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高中数学会考复习直线与圆的方程、圆锥曲线


高中数学会考专题复习 直线与圆的方程篇
基础知识: 1、直线的斜率与倾斜角 (1) k ? tan ? , ? ? 0 ,? ? , ? ? (2)斜率公式

?

?
2

时,直线不存在斜率;

y ?y ,y1 ? 、 P k ? 2 1 (P 1 ? x1 2 ? x2,y2 ? ) k ? (??,??) x2 ? x1
当 k 是特殊角的三角函数值时,直接写出角

o

? 2

?

当 k 不是特殊角的三角函数值时,可用反三角表示斜率: 当k ? 0时,  ? ? arct ank; 当k ? 0时,  ? ? ? ? arct ank (3)直线的方向向量: P 1P 2 ? ( x 2 ? x1 , y1 ? y 2 ), 或P 1P 2 ? 所以直线的方向向量 P , k) 或 P , k) 1P 2 ? (1 1P 2 ? ? (1 2、直线的五种方程
1 ( x2 ? x1 , y1 ? y 2 ) ? ( 1 ,k) x2 ? x1

,y1 ? ,且斜率为 k ) (1)点斜式 y ? y1 ? k ? x ? x1 ? (直线 l 过点 P . 1 ? x1
(2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距).

y ? y1 x ? x1 x1 , y1 ? 、 P ( y1 ? y2 ) (P ) 。 ? 1? 2 ? x2,y2 ? ( x1 ? x2 ) y2 ? y1 x2 ? x1 x y ? ? 1 (截距是直线与坐标轴的交点坐标,可正可负可为零): (4)截距式 a b C A (5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (A、 B 不同时为 0) 斜率 k ? ? , y 轴截距为 ? B B
(3)两点式 说明:点到直线的距离公式里面用的直线的一般式。 3、两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ①l1 // l2 ? k1 ? k2,b1 ? b2 ②l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 . ① l1 // l2 ? (2)若 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A 2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,且 A1 、A2 、 B1 、 B2 都不为零,

A1 B1 C1 ; ? ? A2 B2 C2 ② l1 ? l2 ? A ; 1 A2 ? B 1B2 ? 0
(3)夹角范围: (0, 4、点到直线的距离 点到直线的距离公式 d ? Ax0 ? By0 ? C (点 P ? x0,y0 ? ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ) ) A2 ? B 2

?
2

]

夹角公式: tan? ?

k 2 ? k1 1 ? k 2 k1

k1、k 2 都存在, 1 ? k1k 2 ? 0

1

两平行线间的距离公式: d ? C2 ? C1 (即一条直线上任一点到另一条直线的距离) A2 ? B 2 5、中点公式:A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,中点坐标是( 6、圆的方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . (圆心为 C (a, b) ,半径为 r ) (2)圆的一般方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 配方: ( x ?

x1 ? x2 y ? y2 , 1 ) 2 2

D 2 E D 2 ? E 2 ? 4F ) ) ? ( y ? )2 ? 2 2 4
2 2

1 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,表示一个以 ( ? D ,? E ) 为圆心,半径为
7、点与圆的位置关系 已知直线 Ax ? By ? C ? 0 和圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2

2

D 2 ? E 2 ? 4 F 的圆

①、圆心到直线的距离 d 与 r 比较,相离 d ? r ,相切 d ? r ,相交 d ? r ;

? Ax 2 ? Bx ? C ? 0 ②、利用根的判别式:联立 ? 消元后得一元二次方程的判别式 ? , ? 2 2 2 ? ?( x ? a ) ? ( y ? b) ? r

? ? 0 ? 直线和圆相交, ? ? 0 ? 直线和圆相切, ? ? 0 ? 直线和圆相离;
相关问题 :求弦长:弦心距,半径,弦的一半组成 Rt ? 8、直线与圆的位置关系 几何方法:直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种:

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 。 Aa ? Bb ? C 其中 d ? . (说明:这里 d 表示圆心到直线的距离) A2 ? B 2 2 2 直线 l : Ax ? By ? C ? 0 和圆 C: ? x ? a? ? ? y ? b? ? r2 代数方法: (判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况) :? ? 0 ? 相交;? ? 0 ? 相离;? ? 0 ? 相
切。 9、两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1 ,O2 ,半径分别为 r1 ,r2 , O1O2 ? d

d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线; d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线; r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线;

d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线; 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线。
10. 求圆的切线方程:设点斜式,用圆心到切线的距离等于半径,求斜率; ①、过圆 x ? y ? r 上一点 M ( x0 , y0 ) 的切线只有一条,方程为: x0 x ? y0 y ? r
2 2 2
2

