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高中数学第一轮复习总结--第 16 讲-基本算法语句
普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]
高三新数学第一轮复习教案(讲座 16)—基本算法语句
一.课标要求:
1.经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程,理解几种基本算法语句—— 输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句,进一步体会算法的基本思想;
2.通过阅读中国古代数学中的算法案例,体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。
二.命题走向
算法是高中数学课程中的新内容,本章的重点是算法的概念和算法的三种逻辑结构。 预测 2007 年高考对本章的考察是:以选择题或填空题的形式出现,分值在 5 分左右, 本讲考察的热点是识别程序和编写程序。
三.要点精讲
1.输入语句 输入语句的格式:INPUT “提示内容”; 变量 例如:INPUT “x=”; x 功能:实现算法的输入变量信息(数值或字符)的功能。 要求: (1)输入语句要求输入的值是具体的常量; (2)提示内容提示用户输入的是什么信息,必须加双引号,提示内容 “原原本本” 的在计算机屏幕上显示,提示内容与变量之间要用分号隔开; (3)一个输入语句可以给多个变量赋值,中间用“,”分隔;输入语句还可以是““提 示内容 1”;变量 1,“提示内容 2”;变量 2,“提示内容 3”;变量 3,……”的形式。例 如:INPUT“a=,b=,c=,”;a,b,c。 2.输出语句 输出语句的一般格式:PRINT“提示内容”;表达式 例如:PRINT“S=”;S 功能:实现算法输出信息(表达式) 要求: (1)表达式是指算法和程序要求输出的信息; (2)提示内容提示用户要输出的是什么信息,提示内容必须加双引号,提示内容要 用分号和表达式分开。 (3)如同输入语句一样,输出语句可以一次完成输出多个表达式的功能,不同的表 达式之间可用“,”分隔;输出语句还可以是“提示内容 1”;表达式 1,“提示内容 2”; 表达式 2,“提示内容 3”;表达式 3,……”的形式;例如:PRINT “a,b,c:”;a,b,c。 3.赋值语句
赋值语句的一般格式:变量=表达式 赋值语句中的“=”称作赋值号
作用:赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量;
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要求:
(1)赋值语句左边只能是变量名字,而不是表达式,右边表达式可以是一个常量、 变量或含变量的运算式。如:2=x 是错误的;
(2)赋值号的左右两边不能对换。赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值 号左边的变量。如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的,如 x=5 是对的,5=x 是错 的,A+B=C 是错的,C=A+B 是对的。
(3)不能利用赋值语句进行代数式的演算。(如化简、因式分解、解方程等),如
y ? x2 ?1 ? (x ?1)( x ? 1)
这是实现不了的。在赋值号右边表达式中每一个变量的值必须事先赋给确定的值。 在一个赋值语句中只能给一个变量赋值。不能出现两个或以上的“=”。但对于同一个变 量可以多次赋值。
4.条件语句 (1)“IF—THEN—ELSE”语句 格式:
IF 条件 THEN 语句 1
ELSE 语句 2
END IF 说明:在“IF—THEN—ELSE”语句中,“条件”表示判断的条件,“语句 1”表示满
足条件时执行的操作内容;“语句 2”表示不满足条件时执行的操作内容;END IF 表示 条件语句的结束。计算机在执行“IF—THEN—ELSE”语句时,首先对 IF 后的条件进行 判断,如果符合条件,则执行 THEN 后面的“语句 1”;若不符合条件,则执行 ELSE 后 面的“语句 2”。
(2)“IF—THEN”语句 格式:
IF 条件 THEN 语句
END IF 说明:“条件”表示判断的条件;“语句”表示满足条件时执行的操作内容,条件不
满足时,直接结束判断过程;END IF 表示条件语句的结束。计算机在执行“IF—THEN” 语句时,首先对 IF 后的条件进行判断,如果符合条件就执行 THEN 后边的语句,若不符 合条件则直接结束该条件语句,转而执行其它后面的语句。
5.循环语句
