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3.2.2一元二次不等式及其解法习题课2012.10.22


3.2.2 一元二次不等式及其解法习题课

解不等式的过程: 就是对不等式进行同解变形,直至可以写出 解集为止的过程.

变形注意: ⑴同乘一个负数,不等号方向要改变;

⑵脱去函数符号要仔细考虑函数的单调性及 定义域.

试解下列不等式:



2

x2 ?5 x ?5

转化为一元二次不等 ∴ 原 不 等 式 的 解 集 为 式得解 ? x x ? 2 或 x ? 3? .

1 ? 解:∵ 2 2 x 2 ?5 x ? 5 ?1 ?2 ∴2 2 ∴ x ? 5 x ? 5 ? ?1 ∴ ( x ? 2)( x ? 3) ? 0
x 2 ?5 x ? 5

1 ? 2
化为同底,便于比较

运用函数的增减性,

试解下列不等式: ⑴ log 1 ( x ? 3x ? 4) ? log 1 (2 x ? 10)
2 3
3

log 1 ( x2 ? 3x ? 4) ? log 1 (2 x ? 10) 解: ∵
3
3

? x 2 ? 3x ? 4 ? 0 运用函数的增减性, ? ∴ ?2 x ? 10 ? 0 同解变形,注意真数大于 0 ? x 2 ? 3 x ? 4 ? 2 x ? 10 ? 转化为了一元二次不等式组得解 解得 ?2 ? x ? ?1 或 4 ? x ? 7
∴原不等式的解集为 ? x ?2 ? x ? ?1 或 4 ? x ? 7? .

试解下列不等式: ⑶ 2x ? 5 ? 5 ? x
解:∵ 2x ? 5 ? 5 ? x
?2 x ? 5 ? (5 ? x) 2 ? ∴ ?2 x ? 5 ≥ 0 ?5 ? x ? 0 ?
5 解得 ? ≤ x ? 2 2

两边平方,注意同解变形

转化为了一元二次不等式组可解

? 5 ? ∴原不等式的解集为 ? x ? ≤ x ? 2? . 2 ? ?

x?3 ?0 例 1 解分式不等式: x?7 解:分析符号规律:零点 3,-7 把数轴分成三段

∴由上面分析可知原不等式的解集为 ? x x ? ?7 或 x ? 3?

代数式 x?7 x?3 x?3 x?7

x ? ?7

?

? ?

?7 ? x ? 3

x?3

?

? ?

? ? ?

注:如果熟练了可简化成标根穿线法,直接快速写出解集

看谁更快,写出下列不等式的解集:
x?2 ?0 ⑴ 2x ? 5
? 5? ? x ?2 ? x ? ? 2? ?

3x ? 2 ≥0 ⑵ x ?1

? 2? ? x x ? ?1 或 x ≥ ? 3? ?
x ≥0 ⑷ 2x ?1

2? x ?0 ⑶ x?3

?x x ? ?3 或

x ? 2?

? 1 ? ? x x ? ? 或 x ≥0? 2 ? ?

2、一元二次不等式恒成立问题

不等式对任意实数恒成立,就是不等式的解集为 R,对于一元二次不等式 ax +bx+c>0,它的解
?a>0 集为 R 的条件为? ;ax2+bx+c<0 的解集 ?Δ<0 ?a<0 为 R 的条件为? . ?Δ<0
2

例 2 几个关于一元二次不等式的解集的问题: ⑴不等式 ?a ? 2?x 2 ? 2?a ? 2?x ? 4 ? 0 对于 x ? R 恒成 ?2, 2 立,那么 a 的取值范围是__________.

?

?

