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2016-2017学年河南省南阳市高三(上)期末数学试卷(理科)


2016-2017 学年河南省南阳市高三(上)期末数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个 选项中,有且只有一项符合题目要求. 1. (5 分)已知集合 M={1,2,3,4},则集合 P={x|x∈M,且 2x?M}的子集个 数为( A.2 ) B.3 C.4 D.8 =( )

2. (5 分)己知复数 z=cosθ+isinθ(i 是虚数单位) ,则 A.cosθ+isinθ B.2cosθ C.2sinθ D.isin2θ

3. (5 分)直线 x+(1+m)y=2﹣m 和直线 mx+2y+8=0 平行,则 m 的值为( A.1 B.﹣2 C.1 或﹣2 D.﹣



4. (5 分)已知公差不为 0 的等差数列{an}满足 a1,a3,a4 成等比数列,Sn 为数 列{an}的前 n 项和,则 A.2 B.3 的值为( )

C.﹣2 D.﹣3

5. (5 分)五位同学站成一排照相留念,则在甲乙相邻的条件下,甲丙也相邻的 概率为( A. B. ) C. D.

6. (5 分)若如图框图所给的程序运行结果为 S=41,则图中的判断框(1)中应 填入的是( )

A.i>6? B.i≤6? C.i>5? D.i<5? 7. (5 分)已知三棱锥的俯视图与左视图如图所示,俯视图是边长为 2 的正三角 形,左视图是有一条直角边为 2 的直角三角形,则该三棱锥的主视图可能为 ( )
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A.

B.

C.

D. )的图象向右平移 个单位后得到函数 g

8. (5 分)将函数 f(x)=sin(2x﹣ (x) ,则 g(x)具有性质( )

A.最大值为 1,图象关于直线 x= B.在(0, C.在(﹣

对称

)上单调递减,为奇函数 , )上单调递增,为偶函数 ,0)对称 ,若目标函数 z=﹣mx+y 的最大值为﹣ )

D.周期为 π,图象关于点( 9. (5 分)已知实数 x,y 满足

2m+10,最小值为﹣2m﹣2,则实数 m 的取值范围是( A.[﹣1,2] B.[﹣2,1] C.[2,3] D.[﹣1,3]

10. (5 分)已知函数 不等式 f(3x+1)+f(x)>1 的解集为( A. B. )

,则关于 x 的

C. (0,+∞) D. (﹣∞,0) =1 的右支上一点 P,分别向圆 C1: (x+4)2+y2=4 和

11. (5 分)过双曲线 x2﹣

圆 C2: (x﹣4)2+y2=1 作切线,切点分别为 M,N,则|PM|2﹣|PN|2 的最小值为 ( )

A.10 B.13 C.16 D.19 12. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f'(x)﹣f(x)=x?ex,且 的最大值为( A.1 ) ,则

B.﹣ C.﹣1 D.0
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二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. (5 分)若命题“? x0∈R,x02+mx0+2m﹣3<0”为假命题,则实数 m 的取值范 围是 … , 则二项式 的展开式中 x﹣3 的系数为 , D 为边 BC 的中点, 则 = . .

14. (5 分) 已知 15. (5 分) 已知△ABC 中,

16. (5 分) 在正三棱锥 V﹣ABC 内, 有一个半球, 其底面与正三棱锥的底面重合, 且与正三棱锥的三个侧面都相切,若半球的半径为 2,则正三棱锥的体积的最小 时,其底面边长为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验 算过程. 17. (10 分)设 (1)证明:数列 ,令 a1=1,an+1=f(an) ,又 为等差数列,并求数列{an}的通项公式; .

(2)求数列{bn}的前 n 项和. 17 年河南南阳期末 18. (12 分)已知△ABC 的面积为 S,且 ? =S,| ﹣

|=3. (Ⅰ)若 f(x)=2cos(ωx+B) (ω>0)的图象与直线 y=2 相邻两个交点 间的最短距离为 2,且 f( )=1,求△ABC 的面积 S; (Ⅱ)求 S+3 cosBcosC 的最大值.

