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高一数学10月月考试题15


温州中学 2016 学年第一学期高一 10 月份考试 数学试卷
(满分 100 分,考试时间:120 分钟) 第 I 卷(共 64 分) 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1.已知集合 M ? {1,2,3} , N ? {2,3,4} ,则下列式子正确的是( ▲ ) A. M ? N B. N ? M C. M ? N ? {2,3} D. M ? N ? {1,4}

2.计算
3 2

a2 a ? 3 a2
B. a

的结果 为( ▲ )
1 6 5 6 6 5

A. a

C. a

D. a

3.已知 lg 2 ? a , lg 3 ? b ,则 lg12 ? ( ▲ ) A. 2 ab ; B. a ? b ; C. 2a ? b ; D. 2a ? b

4.下列式子成立的是( ▲ )
2 A. 0.5 ? 1

B. 2
2

0 .5

?1

C. log2 0.5 ? 1

D. log0.5 2 ? 1

5.若 f ? 2x ? 1? ? x ? 2x ,则 f ? 2 ? 的值为( ▲ ) A. ?

3 4

B.

3 4

C. 0

D. 1

6.定义A-B= x x ? A, 且x ? B , 若A= ?1,2,4,6,8,10? , B= ?1, 4,8? ,则A-B=(▲ ) A.

?

?

?4,8?

B. ?1, 2,6,10?

C. ?1?

D.

?2,6,10?

7.下列四个函数中,在 (0,??) 上是增函数的是( ▲ ) A. f (x ) ? ?

1 2 . B. f (x ) ? x ? 3x x ?1

C. f (x ) ? 3 ? x D. f (x ) ? ? | x |

8.已知 f ( x) ? ( x ? m)( x ? n) ? 2 , 并且 ? , ? 是方程 f ( x) ? 0 的两根, 则实数 m, n, ? , ? 的大小关系 可能是( ▲ ) A. ? ? m ? n ? ? B. m ? ? ? ? ? n C. m ? ? ? n ? ? D. ? ? m ? ? ? n

1

9.定义运算: a ? b ? ?

?a, a ? b, x 则函数 f ? x ? ? 1? 2 的图象大致为( ▲ ) ? b, a ? b.

10.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0时, f ( x) ? 2 x ? 2x ? b (b为常数), 则 f (?1) =( ▲ ) A. 3 B. 1 C. -1 D. -3

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分)
0 ?1 11. ( ) ? 4 ? log 2

1 2

1 ? 8

. __ .

12.幂函数 f ( x ) 的图象过点 (3, 3) ,则 f ( x ) 的解析式是

13. 已知 log3 (2 x ?1) ? 1 ,则 x 的取值范围为______________. 14.若 2
a

b 15.已知函数 f ( x) 的定义域为 [ a, b] ,在同一坐标系下,函数 y ? f ( x) 的图像与直线 x ? 1 的交点个
数为 .

? 3b ? 36, 则 1 ? 1 的值为
a

.

16. 定 义 两 个 数 集 A 与 B 之 间 的 “ 距 离 ” 为 a ? b 的 最 小 值 , 其 中 a ? A, b ? B . 若

A ? ? y y ? 2 x ? 1, x ? R? , B ? ? y y ? x 2 ? 1, x ? R? ,则 A 与 B 的“距离”是
三、解答题(本大题共 5 小题,每题分别为 7 分+7 分+7 分+7 分+8 分) 17.(本题满分 7 分) 已知全集 U ? R ,集合 A ? {x | 2 ? x ? 9}, B ? ?x | ?2 ? x ? 5? . (1)求 A



B ; B (C U A) ;

(2)已知集合 C ? {x | a ? x ? a ? 2}, 若 C ? CU B ,求实数 a 的取值范围.

18. (本题满分 7 分)求函数 y ? log2 (? x ? 4 x) 的定义域,值域,单调递增区间.
2

2

19.( 本题满分 7 分)已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 ( a, b 为实数, a ? 0 , x ? R ) . (1)当函数 f ( x) 的图像过点 (?1, 0) ,且方程 f ( x) ? 0 有且只有一个根,求 f ( x) 的表达式; ( 2 ) 若 函 数 f ( x ) 为 偶 函 数 且 a ? 0 , 设 F ( x) ? ?

? f ( x) x ? 0, 当 m ? ?n ? 0 , 试 判 断 ?? f ( x) x ? 0,

F (m) ? F (n) 能否大于 0 ?

20.(本题满分 7 分) 已知函数 f ( x) ? x ?

1 . x

(1)利用定义证明:函数 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上为增函数; (2)当 x ? (0,1] 时, t ? f (2 ) ? 2 ? 1 恒成立,求实数 t 的取值范围.
x x

21.(本题满分 8 分)函数 f ? x ? 满足: f ?3x ? y ? ? 3 f ? x ? ? f ? y ? 对任意的 x, y ? R 均成立,且 当 x ? 0 时, f ? x ? ? 0 。 (1)求证: f ? 4x ? ? 4 f ? x ? ,

f ?3x ? ? 3 f ? x ? ;

(2)判断函数 f ? x ? 在 ? ??, ??? 上的单调性并证明.

3

温州中学 2016 学年第一学期高一 10 月份考试 数学参考答案 (考试时间:120 分钟,满分 100 分) 第 I 卷(共 64 分) 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 题号 答案 1 C 2 C 3 C 4 B 5 A 6 D 7 A 8 B 9 A 10 D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11. ?

7 4

12. y ?

x 13. (2, ??)

14.

1 2

15.0 或 1 16.0

三、解答题(本大题共 5 小题,每题分别为 7 分+7 分+7 分+7 分+8 分) 17. (本题满分 7 分) 已知全集 U ? R , 集合 A ? {x | 2 ? x ? 9}, B ?? x | ? 2 ? x ? 5 ? . (1)求

A B ; B (C U A) ;(2)已知集合 C ? {x | a ? x ? a ? 2}, 若 C ? CU B ,求实数 a 的取值范围.
解: (1)

A B ? {x | 2 ? x ? 5}

………. ……………………1 分 ………. ……………………2 分

C U A ? {x | x ? 2或x ? 9}

B (C U A) ? {x | x ? 5或x ? 9} ………. ……………………3 分
(2) CU B ? {x | x ? ?2或x ? 5} ,又 C ? CU B ………. ……..……4 分

a ? 2 ? ?2或a ? 5

………. …………. ………. ………6 分

? a的取值范围为(-?,-4) (5, ??) …………. ………. …7 分
18. (本题满分 7 分)求函数 y ? log2 (? x 2 ? 4 x) 的定义域,值域,单调递增区间。
2 解:由 ? x ? 4 x ? 0 ,得 0 ? x ? 4

即定义域为 x ? ?0,4? 。………. ……………………2 分 又 ? x ? 4x ? ?( x ? 2) ? 4 ? 4
2 2

即 y ? log2 4 ? 2 ,故值域为 y ? ?? ?,2? 。………. ……………………5 分 设 t ? ? x ? 4 x(0 ? t ? 4) ,
2

4

则当 x ? ?0,2?时, t 为增函数;

又 y ? log2 t (0 ? t ? 4) 也为增函数,

故函数的单调递增区间为 ?0,2? 。………. ……………………7 分

a ? 0 ,x ? R ) 19. (本题满分 7 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 ( a, b 为实数, . (1) 当函数 f ( x)
的图像过点 (?1, 0) ,且方程 f ( x) ? 0 有且只有一个根,求 f ( x) 的表达式; (2)若函数 f ( x) 为偶 函数且 a ? 0 ,设 F ( x) ? ?

? f ( x) x ? 0, 当 m ? ?n ? 0 ,试判断 F (m) ? F (n) 能否大于 0 ? ?? f ( x) x ? 0,

解: (1)因为 f (?1) ? 0 ,所以 a ? b ? 1 ? 0 . 因为方程 f ( x) ? 0 有且只有一个根,所以 ? ? b ? 4a ? 0 .
2

2 所以 b ? 4(b ?1) ? 0 . 即 b ? 2 , a ? 1 .

所以 f ( x) ? ( x ? 1) .
2

……………………………………………………………4 分 所以 f ( x) ? ax ? 1 .
2

(2) f ( x) 为偶函数,所以 b ? 0 .
2 ? ?ax ? 1 x ? 0, 所以 F ( x) ? ? 2 ? ??ax ? 1 x ? 0.

因为 m ? ?n ? 0 .所以 m ? ?n . 此时 F (m) ? F (n) ? f (m) ? f (n) ? am ? 1 ? an ?1 ? a(m ? n ) ? 0 .
2 2 2 2

所以 F (m) ? F (n) ? 0 . 20. (本题满分 7 分) 已知函数 f ( x) ? x ?
x x

…………………………………………… 7 分

1 . (1)用定义证明:函数 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上为增函数; (2)当 x ? (0,1 ] x

时, t ? f (2 ) ? 2 ? 1 恒成立,求 实数 t 的取值范围。 (1)证明:任取 x1 , x2 ? (0, ??) ,且 x1 ? x2 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ?

1 1 1 1 ( x ? x )(1 ? x1 x2 ) ? ( x2 ? ) ? x1 ? x2 ? ? ? 1 2 x1 x2 x2 x1 x1 x2

∵ 0 ? x1 ? x2 ,∴ 1 ? x1 x2 ? 0, x1 x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0 ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

5

即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴函数 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上为增函数……………………………3 分 (2)∵ t (2 ?
x

1 t (2 x ? 1)(2 x ? 1) x ) ? 2 ? 1 ? ? 2x ?1 2x 2x

? x ? (0,1],?1 ? 2 x ? 2 ………………4 分
∴t ?

2x 2x 1 g ( x ) ? ? 1? x 恒成立,设 ,显然 g ( x) 在 (0.1] 上为增函数, x x 2 ?1 2 ?1 2 ?1
2 2 故 t 的取值范围是 [ ,?? ) …………………………………7 分 3, 3

g ( x) 的最大值为 g (1) ?

21、 (本题满分 8 分)函数 f ? x ? 满足: f ?3x ? y ? ? 3 f ? x ? ? f ? y ? 对任意的 x, y ? R 均成立,且 当 x ? 0 时, f ? x ? ? 0 。 ( 1 )求证: f ? 4x ? ? 4 f ? x ? , f ?3x ? ? 3 f ? x ? ; ( 2 )判断函数 f ? x ? 在

? ??, ??? 上的单调性并证明;
证明: (1)令y ? x, 则f ? 3x ? x ? ? 4 f ? x ? ....................2分 令x ? 0, y ? 0, 则f (0) ? 4 f (0),f (0) ? 0 令y ? 0,则f ? 3x ? ? 3 f ? x ? ....................4分

(2)判断f ( x)在 ? ??, ?? ? 上单调递减。 ....................5分 证明: f ? 3x ? y ? ? 3 f ? x ? ? f ( y ) ? f ? 3x ? y ? ? f ? 3x ? ? f ( y ) 令x1 ? 3x ? y, x2 ? 3x, y ? 0 对于定义R上任意的x1,x2,都有x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( y ) ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x)在 ? ??, ?? ? 上单调递减....................8分

6


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