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(1)当型循环语句 当型(WHILE 型)语句的一般格式为: WHILE 条件 循环体 WEND 说明:计算机执行此程序时,遇到 WHILE 语句,先判断条件是否成立,如果成立, 则执行 WHILE 和 WEND 之间的循环体,然后返回到 WHILE 语句再判断上述条件是否 成立,如果成立,再执行循环体,这个过程反复执行,直到一次返回到 WHILE 语句判断 上述条件不成立为止,这时不再执行循环体,而是跳到 WEND 语句后,执行 WEND 后 面的语句。因此当型循环又称“前测试型”循环,也就是我们经常讲的“先测试后执行”、 “先判断后循环”。 (2)直到型循环语句 直到型(UNTIL 型)语句的一般格式为:
DO 循环体
LOOP UNTIL 条件 说明:计算机执行 UNTIL 语句时,先执行 DO 和 LOOP UNTIL 之间的循环体,然
后判断 “LOOP UNTIL”后面的条件是否成立,如果条件成立,返回 DO 语句处重新 执行循环体。这个过程反复执行,直到一次判断 “LOOP UNTIL”后面的条件条件不 成立为止,这时不再返回执行循环体,而是跳出循环体执行“LOOP UNTIL 条件”下 面的语句。
因此直到型循环又称“后测试型”循环,也就是我们经常讲的“先执行后测试”、“先 循环后判断”。
四.典例解析
题型 1:输入、输出和赋值语句 例 1.判断下列给出的输入语句、输出语句和赋值语句是否正确?为什么? (1)输入语句 INPUT a;b;c (2)输出语句 A=4 (3)赋值语句 3=B (4)赋值语句 A=B=-2 解析:(1)错,变量之间应用“,”号隔开; (2)错,PRINT 语句不能用赋值号“=”; (3)错,赋值语句中“=”号左右不能互换; (4)错,一个赋值语句只能给一个变量赋值。
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点评:输入语句、输出语句和赋值语句基本上对应于算法中的顺.序.结.构.。输入语句、 输出语句和赋值语句都不包括“控制转移”,由它们组成的程序段必然是顺序结构。
例 2.请写出下面运算输出的结果。 (1)
a?5 b?3 c ? (a ? b) / 2 d ? c?c
PRINT "d ?"; d
(2)
a ?1 b?2 c ?a?b b ? a?c?b
PRINT "a ?,b ?,c ?";a,b,c
(3)
a ? 10 b ? 20 c ? 30 a?b b?c c?a
PRINT "a ?,b ?, c ?"; a,b, c
解析:
(1)16;语句 c ? (a ? b) / 2 是将 a,b 和的一半赋值给变量 c,语句 d ? c ? c 是将
c 的平方赋值给 d,最后输出 d 的值。
(2)1,2,3;语句 c ? a ? b 是将 a,b 的和赋值给 c,语句 b ? a ? c ? b 是将 a ? c ? b
的值赋值给了 b。
(3)20,30,20;经过语句 a ? b 后 a,b,c 的值是 20,20,30。经过语句 b ? c 后 a,b,c 的值是 20,30,30。经过语句 c ? a 后 a,b,c 的值是 20,30,20。
点评:语句的识别问题是一个逆向性思维,一般我们认为我们的学习是从算法步骤 (自然语言)至程序框图,再到算法语言(程序)。如果将程序摆在我们的面前时,我们 要从识别逐个语句,整体把握,概括程序的功能。
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题型 2:赋值语句的应用 例 3.写出求三个数 a,b,c 的方差的程序。 解析:方差是在初中统计内容中学习过的知识,计算所有数的方差首先计算所有数
的平均数 x ,通过公式 s 2 ? (x1 ? x)2 ? (x2 ? x)2 ? ........ ? (xn ? x)2 来计算。 n
算法步骤:
第一步:计算平均数 x ? a ? b ? c ; 3
第二步:计算方差 s 2 ? (x ? a)2 ? (x ? a)2 ? (x ? a)2 ; 3
第三步:得到的结果即为所求。 程序如下: INPUT a,b,c y=(a+b+c)/3 S=((a-y)2+ (b-y)2+ (c-y)2)/3 PRINT S END 点评:套用公式求值问题是传统数学求值问题的一种,它是一种典型的顺序结构, 也就是说只通过输入、输出和赋值语句就可以完成任务。解决这类问题的关键是先分析 这种问题的解法,即构造计算的过程,再写出算法步骤和流程图,再翻译成算法语句即 可。
例 4.编写一个程序,要求输入的两个正数 a 和 b 的值,输出 ab 和 ba 的值。 解析:可以利用 INPUT 语句输入两个正数,然后将 ab 和 ba 的值分别赋给两个变量 输出即可。也可以将 ab 和 ba 的底数和幂数进行交换,故还可以利用赋值语句,采用将两 个变量的值互换的办法实现。 程序 1: INPUT “a,b:”;a,b A=a^b B=b^a PRINT “ab=”;A,“ba=”;B END 程序 2: INPUT “a,b:”;a,b A=a^b PRINT “ab=”;A x=a
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a=b b=x A=a^b PRINT “ab=”;A END
点评:交换 a,b 的值可通过下面三个语句来实现:

t?a a?b b?t

通过引进一个变量 t 实现变量 a 和 b 的值的交换,因此只需用赋值语句即可实现算法。 在一些较为复杂的问题算法中经常需要对两个变量的值进行交换,因此应熟练掌握这种 方法。 题型 3:条件语句
例 5.编写程序,输出两个不相等的实数 a、b 的最大值。

解析:要输出两个不相等的实数 a、b 的最大值,从而想到对 a,b 的大小关系进行

判断,a,b 的大小关系有两种情况:(1)a>b;(2)b>a,这也就用到了我们经常提及的

分类讨论的方式,找出两个数的最大值。

解:算法一:

第一步:输入 a, b 的数值; 第二步:判断 a,b 的大小关系, 若 a>b,则输出 a 的值,否则输出 b

开始

的值。
(程序框图如右图) 程序如下:(“IF—THEN—ELSE” 语句) INPUT“a,b”;a,b IF a>b THEN PRINT a ELSE PRINT b END IF END

输入 a,b N
a>b? Y 输出 a
结束

输出 b

算法二:

第一步:输入 a,b 的数值;

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第二步:判断 a,b 的大小关系,若 b > a,则将 b 的值赋予 a;否则直接执行第三步;

第三步:输出 a 的值,结束。

(程序框图如右图) 程序如下:(“IF—THEN”语句)

开始

INPUT“a,b”;a,b IF b>a THEN
a=b

输入 a,b

END IF PRINT a END
点评:1.一个“好”的算法往往像上面教材

N b>a? Y

例题中的“小技巧”,要熟练、有效的使用它们,

a=b

则需要在大量的算法设计中积累经验。我们也可以

先根据自己的思路设计算法,再与 “成形”的、 高效的、优秀的算法比较,改进思路,改进算法,

输出 a

以避免重复计算等问题,提高算法设计的水平!

2.我们在平常的训练中尽可能的少引用变量, 过多的变量不仅会使得算法和程序变得复杂,而且

结束

不利于计算机的执行。为此,我们在练习中要积极思考尽可能少引入变量以及如何才能

少引入变量。

?1, x ? 0 例 6.高等数学中经常用到符号函数,符号函数的定义为 y ? ??0, x ? 0 ,试编写程
???1, x ? 0

序输入 x 的值,输出 y 的值。

开始

程序一:(嵌套结构)

程序框图:(右图) 程序语言:

输入 x

INPUT x IF x>0 THEN
y=1 ELSE
IF x=0 THEN y=0

x>0? Y
输出 1

N x=0
Y 输出 0

N 输出 0

ELSE y=-1

END IF END IF

结束

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PRINT y

END 程序二:(叠加结构)

程序框图: 程序如下:

开始

INPUT x

IF x>0 THEN y=1

输入 x

END IF

IF x=0 THEN y=0

N x>0?

END IF

Y

IF x<0 THEN y=-1

输出 1

END IF

PRINT y END

N x=0?