19. (12 分)某校高三学生有两部分组成,应届生与复读生共 2000 学生,期末 考试数学成绩换算为 100 分的成绩如图所示,从高三的学生中,利用分层抽样, 抽取 100 名学生的成绩绘制成频率分布直方图: (1)若抽取的学生中,应届生与复读生的比为 9﹕1,确定高三应届生与复读生 的人数; (2)计算此次数学成绩的平均分; (3)若抽取的[80,90) ,[90,100]的学生中,应届生与复读生的比例关系也是 9﹕1,从抽取的[80,90) ,[90,100]两段的复读生中,选两人进行座谈,设抽
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取的[80,90)的人数为随机变量 ξ,求 ξ 的分布列与期望值.

20. (12 分) 已知四棱锥 P﹣ABCD, 底面 ABCD 是直角梯形, AD∥BC, ∠BCD=90°, PA⊥底面 ABCD,△ABM 是边长为 2 的等边三角形, (Ⅰ)求证:平面 PAM⊥平面 PDM; (Ⅱ)若点 E 为 PC 中点,求二面角 P﹣MD﹣E 的余弦值. .

21. (12 分)已知椭圆 C: 线 l,与圆 x2+y2=

+

=1(a>b>0) ,过椭圆的上顶点与右顶点的直

相切,且椭圆 C 的右焦点与抛物线 y2=4x 的焦点重合;

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 O 作两条互相垂直的射线与椭圆 C 分别交于 A,B 两点,求△OAB 面 积的最小值. 22. (12 分)已知 f(x)=xlnx+mx,且曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线 斜率为 1. (1)求实数 m 的值; (2)设 a 的取值范围; (3)已知 λ>0,在(2)的条件下,若不等式 立,求 λ 的取值范围.
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在定义域内有两个不同的极值点 x1,x2,求

恒成

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2016-2017 学年河南省南阳市高三 (上) 期末数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个 选项中,有且只有一项符合题目要求. 1. (5 分) (2015?山西一模)已知集合 M={1,2,3,4},则集合 P={x|x∈M, 且 2x?M}的子集个数为( A.2 B.3 C.4 D.8 )

【分析】根据题意,写出集合 P 即可. 【解答】解:根据题意, 若 1∈P,则 2×1=2∈M,故不满足题意; 若 2∈P,则 2×2=4∈M,故不满足题意; 若 3∈P,则 2×3=6?M,故满足题意; 若 4∈P,则 2×4=8?M,故满足题意; 综上,P={3,4}, 所以集合 P 的子集有:?,{3},{4},{3,4}, 故选:C. 【点评】本题考查集合的定义及子集,属于基础题.

2. (5 分) (2016 秋?南阳期末)己知复数 z=cosθ+isinθ(i 是虚数单位) ,则 ( ) B.2cosθ C.2sinθ D.isin2θ

=

A.cosθ+isinθ

【分析】 z=cosθ+isinθ 代入 【解答】解:∵z=cosθ+isinθ, ∴ = =

, 然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

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= 故选:B.

=



【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了三角函数的化简求值,是基 础题.

3. (5 分) (2016 秋?南阳期末)直线 x+(1+m)y=2﹣m 和直线 mx+2y+8=0 平行, 则 m 的值为( A.1 )

B.﹣2 C.1 或﹣2 D.﹣

【分析】由直线平行可得 1×2﹣(1+m)m=0,解方程排除重合可得. 【解答】解:∵直线 x+(1+m)y=2﹣m 和直线 mx+2y+8=0 平行, ∴1×2﹣(1+m)m=0,解得 m=1 或﹣2, 当 m=﹣2 时,两直线重合. 故选:A. 【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系,属基础题.

4. (5 分) (2016?高安市校级模拟)已知公差不为 0 的等差数列{an}满足 a1,a3, a4 成等比数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,则 A.2 B.3 C.﹣2 D.﹣3 的值为( )

【分析】由题意可得:a3=a1+2d,a4=a1+3d.结合 a1、a3、a4 成等比数列,得到 a1=﹣4d,进而根据等差数列的通项公式化简所求的式子即可得出答案. 【解答】解:设等差数列的公差为 d,首项为 a1, 所以 a3=a1+2d,a4=a1+3d. 因为 a1、a3、a4 成等比数列, 所以(a1+2d)2=a1(a1+3d) ,解得:a1=﹣4d. 所以 故选:A. 【点评】 解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列与等差数列的性质,利用性质
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=

=2,

解决问题.