2

过 圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 上 一 点 M ( x0 , y0 ) 的 切 线 只 有 一 条 , 方 程 为 :

( x0 ? a)(x ? a) ? ( y0 ? b)( y ? b) ? r 2 ;
②、过圆外一点的切线一定有两条; (若只解出一个斜率,另一条没有斜率,切线方程为: x ? x0 ) 有两种方法求直线方程,一种是几何法,一种是代数法。先把直线用点斜式设出来 一、几何法:直线与圆相切,则从几何方面考虑的话可以知道,圆心到直线的距离等于半径,你把直线化 简称一般式,用点到直线的公式就可以解决了。 二、代数法:将圆与直线的方程联立,把 y 消掉,然后就得到了有关 x 的一元二次方程,此时直线与圆只 有一个交点,所以方程只有一个解。所以该方程的判别式=0。

③、斜率确定的切线一定有两条(如图) 。 例题分析: 1、直线 x ? y ? 3 ? 0 的倾斜角是( B ) A、30° 2、直线 A、 B、45° C、60° D、90°

x y ? ? 1 的斜率是( A ) 3 2
B、 ?

2 3

2 3

C、

3 2

D、 ?

3 2
_。

3、已知两条直线 l1 : ax ? 3 y ? 3 ? 0 , l2 : 4 x ? 6 y ? 1 ? 0 ,若 l1 // l2 ,则 a ? 解:已知两条直线 l1 : ax ? 3 y ? 3 ? 0 , l2 : 4 x ? 6 y ? 1 ? 0 ,若 l1 // l2 , ? 4、已知两条直线 y ? ax ? 2 和 y ? ? a ? 2? x ? 1互相垂直,则 a 等于( (A)2 ( B)1 (C)0 (D) ?1

a 2 ? ? ,则 a ? 2。 3 3


解:两条直线 y ? ax ? 2 和 y ? ? a ? 2? x ? 1互相垂直,则 a ? a ? 2? ? ?1,∴ a=-1,选 D. 说明:1、2 考查两条直线平行与垂直时斜率之间的关系。 5、 “a=1”是“直线 x+y=0 和直线 x-ay=0 互相垂直”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 6、原点到直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 的距离为 ( A.1 B.



C )

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 D )

3

C.2

D. 5

7、平行直线 y ?

1 x ? 1 与 x ? 2 y ? 1 ? 0 之间的距离等于( B ) 2

3

A、

2 5 5

B、

3 5 5

C、

2 5

D、

3 5

? y ? x ?1 ? 0 ? 8、已知变量 x、y 满足约束条件 ? y ? 3 x ? 1 ? 0 ,则 z=2x+y 的最大值为( B ) ? y ? x ?1 ? 0 ?
A.4 B.2 C.1 D.-4

?x ? y ?1 ? 0 ? 9、若实数 x,y 满足 ? x ? y ? 0 ,则 z=x+2y 的最小值是 ( A ) ?x ? 0 ?
A.0 B.

1 2

C.1

D.2 )

10、以点(2,-1)为圆心且与直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 相切的圆的方程为( (A) ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 3 (C) ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 9 解: r ? (B) ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 3 (D) ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 3

|3 ? 2-4 ? (- 1)+5| 32+42

=3,故选 C。 (相切马上想到半径就等于圆心到直线的距离)

11、经过圆 x2 ? 2 x ? y 2 ? 0 的圆心 C,且与直线 x ? y ? 0 垂直的直线方程是( A.x+ y+1=0 B. x+y-1=0 C.x-y+1=0

C



D.x-y-1=0 )

12、若圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 的圆心到直线 x ? y ? a ? 0 的距离为 (A)-2 或 2 (B)

2 ,则 a 的值为( 2

1 3 或 2 2

(C)2 或 0

(D)-2 或 0

解: 若圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 的圆心(1,2)到直线 x ? y ? a ? 0 的距离为

2 , 2



|1 ? 2 ? a | 2 ,∴ a=2 或 0,选 C。 ? 2 2

说明:点到直线的距离公式要熟记!经常用到! 13、圆心为(1,1)且与直线 x ? y ? 4 相切的圆的方程是 解:半径 r ? .

