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07立体几何


七、立体几何
(一)填空题
1、 (2009 江苏卷 8)在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1:2,则它们的面积比为 1: 4,类似地,在空间内,若两个正四面体的棱长的比为 1:2,则它们的体积比为 【解析】 考查类比的方法。体积比为 1:8 2、 (2009 江苏卷 12)设 ? 和 ? 为不重合的两个平面,给出下列命题: (1)若 ? 内的两条相交直线分别平行于 ? 内的两条直线,则 ? 平行于 ? ; (2)若 ? 外一条直线 l 与 ? 内的一条直线平行,则 l 和 ? 平行; (3)设 ? 和 ? 相交于直线 l ,若 ? 内有一条直线垂直于 l ,则 ? 和 ? 垂直; (4)直线 l 与 ? 垂直的充分必要条件是 l 与 ? 内的两条直线垂直。 上面命题中,真命题 的序号 ... 真命题 的序号是(1)(2) ... 3、 (2012 江苏 7) .如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? AD ? 3cm , AA1 ? 2cm ,则四 棱锥 A ? BB1D1D 的体积为 ▲ cm3. (写出所有真命题的序号). .

【解析】 考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。

【解析】 ∵长方体底面 ABCD 是正方形, ∴△ ABD 中 BD =3 2 cm,BD 边上的高是 (它也是 A ? BB1D1D 中 BB1D1D 上的高). ∴四棱锥 A ? BB1D1D 的体积为 ? 3 2 ? 2 ?

3 2 cm 2

1 3

3 2=6 . 2

(二)解答题
1、 (2008 江苏卷 16)在四面体 ABCD 中, CB= CD, AD⊥BD, 且 E ,F 分别是 AB,BD 的中点, 求证: (Ⅰ)直线 EF ∥面 ACD ; (Ⅱ)面 EFC⊥面 BCD . O 【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定. (Ⅰ)∵ E,F 分别是 AB,BD 的中点, C A F ∴EF 是△ABD 的中位线,∴EF∥AD, A H ∵EF ? 面 ACD ,AD ? 面 ACD ,∴直线 EF∥面 ACD . E
1

C1

x

y

B

B1

z

(Ⅱ)∵ AD⊥BD ,EF∥AD,∴ EF⊥BD. ∵CB=CD, F 是 BD 的中点,∴CF⊥BD. 又 EF CF=F,∴BD⊥面 EFC.∵BD ? 面 BCD,∴面 EFC⊥面 BCD . 江西卷.解 : (1)证明:依题设, EF 是 ?ABC 的中位线,所以 EF ∥ BC , 则 EF ∥平面 OBC ,所以 EF ∥ B1C1 。 又 H 是 EF 的中点,所以 AH ⊥ EF ,则 AH ⊥ B1C1 。 因为 OA ⊥ OB , OA ⊥ OC , 所以 OA ⊥面 OBC ,则 OA ⊥ B1C1 , 因此 B1C1 ⊥面 OAH 。 (2)作 ON ⊥ A1B1 于 N ,连 C1 N 。因为 OC1 ⊥平面 OA 1B 1, 根据三垂线定理知, C1 N ⊥ A1B1 ,
A O

A1 H N E

F

M

C C1

B

B1

?ONC1 就是二面角 O ? A1B1 ? C1 的平面角。
作 EM ⊥ OB1 于 M ,则 EM ∥ OA ,则 M 是 OB 的中点,则 EM ? OM ? 1。 设 OB1 ? x ,由

x 3 OB1 OA1 ? ,解得 x ? 3 , 得, ? x ?1 2 MB1 EM
2 2

OA1 ? OB1 ? 在 Rt?OA 1 B1 ? 1B 1 中, A
所以 tan ?ONC1 ?

3 OA ? OB1 3 5 ,则, ON ? 1 。 ? 2 A1B1 5

OC1 ? 5 ,故二面角 O ? A1B1 ? C1 为 arctan 5 。 ON

解法二: (1)以直线 OA、OC、OB 分别为 x、y、z 轴,建立空间直角坐标系, O ? xyz 则

1 1 A(2, 0, 0), B(0, 0, 2), C (0, 2, 0), E (1, 0,1), F (1,1, 0), H (1, , ) 2 2 1 1 1 1 所以 AH ? (?1, , ), OH ? (1, , ), BC ? (0, 2, ?2) 2 2 2 2
所以 AH ? BC ? 0, OH ? BC ? 0 所以 BC ? 平面 OAH 由 EF ∥ BC 得 B1C1 ∥ BC ,故: B1C1 ? 平面 OAH (2)由已知 A1 ( , 0, 0), 设 B1 (0,0, z)

