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2015年高中数学新课标一轮复习下册7-2


一轮复习 · 新课标数学 · 理(下册)

第二节 空间几何体的面积与体积

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记忆最新考纲

了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式 (不要求记 忆公式)

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命题规律透视
1.多以选择题或填空题的形式考查,有时也融于解答题中考查. 2.常以三视图为载体考查空间几何体的表面积或体积,如 2013 年福建 T12,重庆 T5,广东 T5,新课标全国卷ⅠT8,辽宁 T13, 浙江 T12,陕西 T12,湖北 T8 等.也可给出几何体的棱、面满 足的条件来进行计算表面积或体积, 如 2013 年江苏 T8, 天津 T4, 新课标全国ⅠT6 等. 3.求点到面的距离时,有时会涉及等体积转化的思路进行求解, 在解答题中考查时往往是单独的一面或者解题过程中有简单涉 及.
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命题趋势 1.热点预测:预计 2014 年高考对本节内容的考查仍将以识 别三视图所代表的几何体,进而确定几何体中线、面位置关系为 主.考查学生读图、识图能力以及空间想象力.题型仍将延续选 择题、填空题的形式,分值约为 5 分. 2.趋势分析:给出简单几何体(柱、锥、台、球)的三视图, 求其表面积、体积等命题趋势较强. 2014 年高考复习时应给予足 够的重视.

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1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱 侧面 展开图

圆锥

圆台

侧面积 S 圆柱侧=______ S 圆锥侧=_______ S 圆台侧=______ 公式

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2.空间几何体的表面积和体积公式 名称 几何体 柱体 S 表面积=S 侧+2S 底 (棱柱和圆柱) 锥体 S 表面积=S 侧+S 底 (棱锥和圆锥) 表面积 体积 V=________ V=________

1 台体 S 表面积=S 侧+S 上+ V= (S 上+S 下+ 3 (棱台和圆台) S下 S上S下)h 球 S=________ V=________

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[答案] 1.2πrl 1 2.Sh 3Sh

πrl
2

π(r+r′)l 4 3 3πR

4πR

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判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“× ”). 1.对柱体、锥体、台体的展开图的认识 (1)圆柱的侧面展开图是矩形.( (2)圆锥的侧面展开图是圆.( (3)圆台的侧面展开图是圆环.( (4)棱柱的侧面展开图是矩形.( ) ) ) )

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2.了解柱体、锥体、台体、球的体积求法 (1)长方体的体积等于长、宽、高之积.( )

(2)若圆锥的轴截面是正三角形, 则它的侧面积是底面积的 2 倍.( ) )

(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算.( (4)球的体积之比等于半径比的平方.( (5)锥体的体积等于底面面积与高之积.( (6)直径为 1 的球的表面积 S=4πR2=4π.(
[答案] 1.(1)√ (2)× (3)× (4)× 2.(1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)× (6)×
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) ) )

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考点一:几何体的折叠与展开的技巧与方法

[调研 1]

在图 1 所示的平面图形中,△ABC 是边长为

2a 的等边三角形,△ABD,△BCE,△ACF 是分别以 AB,BC, AC 为底的全等的等腰三角形,现将该平面图形分别沿 AB,BC, AC 折叠,使△ABD,△BCE,△ACF 所在平面都与平面 ABC 垂 直,连接 DE,EF,DF,得到图 2 所示的几何体,

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1 (1)求证:S△DEF=4S△ABC; (2)当 AD= 2a 时,求三棱锥 D-ABE 的体积 VD-ABE; (3)在(2)的前提下,求二面角 F-AD-B 的余弦值.