点评:1.条件结构的差异,造成程序执行的不同。

Y

当代入 x 的数值时,“程序一”先判断外层的条件,依 次执行不同的分支,才有可能判断内层的条件;而“程

输出 0

序二”中执行了对“条件 1”的判断,同时也对“条件 2”进行判断,是按程序中条件语句的先后依次判断所 有的条件,满足哪个条件就执行哪个语句。
2.条件语句的嵌套可多于两层,可以表达算法步 骤中的多重限制条件。 题型 4:循环语句

N x<0?
Y
输出-1

例 7.设计一个计算 1×3×5×7×…×99 的算法, 编写算法程序。

结束

解析:

算法如下:

第一步:s=1;

第二步:i=3;

第三步:s=s×i;

第四步:i=i+2;

第五步:如果 i≤99,那么转到第三步;

第六步:输出 s;

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程序如下:(“WHILE 型”循环语句) s=1 i=3 WHILE i<=99
s=s*i i=i+2 WEND PRINT s END
点评:你能用“UNTIL”型循环语句表示“典例 1”中的程序吗? 例 8.编写一个程序,求 1!+2!+…+10!的值。 解析:这个问题是求前 10 个正整数的阶乘之和,可以用“WHILE+ WHILE”循环嵌 套语句格式来实现。 程序结构要做到如下步骤: ①处理“N!”的值;(注:处理 N!值的变量就是一个内循环变量) ②累加“N!”的值。(注:累加 N!值的变量就是一个外循环变量) 显然,通过 10 次循环可分别求出 1!、2!、…、10!的值,并同时累加起来, 可求得 S 的值。而求 T=N!,又可以用一个循环(内循环)来实现。 程序为: s=0 i=1 WHILE i<=10 j=1 t=1 WHILE j<=i t=t*j j=j+1 WEND s=s+t i=i+1 WEND PRINT s END 上面程序中哪个变量是内循环变量,哪个变量是外循环变量? (1)内循环变量:j,t (2)外循环变量:s,i “典例 2”程序是一个的“WHILE+WHILE”型循环嵌套语句格式。这是一个比较好 想的方法,但实际上对于求 n!,我们也可以根据求出的(n-1)!乘上 n 即可得到,而无需 重新从 1 再累乘到 n。
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程序可改为:
s=0 i=1 j=1 WHILE i<=10
j=j*i s=s+j i=i+1 WEND PRINT s END
显然第二个程序的效率要比第一个高得多。第一程序要进行 1+2+…+10=55 次循环, 而第二程序进行 10 次循环。如题目中求的是 1!+2!+…+1000!,则两个程序的效率 区别更明显。
点评:解决具体的构造循环语句的算法问题,要尽可能的少引入循环变量,否则较 多的变量会使得设计程序比较麻烦,并且较多的变量会使得计算机占用大量的系统资源, 致使系统缓慢。另外,也尽可能使得循环嵌套的层数少,否则也浪费计算机的系统资源。 题型 5:实际应用
例 9.中国网通规定:拨打市内电话时,如果不超过 3 分钟,则收取话费 0.22 元; 如果通话时间超过 3 分钟,则超出部分按每分钟 0.1 元收取通话费,不足一分钟按以一分 钟计算。设通话时间为 t(分钟),通话费用 y(元),如何设计一个程序,计算通话的费 用。
解析: 算法分析: 数学模型实际上为:y 关于 t 的分段函数。 关系是如下:
?0.22, (0 ? t ? 3) y ? ??0.22 ? 0.1(t ? 3),(t ? 3,t ? Z )
??0.22 ? 0.1([t ? 3] ? 1),(t ? 3,t ? Z )
其中[t-3]表示取不大于 t-3 的整数部分。 算法步骤如下: 第一步:输入通话时间 t; 第二步:如果 t≤3,那么 y = 0.22;否则判断 t∈Z 是否成立,若成立执行 y= 0.2+0.1× (t-3);否则执行 y = 0.2+0.1×( [t-3]+1)。 第三步:输出通话费用 c 。 算法程序如下: INPUT “请输入通话时间:”;t IF t<=3 THEN
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y=0.22 ELSE
IF INT(t)=t THEN y=0.22+0.1*(t-3)
ELSE y=0.22+0.1*(INT(t-3)+1)
END IF END IF PRINT “通话费用为:”;y END
点评:实际应用问题,在高考中是一个热点。如何将实际问题转化成数学问题是解 题的关键,最后还要用算法步骤和程序进行表达。如:中国网通通话费的规定在数学中 就是通话时间到通话费用的分段函数。日常生活中的分段函数问题还有很多:出租车的 计费问题、个人所得税问题、银行利率问题等等。
例 10.编写程序,计算数列{an}的前 20 项的和。(其中数列的前几项分别为 1,1,2, 3,5,8,……)
解析:这是“Fibonacci 数列”的典型特征,从第三项起每一项都是它前两项的和,
即 an ? an?1 ? an?2 。
程序如下: a=1 b=1 s=0 i=3 WHILE i<=20
s=s+a+b t=a a=b b=b+t i=i+1 WEND PRINT s END
点评: 1.计数变量的作用一般是统计循环体执行的次数,改变循环条件的取值,为结束循 环作准备。譬如:计算等差、等比数列的前 n 项的和,n 就是计数变量的临界值,在当型 结构中“小于等于 n”维持循环,而在直到型循环结构中“大于 n”跳出循环。 2.累加变量是最终的输出结果。每进入一次循环体随着计数变量改变而改变。累加 变量的初始值通常为 0。
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五.思维总结
在设计算法的过程中,解决问题的基本思想常常很简单、很清楚,但表述参与运算 的数值的频频变换却很麻烦。为了解决这个问题,需要在程序中引入变量。前面通过对 函数概念的学习,我们就已经了解变量的含义:在研究问题的过程中可以取代不同数值 的量称为变量。
程序中一些重要的函数也很有用处,如取平方根函数 SQR(x)=|x|,取绝对值函数 ABS

