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2016二轮复习立体几何专题复习(精简版)


题型一、求二面角平面角正余弦值 1、[2014· 安徽卷] 如图 1,四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,A1A⊥底面 ABCD,四边形 ABCD 为 梯形,AD∥BC,且 AD=2BC.过 A1,C,D 三点的平面记为 α,BB1 与 α 的交点为 Q.

图1 (1)证明:Q 为 BB1 的中点; (2)求此四棱柱被平面 α 所分成上下两部分的体积之比; (3)若 AA1=4,CD=2,梯形 ABCD 的面积为 6,求平面 α 与底面 ABCD 所成二面角的 大小. 2、 [2014· 四川卷] 三棱锥 ABCD 及其侧视图、 俯视图如图 2 所示. 设 M, N 分别为线段 AD, AB 的中点,P 为线段 BC 上的点,且 MN⊥NP. (1)证明:P 是线段 BC 的中点; (2)求二面角 A-NP-M 的余弦值.

图2 3、[2014· 山东卷] 如图 3 所示,在四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,底面 ABCD 是等腰梯形,∠ DAB=60° ,AB=2CD=2,M 是线段 AB 的中点.

图3 (1)求证:C1M∥平面 A1ADD1; (2)若 CD1 垂直于平面 ABCD 且 CD1= 3, 求平面 C1D1M 和平面 ABCD 所成的角(锐角) 的余弦值. 4、[2014· 辽宁卷] 如图 4 所示,△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直,且 AB=BC=BD=2, ∠ABC=∠DBC=120°,E,F 分别为 AC,DC 的中点. (1)求证:EF⊥BC;

(2)求二面角 EBFC 的正弦值.

图5 5、[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 如图 5,三棱柱 ABCA1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形,AB⊥B1C.

图5 (1)证明:AC=AB1; (2)若 AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角 A-A1B1-C1 的余弦值. 6、[2014· 浙江卷] 如图 6,在四棱锥 ABCDE 中,平面 ABC⊥平面 BCDE,∠CDE=∠BED =90°,AB=CD=2,DE=BE=1,AC= 2. (1)证明:DE⊥平面 ACD; (2)求二面角 B-AD-E 的大小.

图6 7、 [2014· 重庆卷]如图 7 所示, 四棱锥 PABCD 中, 底面是以 O 为中心的菱形, PO⊥底面 ABCD, π 1 AB=2,∠BAD= ,M 为 BC 上一点,且 BM= ,MP⊥AP. 3 2 (1)求 PO 的长; (2)求二面角 A-PM-C 的正弦值.

图7 8、 [2015· 四川卷] 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图 8 所示, 在正 方体中,设 BC 的中点为 M,GH 的中点为 N. (1)请将字母 F,G,H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由); (2)证明:直线 MN∥平面 BDH;

(3)求二面角 A-EG-M 的余弦值.

图9 9、[2015· 福建卷] 如图 9,在几何体 ABCDE 中,四边形 ABCD 是矩形,AB⊥平面 BEC, BE⊥EC,AB=BE=EC=2,G,F 分别是线段 BE,DC 的中点. (1)求证:GF∥平面 ADE; (2)求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值.

图9 10、[2015· 山东卷] 如图 10,在三棱台 DEFABC 中,AB=2DE,G,H 分别为 AC,BC 的中 点. (1)求证:BD∥平面 FGH; (2)若 CF⊥平面 ABC,AB⊥BC,CF=DE,∠BAC=45°,求平面 FGH 与平面 ACFD 所成的角(锐角)的大小.

图 10 π 11、[2015· 陕西卷] 如图 11(1)所示,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠BAD= ,AB=BC 2 =1,AD=2,E 是 AD 的中点,O 是 AC 与 BE 的交点.将△ABE 沿 BE 折起到△A1BE 的位 置,如图 11(2)所示. (1)证明:CD⊥平面 A1OC; (2)若平面 A1BE⊥平面 BCDE,求平面 A1BC 与平面 A1CD 夹角的余弦值.

12、 [2015· 浙江卷] 如图 12, 在三棱柱 ABCA1B1C1 中, ∠BAC=90°, AB=AC=2, A1A=4, A1 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点,D 是 B1C1 的中点. (1)证明:A1D⊥平面 A1BC; (2)求二面角 A1BDB1 的平面角的余弦值



图 16

π 13、 [2015· 重庆卷] 如图 13 所示, 三棱锥 PABC 中, PC⊥平面 ABC, PC=3, ∠ACB= .D, 2 E 分别为线段 AB,BC 上的点,且 CD=DE= 2,CE=2EB=2. (1)证明:DE⊥平面 PCD; (2)求二面角 A-PD-C 的余弦值.

图 13 π 14、 [2015· 重庆卷] 如图 14 所示, 三棱锥 PABC 中, PC⊥平面 ABC, PC=3, ∠ACB= .D, 2 E 分别为线段 AB,BC 上的点,且 CD=DE= 2,CE=2EB=2. (1)证明:DE⊥平面 PCD; (2)求二面角 A-PD-C 的余弦值.

图 18 题型二、线面夹角正余弦值 1、[2014· 陕西卷] 四面体 ABCD 及其三视图如图 14 所示,过棱 AB 的中点 E 作平行于 AD, BC 的平面分别交四面体的棱 BD,DC,CA 于点 F,G,H.

