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双曲线的几何性质 导学案


贺龙中学高二年级数学学科
执笔:文吉洪 审核: 授课人: 授课时间:

导学案 3
姓名: 小组:

学案编号:03 班级:

课题: 双曲线的简单几何性质 课型:新授课 课时:第二课时 【学习目标】 1.熟练掌握双曲线的的相关几何性质. 2.能应用双曲线的几何性质求双曲线方程; 3.应用双曲线知识解决生产中的实际问题. 【重点】双曲线的准线与几何性质的应用 【难点】双曲线离心率、准线方程与双曲线关系 【知识链接】类比椭圆的几何性质的研究方法,探究并掌握双曲线的几何性质。 【学法指导】体会类比、归纳、猜想、概括等逻辑思维方法。 【学习过程】 .复习回顾: : 椭圆 双曲线

教师“复备”栏或 学生笔记栏

方程

图形

顶点坐标 对称性 焦点坐标 离心率 准线方程

渐近线方程 【独学、对学】认真研读教材 P59 页例 5 后,完成下题 1:点 M(x,y)与定点 F(4,o)的距离和它到定直线 l:x= 迹. 拓展:已知点 M(x,y)与定点 F(c,o)的距离和它到定直线 l:x=
c a ( c ? a ? 0 ), 求点 M 的轨迹.
a
2

9 4

的距离的比是常数

4 3

,求点 M 的轨

的距离的比是常数

c

解:设 d 是点 M 到直线 l 的距离.根据题意,所求轨迹是集合 p= ? M
? ?
(x ? c) ? y
2 2

? ?

MF d

?

c? ? ? ,由此 a? ?



x?

a

2

?

c a

.化简得 (c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).设 c2-a2=b2,

c

要求学生注意离心 率、准线方程与双 曲线的关系的应 用.

就可化为:

x a

2 2

?

y b

2 2

?1

(a ? 0, b ? 0).

这是双曲线的标准方程,所以点 M 的轨迹是实轴长、虚轴长分别为 2a、2b 的双曲线. 双曲线的第二定义:当点 M 到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 e=
c a

(e>1)时,这个点的轨迹是双曲线.定点是双曲线的焦点,定直线叫双曲线的准线,常数

e 是双曲线的离心率. 准线方程:x= ?
a
2

a

2

.
2 2 2 2

c

其中 x=

相应于双曲线

x a

?

y b

c

? 1 的右焦点 F(c,0);x=-

a

2

c

相应于左焦点 F′(-c,0).

认真研读教材 P59 页例 6 后,完成下题 2:斜率为 2 的直线 L 与双曲线
x
2

?

y

2

? 1 交于

A,B 两点,且|AB|=4,求直线 L 的方程。

3

6

拓展:直线与双曲线的位置关系从公共点的个数考虑,同样有三种情况: 巩固提升:1、已知双曲线的中心在原点,焦点 F1 , F 2 在坐标轴上,离心率为 2 且过点
( 4, ? 1 0 )

Ⅰ、求双曲线方程 Ⅱ、若点 M (3, m ) 在双曲线上,求证 M F1 ? M F 2 ? 0 Ⅲ、求 ? F1 M F 2 的面积 2、已知双曲线 x ?
2

???? ????? ?

y

2

2

? 1 ,问过点 A(1,1)能否作直线 l ,使 l 与双曲线交于 P、Q 两点,

并且 A 为线段 PQ 的中点?若存在,求出直线 l 的方程,若不存在,说明理由。 3. 若直线 y ? kx ? 1 与双曲线 3 x ? y ? 1 相交于 A 、 B 两点,当 k 为何值时以 A B 为直
2 2

径的圆经过原点.

归纳小结: 通过本节学习,要 求大家熟练掌握双 曲线几何性质的应 用,并注意利用离 心率、准线方程与 双曲线的关系确定 双曲线方程的方 法,并了解双曲线 在实际中的应用问 题.


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