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浙江省乐清国际外国语学校2015-2016学年高一数学下学期期中试题

浙江省乐清国际外国语学校高一年级 2015-2016 学年度下学期期中 考试数学试题
本试卷两大题 22 个小题,满分 150 分,考试时间 120 分钟 ★ 祝考试顺利 ★ 第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题(本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.向量 、 的夹角为 60°,且 A.1 B. C. D.2 , ,则 等于( )

2.已知函数 f ( x) ? 3 sin ? x ? cos ? x (ω >0)的图象与直线 y=-2 的两个相邻公共点之间 的距离等于 π ,则 f ( x) 的单调递减区间是( A、 ? k ? ? ? , k ? ? 2? ? , k ? Z ? 6 3 ? C、 ? 2k ? ? ? , 2k ? ? 4? ? , k ? Z ? 3 3 ? )

B、 ? k ? ? ? , k ? ? ? ? , k ? Z ? 3 6? D、 ? 2k ? ? ? , 2k ? ? 5? ? , k ? Z ? 12 12 ? )

3. a、b 是两个非零向量,且 a ? b ? a ? b ,则 a 与 a ? b 的夹角为( A.30
0

B.45

0

C.60

0

D.90

0

4. a、b 是两个非零向量,且 a ? b ? a ? b ,则 a 与 a ? b 的夹角为( A.30
0



B.45

0

C.60

0

D.90

0

5.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,若 A ? 135? , B ? 30?oO 0 , a ?

2 ,则

b 等于(
A.1

) B. 2 C. 3 D.2 ( )

6.在 ?ABC 中,若 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,则 ?ABC 的形状是 A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形
? ?

D.不能确定 )

7.在 ?ABC 中, B ? 45 ,C ? 60 ,c ? 1, 则 b ? (

A.

6 3

B.

6 2

C.

1 2

D.

3 2


8. 等差数列 {a n }中,已知a1 ? a 4 ? a 7 ? 39, a3 ? a 6 ? a9 ? 27, 则前9项和S 9 的值为 ( A.66 B.99 C.144 D.297 ) D.4 9.已知数列 ?a n ? 是公比为 2 的等比数列,若 a4 ? 16 ,则 a1 = ( A.1 B.2 C.3

1

10.已知等比数列 {an } 的公比 为正数,且 a3 · a9 =2 a5 , a2 =1,则 a1 =( A.

2

)

1 2

B.

2 2

C. 2

D.2

11.已知等 差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且 a 4 ? 18 ? a5 , 则S 8 =( A.18 B.36 C.54 D.72 ) 12.等比数列 ?a n ? 中, a 4 ? 4 ,则 a 2 ? a 6 ? ( A.4 B.8 C.16 D.32 第 II 卷(非选择题) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每题 5 分,满分 20 分)



13 . 在 锐 角 V ABC 中 , AC ? 4, BC ? 3 , 三 角 形 的 面 积 等 于 3 3 , 则 AB 的 长 为 ___________. 14.设 ?ABC 在的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c 且满足 a cos B ? b cos A ?

3 c ,则 5

tan A ? tan B

.

15.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ? an?1 ? 3,( n ? 2, n ? N * ) ,则 an =___________. 16.循环小数 0.4 31 化成分数为__________. 三、解答题(70 分) 17. (本题 12 分)已知如图为函数 f(x)=2sin(ω x+φ ) (ω >0,0<φ < 象. (1)求 f(x)的解析式及其单调递增区间; (2)求函数 g(x)= 的值域. )的部分图
. .

2

? 2 18. (本题 12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin x cos( x ? ) ? . 4 2 (1)求 f ( x) 的最小正周期;
? ? ? 3 ? (2)设 ? ? (0, ) ,且 f ( ? ) ? ,求 tan(? ? ) . 2 2 8 5 4
19. (本题 12 分)在 ?ABC 中,已知内角 A ? (1)若 x ?

?
3

,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,面积为 y .

