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指数函数图象及其应用_图文

x y=a

指数函数 图象及应用
y
江苏省灌南县第二中学 任老师

x

知识回顾
指数函数的定义: 函数

y ? a ( a ? 0 且 a ? 1)
x

叫做指数函数,其中x是自变量, 函数定义域是R。

请在同一坐标系中画出下列函数图象:
y ? 2
x

y ? 10

x

?1? y ? ? ? ?2?

x

? 1 ? y ? ? ? ? 10 ?

x

动手操作, 画出图像
? 1 ? y ? ? ? ? 10 ? x

? 1 ? y ? ? ? ? 2?

x

y ? 10

x

y?2

x

观察以上四个函数的图象,你发现了什么特征?有何异同?

复习: 指数函数的图象和性质
a>1 0<a<1
y 1 o 1 o R (0,+∞) (0,1)

图 象

y

x

x

(1)定义域: 性 (2)值域:
(3)过定点:

(4)单调性: 增函数 (4)单调性: 减函数 质 (5)奇偶性: 非奇非偶 (5)奇偶性:非奇非偶 (6)当x>0时,y>1. (6)当x>o时,0<y<1, 当x<0时,0<y<1. 当x<0时,y>1.

动手操作:
操作一、画出下列图形:

y ? 2

x

y ? 2

x ?1

y ? 2 ?1
x

问题1: y=f(x)与y=f(x+a)图象有什么关系?
a>0时向左平移a个单位;a<0时向右平移|a|个单位. 问题2: y=f(x)与y=f(x)+a图象有什么关系? a>0时向上平移a个单位;a<0时向下平移|a|个单位.

例1:函数 y ? a ___________ (4,6)

x?4

? 5 ( a ? 0 , a ? 1)恒过定点

变式训练1:函数 y ? a ___________ (-4,6)

? x?4

? 5( a ? 0, a ? 1) 恒过定点

变式训练2:把函数y=f(x)图象向右、向下分别平移3个单 x x?3 位后得到 y ? 2 的图象,则f(x) =___________ 3 y ? 2 ?

例2
y ? a ? 1 ? b ( a ? 0 , a ? 1) 图象过一、三、四象限,
x

求a,b 的取值范围。 a>1,b>2

变式训练:0<a<1,-1<b<0,则 限? 第三象限

y ? a ? b 一定不在第几象
x

动手操作:
操作二、画出下列图形:
?x

思考:图象对称的本质是什么?

y ? 2

x

y ? 2

y ? ?2

x

y ? ?2

?x

问题1: y=f(x)与y=f(-x)图象有什么关系? y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称. 问题2: y=f(x)与y=-f(x)图象有什么关系?

y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称. 问题3 : y=f(x)与y=-f(-x) 的图象有什么关系? y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称. 注意:偶函数的关于y轴对称与奇函数的关于原点对 称与上面的对称是一样的吗?有什么区别吗?

动手操作:
操作三、画出下列图形:

y ? 2

x

y ? 2

x

y ? 2 ?1
x

问题1:已知 y=f(x)的图象,如何画出y=f(|x|)的图象?
? f ( x ), ( x ? 0 ) f (| x |) ? ? ? f ( ? x ), ( x ? 0 )
? f ( x ), f ( x ) ? 0; y ? f (x) ? ? ? ? f ( x ), f ( x ) ? 0 .

保留y轴右侧部分,把y轴右侧部 分翻到左边,原左侧部分去掉。

问题2:已知 y=f(x)的图象,如何画出y=|f(x)|图象?
保留x轴上侧部分,把x轴下侧部分 翻到x轴上侧,原下侧部分去掉。

探究:函数 y ?| f (| x |) | 的图像如何得到?

例3:画出下列函数的图象,求值域,并求出单调区 间。
(1)

y ? ?2

? x ?1

(2)
x

?1? y ? ? ? ?1 ?2?

x

变式训练1:k为何值时, 点?有一个交点?有两个交点?

?1? y ? ? ? ?1 与y ? k ?2?

没有交

当K<0时,没有交点;当k=0或k ? 1时,有一个 交点;当 0 ? k ? 1 时,有两个交点。

变式训练2:若直线 y ? 2 a 与函数 两个公共点,求a的取值范围。
0? a ? 1 2

y ? a ? 1 ( a ? 0 , a ? 1)
x

的图象有

课堂小结:对于有些复合函数的图象,则常用基本函数图象+ 变换方法作出:即把我们熟知的基本函数图象,通过平移、作 其对称图等方法,得到我们所要求作的复合函数的图象,这种 方法我们遇到的有以下几种形式:

函 数 y=f(x+a)
y=f(x)+a y=f(-x) y=-f(x) y=-f(-x) y=f(|x|) y=|f(x)|

y=f(x) a>0时向左平移a个单位;a<0时向右平移|a|个单位. a>0时向上平移a个单位;a<0时向下平移|a|个单位. y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称. y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称. y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称.
? f ( x ), ( x ? 0 ) f (| x |) ? ? ? f ( ? x ), ( x ? 0 )
? f ( x ), f ( x ) ? 0; y ? f (x) ? ? ? ? f ( x ), f ( x ) ? 0 .

巩固练习
(1) y ? 2 值范围。
? x ?1

?m

图象不过第一象限,求m取

? m 的图象与 x轴有公共 (2)y ? 2 点,求m取值范围。
(3)函数 y ? 3 x ? 1 的定义域为[a,b], 值域为[2a,2b],求a+b.

? x ?1


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