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选修4-4高考试题汇编


选修 4---4 极坐标系与参数方程高考试题集锦
1. (10 安徽理)设曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? 3 cos? ( ? 为参数) ,直线 l 的方程为 ? y ? 1 ? 3 sin ?
7 10 的点的个数为(A 10


x ? 3 y ? 2 ? 0 ,则曲线 C 到直线 l 距离为
A.1 B.2 C .3 D.4

2. (10 北京理)极坐标方程 ?? ? 1??? ? ? ? ? 0?? ? 0? 表示的图形是( C A.两个圆 B.两条直线 C.一个圆和一条射线



D.一条直线和一条射线

3. (10 湖南理)极坐标方程 ? ? cos ? 和参数方程 ? 分别是( A ) A.圆、直线

? x ? ?1 ? t ( t 为参数)所表示的图形 ? y ? 2 ? 3t
D.直线、直线

B.直线、圆

C.圆、圆

4. (10 湖南文)极坐标 ? ? cos ? 和参数方程 ? 是( D ) A.直线、直线 B.直线、圆

?x ? 1 ? t ( t 为参数)所表示的图形分别 ?y ? 2 ? t

C.圆、 圆

D.圆、直线

1. (07 广东理) 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 ?

?x ? t ? 3 (参数 t ? R ) , ?y ? 3?t

圆 C 的参数方程为 ?

s ? x ? 2 c o? ( 参 数 ? ??0, ,则圆 C 的圆心坐标为 2?? ) y ? 2 s i ? n ? 2 ?

?0,2? ;

,圆心到直线 l 的距离为

2 2



4. (07广东文)在极坐标系中,直线 l 的方程为 ? sin ? ? 3 ,则点 ? 2, 为 2 。

? ?

??

? 到直线 l 的距离 6?

5. ( 08 广 东 文 理 ) 已 知 曲 线 C1,C2 的 极 坐 标 方 程 分 别 为 ? cos ? ? 3 ,

? ? 4cos ? ? ? ≥ 0, 0 ≤? ? ? ,则曲线 C1 与 C2 交点的极坐标为 2
?

? ?

π?

?? ? ? 2 3, ? 6? ?



8. (09 安徽文理)以直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系 中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为 ? ?

?

? x ? 1 ? 2cos ? ( ? ? R ) ,它与曲线 ? 4 ? y ? 2 ? 2sin ?

( ? 为参数)相交于两点 A 和 B ,则 AB ? ___ 14 ____。 9. (09 广东理)若直线 l1 : ? 直,则 k ?

? x ? 1 ? 2t , ? x ? s, ( t 为参数)与直线 l2 : ? ( s 为参数)垂 ? y ? 1 ? 2s. ? y ? 2 ? kt. ? x ? 1 ? 2t ( t 为参数)与直线 4 x ? ky ? 1 垂直,则常数 k = y ? 2 ? 3 t ?

k ? ?1



12 . ( 09 广东文)若直线 ?

?6

.

13. (09 上海理)在极坐标系中,由三条直线 ? ? 0 ,? ?

?
3

, ? cos? ? ? sin ? ? 1围成

图形的面积是___

3? 3 _____. 4

15. (10 广东理)在极坐标系 ?? ,? ? ?0 ? ? ? ? ? 中,曲线 ? ? 2sin ? 与 ? cos ? ? ?1 的交 点的极坐标为______ ? 2 ,

? ?

3? 4

? ? ________. ?

21. (10 陕西理)已知圆 C 的参数方程为 ?

? x ? cos? ( ? 为参数) ,以原点为极点, x ? y ? 1 ? sin ?

轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? sin ? ? 1 ,则直线 l 与圆 C 的交点 的直角坐标为

?? 1,1? ; ?1,1? ;



22. (10 天津理)已知圆 C 的圆心是直线 ? 直线 x ? y ? 3 ? 0 相切。则圆 C 的方程为

?x ? t ( t 为参数)与 x 轴的交点,且圆 C 与 ?y ? 1? t

?x ? 1?2 ? y 2 ? 2
?
6



(12 安徽)在极坐标系中,圆 ? ? 4sin ? 的圆心到直线 ? ? 【解析】距离是 _____
2

( ? ? R ) 的距离是 _____

3
2

圆 ? ? 4sin ? ? x ? ( y ? 2) ? 4 的圆心 C (0, 2)

直线 l : ? ?