(1)证明:四边形 EFGH 是矩形; (2)求直线 AB 与平面 EFGH 夹角 θ 的正弦值.

图1 2、[2014· 福建卷] 在平面四边形 ABCD 中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD.将△ABD 沿 BD 折起,使得平面 ABD⊥平面 BCD,如图 15 所示. (1)求证:AB⊥CD; (2)若 M 为 AD 中点,求直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值.

图2 3、[2015· 四川卷] 如图 12 所示,四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形,它们所在的平面互相 垂直,动点 M 在线段 PQ 上,E,F 分别为 AB,BC 的中点.设异面直线 EM 和 AF 所成的 角为 θ,则 cosθ 的最大值为________.

图3 4、 [2015· 天津卷] 如图 14, 在四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中, 侧棱 A1A⊥底面 ABCD, AB⊥AC, AB=1,AC=AA1=2,AD=CD= 5,且点 M 和 N 分别为 B1C 和 D1D 的中点. (1)求证:MN∥平面 ABCD; (2)求二面角 D1ACB1 的正弦值; 1 (3)设 E 为棱 A1B1 上的点,若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为 ,求线段 A1E 3 的长.

图4 5、[2015· 全国卷Ⅰ] 如图 15,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面 ABCD 同一侧的两点,BE⊥平面 ABCD,DF⊥平面 ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.

图5 (1)证明:平面 AEC⊥平面 AFC; (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值. 题型三、线段定比分点等问题 1、[2014· 北京卷] 如图 13,正方形 AMDE 的边长为 2,B,C 分别为 AM,MD 的中点.在 五棱锥 PABCDE 中,F 为棱 PE 的中点,平面 ABF 与棱 PD,PC 分别交于点 G,H. (1)求证:AB∥FG; (2)若 PA⊥底面 ABCDE,且 PA=AE,求直线 BC 与平面 ABF 所成角的大小,并求线段 PH 的长.

图1 题型四、探究性存在性问题 1、[2014· 湖北卷] 如图 14,在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F,M,N 分别是 棱 AB, AD, A1B1, A1D1 的中点, 点 P, Q 分别在棱 DD1, BB1 上移动, 且 DP=BQ=λ(0<λ<2). (1)当 λ=1 时,证明:直线 BC1∥平面 EFPQ. (2)是否存在 λ,使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角?若存在,求出 λ 的 值;若不存在,说明理由.

图1 2、[2014· 江西卷] 如图 16,四棱锥 PABCD 中,ABCD 为矩形,平面 PAD⊥平面 ABCD.

图2

(1)求证:AB⊥PD. (2)若∠BPC=90°,PB= 2,PC=2,问 AB 为何值时,四棱锥 P-ABCD 的体积最大? 并求此时平面 BPC 与平面 DPC 夹角的余弦值. 3、 [2014· 天津卷] 如图 14 所示, 在四棱锥 PABCD 中, PA⊥底面 ABCD, AD⊥AB, AB∥DC, AD=DC=AP=2,AB=1,点 E 为棱 PC 的中点. (1)证明:BE⊥DC; (2)求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值; (3)若 F 为棱 PC 上一点,满足 BF⊥AC,求二面角 F-AB-P 的余弦值.

图3 4、[2015· 湖南卷] 如图 16,已知四棱台 ABCDA1B1C1D1 的上、下底面分别是边长为 3 和 6 的正方形,A1A=6,且 A1A⊥底面 ABCD,点 P,Q 分别在棱 DD1,BC 上. (1)若 P 是 DD1 的中点,证明:AB1⊥PQ; 3 (2)若 PQ∥平面 ABB1A1,二面角 PQDA 的余弦值为 ,求四面体 ADPQ 的体积. 7

图4 5、[2015· 湖北卷] 《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之 为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 如图 15,在阳马 PABCD 中,侧棱 PD⊥底面 ABCD,且 PD=CD,过棱 PC 的中点 E, 作 EF⊥PB 交 PB 于点 F,连接 DE,DF,BD,BE. (1)证明:PB⊥平面 DEF.试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角 (只需写出结论);若不是,说明理由. π DC (2)若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 ,求 的值. 3 BC

图5

6、[2015· 北京卷] 如图 15,在四棱锥 AEFCB 中,△AEF 为等边三角形,平面 AEF⊥平面 EFCB,EF∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O 为 EF 的中点. (1)求证:AO⊥BE; (2)求二面角 FAEB 的余弦值; (3)若 BE⊥平面 AOC,求 a 的值.

图6 7、[2015· 江苏卷] 如图 16,在四棱锥 PABCD 中,已知 PA⊥平面 ABCD,且四边形 ABCD π 为直角梯形,∠ABC=∠BAD= ,PA=AD=2,AB=BC=1. 2 (1)求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值; (2)点 Q 是线段 BP 上的动点,当直线 CQ 与 DP 所成的角最小时,求线段 BQ 的长.

图7 题型五、体积问题 1、 2014· 新课标全国卷Ⅱ] 如图 13, 四棱锥 PABCD 中, 底面 ABCD 为矩形, PA⊥平面 ABCD, E 为 PD 的中点. (1)证明:PB∥平面 AEC; (2)设二面角 DAEC 为 60°,AP=1,AD= 3,求三棱锥 EACD 的体积.

图1


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