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2014年高考理科数学总复习试卷第100卷题目及其答案


2014 年高考理科数学总复习试卷第 100 卷题目及其答 案
本试卷共 4 页,共 21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡 上。 用 2B 铅笔将答题卡试卷类型 (A) 填涂在答题卡上。 在答题卡右上角的 “试室号” 和 “座 位号”栏填写试室号、座位号,将相应的试室号、座位号信息点涂黑。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式: 棱锥的体积公式: V ? 球的体积公式: V ?

1 ? S ? h ,其中 S 是底面面积, h 是高 3

4 3 ?R ,其中 R 是球的半径 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知向量 AB = ( 2, 4 ), AC = ( a , 3 ),若 AB ? AC ,则 a 的值为 A. 6 B. ? 6
2

??

??

??

??

C.

3 2

D. ?

3 2

2.命题 ?x ? R, x ? x ≥ 0 的否定是 A. ?x ? R, x ? x ≥ 0
2

B. ?x ? R, x ? x ≥ 0
2

C. ?x ? R, x ? x ? 0
2

D. ?x ? R, x ? x ? 0
2

3.已知 i 是虚数单位,则 i 3 ? = A. ? 2i
1

1 i

B. 2i

C. ? i

D. i

4.函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x 2 ? 2 的零点所在区间是 A. ( ? 1 ,0) B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 5.已知等差数列 {an } 中,前 5 项和 S5 ? 15 ,前 6 项和 S 6 ? 21 ,则前 11 项和 S11 = A.64 B.36 C.66 D.30 6.利用独立性检验来考虑两个分类变量 X 和 Y 是否有关系时,通过查阅下表来确定“X 和 Y 有关系”的可信度. 如果 k ? 3.84,那么有把握认为“X 和 Y 有关系”的百分比为
1

P(K >k)

2

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05 3.84

0.025 0.010 0.005 0.001 5.024 6.635 7.879 10.83

k
A.5%

0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 B.75%
2 2

C.99.5%

D.95%

7.过坐标原点且与圆 x ? 4 x ? y ? 2 ? 0 相切的直线方程为 A. x ? y ? 0 C. x ? y ? 0 或 x ? y ? 0 B. x ? y ? 0 D. x ? 3 y ? 0 或 x ? 3 y ? 0
2 2
主视图

2
左视图

8.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A. 4? ? 1

4? ?1 B. 3
? 2? x ?log3 x x≤0 x ? 0.

4? ?8 C. 3

俯视图

D. 4? ? 8

9.设函数 f ( x) ? ?

,若 f ( x) ? 1 ,则 x 的取值范围是

A. x ? 2 或 x ? 3

B. x ? 0 或 x ? 3

C. x ?

1 或x ? 3 2

D. x ≤ 0 或 x ? 3

10. 一给定函数 y ? f ( x) 的图象在下列图中, 并且对任意 a1 ? (0,1) , 由关系式 an?1 ? f (an ) 得到的数列 {an } 满足 an ?1 ? an (n ? N * ) ,则该函数的图象可能是
y 1 x O 1 O 1 1 x O 1 y 1 x y

y 1 x O 1

A.

B.

C.

D.

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 开始 11.抛物线 y ? 2 x 的焦点坐标为
2



m=2,n=0,a=4,b=5 m <5 ? 是 以 a,b,m 为 三边的三角形是锐角 三角形? 是 n=n+1 结束 否

?x ≥ 0 ? 12.已知 x , y 满足约束条件 ?3 x ? 4 y ≤ 4 , ?y ≥ 0 ?
z ? y ? x ,则 z 的最小值是
. 13.运行右图的流程图,输出的 . n? (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) m=m+1 否

输出 n

2

14. (坐标系与参数方程选做题)已知圆的极坐标方程为 ? ? 2 cos( ? ? 是 . 15. (几何证明选讲选做题)如图,PA 是圆的切线,A 为切点, PBC 是圆的割线,且 PA ?

?
4

) ,则该圆的半径

C

3PB ,则


A

B

P

PB ? BC



三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) 2 ? 2 cos2 x . (1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)试比较 f ( ?

) 与 f ( ) 的大小. 12 6

?

?

17.(本小题满分 12 分) 假设某人定了鲜奶,送奶工可能在早上 6:30~7:30 之间把鲜奶送到他家,他离 开家去上学的时间是 6:15~7:00 之间,设送奶工到达他家的时间是 x ,他离开家的 时间是 y .用数对 ? x, y ? 表示可能的试验结果,则全部事件组成的集合

? ? ?? x, y ? 6.5 ≤ x ≤ 7.5, 6.25 ≤ y ≤ 7? .
(1)用集合表示他能在离家前喝到鲜奶的事件 A; (2)他能在离家前喝到鲜奶的概率是多少?

