当前位置:首页 >> 数学 >>

建平中学数学:随机变量与数学期望


随机变量与数学期望

复习引入:随机变量与随机事件有关的变量

随机实验的每一个可能结果. 基本事件: 所有基本事件的集合,也称样本空间, 基本空间: 记作?.

试验1、掷一颗骰子的样本空间为 ?={ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6}. 其中基本事件 ωk 表示“掷一颗骰子出现 k 点”.
出现点数1点 对应 数值 ?

?1

基本事件ω1

给出一个随机事件ω 唯一对应了一个实数 ?
k

?k

(1)构造了一个特殊的函数,定义域是样本空间; 函数值是1,2,…6 即可用基本空间上的函数ξ(ωk)=k,k=1,2, … ,6, 来描述掷一颗骰子时出现的数值.

试验2、在旋转一枚均匀硬币的实验中 :出现正面或反面, ??0 , ?1?如何构造类似的对应关 ? ?它的样本空间为 系?
我们设定出现正面时对应数“1”, 出现反面时对应数“ 0”. 对应 出现正面 数值? ?1
基本事件ω1
同样得到一个新的函数

? (?) ? ?

0 ? ??0 1 ? ??1

通过这样的对应得到了一种变量,习惯用希腊字母表示, 这种变量是一种函数

(一)随机变量的定义 随机变量:一般地,设 ?为基本空间, 对于给定的 ? ? ? ,都有唯一确定的? ? 为随机变量。 与之对应,则称

记? ? ? ?? ?。
注: 1. 随机变量实质上是函数,区别于通常 所说的变量,它的定义域是样本空间; 2.随机变量将随机现象与数值联系在一起. 通过随机变量,我们可以将随机事件转化为实 数.

试验3、 将一枚均匀的硬币连续旋转三次。 (1)有多少种不同的试验结果(基本事件) (2)求正面向上的次数 ? . 解:用1表示正面向上,0表示正面向下, (1) ω ? ?0,0,0?, ω ? ?0,0,1?, ω ? ?0,1,0?, ω ? ?1,0,0?
ω4 ? ? 0,1,1? ,ω5 ? ?1,0,1? ,ω6 ? ?1,1,0? ,ω7 ? ?1,1,1?
0 1 2 3

?0 ?1 ? (2) ξ ?ω ? ? ? ?2 ? ?3

ω?ω ,
0

ω ? ω ,ω ,ω ,
1 2 3

ω ? ω ,ω ,ω ,
4 5 6

ω?ω .
7

对于上述三例每一个随机变量所表示的随机事件 求概率,能发现什么规律?

注意:
1、每一个随机变量都与随机事件相对应,而 随机事件可以用概率来衡量,所以每个随机变 量都有对应的概率值。 2、每一次试验中,随机变量所对应的随机事 件都是互斥的,所以全部结果之和是必然是事 件。即 p1 ? p2 ? ? pn ? 1

(二)概率分布律
? 一般地,取离散值的随机变量叫做离散型 随机变量,其取值概率可用下表给出.
xi P(ξ=xk) x1 p1 x2 p2 … … xn pn

? 一般地,随机变量所有的取值 x1, x2, … , xn 对应的概率所组成的数列 p1, p2, … , pn叫做 随机变量的概率分布律,简称随机变量的 分布律.

随机变量的概率分布律的性质

? 如果设pk, k=1, 2, …, n是分布律, 那么它满足 1.0≤ pk≤1, k=1, 2, …, n; 2.p1+p2+…+pn=1.

练习
1. 下表是否可作为离散型随机变量的分布律.
x 0 1 3

(1) (2)

P(ξ=x)
x P(ξ=x)

1 4
0

1 4
1

1 2
2

1 2
1

1 4
2

1 2
1

(3)

x
P(ξ=x)

1 4

1 4

1 2

求随机变量的分布律的步骤:
①明确随机变量的所有可能的取值; ②写出分布律; ③检验概率和是否为1.

