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河北高考大题空间向量


15(18)如图, ,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面 ABCD 同一侧 的两点,BE⊥平面 ABCD,DF⊥平面 ABCD,BE=2DF,AE⊥EC。 (1)证明:平面 AEC⊥平面 AFC (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值

14(19). (本小题满分 12 分)如图三棱锥 ABC ? A1B1C1 中, 侧面 BB1C1C 为菱形, AB ? B1C . (I)证明: AC ? AB1 ; (Ⅱ)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60o ,AB=Bc,求二面角 A ? A 1B 1 ? C1 的余弦值.

13

18.(本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60° . (Ⅰ)证明 AB⊥A1C; (Ⅱ)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B,AB=CB=2,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦 值。

1219. (本小题满分 12 分) 如 图 , 直 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , AC ? BC ?

1 AA1 , D 是 棱 AA 1 的中点, 2

DC1 ? BD .
(Ⅰ)证明: DC1 ? BC ; (Ⅱ)求二面角 A1 ? BD ? C1 的大小.

C1 A1

B1

D

C
A

B

14 答案 19. 【解析】 :(Ⅰ)连结 BC1 ,交 B1C 于 O,连结 AO.因为侧面 BB1C1C 为菱形,所以

B1C ? BC1 ?,且 O 为 B1C 与 BC1 的中点.又 AB ? B1C ,所以 B1C ? 平面 ABO ,故

B1C ? AO ?又 B1O ? CO ,故 AC ? AB1

………6 分

(Ⅱ)因为 AC ? AB1 且 O 为 B1C 的中点,所以 AO=CO? 又因为 AB=BC?,所以

?BOA ? ?BOC
故 OA⊥OB?,从而 OA,OB, OB1 两两互相垂直. 以 O 为坐标原点,OB 的方向为 x 轴正方向,OB 为单位长, 建立如图所示空间直角坐标系 O- xyz . 因为 ?CBB1 ? 600 , 所以 ?CBB1 为等边三角形.又 AB=BC?,则

? ? ? 3? 3 ? 3 ? , B ?1, 0, 0 ? , B1 ? 0, , A? ? 0, 0, 3 ? ? ? 3 ,0? ? C? ? 0, ? 3 , 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ? 3 3 ? ???? 3 ? ????? ??? 3 ? , A1 B1 ? AB ? ? 1, 0, ? AB1 ? ? 0, , ? , B C ? BC ? ? 1, ? ,0? ? ? ? 1 1 ? 3 ? ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 设 n ? ? x, y , z ? 是平面的法向量,则

? 3 3 ? ???? y? z?0 ? ? ? ?n?AB1 ? 0 ? 3 3 ,即 ? 所以可取 n ? 1, 3, 3 ? ? ? ???? ? ?x ? 3 z ? 0 ?n?A1 B1 ? 0 ? 3 ? ?? ???? ? ?? ?? ? ?m?A1 B1 ? 0 设 m 是平面的法向量,则 ? ? ????? ,同理可取 m ? 1, ? 3, 3 ? ?n?B1C1 ? 0 ? ?? ? ?? n?m 1 1 则 cos n, m ? ? ?? ? ,所以二面角 A ? A1 B1 ? C1 的余弦值为 . 7 n ?m 7

?

?

?

?

13
18. 【解析】(Ⅰ)取AB中点E,连结CE, A1 B , A1 E ,

∵AB= AA1 , ?BAA1 = 60 ,∴ ?BAA1 是正三角形,
0

∴ A1 E ⊥AB,

∵CA=CB,

∴CE⊥AB,

∵ CE ? A1 E =E,∴AB⊥面 CEA1 ,

∴AB⊥ A1C ;

……6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 EC⊥AB, EA1 ⊥AB, 又∵面 ABC⊥面 ABB1 A1 ,面 ABC∩面 ABB1 A1 =AB, ∴EC⊥面 ABB1 A1 ,∴EC⊥ EA1 , ∴EA,EC, EA1 两两相互垂直,以 E 为坐标原点, EA 的方向为 x 轴正方向,| EA |为单位长度, 建立如图所示空间直角坐标系 O ? xyz , 有 题 设 知 A(1,0,0),

??? ?

??? ?

A1 (0,

3 ,0),C(0,0,

??? ? 3 ),B( - 1,0,0), 则 BC = ( 1,0 ,
……9 分

???? ???? ???? 3 ), BB1 = AA1 =(-1,0, 3 ), A1C =(0,- 3 , 3 ),
设 n = ( x, y, z ) 是平面 CBB1C1 的法向量,

??? ? ? ? n ? BC ?0 ? ? x ? 3z ? 0 则? ,即 ? ,可取 n =( 3 ,1,-1), ???? n ? BB ? 0 x ? 3 y ? 0 ? ? ? 1 ? ???? ???? n ? A1C 10 ???? ∴ cos n, A1C = , | n || A1C | 5
∴直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为

10 . 5

……12 分

12 (19) 【解析】 (1)在 Rt ?DAC 中, AD ? AC 得: ?ADC ? 45
?

? ? 同理: ?A 1DC1 ? 45 ? ?CDC 1 ? 90

得: DC1 ? DC , DC1 ? BD ? DC1 ? 面 BCD ? DC1 ? BC (2) DC1 ? BC, CC1 ? BC ? BC ? 面 ACC1 A 1 ? BC ? AC 取 A1B1 的中点 O ,过点 O 作 OH ? BD 于点 H ,连接 C1O, C1H

A1 C1? B1 C1 ? C1 O ? O H? B D ? 1C H ?

,面 A B 1 1 A 1B 1C1 ? 面 A 1BD ? C1O ? 面 A 1BD

H 与点 D 重合 B得:点 D

且 ?C1DO 是二面角 A1 ? BD ? C1 的平面角

设 AC ? a ,则 C1O ?

2a , C1D ? 2a ? 2C1O ? ?C1DO ? 30? 2
?

既二面角 A1 ? BD ? C1 的大小为 30


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