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怎样学好高中数学


怎样学好高中数学
——与即将跨入高中校园的学子谈数学学习
“点线面体,勾勒出大千世界;加减乘除,演绎了无尽苍穹” 。这是大港一中数学特级 教师孟贵增老师为数学组题写的一幅对联。如果把数学大师陈省身先生的题词“数学好玩” 拿来做横批,可谓珠联璧合,相映成趣了。奇妙多彩的数学世界以他独特的魅力吸引着大批 杰出人才, 使他们沉醉其中,乐此不疲。数学趣闻、 数学家轶事,也历来为人们所津津乐道。 然而,在不少人的心目中,数学仅仅是研究古老难题的学科,枯燥、乏味,抽象、艰涩, 甚至只是为了应试才要学的一门学科, 造成这种错误印象的原因很多。 除了数学本身比较抽 象,不易为公众所了解之外,还有学校教学中不适当的方法、媒体不恰当的报道等等。 很少有一门学科象数学这样,爱者将其奉为科学王冠之上的明珠,惧者避之惟恐不及。 那么——数学究竟是怎样的一门学科呢? 数学,其英文是 mathematics,这是一个复数名词,因为在西方“数学曾经是四门学科: 算术、几何、天文学和音乐,处于一种比语法、修辞和辩证法这三门学科更高的地位。” 关于数学的本质,历来众说纷纭,革命导师恩格斯站在唯物主义的观点上,认为“数学 是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学” ,这个定义揭开数学的神秘面纱,指出数学 来源于现实世界,并指导实践活动。数学教育家波利亚(G. Poliva,1888 一 1985)则从数 学特性出发,指出,“数学有两个侧面,它是欧几里德式的严谨科学,但也是别的什么东西。 由欧几里德方法提出来的数学看来象是一门系统的演绎科学, 但在创造过程中的数学看来却 像是一门实验性的归纳科学。” 这为数学研究和数学学习指明了道路。现代教育家库朗和罗 宾逊(Courani Robbins)则强调,“数学是人类意志的表达,反映积极的意愿、深思熟虑的 推理, 以及精美而完善的愿望, 它的基本要素是逻辑与直觉、 分析与构造、 一般性与个别性。 虽然不同的传统可能强调不同的侧面, 但只有这些对立势力的相互作用, 以及为它们的综合 所作的奋斗,才构成数学科学的生命、效用与高度的价值。” 总之, 数学是一门基础科学。 它是描述大自然与社会规律的语言, 是科学与技术的基础, 也是推动科学技术发展的重要力量。遗憾的是,人们往往只看到技术发展的种种现象,并享 受由此带来的各种成果, 而忽略了其背后支撑这些发展与成果的基础科学。 美国前总统尼克 松的一位科学顾问戴维说过: “很少有人认识到,当前被如此广泛称颂的高科技,本质上是 数学技术” 。 近几年诺贝尔经济学奖的得主多是有造诣的数学家, 2008 年美国媒体与专业机构 “Jobsrated”最新评选出“全美十大最好工作” ,受金融危机影响,许多行业排名下滑,而 看似枯燥的“数学家”则排名上升为第一,成为最吃香的全新“金饭碗” 。评选机构负责人 认为,数学家不仅每天和教科书打交道,更帮助解决各种商业难题和全球事务,因此作用举 足轻重。如今,数学家在美国平均年薪可以达到十万美元。 目前,数学应用已深入到人们生活的每一个方面。例如,医学检查中已普遍使用的 CT 成像技术,可能很少有人知道片子不是照出来的,而是算出来的。自从 X 射线发现后,医 学上就开始用它来探测人体疾病。但是 X 射线对那些前后重叠的组织的病变就难以发现。 于是,科学家开始寻找一种新的技术——这就是 CT 技术。 CT 是用 X 线束对人体某部位进行扫描,扫描时,先把检查部位分成密密排列的极小的 方块,当 X 线束透过检查部位后,由于密度不同而产生不同的衰变,探测器接受到这些衰 减后的 X 线束,由计算机对衰减情况进行逐一计算,实现数字化,然后通过数字/模拟转换 器把每个数字转为不同灰度的小方块,按原序排列,即构成 CT 图像。所以,CT 图像是通 过数学方法算出来的图像。