2 2 |1 ? 1 ? 4 | ? 2 ,所以圆的方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 2

14、圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离与最小距离的差是(
2 2



4

A.36

B. 18

C. 6 2

D. 5 2

解:圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 10 ? 0 的圆心为(2,2) ,半径为 3 2 ,圆心到到直线 x ? y ? 14 ? 0 的距离为 d=

| 2 ? 2 ? 14 | ? 2 5 >3 2 ,圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是 2

2r =6 2 ,选 C. 说明:画个大概的图看一下就明白了,显然 AM=d+r 是最大距离 BM=d-r 是最小距离

15、直线 x ? y ? 1与圆 x ? y ? 2ay ? 0 ? a ? 0? 没有公共点,则 a 的取值范围是(
2 2



A. (0, 2 ?1)
2 2

B. ( 2 ?1, 2 ? 1)

C. (? 2 ?1, 2 ? 1)

D. (0, 2 ? 1)

解:由圆 x ? y ? 2ay ? 0(a ? 0) 的圆心 (0, a ) 到直线 x ? y ? 1 大于 a ,即

| 0 ? a ? 1| ? a ? ?1 ? 2 ? a ? ?1 ? 2 ,又且 a ? 0 ,选 A。 1?1 说明:没有公共点就是直线与圆相离 ? d ? r ; 有一公共点就是直线与圆相切 ? d ? r ; 有两公共点就是直线与圆相交 ? d ? r 。 2 2 16、若过点 A(4,0)的直线 l 与曲线 ? x ? 2 ? ? y ? 1 有公共点,则直线 l 的斜率的取值范围为( C )
, 3? A. ? ? 3 ? ? , 3 B. ? 3

?

?
2

C. ? ?

? ?

3 3? , ? 3 3 ?

D. ? ?

? ? ?

3 3? , ? 3 3 ? ?
. 3 .

2 17、如果实数 x , y 满足等式 ? x ? 2 ? ? y ? 3 ,那么 2 2

y 的最大值是 x

18、 已知两圆 x2 ? y 2 ? 10 和 ? x ? 1? ? ? y ? 3? ? 20 相交于 A, B 两点, 则直线 AB 的方程是 解; ( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 20 ? x2 ? 2x ? y 2 ? 6 y ? 10 -------- ①

x2 ? y 2 ? 10 -------②
可! ! ! ! !

由① -② 得到: 2 x ? 6 y ? 0即x ? 3 y ? 0 .

说明:本题的解答可以推广:求任意两个圆的两个交点所在的直线方程,为两个圆的一般方程相减即 19、设直线 mx ? y ? 3 ? 0 与圆 C: B 两点, 且弦长为 2 3 , 则__________。 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 4 相交于 A、
2 2

第八章:圆锥曲线 1、 圆锥曲线的定义、标准方程、图象、几何性质 曲线 椭圆
5

双曲线

抛物线

第一定义 平面内到两个定点 F1, F2 的距

平面内到两个定点 F1, F2 的距 平面内到定点 F 和定直线 L

离之和等于定值 2a (2a>|F1F2|) 离之差的绝对值等于定值 2a 的距离相等的点的轨迹。 的点的轨迹。 第二定义 平面内到定点 F 和定直线 L 的 距离之比为常数 e(0<e<1)的点 的轨迹。 标准方程 (0<2a<|F1F2|)的点的轨迹。 平面内到定点 F 和定直线 L 的 即:平面内到定点 F 和定直 线 L 的 距离 之比 为常数

距离之比为常数 e(e>1)的点的 e(e=1)的点的轨迹。 轨迹。

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

y 2 ? 2 px( p ? 0)

y
图象

y
x

y

F
1

0

F
2

F
1

0

F
2

x

0

F

x

圆锥曲线的几何性质 曲线 图象
F1

椭圆
y 0 F x

双曲线
y
F1

抛物线
y

2

0

F2 x

0

F

x

焦点 顶点 对称轴 离心率 准线 渐近线

(? c,0), c ? a 2 ? b 2 (? c,0), c ? a 2 ? b 2

(

(? a,0), (0,?b)
x轴,y轴
e? c ? (0,1) a
x??

( ? a,0)
e?
a2 c

(0,0)

p ,0) 2

x轴
c ? (1,??) a
b x a

e ?1
x?? p 2

y ? ?

6


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