?
4

,求边 AC 的长;

(2)求 y 的最大值. 20. (本题 12 分) 已知函数 f ( x) ? m ? n, 其中 m ? (1,sin 2 x), n ? (cos 2 x, 3), 在 ?ABC 中,

?? ?

??

?

a, b, c 分别是角的对边,且 f ( A) ? 1 .
(1)求角A; (2)若 a ? 3 , b ? c ? 3 ,求 ?ABC 的面积. 21. (本题 12 分)已知等比数列{an}满足:a1=2,a2?a4=a6. (1)求数列{an}的通项公式; (2)记数列 bn= ,求该数列{bn}的前 n 项和 Sn.

22 . (本题 10 分)已知数列 {a n } 的各项均为正数, S n 是 数列 {a n } 的前 n 项和,且

4 S n ? a n ? 2a n ? 3 .
(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)已知bn ? 2 n , 求Tn ? a1b1 ? a 2 b2 ? ? ? a n bn 的值.

2

参考答案 1.D 【解析】 试题分析: 欲求 , 只需自身平方再开方即可, 这样就可出现两向量的模与数量积,

最后根据数量积公式解之即可. . 解:∵向量 、 的夹角为 60°,且 ∴ ? =1×2×cos60°=1 ∴|2 ﹣ |= = =2 , ,

3

故选 D. 点评:本题主要 考查了向量的数量积的概念,以及向量的模的求法,属于向量的综合运算, 同时考查了计算能力,属于基础题. 2.A 【解析】 试题分析:因为 f ( x) ? 3 sin ? x ? cos ? x ? 2 sin(? x ? ? ) 最小值为-2,可知 y=-2 与 f(x) 6 两个相邻公共点之间的距离就是一个周期, 于是 T ? 2? ? ? , 即 ω =2, 即 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ? ) ? 6 令 2 x ? ? ? ? 2k ? ? ? , 2k ? ? 3? ? ,k∈Z,解得 x∈ ? k ? ? ? , k ? ? 2? ? , k ? Z ,选 A ? 6 ? 2 2 ? 6 3 ? 考点:三角函数恒等变形,三角函数的图象及周期、最值、单调性. 3.A

a ? b 围成一等边三角形, ? a, b ? =60 , 【解析】因为 a ? b ? a ? b ,所以,向量 a , b,
0

a ? b 平分 ? a, b ? ,故 a 与 a ? b 的夹角为 300 ,选 A.
考点: 平面向量的线性运算,平面向量的夹角. 4.A

a ? b 围成一等边三角形, ? a, b ? =60 , 【解析】因为 a ? b ? a ? b ,所以,向量 a , b,
0

a ? b 平分 ? a, b ? ,故 a 与 a ? b 的夹角为 300 ,选 A.
考点: 平面向量的线性运算,平面向量的夹角. 5.A 【解析】 试题分析:由正弦定理 考点:正弦定理的运用 6.A. 【解析】 试题分析:由 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,结合正弦定理可得, a 2 ? b 2 ? c 2 ,由余弦定理可 得 cos C ?

2 b 2 a b 得, 即b ? ? ? sin 30? ? 1 。 ? ? ? sin 135 sin 30 sin 135? sin A sin B

a2 ? b2 ? c2 ? ? 0 ,所以 ? C ? ? .所以 ?ABC 是钝角三角形. 2ab 2

考点:余弦定理的应用;三角形的形状判断. 7.A 【解析】

b c c sin B 1? sin 45? 试题分析:由正弦定理 可得, b ? ? ? ? sin B sin C sin C sin 60?

1?

2 2 6 。故 A 3 3 2
4

正确。 考点:正弦定理。 8.B 【解析】由已知及等差数列的性质得, 3a4 ? 39,3a6 ? 27, 所以, a4 ? 13, a6 ? 9,S9 ?