5. (5 分) (2016 秋?南阳期末)五位同学站成一排照相留念,则在甲乙相邻的条 件下,甲丙也相邻的概率为( A. B. C. D. )

【分析】五位同学站成一排照相留念,且甲乙相邻,先求出基本事件种数,再求 出甲丙也相邻包含的基本事件个数,由此能求出甲丙也相邻的概率. 【解答】解:五位同学站成一排照相留念,且甲乙相邻, 基本事件种数 n= =48, =12,

其中甲丙也相邻包含的基本事件个数 m= ∴甲丙也相邻的概率 p= 故选:A. .

【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件 概率计算公式的合理运用.

6. (5 分) (2016?大庆校级二模)若如图框图所给的程序运行结果为 S=41,则图 中的判断框(1)中应填入的是( )

A.i>6? B.i≤6? C.i>5? D.i<5? 【分析】模拟程序的运行,当 k=5 时,不满足判断框的条件,退出循环,从而到 结论. 【解答】解:模拟执行程序,可得 i=10,S=1 满足条件,执行循环体,第 1 次循环,S=11,K=9, 满足条件,执行循环体,第 2 次循环,S=20,K=8,
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满足条件,执行循环体,第 3 次循环,S=28,K=7, 满足条件,执行循环体,第 4 次循环,S=35,K=6, 满足条件,执行循环体,第 5 次循环,S=41,K=5, 此时 S 不满足输出结果,退出循环, 所以判断框中的条件为 k>5. 故选:C. 【点评】本题主要考查了循环结构,是当型循环,当满足条件,执行循环,同时 考查了推理能力,属于基础题.

7. (5 分) (2016 秋?南阳期末)已知三棱锥的俯视图与左视图如图所示,俯视图 是边长为 2 的正三角形, 左视图是有一条直角边为 2 的直角三角形, 则该三棱锥 的主视图可能为( )

A.

B.

C.

D.

【分析】由已知中的三视图,可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,即 可得出结论. 【解答】 解: 由已知中的三视图, 可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥, 其直观图如下所示:

从而该三棱锥的主视图可能为 故选 A.



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【点评】本题考查的知识点是三视图,解决本题的关键是得到该几何体的形状.

8. (5 分) (2016?郑州二模)将函数 f(x)=sin(2x﹣ 单位后得到函数 g(x) ,则 g(x)具有性质( A.最大值为 1,图象关于直线 x= B.在(0, C.在(﹣ 对称 )

)的图象向右平移



)上单调递减,为奇函数 , )上单调递增,为偶函数 ,0)对称

D.周期为 π,图象关于点(

【分析】有条件利用 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得 g(x)的解析式,再 利用正弦函数周期性、单调性,以及它的图象的对称性,得出结论. 【解答】解:将函数 f(x)=sin(2x﹣ 函数 g(x)=sin[2(x﹣ 当 x= )﹣ )的图象向右平移 个单位后得到

]=sin(2x﹣π)=﹣sin2x 的图象, 对称,

时,求得 g(x)=0,不是最值,故 g(x)的图象不关于直线 x=

故排除 A. 在(0, )上,2x∈(0, ) ,sin2x 单调递增,故 g(x)单调递减,且 g(x)

为奇函数, 故 B 满足条件,C 不满足条件. 当 x= 时,g(x)=﹣ ≠0,故 g(x)的图象不关于点( ,0)对称,

故选:B. 【点评】本题主要考查 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数周期性、单 调性,以及它的图象的对称性,属于基础题.

9. (5 分) (2015?鹰潭校级模拟)已知实数 x,y 满足

,若目标函数

z=﹣mx+y 的最大值为﹣2m+10,最小值为﹣2m﹣2,则实数 m 的取值范围是 ( )
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A.[﹣1,2]

B.[﹣2,1]

C.[2,3] D.[﹣1,3]

【分析】 作出不等式组对应的平面区域, 利用目标函数的几何意义, 由 z=﹣mx+y 的最大值为﹣2m+10,即当目标函数经过点(2,10)时,取得最大,当经过点 (2,﹣2)时,取得最小值,利用数形结合确定 m 的取值范围. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分 ABC) . 由目标函数 z=﹣mx+y 得 y=mx+z, 则直线的截距最大,z 最大,直线的截距最小,z 最小. ∵目标函数 z=﹣mx+y 的最大值为﹣2m+10,最小值为﹣2m﹣2, ∴当目标函数经过点(2,10)时,取得最大, 当经过点(2,﹣2)时,取得最小值, ∴目标函数 z=﹣mx+y 的目标函数的斜率 m 满足比 x+y=0 的斜率大, 比 2x﹣y+6=0 的斜率小, 即﹣1≤m≤2, 故选:A.