3 2

则 A1 E ? (? , 0,1), EB1 ? (?1, 0, z ? 1)

1 2

? ? R 有 A1E ? ? EB1 得 由A 1E 与 EB 1 共线得:存在
? 1 ? ? ? ?? ? z ? 3? B1 (0, 0,3) ? 2 ? ?1 ? ? ( z ? 1)
同理: C1 (0,3,0)

3 3 ? A1 B1 ? (? , 0,3), A1C1 ? (? ,3, 0) 2 2
设 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 是平面 A1B1C1 的一个法向量,

? 3 ? x ? 3z ? 0 ? ? 2 则? 令 x ? 2 得 y ? x ? 1 ?n1 ? ( 2 , 1, 1) . ?? 3 x ? 3 y ? 0 ? ? 2
又 n2 ? (0,1,0) 是平面 OA 1B 1 的一个法量

? cos ? n1 , n2 ??

1 6 ? 4 ?1?1 6
6 6

所以二面角的大小为 arccos

(3)由(2)知, A1 ( , 0, 0) , B(0, 0, 2) ,平面 A1B1C1 的一个法向量为 n1 ? (2,1,1) 。 则 A1 B ? ( ?

3 2

3 , 0, 2) 。 2

则点 B 到平面 A1B1C1 的距离为 d ?

A1 B ? n1 n1

?

?3 ? 2 6

?

6 6

2、 (2008 江苏卷 22)记动点 P 是棱长为 1 的正方体 ABCD-A 1B 1C1D 1 的对角线 BD 1 上一点, 记

D1 P ? ? .当 ?APC 为钝角时,求 ? 的取值范围. D1 B

5.(2009 江苏卷 16) (本小题满分 14 分)

D在 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, E 、 F 分别是 A 1B 、 AC 1 的中点,点

B1C1 上, A1D ? B1C 。

求证: (1)EF∥平面 ABC;

? 平面 BB1C1C . (2)平面 A 1FD
【解析】 本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系,考查空间想象能力、推理 论证能力。满分 14 分。

3、 (2010 江苏卷 16) (本小题满分 14 分) 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, PD⊥平面 ABCD, PD=DC=BC=1, AB=2, AB∥DC, ∠BCD=900。 (1)求证:PC⊥BC; (2)求点 A 到平面 PBC 的距离。 【解析】本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查几何 体的体积,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分 14 分。 (1)证明:因为 PD⊥平面 ABCD,BC ? 平面 ABCD,所以 PD⊥BC。 由∠BCD=900,得 CD⊥BC, 又 PD DC=D,PD、DC ? 平面 PCD,

所以 BC⊥平面 PCD。 因为 PC ? 平面 PCD,故 PC⊥BC。 (2) (方法一)分别取 AB、PC 的中点 E、F,连 DE、DF,则: 易证 DE∥CB, DE∥平面 PBC, 点 D、 E 到平面 PBC 的距离相等。 又点 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍。 由(1)知:BC⊥平面 PCD,所以平面 PBC⊥平面 PCD 于 PC, 因为 PD=DC,PF=FC,所以 DF⊥PC,所以 DF⊥平面 PBC 于 F。 易知 DF=

2 ,故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 。 2

(方法二)体积法:连结 AC。设点 A 到平面 PBC 的距离为 h。 因为 AB∥DC,∠BCD=900,所以∠ABC=900。 从而 AB=2,BC=1,得 ?ABC 的面积 S?ABC ? 1。 由 PD⊥平面 ABCD 及 PD=1,得三棱锥 P-ABC 的体积 V ?

1 1 S ?ABC ? PD ? 。 3 3

因为 PD⊥平面 ABCD,DC ? 平面 ABCD,所以 PD⊥DC。

又 PD=DC=1,所以 PC ?

PD2 ? DC2 ? 2 。
2 。 2

由 PC⊥BC,BC=1,得 ?PBC 的面积 S?PBC ? 由 VA? PBC ? VP? ABC , S

1 3

PBC

?h ?V ?

1 ,得 h ? 2 , 3

故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 。

P 4、 (2011 江苏卷 16)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD⊥ 平面 ABCD,AB=AD,∠ BAD=60° ,E、F 分别是 AP、AD 的中点 求证: (1)直线 EF∥ 平面 PCD; E (2)平面 BEF⊥ 平面 PAD 【解析】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考察空间 A 想象能力和推理论证能力。满分 14 分。 F 证明: (1)在△ PAD 中,因为 E、F 分别为 AP,AD 的中点,所以 EF//PD. 又因为 EF ? 平面 PCD,PD ? 平面 PCD, B 所以直线 EF//平面 PCD. (2)连结 DB,因为 AB=AD,∠ BAD=60° , 所以△ ABD 为正三角形,因为 F 是 AD 的 中点,所以 BF⊥ AD.因为平面 PAD⊥ 平面 ABCD,BF ? 平面 ABCD,平面 PAD ? 平面 ABCD=AD,所以 BF⊥ 平面 PAD。又因为
BF ? 平面 BEF,所以平面 BEF⊥ 平面 PAD.

D

C

N 是 BC 5、 (2011 江苏卷 22)如图,在正四棱柱 ABCD ? A1BC 1 ? 2, AB ? 1 ,点 1 1D 1 中, AA
的中点,点 M 在 CC1 上,设二面角 A 1 ? DN ? M 的大小为 ? 。 (1)当 ? ? 90 时,求 AM 的长;
0

(2)当 cos ? ?

6 时,求 CM 的长。 6

解:建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz , 设 CM ? t (0 ? t ? 2) ,

1 则各点的坐标为 A(1, 0, 0), A1 (1, 0, 2), N ( ,1, 0), M (0,1, t ) , 2 1 所以 DN ? ( ,1, 0), DM ? (0,1, t ), DA1 ? (1, 0, 2). 2
设平面 DMN 的法向量为

第22题图

n1 ? ( x1 , y1 , z1 ), 则n1 ? DN ? 0, n1 ? DM ? 0.

即 x1 ? 2 y1 ? 0, y1 ? tz1 ? 0.令z1 ? 1, 则 y1 ? ?t , x1 ? 2t , 所以n1 ? (2t , ?t ,1) 是 平 面 DMN 的 一 个 法 向 量 。 从 而

n1 ? n2 ? ?5t ? 1.
(1)因为 ? ? 90? ,所以 n1 ? n2 ? ?5t ? 1 ? 0 , 解得 t ?

1 1 .从而M (0,1, ). 5 5
2 2

所以 AM ? 1 ? 1 ? ( ) ?
2

1 5

51 . 5

(2)因为 | n1 |?

5t 2 ? 1,| n2 |? 6

所以 cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 ?5t ? 1 ? . | n1 || n2 | 6 5t 2 ? 1

因为 ? n1 ? n2 ?? ? 或? ? ? , 所以 | 解得 t ? 0或t ?

?5t ? 1 6 5t 2 ? 1

|?

6 , 6

1 . 2 1 1 ,从而 CM 的长为 . 2 2

根据图形和(1)的结论可知 t ?

E 分别是棱 6、 (2012 江苏 16)(14 分)如图,在直三棱柱 ABC ?ABC 1 1 1 中, AB 1 1 ? AC 1 1 ,D ,

F 为 B1C1 的中点. BC , CC 1 上的点(点 D 不同于点 C ) ,且 AD ? DE ,
求证: (1)平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 ; (2)直线 A1 F // 平面 ADE . 【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系. 【答案】证明: (1)∵ ABC ? A1B1C1 是直三棱柱,∴ CC1 ? 平面 ABC . 又∵ AD ? 平面 ABC ,∴ CC1 ? AD .

CC1,DE ? 平面 BCC1 B1, CC1 又∵ AD ? DE ,
面 BCC1 B1 .

DE ? E ,∴ AD ? 平

又∵ AD ? 平面 ADE ,∴平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 . (2)∵ A1 B1 ? A1C1 , F 为 B1C1 的中点,∴ A1 F ? B1C1 .

又∵ CC1 ? 平面 A1 B1C1 ,且 A1 F ? 平面 A1 B1C1 ,∴ CC1 ? A1 F .

B1C1 ? 平面 BCC1 B1 , CC1 又∵ CC1,

B1C1 ? C1 ,∴ A1F ? 平面 A1 B1C1 .

由(1)知, AD ? 平面 BCC1 B1 ,∴ A1 F ∥ AD . 又∵ AD ? 平面 ADE, A1 F ? 平面 ADE ,∴直线 A1 F // 平面 ADE


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