9(a1 ? a 9 ) 9(a 4 ? a 6 ) ? ? 99, 选 B. 2 2

考点:等差数列及其性质,等差数列的求和公式. 9.B 【解析】 试题分析:由等比数列的通项公式 an ? a1q n ?1 得 a4 ? a1q 3 ,所以 a1 ? 考点:等比数列的通项公式 10.B 【解析】
2 7 3 试题分析:设公比为 q ? q ? 0 ? . a3 ? a9 ? 2a5 ? a2 q ? a2 q ? 2 a2 q

a4 16 ? ? 2。 q3 8

?

?

2

,因为 a2 ? 1 ,所以

q ? q 7 ? 2 ? q 3 ? ,即 q8 ? 2q 6 ,解得 q ? 2 ,所以 a1 ?
2

a2 2 .故 B 正确. ? q 2

考点:等比数列的通项公式. 11.D 【解析】 试题分析:a4 ? 18 ? a5 ? a4 ? a5 ? 18 ,因为 ?an ? 为等差数列,所以 a1 ? a8 ? a4 ? a5 ? 18 . 所以 S8 ?

8 ? a1 ? a8 ? ? 4 ?18 ? 72 .故 D 正确. 2

考点:1 等差数列的前 n 项和;2 等差数列的性质. 12.C 【解析】 试题分析:设公比为 q ,则 a2 ? a6 ? 考点:等比数列的通项公式。 13. 13 【解析】 试题分析:已知三角形的两条边长,要求第三边,一般可用余弦定理,则必须求得已知两边 的夹角,那么三角形的面积我们选用公式 S ?ABC ?

a4 ? a q 2 ? ? a4 2 ? 42 ? 16 。故 C 正确。 2 ? 4 q

1 AC ? BC sin C ,可得 sin C ,从而得 2

cos C ,再由余 弦定理可得结论.
考点:三角形的面积公式与余弦定理.

5

14.4 【解析】 试 题 分 析 : 由 正 弦 定 理 可 得 sin A cos B ? sin B cos A ?

3 sin C , 即 5

3 sin A cos B ? sin B cos A ? sin ? A ? B ? 5 3 3 ? sin A cos B ? sin B cos A ? sin A cos B ? cos A sin B ? sin A cos B ? 4 cos A sin B 5 5 sin A cos B tan A ? ?4? ? 4. cos A sin B tan B
考点:1 正弦定理;2 两角和差公式, 15. 3n ? 2 【解析】 试题分析:这是一个等差数列,已知条件中有其公差 d ? an ? an ?1 ? 3 ,首项为 a1 ? 1 ,通 项公式为 an ? 1 ? (n ? 1) ? 3 ? 3n ? 2 . 考点:等差数列的通项公式. 16.

427 990

【解析】

? ? ? 0.4 ? 试题分析:由题意 0.431
考点:无穷递缩等比数列的和. 17. (1)f(x)=2sin(2x+ (2)[0,+∞) 【解析】

0.031 427 . ? 1 990 1? 100
,kπ + ],k∈Z

) ;f(x)的单调递增区间为[kπ ﹣

试题分析: (1)由函数图象过点(0,1)可得 φ = 得函数解析式,整体法可得单调区间;

,又 ω

+φ =

,可得 ω =2,可

(2)由(1)知 g(x)=y=

,变形可得 sin(2x+

+φ )=

,由

三角函数的有界性可得 y 的不等式,解不等式可得. 解: (1)∵函数图象过点(0,1) , ∴2sinφ =1,即 sinφ = , 又∵0<φ < 又ω +φ = ,∴φ = ,∴ω =2,

6

∴f(x)=2sin(2x+ 由 2kπ ﹣ ≤2x+

) , ≤2kπ + 可得 kπ ﹣ ,kπ + ≤x≤kπ + ],k∈Z; ,

∴f(x)的单调递增区间为[kπ ﹣

(2)由(1)知 g(x)=

=

=



令 y=



可得 sin(2x+ ∴得 sin(2x+

)+1=ycos(2x+ )﹣ycos(2x+

)+y, )= sin(2x+ +φ )=y﹣1,

∴sin(2x+

+φ )=

,∴|

|≤1,

解得 y≥0,即函数的值域为[0,+∞) 点评:本题考查三角函数解析式的确定,涉及三角函数的单调性和有界性,属中档题. 18. (1) ? ; (2) tan(? ? 【解析】 试题分析: (1) 利用两角差的余弦公式, 二倍角公式的降幂变形以及辅助角公式, 可对 f ( x) 恒
f ( x) ? 2sin x(cos x cos

?
4

) ?7.