【点评】本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,确定目标函 数的斜率是解决本题的关键, 利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方 法.

10 . ( 5

分 ) ( 2016

秋 ? 南 阳 期 末 ) 已 知 函 数 ,则关于 x 的不等式 f(3x+1)+f(x)

>1 的解集为(


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A.

B.

C. (0,+∞) D. (﹣∞,0) +x)﹣2016﹣x,判断 g(x)的奇偶性及

【分析】设 g(x)=2016x+log2016(

其单调性,求出 g(﹣x)=﹣g(x) ,通过求 g′(x) ,并判断其符号可判断其单调 性,从而原不等式可变成,g(3x+1)>g(﹣x) ,而根据 g(x)的单调性即可得 到关于 x 的一元一次不等式,解该不等式即得原不等式的解集. 【解答】解:设 g(x)=2016x+log2016( g(﹣x)=2016﹣x﹣log2016( g′(x)=2016xln2016+ ∴g(x)在 R 上单调递增, ∴由 f(3x+1)+f(x)>1,得 g(3x+1)+2+g(x)+2>4. 则 g(3x+1)>g(﹣x) . ∴3x+1>﹣x, 解得 x>﹣ . ∴原不等式的解集为(﹣ ,+∞) . 故选:A. 【点评】本题考查对数的运算性质,考查奇函数的判断方法,训练了利用导数研 究函数的单调性,体现了数学转化思想方法,是中档题. +x)﹣2016﹣x,

+x)﹣2016x=﹣g(x) . +2016﹣xln2016>0;

11. (5 分) (2016?长春二模)过双曲线 x2﹣

=1 的右支上一点 P,分别向圆 C1:

(x+4)2+y2=4 和圆 C2: (x﹣4)2+y2=1 作切线,切点分别为 M,N,则|PM|2﹣ |PN|2 的最小值为( )

A.10 B.13 C.16 D.19 【分析】 求得两圆的圆心和半径, 设双曲线 x2﹣ =1 的左右焦点为 F1 (﹣4, 0) ,

F2(4,0) ,连接 PF1,PF2,F1M,F2N,运用勾股定理和双曲线的定义,结合三
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点共线时,距离之和取得最小值,计算即可得到所求值. 【解答】解:圆 C1: (x+4)2+y2=4 的圆心为(﹣4,0) ,半径为 r1=2; 圆 C2: (x﹣4)2+y2=1 的圆心为(4,0) ,半径为 r2=1, 设双曲线 x2﹣ =1 的左右焦点为 F1(﹣4,0) ,F2(4,0) ,

连接 PF1,PF2,F1M,F2N,可得 |PM|2﹣|PN|2=(|PF1|2﹣r12)﹣(|PF2|2﹣r22) =(|PF1|2﹣4)﹣(|PF2|2﹣1) =|PF1|2﹣|PF2|2﹣3=(|PF1|﹣|PF2|) (|PF1|+|PF2|)﹣3 =2a(|PF1|+|PF2|﹣3=2(|PF1|+|PF2|)﹣3≥2?2c﹣3=2?8﹣3=13. 当且仅当 P 为右顶点时,取得等号, 即最小值 13. 故选 B.

【点评】本题考查最值的求法,注意运用双曲线的定义和圆的方程,考查三点共 线的性质,以及运算能力,属于中档题.

12. (5 分) (2016 秋?南阳期末)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f'(x)﹣f(x) =x?ex,且 A.1 ,则 的最大值为( )

B.﹣ C.﹣1 D.0 ,根据题意求出 f(x)的解析式,即可得到

【分析】先构造函数,F(x)= =

,再根据基本不等式即可求出最大值.