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[解析]

(1)证明:如图,分别取 AC,BC 的中点 M,N,连

接 FM,EN,MN.∵△ABD,△BCE,△ACF 是全等的等腰三角 形,∴FM⊥AC,EN⊥BC,FM=EN,又△ABD,△BCE,△ACF 所在平面都与平面 ABC 垂直, ∴FM⊥平面 ABC, EN⊥平面 ABC,

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∴FM∥EN,∴四边形 EFMN 是平行四边形,∴EF 綊 MN,

1 1 1 1 又 MN 綊2AB,∴EF 綊2AB,同理可得:DE 綊2AC,DF 綊2BC, 1 故△DEF 是边长为 a 的正三角形,∴S△DEF=4S△ABC.

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3 (2)连接 AE,过 M 作 MQ⊥AB 于点 Q,解得 MQ= 2 a,即 为 M 到平面 ABD 的距离, 由(1)可知平面 MNEF∥平面 ABD, ∴ 3 1 E 到平面 ABD 的距离为 2 a.∵AD= 2a,∴S△ABD=2×2a×a= a2, 1 2 3 3 3 ∵VD-ABE=VE-ABD=3×a × 2 a= 6 a .

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(3)分别以 NA,NB,NE 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直 角坐标系 N-xyz,依题意得 A( 3a,0,0),B(0,a,0),C(0,-a,0),
? D? ? ? ? ? 3 ? 3 a a ? ? ? , F a , , a a ,- , a ? ? 2 ?, 2 2 2 ? ? ? ? ? 3 a → → ? ∴DF=(0,-a,0),AD=?- a, ,a? . ? 2 2 ? ?

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设 m=(x,y,z)是平面 ADF 的一个法向量, → ? ?m· DF=0, 则有? → = 0, ? m · AD ? ?-ay=0, ? 即? 3 a - 2 ax+2y+az=0, ? ? 令 x=1,得
? m=? ?1,0, ?

3? ? . 2? ?

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又易知

? n=? ? ?

? 3 ? , 1 , 0 ?是平面 ABD 的一个法向量, 2 ?

设二面角 F-AD-B 的平面角为 α, |m· n| 2 3 有|cos a|=|m||n|= 7 , 2 3 又∵二面角 F-AD-B 是钝二面角,∴cos α=- 7 .

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1.求几何体表面上两点间的最短距离的方法 常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体展开, 转化为求平 面上两点间的距离. 2.解决折叠问题的技巧 (1)有关几何体展开图与平面图形折成几何体问题,在解决 的过程中要注意按什么线作轴来展或折;

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(2)解决折叠问题时,要分清折叠前后两图形中(折叠前的平 面图形和折叠后的空间图形)元素间的位置关系和数量关系哪些 发生了变化,哪些没有发生变化. (3)折叠问题中的前后两个图形,在折线同侧的元素的位置 关系和数量关系不发生变化; 在折线异侧的元素的位置关系和数 量关系发生变化.

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(1)在四边形 ABCD 中,AB=AD=CD=1,BD= 2,BD⊥ CD.将四边形 ABCD 沿对角线 BD 折成四面体 A′-BCD,使平 面 A′BD⊥平面 BCD,则下列结论正确的是( )

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A.A′C⊥BD B.∠BA′C=90° C.CA′与平面 A′BD 所成的角为 30° 1 D.四面体 A′BCD 的体积为3
[答案] B

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[解析] 对于 A,若 A′C⊥BD,因为 CD⊥BD,所以 BD ⊥平面 A′CD,所以 BD⊥A′D,又易知在△A′BD 中,A′D ⊥A′B, 矛盾, 所以 A 错; 对于 B, 由于平面 A′BD⊥平面 BCD, 平面 A′BD∩平面 BCD=BD, CD⊥BD, 所以 CD⊥平面 A′BD, 则 CD⊥A′B,又因为 A′B⊥A′D,所以 A′B⊥平面 A′CD, 则 A′B⊥A′C,即∠BA′C=90° ,B 对;对于 C,由于 CD⊥ 平面 A′BD,所以∠CA′D 即为所求角,在 Rt△A′CD 中,tan CD ∠CA′D= =1,∴∠CA′D=45° ,C 错;对于 D,VA′-BCD A′D 1 1 2 1 =3×1× 2×2× 2 =6,D 错.故选 B.
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(2)如图所示,是一几何体的平面展开图,其中 ABCD 为正 方形,E,F 分别为 PA,PD 的中点.在此几何体中,给出下面 四个结论:

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①直线 BE 与直线 CF 异面; ②直线 BE 与直线 AF 异面; ③直线 EF∥平面 PBC; ④平面 BCE⊥平面 PAD. 其中正确结论的序号有( A.①② B.②③ C.①④ D.②④
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)

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[答案] B
[解析] 对于①,∵E,F 分别是 PA,PD 的中点,∴EF∥

AD.又∵AD∥BC,∴EF∥BC,∴BE 与 CF 共面,故①不正确; 对于②,∵BE 是平面 APD 的斜线,AF 是平面 APD 内与 BE 不 相交的直线,∴BE 与 AF 不共面,故②正确;对于③,由①知 EF∥BC, 又 BC?平面 PBC 且 EF?平面 PBC, ∴EF∥平面 PBC. 故③正确;对于④,条件不足,无法判断两平面垂直. 故选 B.

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考点二:空间几何体表面积的探究 [调研 2] (1)(2014· 昆明调研)如图,若一个空间几何体的三 视图中, 正视图和侧视图都是直角三角形,其直角边长均为 1, 则该几何体的表面积为( A.1+ 2 B.2+2 2 1 C.3 D.2+ 2 )

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[ 思路点拨 ] 表面积.
[答案] D

由条件所给出的三视图还原出直观图后再求

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[解析] 依题意得,题中的几何体是底面为正方形,侧棱垂 直于底面的四棱锥 P-ABCD(如图), 其中底面边长为 1,PD= 1 1 1,PD⊥平面 ABCD,S△PAD=S△PCD=2×1×1=2,S△PAB=S△PBC 1 2 =2×1× 2= 2 ,S 四边形 ABCD=12=1,因此该几何体的表面积为 2+ 2,故选 D.

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(2)(2014· 武汉武昌区联考 )已知某几何体的三视图的正视图 和侧视图是全等的等腰梯形,俯视图是两个同心圆,如图所示, 则该几何体的全面积为________.

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[思路点拨] 全面积.
[答案] 26π

先读三视图,还原出原几何体,再求解圆台的

[解析] 由三视图知该几何体为上底直径为 2,下底直径为 6,高为 2 3的圆台,则几何体的全面积 S=π×1+π×9+π×(1 +3)× ?2 3?2+22=26π.

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1.多面体的表面积的求法 求解有关多面体表面积的问题,关键是找到其特征几何图 形, 如棱柱中的矩形, 棱台中的直角梯形, 棱锥中的直角三角形, 它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁,从而架起侧面积 公式中的未知量与条件中已知几何元素之间的联系.

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2.旋转体的表面积的求法 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将曲面 展成平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和. 3.以三视图为载体考查几何体的表面积,关键是能够对给 出的三视图进行恰当的分析, 从三视图中发现几何体中各元素间 的位置关系及数量关系.
[提醒] 解题中要注意表面积与侧面积的区别,对于组合体 的表面积还应注意重合部分的处理.

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(1)一个半径为 2 的球体经过切割之后所得几何体的三视图 如图所示,则该几何体的表面积为________.

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[答案] 16π

[解析]

1 由三视图,可知该几何体是一个球体挖去 4之后剩

3 余的部分,故该几何体的表面积为球体表面积的4与两个半圆面
?1 ? 3 2 2 的面积之和,即 S=4×(4π×2 )+2×?2×π×2 ?=16π. ? ?

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(2)(2013· 福建)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合 体,如果该组合体正视图、侧视图、俯视图均如图所示,且图中 的四边形是边长为 2 的正方形,则该球的表面积是________.