例2
一个袋子里装有外形和质地一样的5个白球、 3个绿球和2个红球. 将它们充分混合后, 摸得一个白球记1分,摸得一个绿球记2分, 摸得一个红球记4分,用随机变量 η 表示 随机摸得一个球的得分及其概率.
解:随机事件 摸得白球 摸得绿球 摸得红球
η的取值 概率P 1 1 2 2 3 10 4 1 5

例3
已知随机变量ξ的分布律如下表所示:
x P(ξ=x) 0

1 4

? 2
1 2

π

1 4

求随机变量η=cosξ的概率分布律. ? 解:η的取值为 cos 0 ? 1, cos ? 0, cos ? ? ?1.
2
x
P(η=x)

1

0

-1

1 4

1 2

1 4

练习
4. 已知随机变量ξ的分布律如下表所示:
x P( ξ = x ) 9 3 1

1 3

1 6

1 4

1 9 1 4

? 求η=log3ξ的分布律.
x
P( ξ = x )

2

1

0

-2

1 3

1 6

1 4

1 4

练习
5. 已知随机变量ξ的分布律如下表所示:
x P( ξ = x ) 1

2

3

4

1 10

2 5

1 5

3 10

随机变量η=5-2ξ的分布律如下表所示:
x P(η=x) -1 1 -3

3

1 5

2 5

3 10

1 10

请在框中填入适当的数字.

注意: 1、随机变量与普通函数的本质区别: 普通函数是定义在实数域上的函数,随 机变量是定义在基本空间 ? 上的实值函数, 而基本空间的元素不一定是实数。

2、如果对于随机变量可能取的值,可按一定 的顺序一一列举,这样的随机变量叫做离散型 随机变量。 离散型随机变量的取值范围可以是有限个 值,也可以是一个无穷数列。 如果随机变量可以取某一区间内的一切值, 这样的随机变量叫做连续型随机变量。

随机变量的数学期望

问题1:
假如你是一位商场经理,在十一 那天想举行促销活动,根据统计资料 显示,若在商场内举行促销活动,可 获利2万元;若在商场外举行促销活动, 则要看天气情况:不下雨可获利10万元, 下雨则要损失4万元。气象台预报十一 那天有雨的概率是40%,你会选择哪种 促销方式?

问题2:
?
P
7

某射手射击的环数? 的分布列为:
8 9 10

0.3

0.4

0.2

0.1

则他射击n次,射击环数的平均值是多少? 0.3n ? 7 ? 0.4n ? 8 ? 0.2n ? 9 ? 0.1n ?10 n = 0.3×7+0.4×8+0.2×9+0.1×10 = 8.1

一、数学期望
1

一般地,若离散型随机变量ξ的 概率分律为 ? x x … x
2 n

P

p1

p2



pn

则称 E? ? x1 p1 ? x2 p2 ? ??? ? 为 ? 的数学期望,简称期望。

xn pn

数学期望是离散型随机变量的一个特征 数,它反映了离散型随机变量取值的平 均水平,也叫做随机变量的均值。

例1、商场促销问题 解:设商场在商场外的促销活动中获得 经济效益为 ? 万元,则 ? 的分布律为
?
P 10 0.6 -4 0.4

E? = 10×0.6+(-4) ×0.4 = 4.4万元 >2万元 故应选择在商场外搞促销活动。

变式1:若下雨的概率为0.6呢? 变式2:下雨的概率为多少时,在商场内、 外搞促销没有区别?

例2、有一种叫“天天奖”的彩票,每 注售价2元,中奖的概率为1%,如果每 注奖金50元 那么购买一注彩票的期望 收益是多少元? 解:设随机变量ξ表示购买一注彩票 的收益,依题意得其概率分布律为
x P(ξ=x) 48 0.01 -2 0.99

(元) E? ? 48? 0.01 ? (?2) ? 0.99 ? ?1.50

练习:

1、已知随机变量 ? 的分布律为
?
0 1 2 3 4 5

P

0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 0.1

求 E?
2、随机抛掷一个骰子,求所得骰子点数

? 的期望。

二、数学期望的性质 1、E ? c? ? ? cE? 2、E ?? ?? ? ? E? ? E?
3、EC ? C
练习:
已知E? ? 3,? ? 2? ? 4,求E?.

