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两道课本例习题的探究——斜率乘积为定值e^2-1的有心二次曲线的性质赏析


2 0 1 3年 第 7期 

中 学数 学研 究 

? 2 5?  

两 道 课 本 例 习 题 的 探 究 
— —

斜率乘积为定值 e   一1的有心二次 曲线 的性 质赏析 
广 东省 惠州市实验 中学  ( 5 1 6 0 0 8 )   肖志向 邱礼 明  

1 . 题 目呈 现 

2  



1 . 1   人教 A版数学教材选修 2—1 … 第4 l 页  
例3 :  

+  

一o, 即 

=一   .  

=  

=  

如图 1 , 设 点 A、 B的坐标分别为 ( 一5 , 0 ) 、 ( 5 ,   O ) , 直线 A M, B M 相 交 于点 M, 且 它们 的斜 率之 积 是 


=  


1 , 得证.  

 

。  

一 

詈 , 求 点 M的 轨 迹 方 程 .  
1 . 2   人教 A版 数学教 材选 修 2—1 [ 1  第 5 5页  



探 究:   如 图2 , 设点 A 、 B 的坐 标 分 别 为 ( 一5 , O ) 、 ( 5 ,   0 ) , 直线A M, B M 相 交 于点  , 且 它们 的斜 率之 积 是 



性 质2  设  、 Ⅳ 是 双 曲 线  一 告= 1 ( 口 > 0 ,  
b>0 )上关于原点对称的两点, P是双 曲线上异于  
M、 N 的任 意一 点 , 直线 P  、 P Ⅳ 的斜 率之 积 分 别 为  . j }   、 后   , 则后   后  =e  一1 ( e 为 双 曲线 的离心率 ) .   仿 性质 1的证 明, 读 者不 难 完成.  

试求点 M 的轨迹方程. 并由点 M 的轨迹方程判  

断轨迹的形状, 与2 . 2例 3比较 , 你有什么发现?  
y 

性 质3  过 椭圆  + 告= 1 ( 口> b > 0 ) 上任  
意一点 P ( 不 同于椭 圆长轴端 点) 作 两直线分别交  椭 圆于点 M、 N, 若直线 P M、 P N 的斜 率 之 积 分 别 为  J } 。 、 尼   , 且满足 后   =e   一1 ( e 为椭圆的离心率) , 则  
直线 MN过 原 点.   证明: 设e ( x o , Y o ) (   0 ≠±口 ) , M( x l , Y 1 ) , J 7 v (   2 ,  

. y  

  。

/ 。  
J A  0  3  

图1  

t  

^ 

笔 者 引导 学生在 探 究 以上 两 个 问题 时, 注 意到  直线 A M, B M 的斜 率之积 恰好 为 e  一1 ( e为所 求轨 
迹 的 离心率 ) , 这 是 偶然 还 是 必然 , 能否 得 到更 一般 

Y 2 ) , 因为点P 、  在椭圆   +   =1 ( 0>6>o ) 上,  

的性质 ? 本 文试 图探 求 与斜 率 之 积 为 e  一1相 关 的  椭 圆和 双 曲线 的性质.   2 . 性 质 赏析 
2   2  


则 萼 口  0 + 鲁   : l ,   口 2  D + 鲁:  1 , 两 式 相 减 得 叠   口  +  
2   2

一o , 即  

=一  

一  

性质 1   设 M、 N 是椭 圆   +  

=1 ( 口 > b>  

l ① 
:  1   ,=一 ‘   0

=. j }  =  



=  
。 — =e   1 ②  。   :


, 所以,  

0 )上 关于 原 点对称 的两点 , P是 椭 圆上 异于  、 J 7 v的  任 意 一点 , 直 线  、 P Ⅳ 的斜 率之 积分 别 为  , j } : , 则  

.   一 X1   O —  2  

j }  =e  一1 ( e 为椭 圆的离心率) .  
证 明 :设 P(   。 , ) , 。 ) , M(  , y 。 ) ,由 题 意 可 得 
2  
. . . .

比较 ① 、 ② 两式可得 
2  

:  

.  

Ⅳ( 一  1 , 一 Y 1 ) , 因为点P、 M在椭 圆   +   =1 ( 0>  
b >0 )上 , 则  +   Y o:1
,  

这说 明P( x 。 , Y 。 ) 、 Ⅳ(   : , Y 2 ) 、 M  ( 一  。 , 一y 。 )三 

点共线 , 而M  ( 一 戈 。 , 一y   ) 在椭 圆   +   =1 ( 0>  
+ 

Yl

:1 , 两式相 减得 

6 >0 )上 , 所 以点 M  ( 一   ,一y   )与点 N( x : , Y 2 )重 
合, 而 点M(  , Y , )和 点 M  ( 一   , 一Y   )关 于原点对 

?

2 6?  

