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高二数学下学期开学初测试试题新人教A版


2015 年山东省枣庄市枣庄六中第二学期高二开学初测试题 数学试题
时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 )

z?
1.复数

3?i 1 ? i 的共轭复数 z ?
B. 1 ? 2 i C. 2 ? i D. 2 ? i

A. 1 ? 2 i

2.设 a 表示直线, ? , ? , ? 表示不同的平面,则下列命题中正确的是 A.若 a ? ? 且 a ? b ,则 b / /? C.若 a / /? 且 a / / ? ,则 ? / / ? 3.函数 y ? 3x ? sin x 的零点个数是 A.1 B.2 C .3 D.4 B.若 ? ? ? 且 ? ? ? ,则 ? / / ? D.若 ? // ? , ? // ? ,则 ? // ?

x2 y2 ? 2 ? 1(b ? 0) b 4.已知双曲线 2 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ,其一条渐近线方程


y ? x ,点 P( 3, y0 ) 在双曲线上.则 PF 1 ·PF 2 =
C .0 1 B.ab 有最小值4 2 D.a2+b2 有最小值 2 D.4

A.-12 B.-2 5.若正实数 a,b 满足 a+b=1,则 1 1 A.a+b有最大值 4 C. a+ b有最大值 2

6.命题“ ? x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是 A.a≥4 B.a≥5 C.a≤4 D.a≤5

7.如图所示的程序框图表示求算式“ 2 ? 3 ? 5 ? 9 ?17 ” 之值,则判断框内可以填入

-1-

A. k ? 10 ?

B. k ? 16 ?

C. k ? 22 ?

D. k ? 34 ?

8.车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 8 次试验,数据如 下: 10 20 30 40 50 60 70 80 零件数 x(个) 加工时间 y(min) 62 68 75 81 89 95 102 108 ^ ^ ^ ^ ^ 设回归方程为y=bx+a,则点(a,b)在直线 x+45y-10=0 的 A.左上方 B.右上方 9.下列四个命题中正确命题的个数是
2

C.左下方

D.右下方

2 (1)对于命题 p : ?x ? R, 使得x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ;

(2) m ? 3 是直线 (m ? 3) x ? m y ? 2 ? 0 与直线 m x ? 6 y ? 5 ? 0 互相垂直的充要条件; (3) 已知回归直线的斜率的值为 1. 23, 样本点的中心为 (4,5) , 则回归直线方程为 y =1. 23x +0.08

?

(4)若实数 A.1

x, y ???1, 1?

2 2 ,则满足 x ? y ? 1 的概率为 4 .

?

B.2

C.3

D.4

? 10.已知 a, b ? R ,若向量 m ? (2,12 ? 2a) 与向量 n ? (1, 2b) 共线,则 2a ? b ? a ? 5b 的

最大值为 A.6 B.4 C.3 D. 3

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 )

x2 ? y2 ? 1 11.双曲线 4 的焦点坐标是_____________。
1+i 12.若 i 是虚数单位,设 =a+(b+1)i(a,b∈R) ,则复数 z=a+bi 在复平面内对应的 2-i 点位于第 象限.

-2-

13. f ( x) ? x( x ? c) 在 x ? 1 处有极小值,则实数 c 为
2



2 1 14.已知 x>0,y>0, x + y ? 1 =2,则 2 x ? y 的最小值为



15. 在整数集 Z 中, 被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”, 记为

n ?k ? , ?k ? ? ?5 则

k ?

?,

k ? 0 、 1 、 2 、 3 、 4 ,则下列结论正确的是_____________ 。


2013 ??3?



Z ? ?0?

?1? ?2? ?3? ?4?
a ? b ??0?
” ”的原命题与逆命题都为真命题

③“整数 a 、 b 属于同一‘类’”的充要条件是“ ④命题“整数 a 、 b 满足

a ??1?



b ??3?

,则

a ? b ?? 4?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 3 3 16. (本小题满分 12 分)已知集合 A= {y|y=x2-2x+1,x∈[4,2]},B={x|x+m2≥1) ;命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,并且命题 p 是命题 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围. 17. (本小题满分 12 分)已函数 f(x)=|x+1|+|x-3|. (1)作出函数 y=f(x)的图象; (2)若对任意 x∈R,f(x)≥a2-3a 恒成立,求实数 a 的取值范围. 18. (本小题满分 12 分)户外运动已经成为一种时尚运动,某单位为了了解员工喜欢户外运 动是否与性别有关, 决定从本单位全体 650 人中采用分层抽样的办法抽取 50 人进行问卷调查, 得到了如下列联表: 喜欢户外运动 男性 女性 合计 10 50 不喜欢户外运动 5 合计

3 已知在这 50 人中随机抽取 1 人抽到喜欢户外运动的员工的概率是5. (1)请将上面的列联表补充完整; (2)求该公司男、女员工各多少名; (3)是否有 99.5%的把握认为喜欢户外运动与性别有关?并说明你的理由. 下面的临界值表仅供参考: P(K2≥k) k 参考公式:K2= 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

n(ad-bc)2 ,其中 n=a+b+c+d (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

19 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 顶 点 为 原 点 O 的 抛 物 线

C1 的 焦 点 F 与 椭 圆

C2 :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) C C a 2 b2 的右焦点重合, 1 与 2 在第一和第四象限的交点分别为 A、B.

-3-

C (1)若△AOB 是边长为 2 3 的正三角形, 求抛物线 1 的方程; C (2)若 AF ? OF ,求椭圆 2 的离心率 e ;
20. (本小题满分 13 分)设函数 f ( x) ? mx ? 2? | 2 x ? 1| . (1)若 m ? 2 ,解不等式 f ( x) ? 3 ; (2)若函数 f ( x ) 有最小值,求实数 m 的取值范围.

f ( x) ?
21. (本小题满分 14 分)已知函数 (1)若函数

1 3 x ? bx ? c ? b, c ? R ? 3

f ? x?

在点

?1, f ?1?? 处的切线方程为 y ? 2x ? 1 ,求 b, c 的值;
4 3 ,求 b 的取值范围.

? 0, 2 ? 内有唯一零点,求 c 的取值范围; (2)若 b ? 1 ,函数 f ( x) 在区间
(3)若对任意的

x1, x2 ???1,1?

,均有

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?

2015 年山东省枣庄市枣庄六中第二学期高二开学初测试题 数学试题参考答案 一、选择题 2 3 4 5 6 7 8 题号 1 D D C C B C B 答案 A 二、填空题 11. (? 5,0) , ( 5,0) 三、解答题 3 3 7 16.解:化简集合 A,由 y=x2-2x+1=(x-4)2+16, 12.四 13.1 14.3

9 A

10 A

15.①②③

3 7 7 7 ∵x∈[4,2],∴ymin=16,ymax=2.∴y∈[16,2],∴A={y|16≤y≤2}. 化简集合 B,由 x+m2≥1,∴x≥1-m2,B={x|x≥1-m2}. 7 3 3 ∵命题 p 是命题 q 的充分条件,∴A ? B.∴1-m2≤16,∴m≥4或 m≤-4. 3 3 ∴实数 m 的取值范围是(-∞,-4]∪[4,+∞) . 17.解: (1)①当 x≤-1 时,f(x)=-x-1-x+3=-2x+2; ②当-1<x<3 时,f(x)=x+1+3-x=4; ③当 x≥3 时,f(x)=x+1+x-3=2x-2. -2x+2,x≤-1 ? ? ∴f(x)=?4,-1<x<3 ? ?2x-2,x≥3 ∴y=f(x)的图象如图所示.
-4-

(2)由(1)知 f(x)的最小值为 4,由题意可知 a2-3a≤4, 即 a2-3a-4≤0,即(a-4) (a+1)≤0,解得-1≤a≤4. 故实数 a 的取值范围为[-1,4]. 3 18.解: (1)∵在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜欢户外运动的概率是5,∴喜欢户外运动 的男女员工共 30,其中,男员工 20 人,列联表补充如下: 喜欢户外运动 男性 女性 合计 20 10 30 不喜欢户外运动 5 15 20 合计 25 25 50

25 (2)该公司男员工人数为50×650=325,则女员工 325 人. (3)将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得 50×(20×15-10×5)2 K2= ≈8.333>7.879, 30×20×25×25 ∴有 99.5%的把握认为喜欢户外运动与性别有关. 19.解: (1)设椭圆的右焦点为 F (c, 0) ,依题意得抛物线的方程为 y ? 4cx
2

∵△ AOB 是边长为 2 3 的正三角形,∴点 A 的坐标是 (3, 3) , 代入抛物线的方程 y ? 4cx 解得
2

c?

1 2 4 ,故所求抛物线 C1 的方程为 y ? x

( 2 )∵ AF ? OF , ∴ 点 A 的横坐标是 c 代入椭圆方程解得

y??

b2 a , 即点 A 的坐标是

(c ,

b2 ) a

-5-

b4 ? 4c 2 , 即b 2 ? 2ac 2 2 2 2 2 y ? 4 cx a ∵ 点 A 在抛物线 上,∴ ,将 b ? a ? c 代入上式整理得:
c c ( )2 ? 2 ? ? 1 ? 0 a a ,
即 e ? 2e ? 1 ? 0 ,解得 e ? ?1 ? 2
2

C ∵ 0 ? e ? 1 ,故所求椭圆 2 的离心率 e ? 2 ? 1 。
20.解(Ⅰ) m ? 2 时, 当 当
f ( x) ? 2x ? 2 ? 2x ? 1



x≥ x?

1 1 3 ≤x≤ f ( x ) ≤ 3 2 x ? 2 ? 2 x ? 1 ≤ 3 2 时, 2; 可化为 ,解之得 2 1 1 x? f ( x ) ≤ 3 2 x ? 2 ? 1 ? 2 x ≤ 3 2 时, 2, 可化为 ,解之得

? 3? ? x x≤ ? 2? 综上可得,原不等式的解集为 ? .
1 ? (m ? 2) x ? 3, x≥ , ? ? 2 f ( x) ? mx ? 2 ? 2 x ? 1 ? ? ? (m ? 2) x ? 1, x ? 1 , ? ? 2 若函数 f ( x) 有最小值, (Ⅱ) 1 1 x? x≥ f ( x ) 2 时,函数 2 时,函数 f ( x) 递增, 则当 递减,当

?m ? 2≥0, ? m ? 2≤0, ∴? 即 ?2≤m≤2 ,即实数 m 的取值范围是 [?2, 2] .

21.解: (1)

f ' ? x ? ? x2 ? b

,所以

f ' ?1? ? 1 ? b ? 2

,得 b ? ?1 .

1 5 ?b?c ? 3 c? 3. 又 f (1) ? 2 ? 1 ? 3 ,所以 3 ,得 f ? x? ? 1 3 x ?x?c ' 2 3 , f ( x) ? x ? 1

(2)因为 b ? 1 所以 当

x ? ? 0,1?

x ? ?1, 2? 时, f ' ( x) ? 0 , 当 时, f ' ( x) ? 0

? 0,1? 上单调递减,在 ?1, 2? 上单调递增 所以 f ( x) 在


f ? 0? ? c ? f ? 2? ?

2 ?c f ? x? ? 0, 2 ? 内有唯一零点等价于 3 ,可知 在区间

-6-

? ? f ?0? ? 0 ? f ? 2? ? 0 f ?1? ? 0 ? 或? ,
c?


2 2 ? ?c?0 3或 3 .

(3)若对任意的

x1, x2 ???1,1?

,均有

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 4 3

4 3 ,等价于

f ? x?



??1,1?

M ?
上的最大值与最小值之差

(ⅰ) 当 b ? 0 时,在

??1,1? 上 f ' ( x) ? 0 , f ? x ? 在 ??1,1? 上单调递增,
2 4 1 ? 2b ? b?? 3, 3 3 ,得



M ? f ?1? ? f ? ?1? ?

1 ? ?b?0 所以 3
(ⅱ)当 b ? 0 时,由 f ' ( x) ? 0 得 x ? ? b

x
f ' ( x)
f ( x)


(??,? b )
+ 递增

? b
0 极大值

(? b , b ) 递减 0

b

( b ,+ ? ) + 递增

极小 值

? ?得x?2 b或x?? b f ?2 b ? ? f ?? b ? f ? ?2 b ? ? f ? b ? 所以 ,同理
f ? x? ? f ? b
1) 当 b ? 1 ,即 b ? 1 时,
M ? f ? ?1? ? f ?1? ? 2b ? 2 4 ? 3 3 ,与题设矛盾; 1 ? b ?1 4

2)



b ?1? 2 b
3









M? f ? b ?f

?

? ? b? ? ? 2 ? b? 3
0?b?

? 2b b ?

4 3

? b?

3

?

4 3 恒成立;

3) 当 2 b ? 1 ,即

1 2 4 M ? f ?1? ? f ? ?1? ? ? 2b ? 4 时, 3 3 恒成立;

-7-

? 1 ? ? ? ,1? 综上所述, b 的取值范围为 ? 3 ? .

-8-


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