?

? 2 ? sin x sin ) ? 4 4 2
2 1 1 ? cos 2 x 2 ? 2( sin 2 x ? )? 2 2 2 2

? 2(sin x cos x ? sin 2 x) ? ?

2 2 2 ? 从而可知 f ( x) 的最小正周 (sin 2 x ? cos 2 x ? 1) ? ? (sin 2 x ? cos 2 x) ? sin(2 x ? ) , 2 2 2 4 ? ? ? ? ? 3 ? 期为 ? ; (2) 由 (1) 中变形的结果可知 f ( ? ) ? sin[2( ? ) ? ] ? sin ? ? , 再由 ? ? (0, ) 2 8 2 8 4 5 2

可 得 cos? ?

4 5

, tan ? ?

3 4

, 再 根 据 两 角 和 的 正 切 公 式 可 知

3 ?1 4 ?4 tan(? ? ) ? ?7. 4 1 ? tan ? tan ? 1 ? 3 4 4

?

tan ? ? tan

?

7

试题解析: (1) f ( x) ? 2sin x(cos x cos
? 2(sin x cos x ? sin 2 x) ? ?

?
4

? 2 ? sin x sin ) ? 4 2

2分 4分 6分

2 1 1 ? cos 2 x 2 , ? 2( sin 2 x ? )? 2 2 2 2

2 2 2 ? (sin 2 x ? cos 2 x ? 1) ? ? (sin 2 x ? cos 2 x) ? sin(2 x ? ) , 2 2 2 4 ∴ f ( x) 的最小正周期为 ? ; 7分

(2) f (

?
2

?

?
8

) ? sin[2(

?
2

?

?
8

)?

?
4

] ? sin ? ?

3 , 5

8分 10 分

? 4 3 由 ? ? (0, ) 可知, cos ? ? , tan ? ? , 2 5 4
3 ?1 4 ?4 ?7. ∴ tan(? ? ) ? 4 1 ? tan ? tan ? 1 ? 3 4 4

?

tan ? ? tan

?

12 分

考点:三角恒等变形. 19. (1) 2 2 .(2) y 取得最大值 3 3 . 【解析】

BC ? sin B 2 3 ? sin 45? 试题分析: (1)由正弦定理即可得到 AC ? ? ?2 2. sin A sin 60?
( 2 ) 由 ?ABC 的 内 角 和 A ? B ? C ? ? , A?

?
3

及 正 弦 定 理 得 到 AC ? 4sin x , 将

y ? 4 3 sin x(

3 1 cos x ? sin x) 化简为 2 2

y ? 2 3 sin(2 x ? ) ? 3, 根据角的范围得到 6

?

x?

?

3

时, y 取得最大值 3 3 .

试题解析: (1)由正弦定理得: AC ?

BC ? sin B 2 3 ? sin 45? ? ?2 2. sin A sin 60?

6分

(2)由 ?ABC 的内角和 A ? B ? C ? ? , A ? 由 AC ?

?
3

?0 ? B ?

2? , 3
8分

BC sin B ? 4sin x sin A

?y ?

3 1 1 2? AC ? BC sin C ? 4 3 sin x sin( ? x) = 4 3 sin x( cos x ? sin x) 2 2 2 3
10 分

? ? 6sin x cos x ? 2 3 sin 2 x ? 2 3 sin(2 x ? ) ? 3, 6

8

因为 0 ? x ? 当 2x ?

?
6

?

?

2? ? ? 7? ,?? ? 2 x ? ? 3 6 6 6
即x?

?

2

3

时, y 取得最大值 3 3 .