?
6

( ? ? R) ? x ? 3 y ? 0 ;点 C 到直线 l 的距离是

0?2 3 2

? 3

(11 陕西) . (坐标系与参数方程选做题)直角坐标系 xoy 中,以原点为极点, x

轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 A,B 分别在曲线C1 : 参数)和曲线 C2 : ? ? 1 上,则 AB 的最小值为 3 。

x = 3 + cos θ (? 为 y = 4 + sinθ

(12 北京) . 直线 ?

?x ? 2 ? t ? x ? 3 cos? (t 为参数)与曲线 ? (? 为参数)的交点个数为______。 ? y ? ?1 ? t ? y ? 3 sin ?

【解析】直线的普通方程 x ? y ? 1 ? 0 ,圆的普通方程为 x2 ? y 2 ? 9 ,可以直线圆相交, 故有 2 个交点。 【答案】2 x = 2cost (t 为参数), C 在点 (1,1) 处的切线为 l, y = 2sint 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则 l 的极坐标方程是 _______ p = (13 广东卷)已知曲线 C 的参数方程为 sin θ + 4 = 2 2. (07 海南文理)⊙ O1 和⊙ O2 的极坐标方程分别为 ? ? 4cos ?,? ? ?4sin ? 。 (Ⅰ)把⊙ O1 和⊙ O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)求经过⊙ O1 和⊙ O2 交点的 直线的直角坐标方程。
2 2 2 2 2. (1) x ? y ? 4 x ? 0 , x ? y ? 4 y ? 0 ; (2) y ? ? x ;

π

? 2 t? 2 ?x ? ? x ? cos? ? 2 5. (08 海南文理)已知曲线 C1 :? ( ? 为参数) ,曲线 C 2 :? (t 2 ? y ? sin ? ?y ? t ? 2 ?
为参数) (1)指出 C1 , C 2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C 2 公共点的个数; (2)若把 C1 , C 2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线 C1 , C 2 ,写出

?

?

? ? ? ? C1 , C 2 的参数方程, C1 与 C 2 的公共点的个数和 C1 与 C 2 公共点的个数是否相同,说明
你的理由。

? 2 t? 2 ? x ? cos? ?x ? ? ? 2 2 2 5. (1) 一个; (2) ( ? 为参数) , x ? y ? 1, x? y ? 2 ? 0, ? 1 ? y ? sin ? ? ?y ? 2 t 2 ? ? 4 ?

( t 为参数) ;相同

7. (08 福建理)已知直线 l : 3x ? 4 y ? 12 ? 0 与圆 C : ? 试判断他们的公共点个数。7.两个 10. (09 海南文理) 已知曲线 C1 :? 为参数)

? x ? ?1 ? 2cos ? ( ? 为参数) , ? y ? 2 ? 2sin ?

? x ? ?4 ? cost ? x ? 8 cos? ( t 为参数) , 曲线 C 2 :? (? y ? 3 ? sin t y ? 3 sin ? ? ?

(1)化 C1 , C 2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若 C1 上的点 P 对应的参数 t ?

?
2

, Q 为 C 2 上的点,求 PQ 的中点 M 到直线 C3 :

? x ? 3 ? 2t ( t 为参数)距离的最小值。 ? ? y ? ?2 ? t
10. (1) ?x ? 4? ? ? y ? 3? ? 1,
2 2

x2 y2 8 5 ? ? 1; (2) ; 64 9 5

13. (09 辽宁理)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C 的极坐标方程为 ? cos?? ?

? ?

??

? ? 1 , M , N 分别为 C 与 x 轴, y 轴的交点。 3?

(Ⅰ)写出 C 的直角坐标方程,并求 M , N 的极坐标; (Ⅱ)设 MN 的中点为 P ,求直 线 OP 的极坐标方程。 13. (1)

?2 3 ? ? ? 1 3 , ? ; (2) ? ? , ? ? R ; x? y ? 1; M ?2,0? , N ? ? ? 6 2 2 ? 3 2?
π π

(14 年陕西卷)在极坐标中,点 2, 6 到直线ρ sin θ ? 6 = 1d 的距离是______1 (14 重庆卷)已知直线 l 的参数方程为 x=2+t (t 为参数)以坐标原点为极点,x 轴的正半 y=3+t

轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为ρsin2 θ ? 4cosθ = 0(ρ ≥ 0,0 ≤ θ < 2). 则直线 l 与曲线 C 的公共点的极径ρ =_______ 5 (12广东) . (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中 xoy 中,曲线 C1 和曲线 C2 的 参数方程分别为 ?

?x ? t ?y ? t

( t 为参数)和 ?

? ? x ? 2 cos? ( ? 为参数) ,则曲线 C1 和曲线 C2 的 ? y ? 2 sin ? ?

交点坐标为



(11 天津) .已知抛物线 C 的参数方程为 ?

? x ? 8t 2 , ? y ? 8t .
2

( t 为参数)若斜率为 1 的

2 2 直线经过抛物线 C 的焦点,且与圆 ? x ? 4 ? ? y ? r (r ? 0) 相切,

则 r =________.

( 11 广 东 ) . ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 已 知 两 面 线 参 数 方 程 分 别 为 5 ? x ? t2 ? ? x ? 5 c o s ? ? 4 (t ? R ) ,它们的交点坐标为___________. ( 0? ? ? ? ) 和 ? ? ? ? ? y ? s i n? ?y ? t (11 新课标)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为

? x ? 2cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? 2 ? 2sin ?

??? ? ???? ? M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2
(Ⅰ)求 C2 的方程 (Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 于极点的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB .

?
3

与 C1 的异

? x ? cos ? , (11 湖南).在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ( ? 为参 ? y ? 1 ? sin ?
数)在极坐标系(与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以

x 轴正半轴为极轴)中,曲线 C2 的方程为 ? ? cos? ? sin ? ? ?1 ? 0 ,则 C1 与 C2 的交
点个数为 答案:2 解析:曲线 C1 : x2 ? ( y ?1)2 ? 1, C2 : x ? y ? 1 ? 0 ,由圆心到直线的距离
d? | 0 ? 1 ? 1| ? 0 ? 1 ,故 C1 与 C2 的交点个数为 2. 2



x=t (13 江西卷)设曲线 C 的参数方程为 y = t 2 (t 为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为__________ρcos2 θ ? sinθ = 0

(11 福建) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直接坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 3 cos a . ? ? y ? sin a

(I)已知在极坐标(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正 半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(4,

π ) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系; 2

(II)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. (11 辽宁) . (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系统与参数方程

? x ? cos ? 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ,曲线 C2 ? y ? sin ?

? x ? a cos ? 的参数方程为 ? ( a ? b ? 0 , ? 为参数) ,在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极 ? y ? b sin ?
轴的极坐标系中,射线 l:θ= ? 与 C1,C2 各有一个交点.当 ? =0 时,这两个交点间的 距离为 2,当 ? =

? 时,这两个交点重合. 2

(I)分别说明 C1,C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值; (II)设当 ? =

? ? 时,l 与 C1,C2 的交点分别为 A1,B1,当 ? = ? 时,l 与 C1,C2 的交 4 4

点为 A2,B2,求四边形 A1A2B2B1 的面积.

? 2 t, ?x ? 3 ? ? 2 15. (10 福建理) 在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数)。 2 ?y ? 5 ? t ? ? 2
在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极 轴)中,圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? 。 (1)求圆 C 的直角坐标方程;

(2)设圆 C 与直线 l 交于点 A, B .若点 P 的坐标为 3, 5 ,求 PA ? PB .
2 15. (1) x ? y ? 5

?

?

?

?

2

? 5; (2) 3 2 ;

(12 湖北).(选修 4-4:坐标系与参数方程) 在直角坐标系 xOy 中, 以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 已知射线 ? ?

?
4

与曲线 ?

?x ? t ? 1
2 ? y ? (t ? 1)

(t 为参数)相较于 A,B 来两点,则线段 AB 的中点的直角坐标为

_________。 (12 湖南). 在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 : ?

? x ? t ? 1, (t 为参数)与曲线 C2 : ? y ? 1 ? 2t

? x ? a sin ? , ? ? y ? 3cos ?
( ? 为参数, a ? 0 ) 有一个公共点在 X 轴上,则 a ? __ . 【答案】

3 2

【解析】曲线 C1 : ?

? x ? t ? 1, 3 直角坐标方程为 y ? 3 ? 2 x ,与 x 轴交点为 ( , 0) ; 2 ? y ? 1 ? 2t

曲线 C2 : ?

? x ? a sin ? , x2 y 2 ? 1 ,其与 x 轴交点为 (?a,0),(a,0) , 直角坐标方程为 2 ? a 9 ? y ? 3cos ?
3 . 2
7π 4

由 a ? 0 ,曲线 C1 与曲线 C2 有一个公共点在 X 轴上,知 a ? (15 广东卷) 已知直线 l 的极坐标方程为2ρ sin θ ? 则点 A 到直线 l 的距离为___________ (12 辽宁)(本小题满分 10 分)选修 44:坐标系与参数方程
π 4

= 2, 点 A 的极坐标为 A 2 2,



在直角坐标 xOy 中,圆 C1 : x2 ? y 2 ? 4 ,圆 C2 : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 。 (Ⅰ)在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 分别写出圆 C1 , C2 的极坐标方程, 并求出圆 C1 , C2 的交点坐标(用极坐标表示); (Ⅱ)求出 C1与C2 的公共弦的参数方程。 (12 新课标)本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程是 ?

?x ? 2cos? (?为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴 ?y ? 3sin?

为极轴建立坐标系,曲线 C 2 的坐标系方程是 ? ? 2 ,正方形 ABCD 的顶点都在 C 2 上, 且 A, B, C , D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 (2, (1)求点 A, B, C , D 的直角坐标;

?
3

)

(2)设 P 为 C1 上任意一点,求 PA ? PB ? PC ? PD 的取值范围。 【解析】 (1)点 A, B, C , D 的极坐标为 (2,

2

2

2

2

?
3

), (2,

5? 4? 11? ), (2, ), (2, ) 6 3 6

点 A, B, C , D 的直角坐标为 (1, 3),(? 3,1),(?1, ? 3),( 3, ?1) (2)设 P( x0 , y0 ) ;则 ?
2 2

? x0 ? 2cos? (?为参数) y ? 3sin ? 0 ?
2 2

t ? PA ? PB ? PC ? PD ? 4 x 2 ? 4 y 2 ? 40

? 56 ? 20sin 2 ? ?[56,76] (lfxlby)

18. (10 海南文理)已知直线 C1 : ? 为参数) 。 (1)当 ? ?

? x ? 1 ? t cos? ? x ? cos? ( t 为参数) ,圆 C 2 : ? (? ? y ? t sin ? ? y ? sin ?

?
3

时,求 C1 与 C 2 的交点坐标;

(2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A , P 为 OA 的中点,当 ? 变化时,求 P 点轨 迹的参数方程,并指出它是什么曲线。

1 ? x ? sin 2 ? ? ?1 3? ? ?1 ? 2 ?; 18. (1) ?1,0? , ? ,? (2) ? ( ? 为参数) ,圆心为 ? ,0 ? , ?2 ? 2 ? ?4 ? ? ? y ? ? 1 sin ? cos? ? 2 ?
半径为

1 的圆; 4

21. (10 江苏)在极坐标系中,圆 ? ? 2 cos? 与直线 3? cos? ? 4 ? sin ? ? a ? 0 相切, 求实数 a 的值。 21. ? 8 或 2;

23. (10 辽宁文理)已知 P 为半圆 C : ?

? x ? cos? ( ? 为参数, 0 ? ? ? ? )上的点,点 ? y ? sin ?
的长度均

A 的坐标为 ?1,0? , O 为坐标原点,点 M 在射线 OP 上,线段 OM 与 C 的弧


? 。 3

(1) 以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 求点 M 的极坐标; (2) 求直线 AM 的参数方程。

? ?? ? x ? 1 ? ? ? 1?t ? ? ?? ? ? ?6 ? 23. (1) ? , ? ; ( 2) ? ( t 为参数) ; ?3 3? 3 ? ? y? t ? 6 ?
(12 福建) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中, 以坐标原点 O 为几点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 已知直线 l 上两点 M , N 的极坐标分别为 ( 2,0), (

2 3 ? , ) ,圆 C 的参数方程 3 2

? x ? 2 ? 2 cos? 。 (? 为参数) ? ? y ? ? 3 ? 2 sin ?
(Ⅰ)设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (Ⅱ)判断直线 l 与圆 C 的位置关系。 (13 年全国 1 卷)已知曲线C1 的参数方程为 x = 4 + 5cost (t 为参数),以坐标原点为极点,x y = 5 + 5sint

轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2 的极坐标方程为ρ = 2sinθ。 (1) 把C1 的参数方程化为极坐标方程; (2) 求C1 ,C2 的交点的极坐标方程(ρ > 0,0 ≤ < 2) (13 年全国 2 卷 ) 已知动点 p,Q 都在曲线 C : x = 2cost (t 为参数)上,对应参数分别为 y = 2sint

t = α 和 t = 2α(0 < < 2),M 为 PQ 的中点。 (1) 求 M 的轨迹的参数方程 (2) 将 M 的坐标原点的距离 d 表示为α的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点。 (13 江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 的参数方程为 x = t+1 (t 为参数),曲线 C y = 2t

x = 2tan2 θ (θ 为参数),试求直线 l 和曲线 C 的普通方程,并求它们的公共点 y = 2tanθ

的坐标。 (13 辽宁卷) 在直角坐标系 xOy 中, 以 O 为极点, x 的正半轴为极轴建立直角坐标系。 圆C1 与 直线C2 的极坐标方程分别是ρ = 4sinθ和ρ cos θ ? 4 = 2 2. (1) 求C1 和C2 的交点的极坐标。 (2) 设 P 为 C1 的 圆 心 , Q 为 C1 与 C2 交 点 连 线 的 中 点 。 已 知 直 线 PQ 的 参 数 方 程 为 x = t3 + a b (t ∈ R 为参数),求 a,b 的值。 y = 2 t3 + 1 (14 年全国 1 卷)已知曲线 C: +
4 x2 y2 9 π

= 1,直线 l:

x=2+t (t 为参数) y = 2 ? 2t

(1) 写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程。 (2)过曲线 C 上的任意一点 P 作与 l 夹角为30°的直线,交于点 A,求 PA 的最大值与 最小值。 (14 年全国 2 卷)在平面直角坐标 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立 极坐标系,半圆 C 的极坐标系方程为ρ = 2cosθ,θ? 0, .
2 π

(1) 求 C 的参数方程。 (2) 设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y = 3x + 2垂直,根据(1)中你得 到的参数方程,确定 D 的坐标。 (14 江苏卷) 在平面直角坐标 xOy 中, 已知直线 l 的参数方程为
2

x=1? y=2+

2 2 2 2

t t

(t 为参数),

直线 l 与抛物线y = 4x相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长度。 (14 辽宁卷)将圆x 2 + y 2 = 1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得 曲线 C。 (1) 写出 C 的参数方程。 (2) 设直线 l:2x+y-2=0 与 C 的交点为P1 ,P2 ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系,求过线段P1 P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程。 (2015 年全国 1 卷)在直角坐标 xOy 中,直线C1 :x=-2,圆C2 :(x ? 1)2 + (y ? 2)2 = 1,以坐标系 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 (1) 求C1 ,C2 的极坐标方程。 (2) 若直线C3 的极坐标方程为θ = (ρ ∈ R),设C2 与C3 的交点为 M,N,求?C2 MN的面
4 π

积。 x = tcosα ( 2015 年全国 2 卷)在直角坐标 xOy 中,曲线 C1 : y = tsinα (t 为参数,t ≠ 0) , 其中 (0 ≤ α < 2).在一 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的坐标系中, 曲线C2 :ρ = 2sinθ,C3 :ρ = 2 3cosθ。 (1) 求C2 与C3 交点的直角坐标; (2) 若C1 与C2 相交于点 A,C1 与C3 相交于点 B,求 AB 的最大值。 (15 陕西卷)在直角坐标 xOy 中,直线 l 的参数方程为 x=3+2 y=
3 2 t

t

(t 为参数),以原点为极

点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为ρ = 2 3sinθ。 (1) 写出圆 C 的直角坐标方程。 (2) P 为直线 l 上的动点,当 P 到圆心 C 的距离最小时,求 P 的直角坐标。


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