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【解答】解:令 F(x)= 则 F(x)= x2+c, ∴f(x)=ex( x2+c) , ∵f(0)= , ∴c= , ∴f(x)=ex( x2+ ) , ∴ = ,

,则 F′(x)=

=x,

x>0,

=

=

≤1,



的最大值为 1,

故选:A. 【点评】 本题考查了导数和函数的关系以及函数的值域问题,关键是构造函数和 利用基本不等式求函数的值域,属于中档题.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. (5 分) (2014?湖南模拟)若命题“? x0∈R,x02+mx0+2m﹣3<0”为假命题, 则实数 m 的取值范围是 【分析】由于命题 P:“ … ”为假命题,可得¬P:

“? x∈R,x2+mx+2m﹣3≥0”为真命题,因此△≤0,解出即可. 【解答】解:∵命题 P:“ ”为假命题,

∴¬P:“? x∈R,x2+mx+2m﹣3≥0”为真命题,∴△≤0,即 m2﹣4(2m﹣3)≤ 0,解得 2≤m≤6. ∴实数 m 的取值范围是[2,6]. 故答案为:[2,6]. 【点评】本题考查了非命题、一元二次不等式恒成立与判别式的关系,属于基础
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题.

14. (5 分) (2016 秋?南阳期末)已知 式中 x﹣3 的系数为 ﹣160 .

,则二项式

的展开

【分析】求定积分得 a 的值,在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于﹣ 3,求出 r 的值,即可求得展开式中 x﹣3 的系数. 【解答】解: 则二项式 = =﹣cosx =2, ?(﹣2)r?x r,


的展开式的通项公式为 Tr+1=

令﹣r=﹣3,可得 r=3,故展开式中 x﹣3 的系数为 故答案为:﹣160.

?(﹣2)3=﹣160,

【点评】本题主要考查求定积分,二项式定理的应用,二项展开式的通项公式, 二项式系数的性质,属于基础题.

15. (5 分) (2016 秋?南阳期末)已知△ABC 中, BC 的中点,则 = .

,D 为边

【分析】利用数量积的性质和向量的平行四边形法则即可得出. 【解答】解:如图,

= ∴ ∴ ∴ = . .
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, .

=

=



故答案为:

【点评】本题考查了数量积的性质和向量的平行四边形法则,属于中档题.

16. (5 分) (2016 秋?南阳期末)在正三棱锥 V﹣ABC 内,有一个半球,其底面 与正三棱锥的底面重合,且与正三棱锥的三个侧面都相切,若半球的半径为 2, 则正三棱锥的体积的最小时,其底面边长为 .

【分析】 由于正三棱锥的侧面为全等的等腰三角形,故侧面与球的切点在棱锥的 斜高上, 利用等积法得出棱锥的高与棱锥底面边长的关系,得出棱锥的体积关于 高 h 的函数 V(h) ,利用导数与函数的最值得关系计算 V(h)的极小值点,然 后转化为底面边长得答案. 【解答】解:设△ABC 的中心为 O,取 AB 中点 D,连结 OD,VD,VO, 设 OD=a,VO=h,则 VD= AB=2AD=2 a. = .

过 O 作 OE⊥VD,则 OE=2, ∴S△VOD= OD?VO= VD?OE, ∴ah=2 ,整理得 a2= (h>2) .

∴V(h)= S△ABC?h= ×

×

a2h=

a2h=



∴V′(h)=4

×

=4

× .



令 V′(h)=0,得 h2﹣12=0,解得 h=2 当 2<h<2 ∴当 h=2 故答案为: 时,V′(h)<0,当 h>2 ,即 a= . ,也就是 AB=

时,V′(h)>0, 时,V(h)取得最小值.

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【点评】本题考查了球与外切多面体的关系,棱锥的体积计算,导数与函数的最 值,属于中档题.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验 算过程. 17. (10 分) (2016 秋?南阳期末)设 又 (1)证明:数列 . 为等差数列,并求数列{an}的通项公式; ,令 a1=1,an+1=f(an) ,

(2)求数列{bn}的前 n 项和. 【分析】 (1)由题意可得:an+1= .将其变形可得 ﹣ = ,由等差数

列的定义进而得到答案,进而求得数列{an}的通项公式; (2) 设 Sn 是数列{bn}的前 n 项和. 由 (1) 可得 bn=an?an+1=a2 ( 用“裂项求和”的方法求出答案即可. 【解答】解: (1)证明:∵an+1=f(an)= ∴ ∴ ∴ ﹣ = . , ﹣ ) . 利

是首项为 1,公差为 的等差数列, =1+(n﹣1) . ;
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整理得 an=

(2)bn=an?an+1=

?