18. (本小题满分 14 分)
3 设函数 f ( x) ? x ? 3ax ? b ( a ? 0 )的图象在点( 1 , f (1) )处与直线 y ? 2 相切.

(1)求 a 、 b 的值; (2)求 f ( x) 的单调区间.

19. (本小题满分 14 分) 如图: C 、 D 是以 AB 为直径的圆上两点, AB ? 2 AD ? 2 3 , AC ? BC , F

3

是 AB 上一点, 且 AF ?

1 AB , 将圆沿直径 AB 折起, 使点 C 在平面 ABD 的射影 E 在 3
C C F F E D D

BD 上,已知 CE ? 2 .
(1)求证: AD ? 平面 BCE ; A (2)求证: AD // 平面 CEF ; (3)求三棱锥 A ? CFD 的体积. B A

B

20. (本小题满分 14 分) 如图,在 x 轴上方有一段曲线弧 ? ,其端点 A 、 B 在 x 轴上(但不属于 ? ) ,对 ? 上

AP , BP 分 任一点 P 及点 F1 (?1, 0) , F2 (1, 0) ,满足: | PF 1 | ? | PF 2 |? 2 2 .直线
别交直线 l : x ? 2 于 R , T 两点. (1)求曲线弧 ? 的方程; (2)设 R , T 两点的纵坐标分别为 y1 , y 2 , 求证: y1 y 2 ? ?1 ; (3)求 | RT | 的最小值.

y P

l
R

○ A

.

F1

O

.

F2 B


T

x

21. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 1, an ?1

?1 ? ? an ? n (n为奇数, n ? N ) . ? ?2 ? ?a ? 2n (n为偶数, n ? N ) ? n

(1)求 a2 , a3 ; (2)设 bn ? a2n ? 2, n ? N ? ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列,并求其通项公式; (3)已知 cn ? log1 bn ,求证:
2

1 1 1 ? ??? ? 1. c1c2 c2c3 cn ?1cn

4

数学(文科)参考答案及评分意见
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. B 2. D 3. A 4. C 5. C 6. D 7. C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11. ( ,0) 8. C 9. B 10. B

1 2

12. ?

4 3

13. 1

14. 1

15.

1 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 16.(本小题满分 12 分) 解: (1) f ( x) ? (sin x ? cos x) 2 ? 2 cos2 x

? 1 ? 2 sin x cos x ? 2 cos2 x ??????????????????2 分
? sin 2 x ? cos 2 x
??????????????????????3 分

? 2(

2 2 sin 2 x ? cos 2 x) ?????????????????4 分 2 2

? 2 sin( 2 x ?

?
4

) .??????????????????????5 分 2? ? ? . ??????????????6 分 2

∴函数 f ( x) 的最小正周期 T ? (2)由 2k ? ?

?
2

4 ? 3? k? ? ≤ x ≤ k? ? . 8 8

≤ 2x ?

?

≤ 2k ? ?

?

2

可得:

????????????????????8 分

∴函数 f ( x) 在区间 ? 又? ?

?

, ? [? , ] , 12 6 8 8 ) ? f ( ) . ???????????????????????12 分 12 6

? ?
?

? 3?

8

≤x≤

3? 上单调递增. ???????????10 分 8

∴ f (?

?

17.(本小题满分 12 分) 解: (1) A ?

?? x, y ? y ≥ x, 6.5 ≤ x ≤ 7.5, 6.25 ≤ y ≤ 7? .

?????????4 分

(注: x , y 的范围写成开区间不扣分) y (2)如图, ??????????????????6 分 7 6.25 O ? 表示的平面区域的面积 S? ? x 1? 0.75 ? 0.75 .??????????????8 分 6.5 7.5

5

A 表示的平面区域的面积 S A ?

1 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.125 2

∴ P( A) ?

S A 0.125 1 ? ? .?????????????????????11 分 S? 0.75 6
1 .?????????????????12 分 6

答:他能在离家前喝到鲜奶的概率是

18.(本小题满分 14 分) 解: (1) f ?( x) ? 3x 2 ? 3a , ????????????????????????3 分 ∵曲线在点( 1 , f (1) )处与直线 y ? 2 相切,

∴?

? f ?(1) ? 0 ? f (1) ? 2

即 ?

?3 ? 3a ? 0 , ????????????????5 分 ?1 ? 3a ? b ? 2

解得 ?