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[答案] 12π

[解析] 依题意得,该几何体是球的一个内接正方体,且该 正方体的棱长为 2.设该球的直径为 2R,则 2R= 22+22+22= 2 3,所以该球的表面积为 4πR2=4π( 3)2=12π.

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考点三:空间几何体体积的探究 [ 调研 3] (1)(2014· 河南十所名校高三第二次联考 ) 四面体

ABCD 中,AD 与 BC 互相垂直,AD=2BC=4,且 AB+BD=AC +CD=2 14,则四面体 ABCD 的体积的最大值是( A.4 C.5 B.2 10 D. 30 )

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[答案]
[解析]

A
画出图形如下,作 BE⊥AD 于 E,连接 CE.结合 BC

⊥AD,BC∩BE=B,得 AD⊥平面 BCE. 所以 CE⊥AD.易知 BE 1 1 1 = CE , 所 以 四 面 体 ABCD 的 体 积 为 V = 3 S △ BCE· AD = 3 × 2 4 ×2× BE2-12×4=3 BE2-1.

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在△ABD 中,AB+BD=2 14>AD=4,所以 AD 边上的高 BE 等于以 AD 为焦点, 长轴为 2 14的椭圆上的点到 x 轴的距离, 其最大值刚好是点 B 在短轴端点的时候得到, 即 BE≤ a2-c2= 4 4 2 ? 14? -2 = 10,所以 V=3 BE -1≤3 ? 10?2-1=4.即四
2 2

面体 ABCD 的体积的最大值是 4.

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(2)(2013· 辽宁)某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体 积是________.

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[思路点拨]

由条件所给三视图,该几何体为圆柱中间挖掉

了一个正四棱柱.
[答案] 16π-16

[ 解析 ]

由三视图可知该几何体是由圆柱中间除去正四棱

柱得到的,故所求体积是 4π×4-2×2×4=16π-16.

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1.求几何体体积的类型及思路 (1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体,则可直接利用 公式进行求解. (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常 用转换法、分割法、补形法等方法进行求解. (3)若以三视图的形式给出几何体,则其解题关键是由三视 图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系, 还原出几何体的直观图,再根据条件利用体积公式求解.
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2.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系

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(1)(2013· 课标全国Ⅰ)某几何体的三视图如图所示, 则该几何 体的体积为( )

A.16+8π C.16+16π
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B.8+8π D.8+16π
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[答案]

A

[ 解析 ]

由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组

成. 其中长方体的长、 宽、 高分别为 4,2,2, 圆柱的底面半径为 2, 1 高为 4,所以该几何体的体积为 V=4×2×2+2π×22×4=16+ 8π.故选 A.

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(2)(2014· 邯郸市高三测试 )一个空间几何体的三视图如图所 示,则该几何体的体积为( )

A. 2 3 4 3 C. 3

B. 2 5 D. 4 3

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[答案]

C

[ 解析 ]

由三视图,知该几何体是一个如下图所示的几何

体,取 CF 的中点 P,连接 PD,PE,则该几何体由一个正三棱 柱与一个三棱锥组成.

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知截面 PDE 将几何体分为一个正三棱柱 ABC-DEP 与一个 三棱锥 F-PDE,其中正三棱柱的底面边长为 2,高为 1,其体 1 积为 V1=S△PDE×PC=2×2×2×sin 60° ×1= 3. 三棱锥的底面 PDE 是一个边长为 2 的正三角形, 且 FP⊥底 1 面 PDE,FP=1,则三棱锥 F- PDE 的体积为 V2=3S△PDE×PF 1 3 =3× 3×1= 3 . 3 4 3 所以该几何体的体积为 V=V1+V2= 3+ 3 = 3 .故选 C.
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[ 命题探新 ]

本题以组合体体积的求解为载体考查了几何

体的结构特征、平面图形的面积、几何体体积、三视图的识别以 及切割法等,其中,三视图与几何体之间的相互转化是重点也是 难点.

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考点四:与球有关的切、接问题 [调研 4] (1)(2013· 课标全国Ⅰ)如图,有一个水平放置的透 明无盖的正方体容器,容器高 8 cm,将一个球放在容器口,再 向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm,如果 不计容器的厚度,则球的体积为( )

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500π 3 A. 3 cm 866π 3 B. 3 cm 1 372π 3 C. 3 cm 2 048π 3 D. 3 cm
[思路点拨] [答案] A 利用球的截面性质结合直角三角形求解.

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[解析] 设球心为 O,正方体上底面中心为 A,上底面一边 的中点为 B, 在 Rt△OAB 中, |OA|=R-2(cm), |AB|=4(cm), |OB| 4 3 500 = R(cm) ,由 R = (R - 2) + 4 得 R = 5 ,∴ V 球 = 3 πR = 3
2 2 2

π(cm3).故选 A.

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(2)如图所示,在等腰梯形 ABCD 中,AB=2DC=2,∠DAB =60° ,E 为 AB 的中点,将△ADE 与△BEC 分别沿 ED,EC 向 上折起,使 A,B 重合于点 P,则三棱锥 P-DCE 的外接球的体 积为( )

4 3π A. 27 6π C. 8
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6π B. 2 6π D. 24
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[思路点拨]

将三棱锥问题放在正方体中,使问题简单化,

利用构造法进行求解.
[答案] C

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[解析] 所得三棱锥 P-DCE 为正四面体,它的棱长为 1, 这样的三棱锥可以放入一个正方体中. 如图中的正方体的棱长为 2 6 2 ,其面对角线的长度是 1,体对角线的长度为 2 ,故三棱锥 P
? 6? 6 4 6 ? ?3 -DCE 的外接球半径为 4 ,其外接球的体积为3π×? ? = 8 π. ? 4 ?

故选 C.

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1.与球有关的组合体问题的求解 解决与球有关的组合体问题,可通过画过球心的截面来分 析.例如,底面半径为 r,高为 h 的圆锥内部有一球 O,且球与 圆锥的底面和侧面均相切,过球心 O 作球的截面,如图所示,则 球心是等腰△ABC 的内切圆的圆心,AB 和 AC 均是圆锥的母线, BC 是圆锥底面的直径,D 是圆锥底面的圆心.

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用同样的方法可得以下结论: (1)长方体的 8 个顶点在同一个球面上,则长方体的体对角 线是球的直径; 球与正方体的 6 个面均相切,则球的直径等于正方体的棱 长; 球与正方体的 12 个棱均相切,则球的直径是正方体的面对 角线.

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(2)球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的 高,也等于圆柱底面圆的直径. (3)球与圆台的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆台的 高.

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2.空间几何体的切割问题 在求解一些不规则的几何体的体积以及两个几何体的体积 之比时,常常需要用到分割法.在求一个几何体被分成两部分的 体积之比时,若有一部分为不规则几何体,则可用整个几何体的 体积减去规则几何体的体积求出其体积.

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(1)(2013· 辽宁)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的 6 个顶点都在 球 O 的球面上.若 AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球 O 的半径为( 3 17 A. 2 13 C. 2 ) B.2 10 D.3 10

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[答案]

C

[解析] 由题设可知该三棱柱可以看作长方体的一部分,且 该长方体同一顶点的三条棱长分别为 3,4,12,三棱柱的外接球, 13 即为长方体的外接球,故(2R) =3 +4 +12 ,R= 2 ,故选 C.
2 2 2 2

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(2)(2014· 哈尔滨四校统考)在三棱锥 S-ABC 中,侧棱 SC⊥ 平面 SAB,SA⊥BC,侧面△SAB,△SBC,△SAC 的面积分别为 3 1,2,3,则此三棱锥的外接球的表面积为________.
[答案] 14π

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[解析] ∵侧棱 SC⊥平面 SAB,∴SC⊥SB,SC⊥SA,又 SA ⊥BC,SC∩BC=C,∴SA⊥平面 SBC,∴SA⊥SB,以 SA,SB, SC 为邻边将三棱锥补成长方体 SAGB-CDEF,则此长方体的体 对角线为长方体外接球的直径,设 SA=a,SB=b,SC=c,球的 3 半径为 r,∵△SAB,△SBC,△SAC 的面积分别为 1,2,3,∴ 1 1 3 1 2ab=1,2bc=2,2ac=3,解得 a=2,b=1,c=3,2r= 1+4+9 = 14,∴此三棱锥的外接球的表面积为 14π.