⑵ 已 知 不等 式 x 2 ? ax ? b ? 0 的 解 集是 ? x 2 ? x ? 3? ,

? 1 1? 则不等式 bx ? ax ? 1 ? 0 的解集为__________. ? ?x ? ? x ? ? 3? ? 2
2

⑶集合 A={x|10+3x-x2≥0},B={x|m+1≤x≤2m+1}, 当 A∩B=φ 时,m 的取值范围是________.

m<0 或 m>4

例3. (参数不等式) x2 + 5ax + 6a2 > 0
解:因式分解,得:(x+3a)(x+2a) > 0, 方程(x+3a)(x+2a) =0的两根为-3a、-2a. ①当-3a >-2a 即a <0时, 解集为:{x︱x>-3a 或 x<-2a};

②当-3a =-2a 即a =0时, 原不等式为 x2>0
解集为:{x︱x∈R且x≠0}; ③当-3a <-2a 即a >0时, 解集为:{x︱x> -2a 或 x< -3a}. 综上: 当a <0时,解集为:{x︱x> -3a或x< -2a}; 当a =0时,解集为: {x︱x∈R且x≠0}; 当a >0时,解集为:{x︱x> -2a或x< -3a}.

变式. ax2 + (6a+1)x + 6 > 0
一、当a=0时, 解集为?x | x ? ?6? 二、当a≠0时,
因式分解,得 :?ax ? 1??x ? 6? ? 0



? ? 1 解集为 : ? x x ? ? 或x ? ?6? a ? ?

1 1 当 ? ? ?6, 即a ? 时 a 6

1 ⑵ 当 ? ? ?6, 即a ? 时 方程?ax ? 1?? x ? 6? ? 0的两根为? ,?6 a 6 a 1 解集为 : x x ? R或x ? ?6 ①当a<0时,? ? 0, a 1 1 ? 1? ⑶ 当 ? ? ?6, 即0 ? a ? 时 解集为? x ? 6 ? x ? ? ? a 6 a? ? 1 ? 1?

1

1

?

?

? ②当a>0时, ? 0 a

解集为 : ? x x ? ?6或x ? ? ? a? ?

∴综上,得
2.当a ? 0时,解集为?x x ? ?1?;
1 4.当a ? 时,解集为?x x ? R且x ? ?6?; 6

? 1? 1.当a ? 0时,解集为 x ? 6 ? x ? ? ? ? a ?; ?

? 1 1? 3.当0 ? a ? 时, 解 集为? x x ? ?6或x ? ? ? 6 a ?; ?

? ? 1 1 5.当a ? 时,解集为 x x ? ? 或x ? ?6? ? 6 a ? ?.

注:

解形如ax2+bx+c>0的不等式时分类讨
论的标准有:

1、讨论a 与0的大小; 2、讨论⊿与0的大小; 3、讨论两根的大小;

3、用一元二次不等式解决实际问题: 某企业上年度的年利润为200万元,本年度为适应 市场需求,计划提高产品档次,适量增加投入成 本,投入成本增加的比例为x(0<x<1).现在有甲、 乙两种方案可供选择,通过市场调查后预测,若 选用甲方案,则年利润y万元与投入成本增加的比 例x的函数关系式为y=f(x)=-20x2+60x+200(0 <x<1);若选用乙方案,则y与x的函数关系式为 y=g(x)=-30x2+65x+200(0<x<1).试讨论根 据投入成本增加的比例x,如何选择最适合的方案?

解:f(x)-g(x)=(-20x2+60x+200)-(-30x2+ 65x+200)=10x2-5x.由 10x2-5x≥0, 1 解得 x≥ 或 x≤0(舍去).所以 2 1 当投入成本增加的比例 x∈(0, )时, 选择乙方案; 2 1 当投入成本增加的比例 x∈( , 1)时, 选择甲方案; 2 1 当投入成本增加的比例 x= 时,选择甲或乙方案 2 都可以.

方法感悟 1.对于有的恒成立问题,分离参数是一种行之有 效的方法.这是因为将参数予以分离后,问题往 往会转化为函数问题,从而得以迅速解决.当然 这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时, 经常要用到下述简单结论:(1)a>f(x)恒成立?a>

f(x)max;(2)a<f(x)恒成立?a<f(x)min.

2.用一元二次不等式解决实际问题的步骤大致可 分为: (1)理解题意,把条件进行转化,或者画出示意图, 理清各量满足的条件; (2)依据条件建立相应的不等关系,把实际问题抽 象为数学问题,即一元二次不等式问题;

(3)解所得的不等式,进而根据题目的实际意义解
释原问题.

练习:
1.已知a∈R,解关于x的不等式:x2-(a+2)x+2a≥0

作业:
1.已知a∈R,解关于x的不等式:

a?x ?0 x ?1

C


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