第一讲：数列通项公式的求法

第一讲：数列通项公式的求法
[知 识 梳 理 ]
数列通项的常用方法： （1）利用观察法求数列的通项. （2）利用公式法求数列的通项：
S （ 1 n ? 1) ①a ? ? ? n ?S n ? S n ?1 (n ? 2)

；

②等差、等比数列求通项公式.

（3） 应用迭加 （迭乘、 迭代） 法求数列的通项： ① an?1 ? an ? f (n) ； ② an?1 ? an f (n). （4）构造等差、等比数列求通项。

一、定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法， 这种方法适应于已知数列类型 的题目．
2 例 1．等差数列 ?an ? 是递增数列，前 n 项和为 S n ，且 a1 , a3 , a9 成等比数列， S 5 ? a5 ．求

数列 ?an ? 的通项公式.

二、公式法

若 已 知 数 列 的 前 n 项 和 S n 与 an 的 关 系 ， 求 数 列 ?an ? 的 通 项 an 可 用 公 式

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n ? 1 求解。 an ? ? ?Sn ? Sn ?1 ? ? ? ? ? ? ? n ? 2 2 例 2． （1)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 sn = 2n ? 3n ，则 an =
(2)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 sn = 2n ? 3n ? 1 ，则 an =
2

。 。 。

(3)正项数列 ?an ? 中， sn = （ a n ? 1），则 an =
2

(4)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 s n ?1 = 4an ? 2 ， a1 ? 1 ，设 bn ? an?1 ? 2an ， n ? N * 则 an = 。

1 4

三、已知递推关系求通项公式 （一）累加法：形如 an ? an?1 ? f (n)

【例 3】(1)已知数列 ?a n ?中，a1 ? 2, an ? an?1 ? 2n ? 1(n ? 2) ，求数列 ?a n ?的通项公式； (2)设数列 ?an ? 中， a1 ? 2 ， an?1 ? an ? n ? 1 ，则通项 an = (3)数列 ?an ? 中， a1 ? 1 ， an ? 3n?1 ? an?1 ， (n ? 2) ，则 an =
。

（二）累乘法：题型:形如

an ? f ( n) an ?1
n a n ，求 an = n ?1

【例 4】(1)数列 ?an ? 中， a1 ? 1 ， a n ?1 ? (2)在数列{an}中，a1=4；an+1=

(3)已知 S n 为数列 ?a n ?的前 n 项和， a1 ? 1 ， Sn ? n 2 ? an ，则 an ?

n+2 an，则 a n ? n

（三）构造法 <1>转化为求等差数列 ?

题型:形如 pan an?1 ? qan ? qan?1 ? 0( pq ? 0) ，求 ?an ?的通项公式.

?1? ? 的通项公式 ? an ?

【例 5】(1) 数列 ?an ? 中， a1 ? 1, an?1 ? (2)若 f ( x) ?

2a n ， n ? N * ，则 an = an ? 2

2x 3 , 且b1 ? 1, bn ? f (bn ?1 ) ，则 bn = x?3 2

<2>转化为求等比数列 ?an ? ??的通项公式

题型: 形如an ? pan ?1 ? q ? n ? 2, p, q为常数，pq ? 0, p ? 1? 型数列求通项

【例 6】(1) 数列 ?an ? 中， a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1，则 an = (2) 数列 ?an ? 中， a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3 ，则 an =

。 。

<3>转化为求{

an }的通项公式 qn
n ?1

题型:形如 an ? pan?1 ? q ? p n ( pq ? 0, p ? 1) 型数列求通项 (或递推式为 an?1 ? pan ? q n?1 （p、q 为常数）时，可同除 q ）

【例 7】已知数列 ?a n ?中， a1 ? 1, an?1 ? 3an ? 2 ? 3

n?1

，求数列 ?a n ?的通项公式.

【巩固练习】 1.已知 S n 是等比数列 {an } 的前 n 项和, S 4 , S 2 , S 3 成等差数列,且 a2 ? a3 ? a4 ? ?18 .求数 列 {an } 的通项公式。

2.已知 S n 为数列 ?a n ?的前 n 项和，S n ? 3an ? 2 ? n ? N ? ? ，求数列 ?a n ?的通项公式.

1 1 3 1? ? 3.已知数列 ?a n ?中， a1 ? , an ?1 ? an ? 2 , 求an . ? 答案：an = ? ? 2 n ?n 2 n? ?

4.已知数列 ?a n ?中， a1 ? 2, (n ? 2)an?1 ? (n ? 1)an ? 0(n ? N ? ) ，求数列 ?a n ?的通项 公式.

5.已知数列 ?a n ?中， a1 ? 1, an?1 ?

2 an ? 2 ，求数列 ?a n ?的通项公式； 3

6.已知数列 ?a n ?中， a1 ? 1, an?1 ? 3an ? 3n ，求数列 ?a n ?的通项公式.

7.已知在数列?an ?中，a1 ? 2, an ?1 ? an （n ? N *）求 , an。
an ? 3