例3、从4名男生和2名女生中任选3人 参加演讲比赛,设随机变量ξ表示 所选3人中女生的人数。 求:(1)ξ的分布律;(2) ξ的数学期望; (3)求所选3人中女生人数ξ≤1的概率。

例4、(安徽卷)某地有A、B、C、D四人先后感 染了甲型H1N1流感,其中只有A到过疫区,B肯定 是受A感染的。对于C,因为难以判定他是受A还是 受B感染的,于是假定他受A和受B感染的概率都 是1/2。同样也假设D受A、B和C感染的概率都是 1/3。在这种假定之下,B、C、D中直接受A感染 的人数ξ 就是一个随机变量。 写出ξ 的分布律(不要求写出计算过程), 并求ξ 的均值(即数学期望)。

三、随机变量的方差
一般地,若离散型随机变量ξ的 概率分律为 ? x x …
1 2

xn

数学期望是E? , P p1 p2 … pn 则D? ? ( x1 ? E? ) 2 p1 ? ( x2 ? E? ) 2 p2 ? ? ? ( xn ? E? ) 2 pn 叫做随机变量ξ的方差。方差的算术平方根 叫做随机变量ξ的标准差。 随机变量的方差、标准差也是随机变量 的特征数,它们都反映了随机变量取值 的稳定与波动、集中与离散的程度。

例5、已知离散型随机变量的分布列如 D? ? 1 ,求a、b值。 下表。若E? ? 0,

ξ
P

-1 a

0 b

1 c

2 1/12

例6、一台设备由两大部件组成,在运 转过程中,各部件需要调整的概率 分别为0.1,0.2,假设各部件的状 态相互独立,以ξ表示同时需要调整 的部件数。 求:(1)ξ的概率分布律; (2)ξ的数学期望和方差。

例7、若随机事件A在一次试验中发生的 概率为p(0<p<1),用随机变量ξ 表示事件A在一次试验中发生的次数。
(1)求方差D? 的最大值;

2 D ? ? 1 (2)求 的最大值; E?

例8、甲、乙、丙三人参加了一家公司的

招聘面试,面试合格者可正式签约,
甲表示只要面试合格就签约

乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约, 否则两人都不签约
设每人面试合格的概率都是0.5,且面试是否 合格互不影响 求:(1)至少有1人面试合格的概率; (2)用随机变量ξ表示签约的人数, 求ξ的数学期望。

例9、某项考试按科目A、科目B 依次进行, 只有当科目A成绩合格时,才可继续参加科 目B 的考试。已知每个科目只允许有一次补 考机会,两个科目成绩均合格方可获得证书。 现某人参加这项考试,科目A每次考试成绩 合格的概率均为2/3 ,科目B每次考试成绩 合格的概率均为1/2 。 假设各次考试成绩 合格与否均互不影响。 (1)求他不需要补考就可获得证书的概率; (2)在这项考试过程中,假设他不放弃所有 的考试机会,用随机变量ξ表示他参加考试 的次数,求ξ的数学期望。