=a2(



) . + . ﹣ +… ﹣ ) =a2

设数列{bn}的前 n 项和为 Tn, 则 Tn=a2 ( ﹣ ( ﹣ )=a2( ﹣ )=a2? . =

∴数列{bn}的前 n 项和为

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、“裂项 求和”,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

18. (12 分) (2016?贵阳校级模拟)已知△ABC 的面积为 S,且 ﹣ |=3.

?

=S,|

(Ⅰ)若 f(x)=2cos(ωx+B) (ω>0)的图象与直线 y=2 相邻两个交点间的最 短距离为 2,且 f( )=1,求△ABC 的面积 S; (Ⅱ)求 S+3 cosBcosC 的最大值.

【分析】 (Ⅰ)由条件利用余弦函数的图象特征求出 ω,可得 f(x)的解析式, 再根据 f( )=1 求得 B,再利用条件求得 A,从而△ABC 是直角三角形,从而 计算△ABC 的面积 S. (Ⅱ) 利用正弦定理求得△ABC 的外接圆半径 R, 再化减 S+3 (B﹣C) ,从而求得它的最大值. 【解答】解: (Ⅰ)∵f(x)=2cos(ωx+B) (ω>0)的图象与直线 y=2 相邻两个 交点间的最短距离为 T, ∴T=2,即: 又 ,解得 ω=π,故 f(x)=2cos(πx+B) . ,即: ,∵B 是△ABC 的内角,∴ , cosBcosC 为 3 cos

设△ABC 的三个内角的对边分别为 a,b,c, ∵ 解得 由已知 ,∴ , , ,从而△ABC 是直角三角形, 得, ,从而 , .

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(Ⅱ)由(Ⅰ)知

, = =2 ,解得 R= ,

设△ABC 的外接圆半径为 R,则 2R=

∴S+3 =3 故

cosBcosC= bcsinA+3 cosBcosC=3 的最大值为

cosBcosC=

bc+3

cosBcosC

sinBsinC+3

cos(B﹣C) , .

【点评】本题主要考查余弦函数的图象特征,正弦定理,两个向量的数量积的运 算,属于中档题.

19. (12 分) (2016?衡阳校级模拟)某校高三学生有两部分组成,应届生与复读 生共 2000 学生,期末考试数学成绩换算为 100 分的成绩如图所示,从高三的学 生中,利用分层抽样,抽取 100 名学生的成绩绘制成频率分布直方图: (1)若抽取的学生中,应届生与复读生的比为 9﹕1,确定高三应届生与复读生 的人数; (2)计算此次数学成绩的平均分; (3)若抽取的[80,90) ,[90,100]的学生中,应届生与复读生的比例关系也是 9﹕1,从抽取的[80,90) ,[90,100]两段的复读生中,选两人进行座谈,设抽 取的[80,90)的人数为随机变量 ξ,求 ξ 的分布列与期望值.

【分析】 (1)因为抽取的应届生与复读生的比为 9﹕1,求出应届生抽取 90 人, 复读生抽取 10 人,由此能确定确定高三应届生与复读生的人数. (2)由频率分布图中小矩形面积之和为 1,得 a=0.04,由此能求出此次数学成 绩的平均分. (3)根据频率分布直方图可知抽取的复读生的人数分别为 2,3 人抽取的[80, 90)的人数为随机变量 ξ,可知 ξ=0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出 ξ
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的分布列与期望值. 【解答】解: (1)∵抽取的应届生与复读生的比为 9﹕1, ∴应届生抽取 90 人,复读生抽取 10 人, 应届生的人数为 90×20=1800,复读生的人数为 2000﹣1800=200. (2)10×(0.01+a+0.02+0.03)=1,∴a=0.04, 平均分为 10×(0.01×65+0.04×75+0.02×85+0.03×95)=82 (3)根据频率分布直方图可知,抽取的[80,90) ,[90,100]的学生分别为 100 ×0.2=20,100×0.3=30, 抽取的复读生的人数分别为 2,3 人 抽取的[80,90)的人数为随机变量 ξ,可知 ξ=0,1,2, 可知 ,



, ∴ξ 的分布列为: ξ p ∴ . 0 1 2

【点评】 本题考查频率分布直方图的应用,考查离散型随机变量的分布列和数学 期望的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意排列组合知识的合理运用.