(x)=

?x, x ??? x,

? x

0 ?

0



变量与函数是中学数学里面最重要的和最基本的概念,在算法的设计里面仍然发挥 着重要的和最基本的作用,它们会使得算法的表达变得非常整洁、清楚。
1.赋值语句在程序运行时给变量赋值;“=”的右侧必须是表达式,左侧必须是变量; 一个语句只能给一个变量赋值;有计算功能;将一个变量的值赋给另一个变量时,前一 个变量的值保持不变;可先后给一个变量赋多个不同的值,但变量的取值只与最后一次 赋值有关。
2.条件语句的主要功能是来实现算法中的条件结构。 因为人们对计算机运算的要求不仅仅是一些简单的代数运算,而是经常需要计算机 按照条件进行分析、比较、判断,并且按照判断后的不同情况进行不同的操作和处理。 如果是要解决像“判断一个数的正负”、“比较数之间的大小”,“对一组数进行排序”、“求 分段函数的函数值”等很多问题,计算机就需要用到条件语句。
3.学习了循环语句的两种格式,我们来挖掘一下应用循环语句编写程序的“条件 三要素”。
第一、循环语句中的变量一般需要进行一定的初始化操作。 请看我们用 WHILE 循环实现 1 到 100 累加为例,做一下说明: “1+2+……+100” 部分程序如下:
sum = 0 i =1 WHILE i <= 100
sum = sum+ i i=i+1 WEND 这段程序中,循环的条件是“i <= 100”;因此,一开始 i 肯定需要一个确定的值。前 面的 “i = 0”这一个语句,在声明变量 i 的同时,也为 i 赋了初始值“1”。这样,条件 i <= 100 得以成立(因为 i 为 1,所以 条件“i <= 100” 当然成立)。 第二、循环语句在循环的过程中需要有“结束”的机会。 程序中最忌“死循环”。所谓的“死循环”就是指该循环条件永远成立,没有跳出循 环体的机会。
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高中数学第一轮复习总结--第 16 讲-基本算法语句 第三、在循环中要改变循环条件的成立因素
程序每执行一次循环体,循环条件中涉及到的变量就会发生改变,正在步步逼近满 足跳出循环体的条件。
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