相关文章:
建平中学数学:随机变量与数学期望_图文.ppt
建平中学数学:随机变量与数学期望 - 随机变量与数学期望 复习引入:随机变量与随
建平中学高三数学周四试题(理科).pdf
建平中学高三数学周四试题(理科)_数学_高中教育_教育...的分布律和数学期望. 解: (1)设走 L1 路线最多...? . 4 5 20 随机变量 ? 的分布律为: x P (...
建平中学高三数学周四试题.pdf
建平中学高三数学周四试题(理科)2012.2.19 班级 ...抽取出的 1 件产品的平均利润(即数学期望)为 4.9...(1)解:设 1 件产品的利润为随机变量 ? ,依题...
建平中学高二数学期末模拟3.doc
建平中学高二数学期末模拟3_数学_高中教育_教育专区...乙两名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐,则他们...的分布列及数学期望。 (2)在概率 P(? ? i)(i...
2012上海市建平中学高三年级数学.doc
2012上海市建平中学高三年级数学_数学_高中教育_教育专区。高三年数学复习 ...0( a ? 1) 恰有 x 则该随机变量 ? 的均值是___ (文)如图是一个正三...
2016建平中学自主招生数学真题(附详解).doc
2016建平中学自主招生数学真题(附详解)_初三数学_数学_初中教育_教育专区。2016上海建平中学自主招生数学,笔者专挑了两题进行了详解。...
建平中学20122013学年高二期末模拟测试1.doc
建平中学20122013学年高二期末模拟测试1_数学_高中教育_教育专区。建平中学 ...记安排到高二年级的教师人数为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望 n 2 6...
建平中学2018届高三上阶段练习-数学卷.doc
建平中学2018届高三上阶段练习-数学卷_数学_高中教育_教育专区。建平中学 2018 届高三上阶段练习-数学卷一、填空题 1. 在 ( x ? a)5 的二项式展开式中, x...
高三数学-2018届高考练习卷2018届建平中学高三数学练习....doc
高三数学-2018届高考练习卷2018届建平中学高三数学练习卷 精品_高考_高中教育_教育专区。2018 年川沙中学高三第二学期数学练习卷 一、填空题: (每题 4 分,共 ...
2010届建平中学高三数学月考试卷 2010、3、12.doc
2010届建平中学高三数学月考试卷 2010、3、122010届建平中学高三数学月考试卷 2010...则随机变量 ξ 的数学期望 Eξ = 11 2 . 32 x + y 2 ≥ 0 (文)若...
2017-2018年上海市建平中学高一(上)期中数学试卷及参考....pdf
2017-2018年上海市建平中学高一(上)期中数学试卷及参考答案_数学_高中教育_教育专区。2017-2018 学年上海市建平中学高一(上)期中数学试卷 一、填空题 1. (5 分...
2013建平中学高三数学考前练习(1)答案.doc
2013建平中学高三数学考前练习(1)答案_数学_高中教育_教育专区。2013建平中学高三数学考前练习 2013 高三数学考前练习(1) 参考答案与评分标准答案一. 填空题(本大...
沪教版建平中学八年级期末测试数学卷.pdf
沪教版建平中学八年级期末测试数学卷_数学_初中教育_教育专区。浦东新区 2017
2018届上海市建平中学高三9月月考数学试题.doc
2018届上海市建平中学高三9月月考数学试题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。建平中学 2018 届高三上学期第一次月考 数学卷 一、填空题 1. 在 ( x ? a)5...
2017-2018年上海市建平中学高一上学期数学期中试卷带答案.doc
2017-2018年上海市建平中学高一上学期数学期中试卷带答案_数学_高中教育_教育专区。2017-2018 学年上海市建平中学高一(上)期中数学试卷 一、填空题 1. (5 分)...
2017-2018学年上海市建平中学高一(上)期中数学试卷.doc
2017-2018 学年上海市建平中学高一(上)期中数学试卷 一、填空题 1.
2017-2018年上海市建平中学高一上学期数学期中试卷和解析.doc
2017-2018年上海市建平中学高一上学期数学期中试卷和解析_数学_高中教育_教育专区。2017-2018 学年上海市建平中学高一(上)期中数学试卷 一、填空题 1. (5 分)...
2018上海市浦东新区建平中学高三三模数学试卷及答案.doc
2018上海市浦东新区建平中学高三三模数学试卷及答案_数学_高中教育_教育专区。...已知取到 白球个数的数学期望值为 ,则口袋中白球的个数为 3 6 .设 n ?...
上海市建平中学2016-2017学年第一学期高一年级期末考试....pdf
上海市建平中学2016-2017学年第一学期高一年级期末考试数学试卷(PDF版)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。建平中学 2016- 2017 学年第一学期高一年级期末考试试卷...
上海市建平中学2012届高三周测试题(理数).doc
建平中学 2012 届高三数学周四试题(理科)2012.4.5...L2 路线,求遇到红灯次数 ξ 的分布律和数学期望. ...(ξ =2)= × = . 4 5 20 随机变量 ξ 的...
更多相关文章: