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第二章 数列求和习题课 课件


习题课 数列求和
【课标要求】 1.熟练掌握等差、等比数列的求和公式. 2.掌握非等差、等比数列求和的几种方法. 【核心扫描】

1.等差数列,等比数列的求和公式.(重点)
2.根据情况选择合适的求和方法对数列求和.(难点)

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自学导引 等差、等比数列的前n项和公式

n?n-1? n?a1+an? 等差数列的前n项和公式Sn=na1+ 2 d,Sn= 2 . 等比数列的前n项和公式:

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1 1 1 1 试一试:形如 = - ;将 分解成两 n n?n+1? n+1 ?2n-1??2n+1? 项差的形式.

1 1 1 1 提示 = ( - ). 2 ?2n-1??2n+1? 2n-1 2n+1
想一想:推导等差数列及等比数列前n项和公式的过程,用 到怎样的求和方法?

提示 推导等差数列前n项和公式的方法为倒序相加法,用
错位相减法可推导等比数列的前n项和公式.

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名师点睛

数列求和的方法
一般数列求和要从数列的通项公式入手,即通过对通项公 式的形式进行化简变形,从而改变原数列的形式,将一个不能

直接求和的数列转化为等差数列、等比数列或一些常见数列,
从而达到求和的目的.具体的方法有: (1)直接由等差、等比数列的求和公式求和,注意等比数列 的q的值是否为1. (2)错位相减法:主要用于一个等差数列与一个等比数列对 应项相乘所得的数列的求和,即等比数列求和公式的推导过程 的推广.在写出“ Sn” 与“ qSn” 的表达式时应特别注意将两式 “错项对齐”,以便于下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.
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(3)分组转化法:把数列的每一项分成几项,使其转化为几个 等差、等比数列,再求和. (4)裂项相消法:把数列的每一项拆成两项之差求和,正负相 消剩下首尾若干项.如果数列的通项公式可转化为f(n+1)-f(n) 的形式,常采用裂项相消求和的方法.特别地,当数列形如 1 { },其中{an}是等差数列时,可尝试采用此法. anan+1 1 1 1 1 1 1 常用裂项技巧如: = ( - )、 = n?n+k? k n n+k n+k+ n k ( n+k- n)等. (5)倒序相加法:把数列正着写和倒着写再相加(即等差求和
公式的推导过程的推广).
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题型一 分组转化法求和 1 1 1 1 1 1 【例1】 求和:Sn=1+(1+ )+(1+ + )+(1+ + + ) 2 2 4 2 4 8 1 1 1 +?+(1+ + +?+ n-1). 2 4 2
[思路探索] 从通项入手考虑,属于分组转化法求和.

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被求和式的第k项为:

1k 1 -? ? 2 1 1 1 1 ak=1+ + +?+ k-1= =2(1- k). 2 4 1 2 2 1- 2 1 1 1 ∴Sn=2[(1- )+(1- 2)+?+(1- n)] 2 2 2 1 1 1 1 =2[n-( + 2+ 3+?+ n)] 2 2 2 2 1 1 ?1- n? 2 2 =2[n- ] 1 1- 2 1 =2[n-(1- n)] 2 1 =2n+ n-1-2. 2
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规律方法 当数列各项较复杂,先化简通项公式,将其分解

成等差数列或等比数列分别求和.

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1 1 1 1 【变式1】 求数列1 ,2 ,3 ,?,(n+ n ),?的前n项 2 4 8 2 和.

1 1 1 1 解 ∵Sn=1 +2 +3 +?+(n+ n), 2 4 8 2 1 1 1 1 ∴Sn=(1+2+3+?+n)+( + + +?+ n) 2 4 8 2 1 1n [1-? ? ] 2 2 1 = n(n+1)+ 2 1 1- 2 1 1n = n(n+1)-( ) +1. 2 2
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题型二 裂项相消法求和 【例2】 已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26.{an}的 前n项和为Sn. (1)求an及Sn; 1 (2)令bn= 2 (n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn. an -1
[思路探索 ] 设基本量求通项,前n项和Sn ,求bn的前 n项和 需用裂项相消法.

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解 (1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, 由于a3=7,a5+a7=26,所以a1+2d=7,2a1+10d=26, 解得a1=3,d=2. 由于an=a1+(n-1)d, n?a1+an? Sn= , 2 所以an=2n+1,Sn=n(n+2).

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(2)因为an=2n+1,所以an2-1=4n(n+1), 1 11 1 因此bn= = ( - ). 4n?n+1? 4 n n+1 故Tn=b1+b2+?+bn 1 1 1 1 1 1 = (1- + - +?+ - ) 4 2 2 3 n n+1 1 1 n = (1- )= , 4 n+1 4?n+1? n 所以数列{bn}的前n项和Tn= . 4?n+1?
规律方法 对形如an=f(n)-f(n-1)的数列,即数列的通项可 以拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而 求得其和.
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Sn 【变式2】 设数列{an}的前n项和为Sn,点(n, )(n∈N*)均在 n 函数y=3x-2的图象上. (1)求数列{an}的通项公式; 3 m (2)设bn= ,Tn是数列{bn}的前n项和,求使得Tn< 对所 20 anan+1 有n∈N*都成立的最小正整数m. Sn 解 (1)由点(n, )(n∈N*)均在函数y=3x-2的图象上,可知 n

Sn =3n-2,即Sn=3n2-2n. n 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]= 6n-5; 当n=1时,a1=S1=3×12-2×1=1=6×1-5. 所以an=6n-5(n∈N*).
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(2)由(1)得 3 3 1 1 1 bn= = = ( - ), 2 anan+1 ?6n-5?[6?n+1?-5] 6n-5 6n+1 1 1 1 1 1 1 1 故Tn=∑ i=1 bi= 2 [(1- 7 )+( 7 - 13 )+?+( 6n-5 - 6n+1 )]= 2 (1
n

1 - ). 6n+1 1 1 m 1 * 因此,使得 (1- )< (n∈N )成立的m必须且仅需满足 2 2 6n+1 20 m ≤ ,即m≥10,故满足要求的最小整数m为10. 20

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题型三 错位相减法求和

【例 3】 已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn ,对一切正整数 n ,点
(n,Sn)都在函数f(x)=2x+2-4的图象上. (1)求数列{an}的通项公式;

(2)设bn=an·log2an,求数列{bn}的前n项和Tn.
审题指导 本题借助函数表达出 Sn ,考查由 Sn 求 an 及bn 并用 错位相减法求和.

【解题流程】 由Sn求an → 求bn的通项 → 错位相减法求和

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【题后反思】 如果数列 {an} 是等差数列, {bn} 是等比数 列,求{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减法.

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【变式3】 设数列{an}满足a1+3a2+3 a3+?+3 ∈N*. (1)求数列{an}的通项; n (2)设bn= ,求数列{bn}的前n项和Sn. an
解 (1)∵a1+3a2+3 a3+?+3 ∴当n≥2时, a1+3a2+3 a3+?+3 ①-②得3
n-1 2 n-2 2 n-1

2

n-1

n an= ,n 3

n an= ,① 3

n-1 an-1= ,② 3

1 1 an= ,an= n. 3 3
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n (2)∵bn= , an ∴bn=n3n, ∴Sn=3+2×32+3×33+?+n3n,③ ∴3Sn=32+2×33+3×34+?+n3n+1.④ ④-③得 2Sn=n3n+1-(3+32+33+?+3n),
n 3 ? 1 - 3 ? n+1 即2Sn=n3 - , 1-3

?2n-1?3n+1 3 ∴Sn= + . 4 4
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方法技巧 转化思想在数列求和中的应用

对等差数列或等比数列的求和,可直接利用其前 n 项和公
式;非等差、等比数列的求和,常结合它们的通项公式的特 点.将其化简变形转化为等差或等比数列的求和. 2 2an 【示例】 已知数列{an}的首项a1= ,an+1= ,n= 3 an+1

1,2,?. 1 (1)证明:数列{ -1}是等比数列; an n (2)求数列{ }的前n项和Sn. an

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2an (1)证明 ∵an+1= , an+1 an+1 1 1 1 ∴ = = + ·, 2 2 an an+1 2an 1 1 1 1 ∴ -1= ( -1), 2 an a n +1 2 1 1 又a1= ,∴ -1= . 3 a1 2 1 1 1 ∴数列{ -1}是以 为首项, 为公比的等比数列. an 2 2

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(2)解

1 1n 由(1)知 -1=( ) , an 2

1 1 n n ∴ =1+ n,∴ =n+ n. an 2 an 2 1 2 3 n 设Tn= + 2+ 3+?+ n, 2 2 2 2 n-1 1 1 2 n 则 Tn= 2+ 3+?+ n + n+1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n ∴ Tn= + 2+ 3+?+ n- n+1 2 2 2 2 2 2

1 1 ?1- n? n+2 2 2 n 1 n = - n+1=1- n- n+1=1- n+1 1 2 2 2 2 1- 2
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n+2 ∴Tn=2- n . 2 1 又1+2+3+?+n= n(n+1). 2 n+2 n?n+1? n ∴数列{ }的前n项和Sn=2- n + . an 2 2
方法点评 数列问题通常借助构建等差数列或等比数列来解 决.把一般数列问题转化为两种基本数列问题是解决数列的一 种常用思想方法.

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