20. (12 分) (2016 秋?南阳期末)已知四棱锥 P﹣ABCD,底面 ABCD 是直角梯形, AD ∥ BC ,∠ BCD=90°, PA ⊥底面 ABCD ,△ ABM 是边长为 2 的等边三角形, . (Ⅰ)求证:平面 PAM⊥平面 PDM; (Ⅱ)若点 E 为 PC 中点,求二面角 P﹣MD﹣E 的余弦值.

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【分析】 (Ⅰ)证明 DM⊥AM.DM⊥PA,推出 DM⊥平面 PAM,即可证明平面 PAM⊥平面 PDM. (Ⅱ)以 D 为原点,DC 所在直线为 x 轴,DA 所在直线为 y 轴,过 D 且与 PA 平 行的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系 D﹣xyz,求出平面 PMD 的法向量,平面 MDE 的法向量,利用向量的 数量积求解二面角 P﹣MD﹣E 的余弦值. 【解答】解: (Ⅰ)证明:∵△ABM 是边长为 2 的等边三角形,底面 ABCD 是直 角梯形,∴ 又 ,

,∴CM=3,∴AD=3+1=4,∴AD2=DM2+AM2,∴DM⊥AM.

又 PA⊥底面 ABCD,∴DM⊥PA,∴DM⊥平面 PAM, ∵DM? 平面 PDM,∴平面 PAM⊥平面 PDM. (6 分) (Ⅱ)以 D 为原点,DC 所在直线为 x 轴,DA 所在直线为 y 轴, 过 D 且与 PA 平行的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系 D﹣xyz,





, ,



设平面 PMD 的法向量为 则 取 x1=3,∴ , . (8 分)

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∵E 为 PC 中点,则 设平面 MDE 的法向量为

, ,



,取 x2=3,∴

. (10 分)



. . (12 分)

∴二面角 P﹣MD﹣E 的余弦值为

【点评】本题考查二面角的平面镜的求法,平面与平面垂直的判定定理的应用, 考查空间想象能力以及计算能力.

21. (12 分) (2016?衡阳校级模拟)已知椭圆 C: 的上顶点与右顶点的直线 l, 与圆 x2+y2= 的焦点重合; (1)求椭圆 C 的方程;

+

=1(a>b>0) ,过椭圆

相切, 且椭圆 C 的右焦点与抛物线 y2=4x

(2)过点 O 作两条互相垂直的射线与椭圆 C 分别交于 A,B 两点,求△OAB 面 积的最小值. 【分析】 (1)写出过椭圆的上顶点与右顶点的直线方程,由的到直线的距离得到 关于 a,b 的等式,由抛物线方程求出焦点坐标,得到椭圆的半焦距长,结合隐 含条件联立可得 a,b 的值,则椭圆方程可求; (2)当两射线与坐标轴重合时,直接求出△OAB 面积,不重合时,设直线 AB 方程为 y=kx+m,与椭圆方程联立,结合 OA⊥OB 得到 k 与 m 的关系,进一步由 点到直线的距离得到 O 到 AB 的距离,再利用基本不等式求得 AB 的最小距离, 代入三角形面积公式求得最小值. 【解答】解: (1)过椭圆的上顶点与右顶点的直线 l 为 由直线与 相切,得 ,① ,即 bx+ay﹣ab=0,

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∵抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0) ,∴c=1. 即 a2﹣b2=1,代入①得 7a4﹣31a2+12=0, 即(7a2﹣3) (a2﹣4)=0,得 ∴b2=a2﹣1=3. 故椭圆 C 的方程为 ; ; (舍去) ,

(2)当两射线与坐标轴重合时,

当两射线不与坐标轴重合时,设直线 AB 的方程为 y=kx+m,A(x1,y1) ,B(x2, y2) , 与椭圆 联立消去 y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0.

. ∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0, ∴x1x2+(kx1+m) (kx2+m)=0. 即 把 整理得 7m2=12(k2+1) , ∴O 到直线 AB 的距离 ∵OA⊥OB,∴OA2+OB2=AB2≥2OA?OB, 当且仅当 OA=OB 时取“=”号. 由 d?AB=OA?OB,得 ∴ , . . .
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, 代入,得 ,



,即弦 AB 的长度的最小值是

∴三角形的最小面积为 综上,△OAB 面积的最小值为

【点评】 本题考查椭圆的简单性质, 考查了直线与圆、 圆与椭圆位置关系的应用, 考查推理论证能力与计算能力, 考查三角形面积最值的求法,体现了分类讨论的 数学思想方法,是压轴题.

22. (12 分) (2016 秋?南阳期末)已知 f(x)=xlnx+mx,且曲线 y=f(x)在点(1, f(1) )处的切线斜率为 1. (1)求实数 m 的值; (2)设 a 的取值范围; (3)已知 λ>0,在(2)的条件下,若不等式 立,求 λ 的取值范围. 【分析】 (1)求出原函数的导函数,得到 f′(1) ,由 f′(1)=1 求得 m 值; (2)求出函数 g(x)的导数,通过讨论 a 的范围,结合函数的单调性确定 a 的 具体范围即可; (3)求出 g(x) ,求其导函数,可得 lnx1=ax1,lnx2=ax2,原式等价于 ln < 恒成 在定义域内有两个不同的极值点 x1,x2,求

恒成立.令 t=

,t∈(0,1) ,则不等式 lnt<



t∈(0,1)上恒成立,令 h(t)=lnt﹣ 的范围即可. 【解答】解: (1)f′(x)=1+lnx+m, 由题意知,f′(1)=1,即:m+1=1,解得 m=0;

,根据函数的单调性求出 λ

(2)因为 g(x)在其定义域内有两个不同的极值点 x1,x2, 所以 g′(x)=f′(x)﹣ax﹣1=lnx﹣ax=0 有两个不同的根 x1,x2, 设 ω(x)=g′(x)=lnx﹣ax,则 φ′(x)= (x>0) ,

显然当 a≤0 时 ω′(x)>0,ω(x)单调递增,不符合题意,所以 a>0, 由 ω′(x)=0,得:x= ,

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当 0<x< 时,ω′(x)>0,ω(x)单调递增,当 x> 时,ω′(x)<0,ω(x) 单调递减, 所以 ω( )>0,从而得 0<a< ,…(5 分) 又当 x→0 时,ω(x)→﹣∞,所以 ω(x)在(0, )上有一根; ∵ >e,∴ > ,取 x= ,ω( )=﹣2lna﹣ , >0,r(a)在(0, )上单调递增, )上有一根;

设 r(a)=﹣2lna﹣ ,则 r′(a)=

r(a)<r( )=2﹣e<0,所以 ω(x)在( ,

综上可知,当 0<a< 时,g′(x)=0 有两个不同的根 所以 a 的取值范围为(0, ) . (3)∵e1+λ<x1?x2λ 等价于 1+λ<lnx1+λlnx2. g(x)=f(x)﹣ x2﹣x+a=xlnx﹣ x2﹣x+a, 由题意可知 x1,x2 分别是方程 g′(x)=0,即:lnx﹣ax=0 的两个根, 即 lnx1=ax1,lnx2=ax2. ∴原式等价于 1+λ<ax1+λax2=a(x1+λx2) , ∵λ>0,0<x1<x2,∴原式等价于 a> 又由 lnx1=ax1,lnx2=ax2. ,

作差得,ln

=a(x1﹣x2) ,即 a=



∴原式等价于





∵0<x1<x2,原式恒成立,即 ln



恒成立.

令 t=

,t∈(0,1) ,

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则不等式 lnt< 令 h(t)=lnt﹣

在 t∈(0,1)上恒成立. ,又 h′(t)= ,

当 λ2≥1 时,可得 t∈(0,1)时,h′(t)>0, ∴h(t)在 t∈(0,1)上单调增,又 h(1)=0, h(t)<0 在 t∈(0,1)恒成立,符合题意. 当 λ2<1 时,可得 t∈(0,λ2)时,h′(t)>0,t∈(λ2,1)时,h′(t)<0, ∴h(t)在 t∈(0,λ2)时单调增,在 t∈(λ2,1)时单调减,又 h(1)=0, ∴h(t)在 t∈(0,1)上不能恒小于 0,不符合题意,舍去. 综上所述,若不等式 e1+λ<x1?x2λ 恒成立,只须 λ2≥1, 又 λ>0,∴λ≥1. 【点评】 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查利用导数求函 数的极值, 考查数学转化思想方法, 训练了学生的灵活变形能力和应用求解能力, 属压轴题.

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参与本试卷答题和审题的老师有: cst; sxs123; lincy; 刘长柏; zlzhan; w3239003; lcb001;caoqz;maths;双曲线;沂蒙松;海燕;qiss;刘老师(排名不分先后) 菁优网 2017 年 4 月 3 日

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