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既然数学如此关键, 它理所当然地成为九年义务教育的重要内容。 那么——高中数学将 带给我们哪些精彩内容呢? 在初中我们学习了解一元二次方程的求根公式,当判别式△<0 时,我们说,此一元二 次方程无实数根, 为什么不说无根而强调无实数根呢?这是因为我们初中, 是在实数范围内 考虑问题,到了高中,我们把数推广到复数范围,这一类方程就有根了。因而—— 从知识层面看:高中知识是在初中知识基础上的提高和扩充。简述如下: 代数方面: 初中阶段将数的范围推广到了实数系, 在高中阶段将把数的范围进一步推广 到复数系,初中在加减乘除的基础上学习了乘方、开方和指数运算;而指数都是整数,如

23 , 4?2 等,学习了二次和三次根式。高中将把幂指数推广到实数,如 4 2 , 27 3 等,根式也推
广到任意次根式,并将指数运算与根式运算结合起来;另外还要学习对数运算。在初中我们 从运动过程中两个变量的依存关系来定义函数,学习了一次函数、反比例函数、二次函数的 定义、图象、性质。在高中我们将从集合间对应的视角重新审视函数的本质,系统地研究函 数的单调性、奇偶性、周期性,并学习指数函数、对数函数、三角函数以及分段函数,从研 究工具上学习了导数,并学习积分的初步知识。 几何方面:在初中我们以公理为基础,研究了平面中两条直线的位置关系,三角形、四 边形的性质和判定,及圆的一些基本知识;在高中将用方程表示曲线,通过方程研究平面中 的直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线--形成一门分支解析几何。初中我们直观的学习了棱 柱、圆柱、圆锥、球的形状、截面,及棱柱、圆柱、圆锥的表面展开等问题。在高中,我们 将系统地研究空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,及一些典型几何体的 概念、性质等;并通过学习空间向量,用代数的方法进行求解。 另外,我们在初中初步学习概率与统计、直观的学习了概率统计的基本知识。在高中我 们将对有关知识进行理论化、 系统化, 并作深入探讨。 还将学习集合、 三角函数及恒等变换、 平面向量、数列、简易逻辑、导数、复数、空间向量、计数原理等;还要进行一些研究性学 习。 从能力层面看:初中数学以培养思维能力、运算能力为主,高中在此基础上还要进一步 培养空间想象能力、实践能力和创新意识。促进学生能力的全面提升。 从考试要求看: 中考试题有相当一部分是知识的直接应用; 而高考一般要有多个知识点 综合,重点考查数学思想如函数与方程的思想、数形结合的思想、等价转化的思想、分类讨 论的思想;考查逆向思维、创新能力,及应用知识解决实际问题的能力。 从课程设置和评价看:高中课程分为必修和选修,并且都有相应的学分要求。需要我们 一要学好必修课程以保证顺利毕业, 二要学好必选课程以达到高考要求; 三要根据自己的兴 趣和需要学好选修课程,为今后的发展奠定基础。

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总之, 数学学习从义务教育到高中教育有较大的变化, 数学学习的初高中衔接是高一新 生所面临的最大挑战,那么——高中数学学习与义务教育阶段有哪些变化呢? 在数学语言上变得更为抽象。 根据我们对前几届高一新生的调查,有不少学生反映,集合、映射等概念难以理解,