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1.几何体的侧面积和全面积: 几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和,而全面积是侧面积 与所有底面积之和,对侧面积公式的记忆,最好结合几何体的侧 面展开图来进行.

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2.求体积时应注意的几点: (1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已知 体积公式的几何体进行解决. (2)与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数 据的准确性. 3.求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理.

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思想方法:函数思想在立体几何计算中的应用 [典例 1] 已知正三棱柱内接于一个半径为 2 的球,则正三 )

棱柱的侧面积取得最大值时,其底面边长为( A. 6 C. 3 B. 2 D.2

[ 思路分析 ]

应用等价转化的思想将侧面积的最值转化为

函数,再利用基本不等式或者函数知识求解.

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[答案]

A

[解析]

设底面边长为 x,由平面几何知识可得正三棱柱的

3 底面正三角形所在截面圆的半径为 3 x,又因为外接球的半径为 2 ,所以侧棱长为 2
? 4- ? ? ?

2 3 ? ?2 2 = · 12 - x ,故侧面积为 x 3 ? 3 ?

2 3x· · 12-x2=2 3x· 12-x2=2 3· x2?12-x2?≤12 3, 当且仅 3 当 x2=12-x2,即 x= 6时,侧面积最大,故选 A.

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[典例 2]

(2012· 江西)如图,已知正四棱锥 S-ABCD 的所

有棱长都为 1,点 E 是侧棱 SC 上一动点,过点 E 垂直于 SC 的 截面将正四棱锥分成上、下两部分.记 SE=x(0<x<1),截面下面 部分的体积为 V(x),则函数 y=V(x)的图象大致为( )

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[思路分析] 象.
[答案] A

分段表示函数 y=V(x), 然后根据解析式确定图

[解析] “分段”表示函数 y=V(x),根据解析式确定图象. 1 当 0<x<2时,截面为五边形,如图所示.

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由 SC⊥面 QEPMN,且几何体为正四棱锥,棱长均为 1,可 2 求得正四棱锥的高 h= 2 ,取 MN 的中点 O, 易推出 OE∥SA,MP∥SA,NQ∥SA,则 SQ=SP=AM=AN =2x,四边形 OEQN 和 OEPM 为全等的直角梯形, 1 1 2 2 则 VS-AMN=3×2· AM· AN· h= 3 x ,

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此时 V(x)=VS-ABCD-VS-AMN-VS-EQNMP 2 2 2 1 = 6 - 3 x -3×(2 2x-3 2x2)x 1? 2? = 2x - 2x + 6 ?0<x<2?. ? ?
3 2

非一次函数形式,排除选项 C,D.

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2 当 E 为 SC 中点时,截面为三角形 EDB,且 S△EDB= 4 . ?1-x? S 1 截面 ? ? 当2<x<1 时, =? 1 ?2?S 截面= 2(1-x)2. 2 ? 2 ? 4 2 此时 V(x)= 3 (1-x)3?V′=- 2(1-x)2. 当 x→1 时,V′→0,则说明 V(x)减小越来越慢,排除选项 B.

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[ 思维升华 ]

本题巧妙地将函数图象与立体几何的体积交

汇命题,在求解过程中还要应用导数知识,考查知识的灵活运用 能力,综合性很强.根据立体图形的特点,分段写出函数解析式 是解决此题的关键.

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课时提升演练(四十三)

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