36 9
B.x+2y-4=0 C.2x+3y-12=0



D.x+2y-8=0

2.方程 y=ax+b 和 a2x2+y2=b2(a>b>1)在同一坐标系中的图形可能是(



3.设 A 为双曲线

x2 y2 ? =1 的右支上一动点,F 为该双曲线的右焦点,连 AF 交双曲 16 9


线于 B, 过 B 作直线 BC 垂直于双曲线的右准线, 垂足为 C, 则直线 AC 必过定点 (

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A.(

41 ,0) 10

B.(

18 ,0) 5

C.(4,0)

D.(

22 ,0) 5

4.对于抛物线 C:y2=4x,我们称满足 y02<4x0 的点 M(x0,y0)在抛物线的内部,若点 M(x0,y0)在抛物线的内部,则直线 l:y0y=2(x+x0)与 C( ) A.恰有一个公共点 B.恰有两个公共点 C.没有公共点 D.可能有一个公共点也可能有两 个公共点 5.抛物线 y2=2px 与直线 ax+y-4=0 交于两点 A、B,其中点 A 的坐标是(1,2).若抛 物线的焦点为 F,则|FA|+|FB|等于( ) A.5 B.6 C.3 5 D.7

x2 2 6.(2010 湖北黄冈一模,11)过点 M(-2,0)的直线 m 与椭圆 +y =1 交于 P1、P2 2
两点,线段 P1P2 的中点为 P,设直线 m 的斜率为 k1(k≠0),直线 OP 的斜率为 k2,则 k1k2 的值为( ) A.2 B.-2 C.

1 2
) D.

D.-

1 2

7.(2010 东北三校联考,9)过抛物线 y2=ax(a>0)的焦点 F 作一条直线交抛物线于 A、 B两 点,若线段 AF、BF 的长分别为 m、n,则 A.2a B.4a

m?n 等于( mn 1 C. 2a

4 a

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 8.设 P1、P2 是抛物线 x2=y 的一条弦,如果 P1P2 的垂直平分线的方程为 y=-x+3,那么 弦 P1P2 所在的直线方程是____________________.

9.直线 y=kx+1 与焦点在 x 轴上的椭圆

x2 y2 ? =1 总有公共 5 m

点,则 m 的取值范围是_________. 10.如果实数 b 不论取何值,直线 y=kx+b 与双曲线 x2-2y2=1 总有公共点,那么 k 的取值范围是_____________.

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三、解答题(11—13 题每小题 10 分,14 题 13 分,共 43 分) 11.已知椭圆 C:

x y x2 y2 ? 2 =1(a>b>0),直线 l1: ? =1 被椭圆 C 截得的弦长为 2 2 , 2 a b a b 2 ,求 5

过椭圆 C 的右焦点且斜率为 3 的直线 l2 被椭圆 C 截得的弦长是椭圆长轴长的 椭圆 C 的方程.

12.已知双曲线 C:

x2 y2 =1(a>0,b>0),B 是右顶点,F 是右焦点,点 A 在 x 轴的 ? a2 b2

正半轴,且满足| OA |、| OB |、| OF |成等比数列,过 F 作双曲线 C 在第一、三象限的 渐近线的垂线 l,垂足为 P. (1)求证: PA · OP = PA · FP ; (2)若 l 与双曲线 C 的左、右两支分别交于点 D、E,求双曲线 C 的离心率 e 的取值 范围.

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x2 y2 13.已知点 P(2,1)在双曲线 2 ? 2 =1,且它和双曲线一个焦点 F 的距离是 1, a b
(1)求双曲线的方程; (2)过点 F 的直线 l,交双曲线于 A、B 两点,若弦长|AB|不超过 4,求 l 的倾斜角 范围.

14.(2010 江苏南京一模, 22)已知直线 x+2y+m=0(m∈R)与抛物线 C:y2=x 相交于不同 的两点 A,B, (1)求实数 m 的取值范围; (2)在抛物线 C 上是否存在一个定点 P,对(1)中任意的 m 的值,都有直线 PA 与 PB 的斜率互为相反数?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,试说明理由.

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