?a ? 1 .??????????????????????????7 分 ?b ? 4

(2)∵ f ?( x) ? 3x 2 ? 3 .???????????????????????8 分 由 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? ?1 . ??????????????11 分 ∴函数 f ( x) 的单调增区间为(1, ?? ) , ( ??, ? 1 ) ;单调减区间为( ?1 ,1). ???????????????????14 分 19.(本小题满分 14 分) (1)证明:依题意: AD ? BD ??????????1 分 ∴ CE ? AD ??2 分 ? CE ? 平面 ABD

C A F E B

? BD ? CE ? E
∴ AD ? 平面 BCE . ?????????4 分 (2)证明: Rt ?BCE 中, CE ? ∴ BE ? 2

2 , BC ? 6

D

????????????5 分

Rt ?ABD 中, AB ? 2 3 , AD ? 3
∴ BD ? 3 . ??????????????????????????6 分 ∴

BF BE 2 ? ? . ??????????????????????7 分 BA BD 3

∴ AD // EF ? AD 在平面 CEF 外
6

∴ AD // 平面 CEF . ??????????????????????9 分 (3)解:由(2)知 AD // EF , AD ? ED ,且 ED ? BD ? BE ? 1 ∴ F 到 AD 的距离等于 E 到 AD 的距离,为 1.????????????11 分 ∴ S ?FAD ?

1 3 . ????????????????????12 分 ? 3 ?1 ? 2 2

? CE ? 平面 ABD
∴ V A?CFD ? VC ? AFD ?

1 1 3 6 . ?????14 分 ? S ?FAD ? CE ? ? ? 2? 3 3 2 6

20.(本小题满分 14 分) 解: (1)由椭圆的定义,曲线 ? 是以 F1 (?1, 0) , F2 (1, 0) 为焦点的半椭圆,

c ? 1, a ? 2 , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1 . ?????????????????2 分
∴ ? 的方程为 分 (注:不写区间“ y ? 0 ”扣 1 分) (2)解法 1:由(1)知,曲线 ? 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ( y ? 0) . ????????????????? 4 2

x2 ? y 2 ? 1 ( y ? 0) ,设 P ( x0 , y0 ) , 2

2 2 则有 x0 ? 2 y0 ? 2, 即

2 y0 1 ? ? ??① ?????????????6 分 2 2 x0 ? 2

又 A(? 2 , 0) , B( 2 , 0) ,从而直线 AP, BP 的方程为 AP: y ?

y0 x0 ? 2

(x ? 2) ;

BP: y ?

y0 x0 ? 2

( x ? 2 ) .??????7 分

令 x ? 2 得 R , T 的纵坐标分别为

y1 ?

y0 x0 ? 2

(2 ? 2 ) ;

y2 ?

y0 x0 ? 2

(2 ? 2 ) .

2 2 y0 ∴ y1 ? y 2 ? 2 ??② x0 ? 2

?????????????????????9 分

7

将①代入②, 得 y1 y 2 ? ?1 .

??????????????????10 分

解法 2:设 P(m, n), R(2 , y1 ),T (2 , y 2 ) ,则由 A, P, R 三点共线,得

y1 2? 2

?

n m? 2

?①

同理,由 B, P, T 三点共线得:

y2 2? 2

?

n m? 2

?②

????????6 分

y1 y 2 n2 ? 2 由①×②得: . 2 m ?2

???????????????????8 分

m2 y y 1 m m ? n2 ? 1 ? n2 ? 1 ? 由 ,代入上式, 1 2 ? 2 2 ? ? 2 2 m ?2 2 2
2 2

1?

即 y1 y 2 ? ?1 . ??????????????????????????10 分 (3)由(2)得: | RT |?| y1 ? y2 |?
2 y12 ? y2 ? 2 y1 y2 ≥ 2 | y1 y2 | ?2 y1 y2 ? 2

当且仅当 y1 ? y2 ,即 y1 ? ? y 2 时,取等号. ????????????13 分 即 | RT | 的最小值是 2 . ??????????????????????14 分 21. (本小题满分 14 分) 解: (1)由数列 ?an ? 的递推关系易知:

3 5 , a3 ? ? . ????????????????????????2 分 2 2 1 (2) bn ?1 ? a2 n ? 2 ? 2 ? a2 n ?1 ? (2n ? 1) ? 2 2 1 1 ? a2 n ?1 ? (2n ? 1) ? (a2 n ? 4n) ? (2n ? 1) 2 2 1 1 1 ? a 2 n ? 1 ? (a 2 n ? 2) ? bn . ???????????6 分 2 2 2 a2 ?
又 b1 ? a 2 ? 2 ? ? , ? bn ? 0, ? 即数列 ?bn ? 是公比为

1 2

bn?1 1 ? , bn 2

1 1 bn ? ? ( ) n ?1 2 2

1 1 ,首项为 ? 的等比数列, 2 2 1 ? ?( ) n . ?????????????????????7 分 2
8

(3)由(2)有 cn ? log1 bn ? log1 ? ? ? n . ???????????????8 分
2

?1? 2 2? ?

n

?

1 1 1 . ?????????????????????10 分 ? ? (n ? 1)n n ? 1 n



1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ?1? ? ? ??? ? c1c2 c2c3 cn ?1cn 2 2 3 n ?1 n
? 1? 1 ? 1 . ?????????????????????????14 分 n

9


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