14 分

考点:正弦定理的应用,和差倍半的三角函数. 20.(1) A ? 【解析】 试题分析:(1)根据向量的数量积运算可得函数的解析式.然后将 A 代入可得. (2)根据题中所给条件以及角 A ,利用余弦定理,联立可得 b, c .最后根据 S ? 得面积. 试题 解析: (1)因为 f ( x) ? m ? n ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2 sin( 2 x ? 所以 2 sin( 2 A ? 解得 A ?

?
3

(2)

3 2

1 bc sin A 求 2

?
6

) ,且 f ( A) ? 1 .

?
6

) ? 1 ,可得 2 A ?

?
6

?

?
6



?
3

5? . 6

或 A ? 0 (舍)

b 2 ? c 2 ? ( 3) 2 2 2 (2)由余弦定理得 cos A ? ,整理得 bc ? b ? c ? 3 2bc
联立方程

b?c ?3

解得

?b ? 2 ? ?c ? 1

或?

?b ? 1 。 ?c ? 2

所以 S ?ABC ?

1 3 1 . bc sin A ? S ?ABC ? bc sin A ? 2 2 2
n

考点:向量的数量积运算;三角函数特殊角;余弦定理;三角形面积公式. 21. (1) (2)Sn= 【解析】 试题分析: (1) 设等比数列{an}的公比为 q, 根据等比数列的通项公式和条件, 列出关于 q 的 方程求出 q,再代入 化简即可; =2

(2)由(1)求出 a2n﹣1、a2n+1 的表达式,代入 代入数列{bn}的前 n 项和 Sn,利用裂项相消法进行化简. 解: (1 )设等比数列{an}的公比为 q, 3 5 由 a1=2,a2?a4=a6 得, (2q) (2q )=2q ,

化简后裂项,

9

解得 q=2, 则 =2 , , ,
n

(2)由(1)得,



=

= 则 Sn=b1+b2+b3+?+bn = (1﹣ = =



点评:本题考查了等比数列的通项公式,对数的运算,以及裂项相消法求数列的前 n 项和, 属于中档题. 22. (1) an ? 2n ? 1 . (2) Tn ? (2n ? 1)2 n ?1 ? 2 。 【解析】 试题分析: (1)令 n = 1,解出 a1 = 3, (a1 = 0 舍) , 2 由 4Sn = an + 2an-3 ① 及当 n ? 2 时
2 4sn-1 = a n ?1 + 2an-1-3



2 2 ①-②得到 a n ? an ?1 ? 2( a n ? a n ?1 ) ? 0 ,

确定得到 {an } 是以 3 为首项,2 为公差的等差数列. (2)利用“错位相减法”求和. 试题解析: (1)当 n = 1 时, a1 ? s1 ? 分 2 又 4Sn = an + 2an-3 当n? 2时 ①-② ① ②

1 2 1 3 a1 ? a1 ? , 解出 a1 = 3, (a1 = 0 舍) 4 2 4

1

2 4sn-1 = a n ?1 + 2an-1-3

2 2 2 2 4an ? an ? an ?1 ? 2( an ? an ?1 ) , 即 a n ? a n ?1 ? 2( a n ? a n ?1 ) ? 0 ,

∴ (a n ? a n ?1 )(a n ? a n ?1 ? 2) ? 0 ,

4分

? a n ? a n ?1 ? 0 ? a n ? a n ?1 ? 2 ( n ? 2 ) , ? 数列{a n } 是以 3 为首项,2 为公差的等差数列, ? a n ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 .
6分
10

(2) Tn ? 3 ? 21 ? 5 ? 22 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n 又 2Tn ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ? (2n ? 1) ? 2 n ? (2n ? 1)2 n ?1

③ ④

④-③ Tn ? ?3 ? 21 ? 2(2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ) ? (2n ? 1)2 n ?1

? ?6 ? 8 ? 2 ? 2 n ?1 ? (2n ? 1) ? 2 n ?1 ? (2n ? 1)2 n ?1 ? 2
12 分

考点:等差数列及其求和,等比数列的求和, “错位相减法”.

11


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