中学数 学研 究 

2 0 1 3年 第 7期 

称, 所 以弦 MN 过 中心 0, 即直 线 MN过 原 点. 得证.  

F , ( 一 c , 0 ) 、  ( c , o ) 分别 是 椭圆 c :  + 告= 1 ( 口 >  
n  D 

性质4  过双曲 线  一 鲁= 1 ( 口 > o , 6 > o ) 上  
任 意 一点 P( 不 同 于双 曲线 实 轴端 点 )作 两直 线分  别 交双 曲线于 点 M、 N, 若直线 P  、 P Ⅳ 的 斜 率之 积  分别为 j }   ,   : , 且满足 I i } 。 j | } :=e  一1 ( e 为双 曲线 的离  心率 ) , 则 直 线 MN过原 点.   仿 性质 3的证 明 , 读 者 不 难验 证 性 质 4是 成 立 
的.  

b>O )的左 右 焦 点 , 经过 F   作  轴 的垂 线 交椭 圆 C 的上  半部分 于 点P, 过点F   作 直线 

V 

Q  
’  



 

P F 2的垂线 交  =   于点 Q .  
. 

( 1 )略 ;   ( 2 )证 明 : 直线 P Q 与椭  圆 C只 有一个 交 点.   图3  

性质 5   过椭 圆   +   =1 ( 8 >6>0 )上任  意一 点 P ( 不 同于椭 圆的顶 点 )作 斜 率为  的直 线 

证 明 : 易 知 P ( 一 c , 等 Ⅱ   ) , 于 是   P , 2 ‘   = 一  . 口 C   注 意  
到P   上q F 2 , 所 以直 线 Q   的方程 为 , , =2   a c   (
、  一  

z , 设直线 O P的斜率为J j }   , 且满足 j }   j }  =e   一1 ( e 为  
椭 圆的离心 率 ) , 则直线 Z 为椭 圆 的切 线.   证明 : 设 P( x o , Y o ) (   ≠0且 ‰ ≠ ±0 ) , 则  =  

2  

k o e=-. Y o因 为k l   =e 2 — 1= 一  , 所以J j }  =  
一  

c ) 得Q ( 警 2 , 2 口   ) . 故 | i } 尸 口 : 2   a  u=   令  =  , 得Q ( 警 , 口 ) . 故 | i } P 口 =   =  
c ) , 令  :  2





即为椭圆在点 P的切线的斜率, 故直线 z 为  




詈 , 又 因 为   卯 =   b 2 所  。  

口  0  

椭 圆的切 线. 得证.  
2  


2  


詈 ? ( 一 笔 ) = 一   b 2 = e 2 一 l , 由 性 质 3 知 : 直 线 P Q  
参 考文 献 

性 质6   过双 曲线- -   2 一   =1 ( 口>o , b>0 )上 

为椭圆的切线, 即直线 P Q与椭 圆c只有一个交点 .  

任意一点 P ( 不同于双 曲线的顶点)作斜率为 后   的  
直线 Z , 设直线 O P 的斜率 为 . j }   , 且 满足 . j }   . 1 }  = e  一   1 ( e 为双 曲线 的 离心 率 ) , 则直线 Z 为双 曲线 的切 线.  
3 . 应 用 

[ 1 ] 普通 高中课程标准实验教科 书( A版) 选修 2—1 , 课程教  材研究所编著 , 北京 : 人 民教育 出版社. 2 0 1 3 7年 2月第 2  
版.  

例  ( 2 0 1 2 年安徽理科高考第2 O 题) 如 图3 , 点  

换  元  法  的  解  题  功  能 
福建省 古田县 第一 中学  ( 3 5 2 2 0 0 )   兰诗 全 
对 于一 些数 学 问题 , 若能抓 住 题 目中 的数 量关  系或特 征 , 恰 当运 用换 元法 , 不仅 能使 问题 中各量 之 




通 过 遣 时换 兀 往 往 。 可以便 复 杂 J 刊题 简单 化 , 逊 司  

以使 一些看似 “ 繁 难 杂乱”问题 找 到“ 数学模 式” .   例l   设  E  , 不 等式  2 l 。 g 2  
2a

间的关系变得简洁明了, 结构特征显现 , 沟通 已知与  
所求, 而且 可使 问题 化难为 易、 化繁 为简 、 化 生为 熟、   化 异为 同, 然后使 问题 轻松获 解 , 本 文结 合例 子谈 谈  换 元 法的 若干 解题 功能.  
1   巧 妙换 元  将 问题 模式 化 

+ 2   I 。 g 2  

+l o g 2  

>0恒 成立 , 求实数 口的取值 

范围.  

换 元 法是 中学 数 学 中最 常 用 的方 法 与技 巧 之 

简解 : 令l 。 g z  

=£ , 则 不 等 式可 化 为 ( 3+  


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