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第一讲:数列通项公式的求法

第一讲:数列通项公式的求法
[知 识 梳 理 ]
数列通项的常用方法: (1)利用观察法求数列的通项. (2)利用公式法求数列的通项:
S ( 1 n ? 1) ①a ? ? ? n ?S n ? S n ?1 (n ? 2)



②等差、等比数列求通项公式.

(3) 应用迭加 (迭乘、 迭代) 法求数列的通项: ① an?1 ? an ? f (n) ; ② an?1 ? an f (n). (4)构造等差、等比数列求通项。

一、定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法, 这种方法适应于已知数列类型 的题目.
2 例 1.等差数列 ?an ? 是递增数列,前 n 项和为 S n ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列, S 5 ? a5 .求

数列 ?an ? 的通项公式.

二、公式法

若 已 知 数 列 的 前 n 项 和 S n 与 an 的 关 系 , 求 数 列 ?an ? 的 通 项 an 可 用 公 式

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n ? 1 求解。 an ? ? ?Sn ? Sn ?1 ? ? ? ? ? ? ? n ? 2 2 例 2. (1)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 sn = 2n ? 3n ,则 an =
(2)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 sn = 2n ? 3n ? 1 ,则 an =
2

。 。 。

(3)正项数列 ?an ? 中, sn = ( a n ? 1),则 an =
2

(4)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 s n ?1 = 4an ? 2 , a1 ? 1 ,设 bn ? an?1 ? 2an , n ? N * 则 an = 。

1 4

三、已知递推关系求通项公式 (一)累加法:形如 an ? an?1 ? f (n)

【例 3】(1)已知数列 ?a n ?中,a1 ? 2, an ? an?1 ? 2n ? 1(n ? 2) ,求数列 ?a n ?的通项公式; (2)设数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? an ? n ? 1 ,则通项 an = (3)数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ? 3n?1 ? an?1 , (n ? 2) ,则 an =


(二)累乘法:题型:形如

an ? f ( n) an ?1
n a n ,求 an = n ?1

【例 4】(1)数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a n ?1 ? (2)在数列{an}中,a1=4;an+1=

(3)已知 S n 为数列 ?a n ?的前 n 项和, a1 ? 1 , Sn ? n 2 ? an ,则 an ?

n+2 an,则 a n ? n

(三)构造法 <1>转化为求等差数列 ?

题型:形如 pan an?1 ? qan ? qan?1 ? 0( pq ? 0) ,求 ?an ?的通项公式.

?1? ? 的通项公式 ? an ?

【例 5】(1) 数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? (2)若 f ( x) ?

2a n , n ? N * ,则 an = an ? 2

2x 3 , 且b1 ? 1, bn ? f (bn ?1 ) ,则 bn = x?3 2

<2>转化为求等比数列 ?an ? ??的通项公式

题型: 形如an ? pan ?1 ? q ? n ? 2, p, q为常数,pq ? 0, p ? 1? 型数列求通项

【例 6】(1) 数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1,则 an = (2) 数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3 ,则 an =

。 。

<3>转化为求{

an }的通项公式 qn
n ?1

题型:形如 an ? pan?1 ? q ? p n ( pq ? 0, p ? 1) 型数列求通项 (或递推式为 an?1 ? pan ? q n?1 (p、q 为常数)时,可同除 q )

【例 7】已知数列 ?a n ?中, a1 ? 1, an?1 ? 3an ? 2 ? 3

n?1

,求数列 ?a n ?的通项公式.

【巩固练习】 1.已知 S n 是等比数列 {an } 的前 n 项和, S 4 , S 2 , S 3 成等差数列,且 a2 ? a3 ? a4 ? ?18 .求数 列 {an } 的通项公式。

2.已知 S n 为数列 ?a n ?的前 n 项和,S n ? 3an ? 2 ? n ? N ? ? ,求数列 ?a n ?的通项公式.

1 1 3 1? ? 3.已知数列 ?a n ?中, a1 ? , an ?1 ? an ? 2 , 求an . ? 答案:an = ? ? 2 n ?n 2 n? ?

4.已知数列 ?a n ?中, a1 ? 2, (n ? 2)an?1 ? (n ? 1)an ? 0(n ? N ? ) ,求数列 ?a n ?的通项 公式.

5.已知数列 ?a n ?中, a1 ? 1, an?1 ?

2 an ? 2 ,求数列 ?a n ?的通项公式; 3

6.已知数列 ?a n ?中, a1 ? 1, an?1 ? 3an ? 3n ,求数列 ?a n ?的通项公式.

7.已知在数列?an ?中,a1 ? 2, an ?1 ? an (n ? N *)求 , an。
an ? 3


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