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觉得离生活很远。确实,初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、 通俗的语言方式进行表达。 而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、 逻辑运算语言以及函 数语言、向量语言,算法语言、还有立体几何等。学习中,需要我们有较强的同化、顺应能 力。 在思维方法上变得更为灵活。 高一新生产生数学学习障碍的另一个原因是高中数学思维方法与初中阶段大不相同。 初 中阶段,很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式,如解分式方程分几步,因式分解 先看什么, 再看什么, 即使是思维非常灵活的平面几何问题, 也针对线段相等、 角相等、 、 、 、 、 、 分别确定了各自的思维套路。因此,初中学习中有不少这种便于操作的定势,而高中数学学 习已没有了这样的定势。由于问题灵活多变,教师不可能逐一归纳解法、形成套路,因而发 展数学能力将成为学习的中心任务。然而,能力的发展是渐进的,不是一朝一夕的事,这种 能力要求的突变使很多高一新生感到不适应, 故而导致成绩下降。 高一新生一定要实现从套 路学习到探究学习的过渡,初步形成辩证思维。 在课堂容量上变得更为密集。 高中数学与初中数学又一个明显的不同是知识内容的“量”上急剧增加了,初中学过一 个定理后, 会安排一定的课时帮助练习、 消化; 到高中, 每课时的知识信息的量增加了许多, 而辅助练习、消化的课时却地减少了,不少高一新生感到旧内容尚未理解透,新内容的学习 又开始了,相当一部分同学反映节奏太快、喘不过气来。这就要求我们要做好充分的思想准 备,在学习中一要及时做好课后的复习工作,加深对知识的理解;二要理解掌握好新旧知识 的内在联系,使新知识顺利地同化于原有知识结构之中;三要学会对知识结构进行梳理,使 知识表格化、集成化,要触类旁通,由一例到一类,由一类到多类,使几类问题同构于同一 知识方法;多做总结、归类,建立知识结构网络。 而前几届总有部分新生思想准备不足, 一是认为自已只在 9 年级临考时才发奋了一、 二 个月就轻而易举地考上了高中,而且有的还考上重点中学里的重点班,因而认为此法甚灵, 高一、高二根本就用不着那么用功,只要等到高三临考时再发奋一、二个月,也一样会考上 一所理想的大学的。 存有这种思想的同学是大错特错的。 在天津市可以说是基本普及了高中 教育,因此中考的题目并不具有很明显的选拨性,同学们都很容易考得高分,一张试卷,扣 掉 10 几分就算得分偏低了。但高考就不同了,尽管高校扩招,但目前我们还不可能普及高 等教育,高等教育仍属于一种精英教育,因此高考的题目具有很强的选拨性, ,一张试卷, , 扣掉 30 几分,得分仍算不错的分数。因此,如果心存侥幸,想到高三时再发奋一、二个月 就考上大学,那到头来会后悔莫及的。再就是在学习上的依赖心理明显。为提高分数,有经 验的初中数学教师可以将各种题型一一罗列,学生依赖于教师为其提供套用的“模子” ,学 起来得心应手,省时省力,见效快;不少家长回家后辅导也是常事。升入高中后,教师的教 学方法变了,套用的“模子”没有了,家长辅导的能力也跟不上了,由“参与学习”转入“督 促学习” 。如果进入高中后,还象初中那样,心存依赖心理,没有掌握学习的主动权。不定 计划,没有预习,上课没听到“门道” ,必然造成数学学习困难。

那么——怎样学好高中数学呢? 首先要做到勤学与执着,要树立克服困难的勇气和信心,持之以恒,要在老师和同学 的帮助下,积极主动地寻求解决问题的办法,千万不能让问题堆积,形成恶性循环,要养成 “逢难则喜”的心态,须知,遇到困难之时,就是我们能力提高之机,只有在不断克服困难

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的过程中, 才能逐步形成分析问题和解决问题的能力。 要一步一个脚印, 练就扎实的基本功, 能力的形成需要在不断的实践中形成,来不得半点虚假。前几届一些“自我感觉良好”的同 学,刚进入高中时,轻视基本知识、基本技能和基本方法的学习与训练,经常是知道怎么做 就算了,而不去认真演算书写,到正规作业或考试中不是演算出错就是中途“卡壳” 。专心 致志,脑勤、口勤、手勤,是学好高中一切课程的前提,也是一个人一生能有所作为的基本 素养。 我国著名数学家华罗庚先生特别赞赏愚公移山的精神,认为执着拙朴的愚公是最有智慧 的,而畏难空谈的智叟将一事无成。他强调解决数学问题的关键是化难为易,揭示本质,反 对故弄玄虚、云山雾罩。他在诗中写道: “神奇妙算古名词,师承前人沿用之。神奇化易是 坦途,易化神奇不足提。妙算还从拙中来,愚公智叟两分开。积久方显愚公智,发白才知智 叟呆。埋头苦干是第一,熟练生出百巧来。勤能补拙是良训,一分辛苦一分才。 ” 第二.既要自主学习又要有合作学习的意识,要将“以老师为中心”转变为“以自己为主 体,老师为主导”的学习模式。 数学不是靠老师教会的,而是在老师引导下,靠自己主动思 维活动去获取的,学习数学就是要积极主动地参与教学过程,并经常发现和提出问题,而不 能依赖老师,被动地接受知识和方法。要养成良好的预习习惯,提高自学能力。要带着问题 学习,做到课前预习而“生疑”,“带疑”听课而“感疑”,老师点拨、同学讨论 “解疑”,从而提 高课堂听课效果。要养成善于交流的习惯,既要坚持独立思考,又要有开放的意识,要善于 借鉴他人经验和思路。 在数学学习过程中,同学们互相合作,各抒己见,取人之长,补己 之短, 也可主动与老师交流, 说出自己的见解和看法, 在老师的点拨中, 在学生们的争论中, 他们的思想方法会对你产生潜移默化的影响。因此,只有不断交流,才能相互促进、共同发 展,提高表达能力。如果固步自封,就会造成钻牛角尖,思路狭窄封闭的现象。 第三.要以研究者的心态学习数学,这是培养兴趣和自信心的关键。尽信书则不如无书, 尽信师则不如无师。在学习数学的过程中,要敢于质疑,不迷信教材,不盲从老师,要以一 个研究者的态度,开动脑筋,积极主动去发现问题,研究问题。一个优秀的学生始终处于一 种思考状态、 研究状态, 他们不满足于现成的思路和结论, 坚持独立思考, 形成了积极进取, 不屈不挠,耐挫折,不自卑的心理品质;他们善于从多侧面、多方位思考问题,挖掘问题的 实质,勇于发表自己的独特见解;他们对做错的题反复琢磨,寻找错因,进行更正,因为他 们知道从某种意义上讲,错误是学习的珍贵资源,通过错因剖析,往往会茅塞顿开,豁然开 朗;他们养成了解题后反思的习惯,在解完题目之后,总是不失时机地回顾下述问题:解题 过程中是如何分析联想探索出解题途径的? 使问题获得解决的关键是什么? 在解决问题的过 程中遇到了哪些困难?又是怎样克服的?通过解题后的回顾与反思,发现了解题的关键所在, 并从中提炼出数学思想和方法。只有勤反思,才能“站得高,看得远,驾驭全局”,才能提高 自己分析问题的能力;他们清楚地知道,数学题不是学生要完成的任务,而是我们深刻理解 知识、提高数学能力的好助手。 第四.要变”题海战术”为”题法战术” 。数学学习离不开解题实践,但是,做多少题才能 学好数学呢?特级教师王连笑说得好: “题不在多,有思想则灵” 。解题就是要细心体会思维 过程,弄清从何处入手,如何实现已知与所求之间的联通,细心体会蕴藏于题目之中的数学 思想、 数学方法。 要尽量做到一题多解、多题一法,一题多变,充分发挥每个典型题的效力, 从那种追求全面覆盖、 地毯式轰炸的题海战术向重视解题思路、 重视数学思想的 “题法战术” 转型。要着力归纳和总结题中之法,写数学学习心得,就是一种很好的做法。我们可以把参 与数学活动的思考、认识和经验教训,领悟数学的思维结果记录下来,把所见、所思、所悟 表达出来,促使自己数学经验、数学意识的形成,从而使自己对数学的理解更加深刻. 同学们,高中学习的大幕即将拉开,有谁不期望高中学习成功,有谁不期待高中生活精 彩,如今,我们又站在同一起跑线上,开始新的出发,如果你的初中学习很成功,请记住,

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从头开始,如果你的初中学习不尽如人意,请记住,从头开始,只要我们春天用心播种,夏 精心浇灌,秋天就一定能收获累累硕果, “若将天地常揣摩,妙理总有一日开。预祝同学们 拥有快乐、成功、精彩的高中生活。

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