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2015年高三数学,最新最全的应用题汇编(部分有解析)


函数模型及其应用/应用题的解法/高中数学“函数的应用”教学研究/函数与方程教学的核心是什么?/学 生学习中常见的错误分析与解决策略

函数模型及其应用 1、若在 xg 浓度为 a % 的盐水中,加入 yg 浓度为 b % 的盐水后,浓度变为 c % ,则 x 与 y 的函数关系为
________ 2、有一座抛物线形拱桥,当水面宽为 4 米时,拱顶离水面 2 米,若水位下降 1 米后,水面宽为________ 米 3、某林场原有森林木材存量为 a ,木材的年增长率为 r ,每年冬天要砍伐的木材量为 b ,从春天算起, x 年后该林场的木材占有量 y 为_________

?例题剖析
例 1、 某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为 200 万元, 生产每台计算机的可变成本为 3000 元,每台计算机的售价为 5000 元,分别写出总成本 C (万元) 、单位成本 P (万元) 、销售收入 R (万元)以及利润 L (万元)关于总产量 x (台)的函数关系式。

例 2、物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是 T0 ,经过一定时间 t 后

1 的温度是 T , 则 T ? Ta ? (T0 ? Ta ) ? ( ) h , 其中 Ta 表示环境温度,h 称为半衰期。 现有一杯用 88 ?C 2 热水冲的速溶咖啡, 放在 24 ?C 的房间中, 如果咖啡降温到 40 ?C 需要 20 min , 那么降温到 35 ?C 时, 需要多长时间(如果精确到 0.1 )? 例 3、在经济学中,函数 f ( x) 的边际函数 Mf ( x) 定义为 Mf ( x) ? f ( x ? 1) ? f ( x) 。某公司每月最多生产 100 台报警系统装置,生产 x 台 ( x ? N ? ) 的收入函数为 R( x) ? 3000x ? 20x 2 (单位:元) ,其成 本函数为 C ( x) ? 500x ? 4000(单位:元) ,利润是收入与成本之差。 (1)求利润函数 P ( x) 及边际利润函数 MP( x) ; (2)利润函数 P ( x) 与边际利润函数 MP( x) 是否具有相同的最大值?

t

?巩固练习
1、一种新型电子产品投产,计划两年后使成本降低 36 % ,那么平均每年应降低成本_______ 2、某服装厂生产某种大意,月销售量 x (件)与单价 p (元/件)之间的关系式为 p ? 160? 2 x ,生产 x 件的成本为 500 ? 30 x ,则该厂月产量在__________时,月获利不少于 1300 元。 3、某公司 1995 年利润 1200 万元,如果利润的增长率是 1.25 % ,问哪一年该公司利润将超过 1400 万元?

?课堂小结
解应用题的步骤: 1、阅读理解题意认真审题,概括出数学实质,分析已知什么,求什么,将实际问题函数化 2、引进数学符号,建立数学模型,建立函数关系式 3、利用函数知识对数学模型予以解答 4、转译成具体问题作答 注意点:设变量,注意单位,注意实际问题的定义域,注意作答。 班级:高一( )班 姓名__________ 一、基础题 1、某旅游公司有客房 300 间,每间日房租 20 元,每天都客满,公司欲提高档次,并提高租金,如果每间 客房每日增加 2 元,客房出租数就会减少 10 间,若不考虑其他因素, 公司将房间租金提高到多少时,每
-1-

天客房的租金总收入最高?

二、提高题 2、一种放射性元素,最初的质量为 500g ,按每年 10 % 衰减。 (1)求 t 年后,这种放射性元素质量 w 的表达式; (2)由求出的函数表达式,求这种放射性元素的半衰期(精确到 0.1 ) 。 三、能力题 3、某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的 300 天内,西红柿市场售价与上市时 间的关系用图一的一条折线表示;西 红柿的种植成本与上市时间的关系用 图二的抛物线段表示。 ( 1 )写出图一表示的市场售价 与时间的函数关系式 P ? f (t ) ;写出 图二表示的种植成本与时间的函数关 系式 Q ? g (t ) ; ( 2 )认定市场售价减去种植成 本为纯收益,问何时上市的西红 柿收益最大? (注:市场售价和种植成本的单位:元/ 102 kg ,时间单位:天)

函数与方程、函数模型熟练掌握函数零点的求法,会用二分法解简单函数问题,并会构建函 数模型解决相关问题。
1、零点的概念以及相关结论 2、二分法 3、根的分布 4、课前训练 ⑴ 、 一 元 二 次 方 程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的 实 数 根 就 是 二 次 函 数 的 _______ , 也 就 是 函 数 图 象 ____________________。
2

⑵、如果二次函数 y ? f ( x) 对于实数 m, n, m ? n 有__________,那么存在 x0 ? (m, n) ,使得 f ( x0 ) ? 0 。 ⑶、如果函数 y ? f ( x) 在区间 [ a, b] 上的图象是_____________的一条曲线,并且有_____________,那么 函数 y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 内有零点。 ⑷、用二分法求函数零点近似值的步骤: ①、确定区间 [ a, b] ,验证 f (a) ? f (b) ? 0 ,给定精确度 ? 。 ②、求区间 ( a, b) 的中点 x1 。 ③、计算 f ( x1 ) 。 (i)若___________________,则 x1 就是函数的零点; (ii)若__________________,则令 b ? x1 ; (iii)若_________________,则令 a ? x1 。
-2-

④、判断是否达到精确度 ? , 即若__________________,则得到零点的近似值 a(或 b ) ;否则重复②~④。 ⑸、当 0 ? a ? 1 时,方程 a x ? loga x 有________个解。 ⑹、某学生在期中考试中数学、英语两门一好一差,为了在后半学期的月考及期末两次考试中提高英语成 绩,他决定重点复习英语,结果两次考试英语成绩每次提高了 10 % ,但数学成绩每次却下降了 10 % , 这时恰好两门都得 m 分,这个学生这两门的总成绩期末比期中是( ) A、提高了 B、降低了 C、未提未降 D、是否提高与 m 的值有关

?例题剖析
例 1、已知实数 x1 , x 2 满足 x1 ? 6x1 ? 2 ? 0 和 x2 ? 6x2 ? 2 ? 0 ,求: (1) x1 ? x2 (2) x1 ? x2 (3)
2 2

x1 x 2 ? x 2 x1
2

(4) x1 ? x2

3

3

例 2、⑴、当 m 取何值时,方程 7 x ? (m ? 13) x ? m ? m ? 2 ? 0 的一根大于 1 ,而另一根小于 1 。
2

⑵、当 m 取何值时,方程 7 x ? (m ? 13) x ? m ? m ? 2 ? 0 的两根都大于 1 ?
2 2

例 3、当且仅当实数 a 满足什么条件时,函数 y ? ax2 ? 2x ? 1 至少有一个零点在原点左侧?

例 4、求方程 x ? 3x ? 1 ? 0 的近似解(精确到 0.1 ) 。 一、基础题
3

1、已知方程 x ? 2 x ? m ? 0 在 (1,2) 上有根,则实数 m 的取值范围是________________。
2

2、已知 f ( x) ? ( x ? a)(x ? b) ? 2(a ? b) ,并且 ? , ? 是方程 f ( x) ? 0 的两个根,则实数 a, b, ? , ? 的大小 关系是____________________________。

2 3、若函数 y ? x ? (a ? 2) x ? 3, x ? [a, b]的图象关于直线 x ? 1 对称,则 b ? _________。

二、提高题 4、已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, ? 2 是它的一个零点,且在 (0,??) 上是增函数,则该函数有 ____________个零点,这几个零点的和等于______________。 5、某超市实行一次性购物优惠方案如下: (1)一次购物不超过 50 元的不优惠; (2)一次购物超过 50 元不超过 200 元的部分按九折优惠; (3)依次购物超过 200 元的部分按八折优惠。 某人两次购物,第一次付 43 元,第二次付 209 .8 元,若该人将以上购物两次改为一次,则应付多少元?

6、已知镭经过 100 年剩留原来质量的 95.76% ,求镭的半衰期。 (保留到 1 年) (参考数据: lg 2 ? 0.3010, lg 9576? 3.9812) 三、能力题 7、已知函数 f ( x) ? kx ? (k ? 3) x ? 1 的图象与 x 轴在原点的右侧有交点,试确定实数 k 的取值范围。
2

-3-

8、已知 x 的不等式 4x ? x 2 ? ax 的解区间是 (0,2) ,求 a 的值。

第 28 课时 应用题的解法
★ 高考趋势★
应用题历来为高考的常考题型之一,多以函数、导数、数列、不等式、三角等为载体,旨在考查学生所学 数学知识在实际问题中的应用能力,同时也考查了学生分析、探究、转化、运算等诸多方面的能力。



基础再现

1、有一根长为 6cm,底面半径为 0.5cm 的圆柱型铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕 4 圈,并使铁丝的两个 端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的长度最少为 cm. 2、某商品进货单价为 40 元,若按 50 元一个销售,则能卖出 50 个;若销售单价每涨 1 元,则销售量就减 少一个。为了获得最大利润,则该商品的最佳售价为 元. 3、汽车在隧道内行驶时,安全车距 d ( m) 正比于车速 v(km / h) 的平方与车身长(m)的积,且安全车距不 得小于半个身长,假设车身长约为 4m,车速为 60km/h,安全车距为 1.44 个车身长.写出 d 与 v 之间的函 数关系式: 4、如图,一份印刷品的排版面积(矩形)为 A,它的两边都留有宽为 a 的空白,顶部和底部都留有宽为 b 的空白.如何选择纸张的尺寸,才能使纸的用量最少? b
?

a

a y 6cm

l

5、如图,将矩形纸片的右下角折起,使得该角的顶点 落在矩形的左边上,那么 l 的长度取决于角 ? 的大小. 探求 l , ? 之间的关系式,并导出用 ? 表示 l 的函数关系式.

b x

6、如图,一条直角走廊宽 1.5m,现有一平板车,平板车 面为一长 2.2m,宽为 1m 的矩形,试问平板车能否通过 直角走廊?并说明理由。



范例剖析

?

例 1 如图所示:一吊灯的下圆环直径为 4m,圆心为 O,通过细绳悬挂 在天花板上,圆环呈水平状态,并且与天花板的距离 (即OB) 为 2m,在圆环上设置三个等分点 A1,A2, A3。点 C 为 OB 上一点(不包含端点 O、B) ,同时点 C 与点 A1,A2,A3,B 均用细绳相连接,且细绳 CA1, CA2,CA3 的长度相等。设细绳的总长为 y m。 (1)设∠CA1O = ? (rad),将 y 表示成 θ 的函数关系式; (2)请你设计 ? ,当角θ 正弦值的大小是多少时,细绳总长 y 最小,并指明此时 BC 应为多长。

B C A3 A1
-4-

O A2

变式: 某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的顶点 A,B,及 CD 的中点 P 处,已知 AB ? 20 km, CD ? 10km , 为了处理三家工厂的污水,现要在矩形 ABCD 的区域上(含边界),且 A,B 与等距离的一点 O 处建造一个污 水处理厂,并铺设排污管道 AO,BO,OP,设排污管道的总长为 ykm. (1)按下列要求写出函数关系式: ①设 ?BAO ? ? (rad ) ,将 y 表示成 ? 的函数关系式; ②设 OP ? x(km) ,将 y 表示成 x 的函数关系式. (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置, 使三条排水管道总长度最短.

例2

一位救生员站在边长为 100 米的正方形游泳池 ABCD 的 A 处 (如图) , 发现 C 处有一位溺水者. 他

跑到 E 处后,马上跳水沿直线 EC 游到 C 处,已知救生员跑步的速度为米 v /分,游泳的速度为 分.试问,救生员选择在何处入水才能最快到达 C 处,所用的最短时间是多少?
A E

v 米/ 2

D

B

C

例 3 如图,某园林单位准备绿化一块直径为 BC 的半圆形空地,△ABC 外的地方种草,△ABC 的内接正方 形 PQRS 为一水池,其余的地方种花.若 BC=a,∠ABC= ? ,设△ABC 的面积为 S1,正方形的面积为 S2. (1)用 a, ? 表示 S1 和 S2; (2)当 a 固定, ? 变化时,求

S1 取最小值时的角 ? S2



作业

1、把一个物体放在两臂不等的天平的一个盘子上,在另一个盘子上放砝码使天平平衡,称得物体的质量
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为 a. 把物体调换到天平的另一个盘上,用同样的方法称得物体的质量为 b. 那么该物体的质量为 2、(山东省实验中学 2010 届高三第三次诊断性测试)买 4 斤苹果和 5 斤梨的价格之和不小于 20 元,而买 6 斤苹果和 3 斤梨的价格之和不大于 24 元,则买 3 斤苹果和 9 斤梨至少需要 元. 3、已知某海滨浴场的海浪高度 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单位小时)的函数,记作 y=f(t),下表是某日 各时的浪高数据: t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.49 1 0.51 0.99 1.5 经长期观测 y=f(t)的曲线可近似地看成函数 y=Acosω t+b. (1)根据以上数据,求出函数 y=Acosω t+b 的最小正周期 T,振幅 A 及函数表达式; (2)依据规定,当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的上午 8: 00 至晚上 20:00 之间,有多少时间可供冲浪者进行运动.

4、为了保护环境,实现城市绿化,某房地产公司要在拆迁地长方形 ABCD 上规划出一块长方形地面建造 公园,公园一边落在 CD 上,但不得越过文物保护区 ?AEF 的 EF.问如何设计才能使公园占地面积最大, 并求这最大面积.( 其中 AB=200m,BC=160m,AE=60m,AF=40m.)

高中数学“函数的应用”教学研究
一、关于函数应用的深层理解 (一)对函数图象的深入理解 在函数图象上,定义域、值域、对应关系、单调性、奇偶性和周期性一览无遗.因此,快速准确地作出函数 图象成为学习函数的一项基本功,而读图也从“形”的角度成为解决函数问题及其他相关问题的一种重要 方法. 作函数图象最基本的方法是列表描点作图法. 引例:区别下面三个集合:

函数的图象: (二)谈谈数形结合思想 “数缺形时少直观,形缺数时难入微”——华罗庚 1.何时要用数形结合? 引例 1 不等式 的解集是________________.

引例 2 求方程 的解的个数. 2.运用数形结合需要注意什么? 引例 3 方程 在 内的解有() (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 引申:当 时,有 . 二、函数的应用教学建议 (一)如何有效运用函数的图象帮助我们分析解决问题,? 怎样做函数的图象 基本方法:列表描点作图法.
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常用的函数图象变换有: 1.平移变换 :将 的图象向上( 2.对称变换 :作 3.翻折变换 :将 的图象向左( )或向下( )或向右( )平移 )平移 个单位可得 :将

个单位可得. :作 关于 轴的对称图形可得.

关于 轴的对称图形可得.

的图象在 轴下方的部分沿 轴翻折到 轴的上方,其他部分不变即得. 轴对称,且当 . 时图象与 的图象重合.

:此偶函数的图象关于 例 1:做出下列函数的图象: (1) 答: ( 1 )将 ; (2) 的图象; (2)将 图象,再将 的图象.

的图象左移 1 个单位,得到函数

的图象左移 1 个单位,得到函数



的图象向下平移一个单位得到函数

例 2:作函数 的图象. 分析:方法一(描点法) 分析函数的性质,得定义域: 并且当 当 时, 时, ; ,所以 ; 轴对称; 是减函数; . ;值域: ,

与坐标轴的交点: 对称性:偶函数,关于 单调性:当 时,

用同样的方法可得 为函数的减区间; 为函数的增区间. 结合上面的分析,经过简单的描点作图可得如右图所示的函数图象. 方法一(函数图象变换法)

先作函数

的图象,再作

的图象,再作

的图象.如下图:

作函数图象之前,先对函数的性质作些研究是必要的,它可以简化作图过程.比如在明确本题函数为偶函数

-7-

之后,就只需做出 的图象了. 函数图象是函数规律的直接表现,函数性质对函数规律进行了理论上的刻画,两者之间是具体与抽象的两 方面,它们相互支撑,是学习、研究函数的两个入手点.

对于方法二,有些学生用这种方法易出现的错误是:先作函数

的图象,再作

的图象,再作

的图象.

在这个过程中,由

变到

时,误以为应遵循

变化到

的规律.事实上,

若 例 3:函数

,则 的部分图象是(

,变换得不到要得的函数图象. )

(A) (B) (C) (D) 分析:对于函数 所以 所以 , , 时, , ,

为奇函数,否定(A) (C)选项.又,当 ,且 C.

在原点右侧附近时值为负,否定(B)选项.于是选(D). ,那么下列结论中不可能成立的是() D. )

例 4:已知 , A. B. 以下为备用试题:

例 5:若 ,则函数 的图象一定不过( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 分析:将 依图象可知函数 例 6:已知 分析:先画 图象向下平移 个单位( ) ,

的图象一定不过第四象限.选 D. ,且 ,则 的大小关系为 . 的图象;最后将 轴下方的图象对称翻 的图象. . 时, 的图象如

的图象;然后将图象下移一个单位得到

折到 轴上方,原 轴上方的图象不变,就得到了 所以 在 是减函数,所以 是定义在 解集是 . 轴对称,补全函数 在 ,所以 上的偶函数,当

例 7:已知函数 图所示,那么不等式

分析:根据偶函数图象关于

上的图象.

解不等式 ,就是“找到”使得 的所有的 ,就是在函数 的图象上找到使得纵坐标小于或等于零的所有自变量.

-8-

根据补全的

图象,识图可得不等式

解集为

.

思考:如果问“不等式

解集是 .”该怎样利用已知函数的图象呢?

答: . 例 8: 在某种金属材料的耐高温实验中, 温度随着时间变化的情况由微机记录后 显示出的图象如图所示,给出下列说法: ①前 5 分钟温度增加的速度越来越快; ②前 5 分钟温度增加的速度越来越慢; ③5 分钟后温度保持匀速增加; ④5 分钟后温度保持不变. 其中说法正确的是 . 分析:5 分钟后温度保持不变,这一点通过图象易于判断. 前 5 分钟的情况,通过图象可以看到每分钟的变化率越来越小,于是变化速度是越来越慢的. 所以②④正确. 例 9:已知函数 证明:设 设 关于 是函数 的对称点为 , ,求证:函数 的图象关于点 的图象上任意一点,则 成中心对称图形. ( ) ,

根据中点坐标公式得 因为 而

解得 , ,所以

以下只需证明

也在函数

的图象上.

,即

在函数

的图象上.

所以函数 的图象关于点 成中心对称图形. (二)确定函数值域时需要注意什么 ? 什么是函数的值域? ? 求函数值域时的注意事项

例:设实数 满足 ,则 的最大值是() ( A) (B) (C) (D) 常见简单函数求值域的方法: 最大值与最小值是研究变量问题时常需要考虑的问题,也是高中数学中最重要的问题之一.函数的最大值、 最小值问题常与实际问题联系在一起. 函数的最值与值域在概念上是完全不同的,但对于一些简单函数,其求法是相通的. 例 2:求下列函数的最值. (1)求函数 (2)求函数 (3)求函数 (4)求函数 (5)求函数 的最大最小值; 的最大最小值; 的最大最小值; 的最小值; 的最小值.
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略解: (1)利用图象变换的知识作出函数 观察在区间 上函数值的取值情况, 得函数的最大值为 4,最小值为 1. (2)设 ,因为 ,所以

的图象(如右图) ,

, 的最大最小值问题. . .

于是,原函数最大最小值问题转化为求函数 用例 1 作图观察的方法,可得最大值为 ,最小值为 (3)解 设 由 由 , ,则 , ,可得 可得 , ,可得 . 的最大值为 可得 ,则 , ,可得 ,由 ,最小值为 . ,

,即函数的定义域为

所以,函数 (4)解 设 由 所以,函数

,即函数的定义域为 , ,可得

. ,

. 的最小值为 .

(5)因为 所以,函数

,所以 的最小值为 .

,当且仅当

,即

时等号成立.

(备用试题)例 3:求函数 分析:设 ,则 ,

的最大、最小值.

. 因为 , ,所以,只需分析 的符号. 在区间 内任意取值时 . ;

观察上式可知, 只有当 同时,只有当 所以,函数 在区间

时, 才能保证当 时,才能保证当 在区间

内任意取值时 上是增函数.

上是减函数,在区间 .

所以,函数的最小值为

- 10 -





,所以函数的最大值为

.

综上,函数的最大、最小值分别为 . 另外,本题更适合用导数研究函数的单调性,进而求函数的最大、最小值. 由已知, 注意到定义域为 ,可得 ,解 得 或 ,

的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .之后的解法同上. 请认真体会在知识要点中提到的求值域的方法在例 1 例 2 例 3 中的具体应用. 最简单也重要的是会利用基本函数的图象观察得到函数在特定区间的函数的值域,如例 1; 利用图象变换得到图象进而观察得到函数在特定区间的函数的值域,如例 2(1) ; “换元法” 求值域无非是通过换元, 将复合函数的值域问题变成两个基本初等函数的值域问题, 如例 2 (2) 、 (3 ) 、 (4) ; 例 3 通过讨论函数的单调性,进而求函数的最大最小值,这是解决函数最值问题的实质性方法.前面用到的 其他方法无非是我们知道函数的图象,可以观察函数的单调性,不需要自己讨论而已. 例 2(5)利用均值定理求函数的最值,可以解决一些解析式为特殊形式的函数最值问题.如 中 同号) ; 常数,求 的最值; 常数,求 的最值,等等. 求最小值应满足:① ; (其

用均值定理求最值要注意条件: “正” “定” “等”.如利用 ② 或 为定值;③ 可以成立.三个条件缺一不可. 的是( ) (C) 的值域为 ;因为 例 4:下列函数中值域为 ( A) (B)

(D) ;根据均值定理, ,所以值域为 ,则 的值为 . ,所以 ,所以 . . 的值域为 .选 D. ;

解:根据幂函数的图象, 的值域为 例 5:函数 解:当 当 在 时,函数 时,函数 或 .

上的最大值与最小值之差为 在 在

上是增函数,依题意 上是减函数,依题意

综上, 的值为 例 6:已知 解:因为 所以 因为 所以 ,所以

(其中 在 在 在 (注:因为 上恒成立. 上恒成立,

) ,且在区间



恒成立,求实数 的取值范围.

上恒成立. 应小于 在
- 11 -

上的最小值. )



,结合

,得 .

.

所以 的取值范围是 例 7:定义:如果对于函数 下界,下界 中的最大值叫做

定义域内的任意 ,都有 的下确界.现给出下列函数:



为常数) ,那么称







;②

③ 的值域为 ,有下确界. ,不存在

④ ,即

其中有下确界的函数是__________. ,所以下界 的集合为 , ,

略解:①因为函数 所以 中的最大值为

②因为函数 的值域为 所以这个函数没有下确界. ③因为函数 所以 的值域为

,使得对于函数

定义域内的任意 ,都有 的集合为 ,

,即

,所以下界

中的最大值为 ,有下确界.

④因为函数 所以,填①③④. 例 8:已知函数 (1)求 解: (1)当 当 的最大值 ,即 时,即

的值域为 , ; (2)当 时, 时, ,求 .

,所以

,同①,有下确界.

的最大值. ; ;

时, (2)当 时, ,当

.所以, 时, 的最大值为 ,

综上,当 , 的最大值为 . (三)函数与方程教学的核心是什么? 1.如果函数 函数与 轴的交点为 2.零点的判定 在实数 处的值等于零,即 是函数 ,则 叫做这个函数的零点. 一定在这个函数的函数图象上,即这个

函数零点的几何意义:如果 .

的零点,则点

如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是不间断的,而且 ,则这个函数在区间[a,b]上至少有 一个零点.这也是二分法的依据. 注意:上述判定零点的方法只是判断零点存在的充分条件. 这种判定零点方法主要适用于在无法对函数进 行作图而且也不易对函数所对应的方程求根的情况下. 如果可以画出函数的图象(这时判断函数零点的方法将是非常直观的) ,如果函数所对应的方程可以求根, 那么就可以用“作图”和“求根”的方法判断零点.
- 12 -

3.用二分法求函数

零点的一般步骤为: ,使得 ;

第一步、确定初始区间,即在 D 内取一个闭区间

第二步、求中点及其对应的函数值,即求 以及 的值,如果 ,则计算终止,否 则进一步确定零点所在的区间; 第三步、计算精确度,即计算区间的两个端点按给定的精确度取近似值时是否相等,若相等,则计算终止, 否则重复第二步。 例 1 若函数 的图象在 上是不间断的,且有 ,则函数 在 上() A.一定没有零点 B.至少有一个零点 C.只有一个零点 D.零点情况不确定 分析:如图所示,满足题目条件的函数图象与 轴的交点情况是不确定的,因此选择 D. 由二分法的依据可知函数在一定区 间内零点存在性的一种判断方法, 即 如果函数 在区间 上 满足以下两个条件: ①函数图象是连续不断的一条曲线; ② 。

那么函数 在区间 内有零点, 即存在 , 使得 , 这个 也就是方程 的根。 在判断函数零点存在与否或判断函数零点个数的问题中应注意以下几点: (1)函数图象必须是一条不间断的曲线,图象有间断则结论不一定成立; (2)条件①与②必须同时满足; (3)满足条件①②时,只能得出 (4)当 的零点存在,但并不能得出零点个数的多少; 在 内无零点; 时,并不能说明函数

(5)若函数 在 上是单调函数,同时满足条件①②,则零点存在且唯一。 上述五点注意事项同学们可以结合函数图象的简图来理解.数形结合的思路在本节内容的学习过程中经常 运用. 例 2.已知二次函数 (1)若 (2)若对 有一实根属于 证明: (1)因为 所以 所以方程 (2)令 则 ,且 且 . ,所以 , 有两个不等实根,所以函数 , , , 所以 所以 在区间 ,因为 上必有一个零点,即方程 ,所以 有一实根属于 , , 必有两个零点. ,又 ,所以 ,即 , . ,试证明 , 必有两个零点; ,方程 有两个不等实根,证明必

- 13 -

所以方程

必有一实根属于

. 有两个不相等的实数解. . 的解集.

例 3.设 是实数,证明关于 的方程 (以下试题备用) 例 4.求函数 分析:求函数零点只需求解方程

的零点,作出其图象的草图,并解不等式

即可.知道函数的零点之后,就知道了这个函数的图象与 轴的 ,或 1 2 的解集为 2 0 ,或 .因此,所求函数的零点是 0,2,3. 2.5 -0.625 3 0 . 5 30

交点坐标,再通过简单的描点作出图象的草图.然后由草图可以得出不等式 解:令 ,即 ,可得 列表,描点作图: x -1 0 f(x) -12 0 由此可知,

评析:如果已经知道一个函数 的所有的零点,我们就能够画出这个函 数的图象与 轴的交点.然后再通过描点作图, 可作出这个函数的大致图象, 从而 可以求出 以及 等不等式的解. 因此,我们可以借助一个函数的零点去研究这个函数的一些性质.例如,我们就曾通过研究一个函数导函数 的零点及导函数值的正负进而研究这个函数的单调性,最值等等. 例 5.求函数 解:因为 解得 ,所以函数 的零点. ,令 ,即 的零点是 1,2. 的零点的是 内一定有 的零点,只需保 ,即 ,

例 6:以下区间中,一定存在函数 A.[-1,0] B.[0,1] C.[1,2] D.[2,3] 分析:显然, 证 因为

的图象是不间断的,因此要保证区间

即可. 从而,我们只需算出各个区间端点的函数值,看它们是否异号即可选出正确答案. , 所以 .因此函数 在区间 上一定存在零点.选 B.

例 7:以区间 为计算的初始区间,求函数 解:用二分法逐步计算,列表如下: 端点或中点横坐标 计算端点或中点的函数值

的一个零点(精确到 0.1). 定区间

由上表可知,区间 的左右端点精确到 0.1 所取的近似值都是 1.4,所以 1.4 就是所求函数的 一个零点. (四)运用函数知识解决实际问题的一般策略 数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程,已经成为不同层次数学教育重要和基本的内 容。数学建模可以通过以下框图体现:

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数学建模是数学学习的一种新的方式, 它为学 生提供了自主学习的空间, 有助于学生体验数 学在解决实际问题中的价值和作用, 体验数学 与日常生活和其他学科的联系, 体验综合运用 知识和方法解决实际问题的过程, 增强应用意 识;有助于激发学生学习数学的兴趣,发展学 生的创新意识和实践能力。 例 1:建一个容积为 立方米、深为 米的长 方体无盖水池,如果池底造价是 元/平方 米,池壁的造价是 元/平方米,求当池底宽 为多少米的时候水池的总造价最低, 并求出最 低造价是多少. 解:设 , 所以底面积为 (元). 左、右两侧面造价为 前、后两侧面造价为 (元), (元). , 造价为 ,则 ,其中

所以 当且仅当 ,即 时等号成立,

(元).

所以,当池底宽为 米的时候水池的总造价最低. 评述:例 4、5、6 是函数最值问题的直接应用,注意体会求最值方法的简单应用. 例 2:有甲、乙两种商品,经营这两种商品所能获得的利润分别记为 (万元)和 (万元),它们与投入的资金

(万元)的关系近似满足下列公式: .现有 万元资金投入经营这两种商品,为 获得最大的利润,应对这两种商品分别投入资金多少万元?获得的最大利润是多少万元? 解:设对乙种商品投资 x 万元,总利润为 y 万元,则对甲种商品投资 依题意,得: 设 ,则 万元. .

所以 ①当 ②当 所以当 即 即 时, 时, ,此时 ,此时

,其中 即 即 ; .

.

时,应对乙种商品投资

万元,对甲种商品投资(

)万元,可获得最大利润

万元; 当

时,应对乙种商品投资 万元,不对甲种商品进行投资,可获得最大利润 万元. 1.在数学建模中,问题是关键。数学建模的问题应是多样的,应来自于学生的日常生活、现实世界、其
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他学科等多方面。同时,解决问题所涉及的知识、思想、方法应与高中数学课程内容有联系。 2.通过数学建模,学生将了解和经历上述框图所表示的解决实际问题的全过程,体验数学与日常生活及 其他学科的联系,感受数学的实用价值,增强应用意识,提高实践能力。 3.每一个学生可以根据自己的生活经验发现并提出问题,对同样的问题,可以发挥自己的特长和个性, 从不同的角度、 层次探索解决的方法, 从而获得综合运用知识和方法解决实际问题的经验, 发展创新意识。 4.学生在发现和解决问题的过程中,应学会通过查询资料等手段获取信息。 5.学生在数学建模中应采取各种合作方式解决问题,养成与人交流的习惯,并获得良好的情感体验。 建议: 1.学校和学生可根据各自的实际情况,确定数学建模活动的次数和时间安排。数学建模可以由教师根据 教学内容以及学生的实际情况提出一些问题供学生选择;或者提供一些实际情景,引导学生提出问题;特 别要鼓励学生从自己生活的世界中发现问题、提出问题。 2.数学建模可以采取课题组的学习模式,教师应引导和组织学生学会独立思考、分工合作、交流讨论、 寻求帮助。教师应成为学生的合作伙伴和参谋。 3.数学建模活动中,应鼓励学生使用计算机、计算器等工具。教师在必要时应给予适当的指导。 4.教师应指导学生完成数学建模报告,报告中应包括问题提出的背景、问题解决方案的设计、问题解决 的过程、合作过程、结果的评价以及参考文献等。 5.评价学生在数学建模中的表现时,要重过程、重参与。不要苛求数学建模过程的严密、结果的准确。 评价内容应关注以下几个方面: ——创新性。问题的提出和解决的方案有新意。 ——现实性。问题来源于学生的现实。 ——真实性。确实是学生本人参与制作的,数据是真实的。 ——合理性。建模过程中使用的数学方法得当,求解过程合乎常理。 ——有效性。建模的结果有一定的实际意义。 以上几个方面不必追求全面,只要有一项做得比较好就应该予以肯定。 6.对数学建模的评价可以采取答辩会、报告会、交流会等形式进行,通过师生之间、学生之间的提问交 流给出定性的评价,应该特别鼓励学生工作中的“闪光点” 。 7.数学建模报告及评价可以记入学生成长记录,作为反映学生数学学习过程的资料和推荐依据。对于学 生中优秀的论文应该给予鼓励,可以采取表扬、评奖、推荐杂志发表、编辑出版、向高等学校推荐等多种 形式。 8.教材中应该提供一些适合学生水平的数学建模问题和背景材料供学生和教师参考;教材中可以提供一 些由学生完成的数学建模的案例,以激发学生的兴趣。 三、学生学习中常见的错误分析与解决策略 1.函数的图象

例 1:作函数 的图象. 易错点:图象变换步骤“颠倒”

如:先作函数

的图象,再作

的图象,再作

的图象.

错因分析:在这个过程中,由

变到

时,误以为应遵循

变化到

的规律.事实上,若

,则

,变换得不到要得的函数图象. 解决策略: ①明确函数图象变换的规律; ②理解图象的变换与函数解析式发生变化的联系; ③有检验意识。 2.函数的值域
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求函数 的值域. 易错点:将区间端点值代入解析式求解。 错因分析:忽略函数的单调性。 解决策略:熟悉特定函数的图象,结合相关知识分析。 3.函数的实际应用问题 例:甲、乙两地相距 s 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 c 千米/小时.已知汽车每小时的 运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 v(千米/小时)的平方成正比,比例系数为 b;固定部分为 a 元.将全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/小时)的函数,其解析式为_____________________. 易错点:不能理解题意,尤其对数量关系分析不清。 错因分析:由于题意不明,所以不能布列出函数的解析式。 解决策略:条件较多时,可列表分析,直观、清晰。 每小时的运输成本 全程运输成本 可变部分 固定部分 每小时的运输成本 全程运输时间

四、学生学习目标检测分析 (一)课程标准中的相关要求 1.函数与方程 ①结合二次函数的图像,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系. ②根据具体函数的图像,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解,了解这种方法是求方程近似解的 常用方法. 2.函数模型及其应用 ①利用计算工具,比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异;结合实例体会直线上升、指数爆炸、对 数增长等不同函数类型增长的含义. ②收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例,了解 函数模型的广泛应用. 3.实习作业 根据某个主题,收集 17 世纪前后发生的一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物 (开普勒、伽利略、笛卡尔、牛顿、莱布尼兹、欧拉等)的有关资料或现实生活中的函数实例,采取小组 合作的方式写一篇有关函数概念的形成、发展或应用的文章,在班级中进行交流.有关要求参见数学文化的 要求. (二)高考考试内容与要求 1.函数与方程 ①结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数. ②根据具体函数的图像,能够用二分法求相应方程的近似解. 2.函数模型及其应用 ①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型 增长的含义. ②了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广 泛应用. (三)典型题目剖析: 1(2010 高考上海卷)若 是方程 的解,则 属于区间( )

( A) (B) (C) (D) (1)考点分析:函数的零点及其存在条件,对数函数的图象与直线的位置关系,利用函数研究方程的根 的问题. (2)解题思路剖析:构造函数,通过对函数的零点及其存在条件的研究确定根的范围. (3)参考解答:构造函数 ,显然函数 的图象是连续不断的曲线.

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因为 由函数零点的存在条件,得 .

,而



2(2009 高考山东卷理 14)若函数 ,且 有两个零点,则实数 的取值范围 是 . (1)考点分析:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,考查 指数函数模型的应用,考查运用函数图象分析与解决问题的能力. (2)解题思路剖析:根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答. (3)参考解答: 设函数 就是函数 由图象可知当 当 时,因为函数 且 且 和函数 与函数 .则函数 有两个交点. ,且 有两个零点,

时两函数只有一个交点,不符合题意. 的图象过点 ,而直线 . 所过的点一定在点 的上方,

所以一定有两个交点,所以实数 的取值范围是 3.已知函数 ,其中

. 的图象;

(Ⅰ)在给定的坐标系中,画出函数

(Ⅱ)设 ,且 ,证明: . (1)考点分析:函数的图象及其变换(平移与翻折) ;幂函数、分 段函数的图像及性质;函数的单调性;不等式中的均值定理;考查 运用函数图象分析与解决问题的能力. (2)解题思路剖析:通过解析式化简为熟悉的分段函数;通过对函 数单调性的研究确定 的范围;根据已知条件得到 的关系进而求解.

(3)参考解答: (Ⅰ) 其图象如如图所示: 注:图象中的几个要素: 零点 ; 单调性正确; 渐近线 . 在 上单调递减,函数 在

(Ⅱ)因为函数 上单调递增, 所以函数 若 若 从而只能 由

的单调递减区间为 ,得 ,得 , ,得

,单调递增区间为 ,这与已知

. 矛盾;

,这又与已知 . 此时 ,整理得 ,

矛盾; , .

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因为 ,所以 ,从而 , 所以 . 从上述题目的剖析可以看出,高考在函数的应用层面的考查通常具有一定的综合程度,往往结合函数的图 象、不等式等相关内容结合考查,这对教学提出了较高的要求,需要在常规教学中扎扎实实打好基础,做 到真懂会用.课堂教学中应注意对概念的剖析, 关注各知识板块间的相互联系, 这样才能逐步做到融会贯通. 互动对话 【互动话题】 1.如何讲“二分法”? 二分法是新增内容,教学中应如何对这部分内容的进行定位和要求,教师将结合教学实践对老师们提供建 议。 2.如何讲“函数的应用问题”? 教学中如何落实《课程标准》中提出的“收集社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂 函数、分段函数等)的实例,了解函数模型的广泛应用”这一要求,将结合教学实例加以分析。 3. “函数的零点”教学中的困惑。 针对“函数的零点”教学中的问题,提出教学中的一些处理方式,并针对这些问题和老师们商榷,提供一 些不同的思考角度。 4.函数教学中的知识线索与问题线索。 针对函数整体教学的回顾与反思,把握核心问题,明确解决办法。 案例评析 【案例信息】 案例名称: 《函数的零点》 授课教师:李桂春(北师大实验中学) 评课教师:李 梁(北京市西城区教育研修学院) 【课堂实录】 【案例评析】 一、关于概念课教学的思考: 教师概念教学中的特点直接影响着学生的学习,在概念形成过程轻描淡写的教学导致许多学生也轻视概念 的学习,认为基本概念单调乏味,比较抽象,甚至认为概念没有用,重要的是解题步骤和技巧.也有的学 生对概念虽然重视,但只停留于死记硬背,头脑中只有机械的、零碎的认识,而没有真正透彻理解,把握 实质,形成系统.久而久之,严重影响对数学基础知识和基本技能的掌握与运用. 数学学习要经历太多的概念,作为教师可能对于这些概念的学习觉得理所当然,但对于学生来说,存在的 最大疑惑就是:为什么要学习这个概念?就像任何事情的发生都有它潜在的缘由一样,对于任何一个数学 概念都有它产生的必要性. 本节课正是本着这样的基本原则加以设计的,对于学生学习知识而言,要知其然,更要知其所以然! 二、本节课的基本特点: 1.教学引入自然,温故而知新,通过复习二次函数与相应二次方程的联系,自然引入零点这一概念。课堂 上,教师通过学生填表,即达到复习旧知识的目的,又从二次函数这一典型实例中引出用函数的手段研究 方程的根的问题,一举两得。 2.常态课的教学基本模式,教师以常规问题串引导学生,启发学生思维。 纵观本节课,教师始终运用常规教学模式,以环环相扣的问题引发学生思维,显示了常规教学方法的独特 魅力,值得肯定。在新课程背景下,哪些传统教学的优势和特点需要继续传承和发扬值得我们认真思考。 3.教学设计精巧,对教材内容进行合理整合,抓住函数零点概念的本质,引导学生主动揭示。教师的教学 设计是课堂教学的重中之重,尤其是设问。如: “思考函数值的变化与函数零点间的关系是什么?”等问 题,精心设计,问题提得好。对于一个新的概念,一定要适合学生现有认知水平,概念教学得以充分展开 的根本动力是学生已有的认知结构与新概念的“不平衡”学生遇到新概念时,总是先用已有的认知结构去 同化,如果获得成功,就得到暂时的平衡;如果同化不成功,则会调节已有的认知结构或重新建立新的认 知结构,以顺应新概念,从而达到新的平衡教师应该依据学生概念学习的这种机制,利用新概念与学生已 有的认知结构之间的差异来设置相应的教学情境,以使学生能够意识到这种不平衡,从而引起学生的认知 需求,促使学生展开积极主动的学习活动。 4.教师教学基本功扎实,语言准确、精炼。设问精心,富有启发性,引发学生思维参与;板书规范、清晰。 教师扎实的教学基本功和示范性通过课堂显现充分,示范性突出,利于学生效仿。 5.教学媒体的选择恰当,没有因为使用信息技术而忽视学生的思维参与,技术使用适度、恰当,对于突破 难点确实起到辅助作用。信息及时的运用适宜,图示美观,节省时间,提高了课堂效率。
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6.讲练结合,关注落实,教学效果好。突出教师为主导,学生为主体的教学观,学生参与度高,尤其是学 生思维的高度参与。这一点从学生课堂上的提问回答环节可以清楚显现。在传授知识的同时关注落实,三 个题目从易到难,选题恰当,难易适中,符合学生实际和教学要求。 三、进一步思考的问题: 新课程背景下,对于函数的零点要求较高,并将其上升为函数的性质之一。那么对于学习函数零点的必要 性在教学中要予以重视,需要在课堂教学中加以强化,使学生明确学习该知识的必要性及重要性,这一点 教学中体现不够充分。 思考与活动 1.请尝试构建函数的应用知识结构框图,可参考教科书中的分章结构图,明确本分内容的结构体系. 2.谈谈你对“数形结合思想”的认识,从函数的图象和确定函数值域的角度加以分析. 3.请学员思考: (1)函数的应用常体现在哪些层面? (2)高中数学教学在那些“点”上可以较好地渗透函数的应用? (3 ) 《课程标准》中为什么如此关注数学的应用?其价值何在? (4)以“函数的应用”为载体,采用合作研究的方式,谈谈新课程的知识体系“螺旋上升” ,和原来“线 性”体系相比,有哪些优势?存在什么不足? (5)新课程鼓励学生的参与和探究,教材中哪些具体内容值得探究?如何把握好探究的深度与广度?探 究性活动如何与落实课堂教学实效性有机结合? 4.针对“二次函数在简单实际问题中的应用”撰写一份教学设计,学员分组进行教学设计的交流.在交流 的基础上推举一位学员完成教学实录,并对教学实录中的各重要教学环节展开评述,重点放在对教学目标 的达成以及教学方法的选择上,最后小组完成本节课的教学反思,并在此基础上研讨“二次函数的实际应 用”的基本定位与要求. 函数的应用 参考题目 一、选择题: 1. 某商品价格 2005 年比 2004 年高 25%,2006 年比 2004 年高 14%,则 2006 年比 2005 年价格回落的幅度 为( ) (A)15% (B)11% (C)9.6% (D)8.8% 2. 某公司销售一种产品,为了获得更多的利润,决定拿出一定的资金做广告.设 售利润 (万元) 关于广告费 (万元)的函数 .根据市场调查,测得数据如下: 2 4 0 1 3 广告费(万元) 销售利润(万元) 1 3 4.2 4.6 4.2 是销

那么最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( ) ( A) (B)

( C) (D) 3. 北京移动通讯有限责任公司于 2004 年 6 月 1 日推出全球通 “99 套餐”服务,这种“套餐”的特点是 针对不同用户采取不同的收费方法.具体方案如下: 超过免费时间话费(元/分钟) 方案 基本月租(元) 免费时间(分钟) ① ② ③ ④ 99 199 299 399 200 550 950 1350 0.40 0.35 0.30 0.25

其中“基本月租”是无论通话与否每月均需交纳的费用, “免费时间”是在交纳基本月租下享有的免费通 话时间.某人决定选用这种“套餐”服务,若他每月通话时间为 1000 分钟,则最经济的方案是( ) (A)① (B)② (C)③ (D)④ 4. 假设 A 型进口汽车关税税率在 2001 年是 100%,在 2006 年是 25%,2001 年 A 型进口汽车价格为 64 万 元(其中含 32 万元关税税款).已知与 A 型车性能相近的 B 型国产车,2001 年每辆价格为 46 万元.若 A 型车 的价格只受关税降低的影响,为了保证 2006 年 B 型车的价格不高于 A 型车价格的 90%,那么 B 型车的价
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格平均每年至少下降( ) (A)1 万元 (B)1.5 万元 (C)2 万元 (D)2.5 万元 二、填空题: 5. 经 市 场 调 查 , 某 产 品 的 总 成 本 y( 万 元 ) 与 产 量 x( 台 ) 之 间 的 函 数 关 系 近 似 满 足 .若每台产品售价为 25 万元, 则使生产者不亏本(即销售收入不小于 总成本)的最低产量是_________ 台. 6. 甲、乙两地相距 s 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 c 千米/小时.已知汽车每小时的运 输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 v(千米/小时)的平方成正比,比例系数为 b; 固 定 部 分 为 a 元 . 将 全 程 运 输 成 本 y( 元 ) 表 示 为 速 度 v( 千 米 / 小 时 ) 的 函 数 , 其 解 析 式 为 _____________________. 7. 如图,用长度为 24(m)的材料围成一个矩形家禽养殖场,中间加两道隔墙(隔墙也 用此材料),要使矩形面积最大(隔墙厚度不计),则隔墙的长度为________,矩形的 最大面积为________ . 8. 如图,在边长为 4 的正方形 ABCD 中,E、F 分别是边 AB、BC 上的点,且 AE=BF=1, 过线段 EF 上的点 P 分别 作 DC、AD 的垂线,垂足分别为 M、N,延长 NP 交 BC 于 Q,则矩形 PMDN 的 面积 y 与 FQ 的长 x 之间的函数关系式为 _______________ ,y 的最大值是 ___________. 三、解答题: 9. 某商店出售茶壶和茶杯,茶壶每只定价 20 元,茶杯每只定价 5 元 . 该店制 定了两种优惠办法: (1) 买一只茶壶赠送一只茶杯; (2)按总价的 92% 付款 . 某顾客购买茶壶 4 只,茶杯若干只 (不少于 4 只) . 若购买茶杯数为 x (只),付款 总钱数为 y (元),试分别建立两种优惠办法中 y 与 x 间的函数关系式,并讨论该 顾客买同样多的茶杯,两种办法哪一种更省钱? 10. 将单价为 8 元的商品按 10 元一个销售时,每天可卖出 100 个,若这个商品售价每上涨 1 元,销售量就减少 10 个.试问此商品售价应定为多少元,才能获取最大的利润, 最大的利润是多少 元? 11. 如图,在边长是 的等边三角形 内作一个内接 矩形 ,求矩形 面积的最大值. 12. 某租赁公司拥有汽车 100 辆.当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出. 当每辆车的月租金每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每 月需要维护费 200 元 . (1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多 少元? 函数的应用 参考答案 一、选择题: 1. D 2. B 3. C 4.C 提示: 1. 设 2004 年商品价格为 a, 则 2005 年价格为 年价格回落 x%. ∴ . 解得: x% = 8.8%. (万元). , 2006 年价格为 , 设 2006 年比 2005

4. 因为 2006 年关税税款为 2001 年的 ,故所减少的关税税款为 所以 2006 年 A 型汽车售价为 (万元). 因为 5 年后 B 型车的价格不高于 A 型车价格的 90%, 所以 B 型车的价格 (万元). 因为 2001 年 B 型车的价格为 46 万元,故 5 年中至少要降 10 万元, 所以平均每年至少下降 2 万元. 二、填空题:
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5. 150 6. 8. 提示:

7. ;

, . . ),

5. 销售收入为 25x (万元),总成本为 令 解得 ( . ∴最低产量是 150 台.

6. 汽车每小时的运输成本为 ,其中

,从甲地匀速 v 行驶到乙地的时间 . )(m) ,x(m). . ∴当 时,



7. 设隔墙长度为 x(m),则矩形的长、宽分别为( ∴矩形面积 8. 由

.

.( 易知,当 时, 三、解答题: 9. 略解:按办法一: 按办法二: 令 当 ,且 ,即 ,且 时, 时, ,即 ,解得 . ,即 .

).

.

,所以购买 34 只茶杯时两种付款相同;

,此时办法一省钱; ,此时办法二省钱. 个,此时的销售量为

10. 略解: 设此商品价格在 10 元基础上,上涨了 x 元,则销售量减少了 个,销售单价为 ∴销售总价为 进价为 8 元/个, ∴进价总额为 ∴利润 ∴当 时,利润最大, ∴应将售价定为 14 元,可获取最大利润 360 元. 11. 设 边上的高为 , ,矩形 的面积为 , 元. . , .

, 即 解得: .

.

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. 当 时, .此时, 分别为 的中点. ,

12. 略解:(1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,未租出的车辆数为 所以这时租出 88 辆车 . (2) 设每辆车的月租金定为 元,则租赁公司的月收益为 整理得

.

当 时, 最大,最大值为 即当每辆车的月租金定为 4100 元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益为 304200 元. 函数与方程 参考题目 一、选择题: 1. 函数 ( A) 的零点是( ) (B) (C) (D)

2. 函数 ( A) ( C) 3. 已知方程 ( A) ( C) (B) ,且

的定义域是( ) (B) (D) 有两个不相等的实数根,则实数 k 的取值范围是( )

(D)

,且 的两个零点,则 的两个零点是 的最大值等于( ) ,则有( )

4. 设 是函数 (A)19 (B)18 (C)17 (D)16 5. 已知函数 ( A) ( C) 二、填空题: 6. 不等式 (B) (D)

的解集为_______________ .

7. 若不等式组 8. 若不等式 9. 若方程 10. 设集合 在

有解,则实数 a 的取值范围是 的解集是 ,则 a = ,b = .

.

内有实数解,则实数 a 的取值范围是 ,
- 23 -

. ,则实数 a 的取值范围是

,若

_________________. 三、解答题: 11. 已知函数 (1) 求函数 (2)求 12. 设函数 (1)证明 在区间 内有一个零点; 在区间 内零点的近似解.(精确到 0.1) (2)借助计算器,求出 的其它零点; 时 的取值范围. 的一个零点为 1.

13. 已知关于 x 的方程 .则 m 取何实数值时,此方程: (1)有两个实数根; (2)有两个正根; (3)有一个正根,一个负根 . 14. 函数 函数与方程参考答案 一、选择题: 1. A 2. D 3.C 4. B 5. D 提示: 4. 由 得方程 ,解得 , 当 5. 设函数 时, 取得最大值 18. ,显然 的图象是开口向上的抛物线,它的两个零点是 的图象,它的两个零点是 ;将 . 观察图象可得 是函数 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的左侧,求实数 m 的取值范围.

的两个零点, 有两个实数根,

的图象向下平移 1 个单位就得到 . 二、填空题: 6. 9. 提示: 10. 7. 8.

7. 原不等式组 因为此不等式组有解,所以必有 8. 由不等式 的解集为 ,即 , 知方程 的两根是 和 . 由二次方

程根与系数的关系得 9. 设函数 所以

解得 易证明 是 上的增函数,由方程 在 内有实数解,得

- 24 -

10. 画数轴分析得,当

, 时, . 11. 略

,当 ; 当

时,必有 时, .

综上,a 的取值范围是 三、解答题:





(1)



题 ,







令 所以函数 (2)函数 作出函数 的其它零点是 的三个零点将 轴分成四个区间: 的示意图,观察图象得 时

的取值范围是 12. 略解:(1)设 所以 (2)由 由 13. 略解:分两种情况讨论: (1)当 ∴ 时, 时符合题目要求. 至少有一个负根. .令 ,解得 , 在区间 由 内有一个零点. ;由 ;由 ; ,

(2)当 时,原问题等价于关于 x 的方程 又分为以下两种情况: ①有一个负根,一正根,则 .

②有两个负根,故 综合(1),(2)得 m 的取值范围是 14. 略解:(1)由 .

解得

.

, 解得

.

(2)由

解得

,或

.

- 25 -

(3)由

,得

.(这里不用再考虑

了,想想为什么?)

10.某地现有耕地 10000 公顷,规划十年后粮食单产比现在增加 22 % ,人均粮食占有量比现在提高 10 % , 如果人口年增长率为 1 % ,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到 1 公顷)?(参考数据:

1 . 19 ? 2. 4,  1 . 110 ? 2. 6)
(注: 粮食单产 ?

总产量 总产量 ,人均粮食占有量= ) 总人口数 耕地面积

?例题剖析
例1 某剧场有 20 排座位,后一排比前一排多 2 个座位,最后一排有 60 个座位,这个剧场共有多少个座 位?

例 2

某种卷筒卫生纸绕在盘上,空盘时盘芯直径 40 mm ,满盘时直径 120 mm ,已知卫生纸的厚度为 0. 1mm ,问:满盘时卫生纸的总长度大约是多少米(精确到 1m )?

例3

教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款,它享受整存整取利率,利息免税.教育储蓄的对象为在校 1‰ . 小学四年级(含四年级)以上的学生.假设零存整取 3 年期教育储蓄的月利率为 2. (1)欲在 3 年后一次支取本息合计 2 万元,每月大约存入多少元? (2) 零存整取 3 年期教育储蓄每月至多存入多少元?此时 3 年后本息合计约为多少 (精确到1 元) ??
? ?

3.已知一个凸多边形各个内角的度数组成公差为 5 的等差数列,且最小角为 120 ,问它是几边形. 4.某钢材库新到 200 根相同的圆钢,要把它们堆放成正三角形垛(如图) ,并使剩余的圆钢尽可能的少, 那么将剩余多少根圆钢?

? ? ? 二 提高题 90 m ,以后每秒比前一秒多降落 9. 80 m ,那 6.一个物体从 1960 m 的高空落下,如果该物体第一秒降落 4. 么经过几秒钟才能落到地面?

三 能力题 8.观察: 1 1+2+1 1+2+3+2+1 1+2+3+4+3+2+1 ?? (1)第 100 行是多少个数的和?这些数的和是多少? (2)计算第 n 行的值.

(2)某仓库堆放的一堆钢管,最上面的一层有 4 根钢管,下面的每一层都比上一层多一根,最下面的一 层有 9 根,怎样计算这根钢管的总数呢?

- 26 -

?巩固练习
1.某商店的售货员想在货架上用三角形排列方式展示一种罐头饮料,底层放置 15 个罐头,第 2 层放置 14 个罐头,第 3 层放置 13 个罐头??顶层放置一个罐头,这种摆法需要多少个罐头? 10.根据美国学者詹姆斯·马丁的测算,近十年,人类知识总量已达到每三年翻一番,到 2020 年甚至要 达到 73 天翻一番的空前速度。因此,基础教育的任务已不是教会一切一切知识,而是让人学会学习, 已知 2000 年底,人类知识总量为 a ,假如从 2000 年底到 2009 年底是每三年翻一番,从 2009 年底 到 2019 年底是每一年翻一番,从 2020 年每 73 天翻一番,试回答: (1) 2009 年底人类知识总量是多少? (2) 2019 年底人类知识总量是多少? (3) 2020 按 365 天计算, 2020 年底人类知识总量是多少?

88 % ; 11.甲、乙两人同时到银行各存 1 万元,但两人选择的存款方式不同,甲存 5 年定期储蓄,年利率 2. 55 % ,并在每一年到期时将本息续存一年定期,按规定每次计息时,储 乙存一年定期储蓄,年利率 2. 户交纳利息的 20 % 作为利息税。若存满 5 年后两人同时从银行取出存款,那么谁获利较多?

(9)一个直角三角形三边长组成等差数列,则它的三边长从小到大的比值为



例2

某三个互不相等的数组成等差数列,如果适当排列此三数,也可成等比数列,已知这三个数的和等 于 6 ,求这三个数.

1.若直角三角形的三边的长组成公差为 3 的等差数列,则三边长分别为( ) A. 5 , 8 , 11 B. 9 , 12 , 15 C. 10 , 13 , 16 D. 15 , 18 , 21

三 能力题 7.如图是第七届国际数学教育大会 ( ICME ? 7) 的会徽图案轮廓,它是由一串直角三角 形组成的,其中 OA ???OA2, ????, ???OA8 的长度所组成的数列 1 ? A 1 A2 ? A2 A3 ? ? ? A7 A8 ? 1 ,记 OA 1, 为 ?an ? (n ? N ?, ???1 ? n ? 8) ,写出数列 ?an ? 的通项公式.

A4

A5

A3
A2
O

A6
A7

A1

A8
8.一个正方形被分成九个相等的小正方形,将中间的一个正方形挖掉,再将剩余的每个正方形都分成九 个相等的小正方形,并将中间的一个正方形挖掉,如此继续下去?? (1)第三次分割时共挖掉了多少个正方形? (2)设原正方形边长为 a ,第 n 次分割时共挖掉了多少个正方形?这些正方形的面积和为多少?

- 27 -

1.在日常生活、生产实际和科学研究中,经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比较,反 映在数量关系上就是相等与不等两种情况. 情景: b 克糖水中有 a 克糖( 0 ? a ? b ) ,若再添上 m 克糖( m ? 0 ) ,则糖水变甜了,还是变淡了? 根据这个事实: (1)提炼一个不等式; (2)你能用数学知识解释这一现象吗?

?例题剖析
例1 时代超市将进货单价为 80 元的商品按 90 元一个出售时能卖 400 个,经过调查,己知这种商品每个 涨价 1 元,其销售量就减少 20 个,要使时代超市销售此商品的收入大于 4320 元,商品价格应定在 怎样的范围内?

例2

下表给出了 X 、 Y 、 Z 三种食物的维生素的含量及成本: 维生素 A (单位 / kg ) 维生素 B (单位 / kg ) 成本(元 / kg )

300 700 5 500 100 4 300 300 3 某人欲收这三种食物混合成 100kg 的食品, 要使混合食品中至少含 35000 单位的维生素 A 及 40000 单位的维生素 B ,设 X , Y 这两种食物各取 xkg , ykg ,那么 x , y 应满足怎样的关系?
X Y Z

?巩固练习
1. (1)比较大小: ( 5 ? 2 ) 2 _______ 6 ? 2 10 ; ( 6 ? 1) 2 ______ ( 3 ? 2 ) 2 ;
2 (2) a ? 0 , ? 1 ? b ? 0 ,把 a , ab , ab 按从小到大排列_____________________;

(3)若 a ? b ? 0 ,则

1 1 ______ (填 ? 或 ? ) ; a b

(4)比较大小: x 2 ? y 2 ? 1 ______ 2( x ? y ? 1) . 2 元, 发行量就减少 2.某杂志以每本 2 元的价格发行时,发行量为 10 万册,经过调查,若价格每提高 0. 4 万元,每本杂志的价格应定在怎样的范围内? 5000 册,要使杂志社的销售收入大于 22. 一 基础题 1. (1)已知 0 ? a ? b ,且 a ? b ? 1 ,则 a 与 2ab 的大小是________________________. (2)已知 12 ? m ? 60 , 15 ? n ? 30 ,求 m ? n 与 m ? n 的范围.

55 ?C ,现 2.某种植物适宜生长在温度为 18 ?C ~ 20 ?C 的山区,已知山区海拔每升高 100 m ,气温下降 0. 测得山脚下的平均气温为 22 ?C ,该植物种在山区多高处为宜?
二 提高题 3.某商品进货单位为 40 元,若按 50 元一个销售,能卖出 50 个,若销售单位每涨 1 元销售量就减少一个, 为了获得最大利润,该商品的最佳售价为多少元?

4.某化工厂制定明年某产品的生产计划,受下面条件的制约:生产此产品的工人数不超过 200 人;每个
- 28 -

工人年工作约计 2100 h ,预计此产品明年销售量至少 80000 袋;每袋需用 4 h ;每袋需用原料 20kg ; 年底库存原料 600 t ,明年可补充 1200 t .试根据这些数据预测明年的产量.

cm ,问:底 5.制作一个高为 20cm 的长方体容器,底面矩形的长比宽多 10 cm ,并且容积不少于 4000 面矩形的宽至少应为多少?

3

数列应用题(1)
教学目的: 掌握等差数列、等比数列有关的实际应用问题和数列与其它知识的综合应用问题的解法. 教学难点: 分析、求解实际应用问题时,主要引领学生建构数学模型,分清模型结构;教综合应用问题时,主要 启发学生寻找解题的切入点,进行决策训练. 基础训练: (1 ) 、某剧场有 20 排座位,后一排比前一排多 2 个座位,最后一排有 60 个座位,这个剧场共有多少个座 位?

(2 ) 、一种变速自行车后齿轮组由 5 个齿轮组成,它们的齿数成等差数列,其中最小和最大 的齿轮的齿数分别为 12 和 28 ,求中间三个齿轮的齿数.

(3 ) 、某商店的售货员想在货架上用三角形排列方式展示一种罐头饮料,底层放置 15 个罐头,第 2 层放置 14 个罐头,第 3 层放置 13 个罐头??顶层放置一个罐头,这种摆法需要多少个罐头?

(4 ) 、已知一个凸多边形各个内角的度数组成公差为 5 的等差数列,且最小角为 120 ,问它是几边形.

?

?

例题剖析:
例 1、某种卷筒卫生纸绕在盘上,空盘时盘芯半径 40 mm ,满盘时半径 120 mm ,已知卫生纸的厚度为 0. 1mm ,问:满盘时卫生纸的总长度是多少米?(不要求近似) 。

例 2、 (1) 银行有一种储蓄业务叫做零存整取,即每月定时存入一笔相同数目的现金,到约定日期可以取 出本利和。规定每次存入的钱不计复利,若某人每月存入 100 元,月利率为 0.3% ,问到第 12 个月末整取 时本利和是多少?(不计利息税)

例 3、某人计划年初向银行贷款 10 万元用于买房.他选择 10 年期贷款,偿还贷款的方式为: 分 10 次等额归还,每年一次并从借后次年年初开始归还,若 10 年期贷款的年利率为 4%,且每年利息均按复 利计算(即本年的利息计入次年的本金生息),问每年应归还多少元(精确到 1 元)? (参考 1.04
10

? 1.48)

五、小结:解数学问题应用题重点在过好三关: (1)事理关:阅读理解,知道命题所表达的内容; (2)文理关:将“问题情景”中的文字语言转化为符号语言,用数学关系式表述事件;
- 29 -

(3)数理关:由题意建立相关的数学模型,将实际问题数学化,并解答这一数学模型,得出符合实际意 义的解答。 训练题: 1.某钢材库新到 200 根相同的圆钢,要把它们堆放成正三角形垛(如图) ,并使剩余的圆钢尽可能的少, 那么将剩余多少根圆钢?

? ? ?

90 m ,以后每秒比前一秒多降落 9. 80 m ,那 2.一个物体从 1960 m 的高空落下,如果该物体第一秒降落 4. 么经过几秒钟才能落到地面?
3. 某种汽车购买时的费用为 10 万元,每年应交保险费、养路费及汽油费合计这 9 千元;又,汽车的维 修费平均为:第一年 2 千元,第二年 4 千元,第三年 6 千元,?,依次成等差数列递增.问这种汽车 使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?

4、某地为了防止水土流失,植树造林,绿化荒沙地,每年比上一年多植相同亩数的林木,但由于自然环 境的人为因素的影响,每年都有相同亩数的土地被沙化,具体情况如下表所示: 2003 年 新植亩数 沙地亩数 1000 25200 2004 年 1400 24000 2005 年 1800 22400

而一旦全部植完,则不会被沙化. 问: (1)每年被沙化的亩数是多少? (2)到哪一年可绿化完全部荒沙地?

(选做)5、某地现有耕地 10000 公顷,规划十年后粮食单产比现在增加 22 % ,人均粮食占有量比现在提 高 10 % ,如果人口年增长率为 1 % ,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到 1 公顷)?(参考

. 1 ? 2. 4,  1 . 1 ? 2. 6) 数据: 1
9 10

(注: 粮食单产 ?

总产量 总产量 ,人均粮食占有量= ) 总人口数 耕地面积

- 30 -

数列应用题(2)
教学目的:教学难点: (同上节) 基础训练: 1、如图,是一个边长为 1 的正三角形,将每边三等份,以中间一段为边向形外作正三角形,并擦去中间一 段,得图(2) ,如此继续下去,得图(3)?试求第 n 个图形的边长和周长.

(1)

(2)

(3)

2、 如图, 在边长为 1 的等边 ?ABC 中, 连结各边中点得 ?A1 B1C1 , 再连结 ?A1 B1C1 各边中点得 ?A2 B2 C2 ? 如此继续下去,证明: S ?ABC,S ?A1B1C1,S ?A3B2C3, ?是等比数列.

A

C1
B2
B

A2 C2

B1

A1

C

3、如图是第七届国际数学教育大会 ( ICME ? 7) 的会徽图案轮廓,它是由一串直角三角 形组成的,其中 OA ???OA2, ????, ???OA8 的长度所组成的数列 1 ? A 1 A2 ? A2 A3 ? ? ? A7 A8 ? 1 ,记 OA 1, 为 ?an ? (n ? N ?, ???1 ? n ? 8) ,写出数列 ?an ? 的通项公式.

A4

A5

A3
A2
O

A6
A7

A1

A8
88 % ; 4、甲、乙两人同时到银行各存 1 万元,但两人选择的存款方式不同,甲存 5 年定期储蓄,年利率 2. 55 % ,并在每一年到期时将本息续存一年定期,按规定每次计息时,储户交 乙存一年定期储蓄,年利率 2. 纳 利 息 的 20 % 作 为 利 息 税 。 若 存 满 5 年 后 两 人 同 时 从 银 行 取 出 存 款 , 那 么 谁 获 利 较 多 ? ( 参 考

1.02554 ? 1.10596 ,1.02555 ? 1.13417 ,1.02556 ? 1.16309)
例题剖析:
- 31 -

例 1:从盛有盐的质量分数为 20 % 的盐水 2kg 的容器中倒出 1kg 盐水,然后加入 1kg 水,以后每次都倒出

1kg 盐水,然后再加入 1kg 水, 问: (1)第 5 次倒出的的 1kg 盐水中含盐多少 g? (2)经 6 次倒出后,一共倒出多少 kg 盐?此时加 1kg 水后容器内盐水中盐的
质量分数为多少?

例 2、某地区荒山 2200 亩,从 1995 年开始每年春季在荒山植树造林,第一年植树 100 亩,以后每一年比 上一年多植树 50 亩. (1)若所植树全部都成活,则到哪一年可将荒山全部绿化? (2)若每亩所植树苗、木材量为 2 立方米,每年树木木材量的自然增长率为 20%,那么全部绿化后的那 一年年底,该山木材总量为 S,求 S 的表达式. (3)若 1.28≈4.3,计算 S (精确到 1 立方米).

例 3:在一次招聘会上,有 A、B 两家公司分别开出了它们的工资标准:A 公司允诺第一个月工资为 1500 元,以后每年月工资比上一年月工资增加 230 元;B 公司允诺第一年月工资数为 2000 元,以后工资在上一 年月工资基础上递增 5%.设某人年初被 A、B 两家公司同时录取,试问: (1)若该人分别在 A 公司或 B 公司连续工作 n 年,则他在第 n 年的月工资收入分别是多少? (2)该人打算连续在一家公司工作 10 年,仅从工资收入总量较多作为应聘的标准(不计其它因素),该 人应该选择哪家公司?为什么?( 1.05 ? 1.63 )
10

训练题: 1、某厂去年的产值记为 1 ,若计划在今后五年内每年的产值比上年增长 10 % ,则从今年 起到第五年,这个厂的总产值为 .

2 某人于 1997 年 7 月 1 日在银行按一年定期储蓄的方式存入 a 元,1998 年 7 月 1 日,他将到期存款的本息取 出后添上 a 元再按一年定期储蓄存入银行,此后他每年 7 月 1 日按照同样同样的方法在银行取款和存款,设银 行定期储蓄的年利率 r 不变,问到 2002 年 7 月 1 日他的本息共有多少?

3 一个正方形被分成九个相等的小正方形,将中间的一个正方形挖掉,再将剩余的每个正方形都分成九个 相等的小正方形,并将中间的一个正方形挖掉,如此继续下去?? (1)第三次分割时共挖掉了多少个正方形? (2)设原正方形边长为 a ,第 n 次分割时共挖掉了多少个正方形?这些正方形的面积和为多少?

4、据美国学者詹姆斯·马丁的测算,近十年,人类知识总量已达到每三年翻一番,到 2020 年甚至要达到 73 天翻一番的空前速度。 因此, 基础教育的任务已不是教会一切一切知识, 而是让人学会学习, 已知 2000 年底,人类知识总量为 a ,假如从 2000 年底到 2009 年底是每三年翻一番,从 2009 年底到 2019 年底是 每一年翻一番,从 2020 年每 73 天翻一番,试回答: (1) 2009 年底人类知识总量是多少?(2) 2019 年底人类知识总量是多少? (3) 2020 按 365 天计算, 2020 年底人类知识总量是多少?

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(选做) 5、 地区位于沙漠边缘, 人与自然进行长期顽强的斗争, 到 1999 年底全地区的绿化率已达到 30%, 从 2000 年开始,每年将出现以下变化:原油沙漠面积的 16%将载上树,改造为绿洲,同时,原有绿 洲面积的 4%又被侵蚀,变为沙漠, 3 (1)、设全地区在 1999 年底绿洲面积为 a1= 10 ,经过 1 年(指 2000 年底)绿洲面积为 a2,经过 n 年绿洲
4 面积为 an+1,求证:数列{an- 5 }是等比数列。

(2)、问经过多少年的努力才能使全县的绿洲面积超过 60% (年取整数)?

§2.6 函数模型及其应用(一) 试解决以下问题:某种商品进货单价为 40 元,按单价每个 50 元售出,能卖出 50 个。如果零售价在 50 元的基础上每上 涨 1 元,其销售量就减少一个,问零售价上涨到多少元时,这批货物能取得最高利润。

三、典例欣赏: 例 1. 某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为 200 万元,生产每台计算机的可变成本为 3000 元,每台计算机的售 价为 5000 元.分别写出总成本 C(万元)、单位成本 P(万元) 、销售收入 R(万元)以及利润 L(万元)关于总产量 x (台) 的函数关系式.如果集团公司不亏本,集团公司应该至少生产多少台?

例 2 .某科技公司生产一种产品的固定成本为 20000 元,每生产一个产品增加投资 100 元,已知总收益

R( x) 满

1 ? 400 x ? x 2 , (0 ? x ? 400) ? 足: R ( x ) ? ? 2 ? ( x ? 400) ?80000,

,其中 x 是产品的月产量,求每月生产多少个产品时该科技公司的利润最

大?最大利润是多少?(注:总收益=总成本+利润)

例 3.某民营企业生产 A、B 两种产品,根据市场调查与预测,A 产品的利润与投资成正比,其关系如图甲,B 产品的利润与 投资的算术平方根成正比.其关系如图乙(注:利润与投资单位:万元). (Ⅰ)分别将 A、B 两种产品的利润表示为投资(万元)的函数关系式; (Ⅱ)该企业已筹集到 10 万元资金,并全部投入 A、B 两种产品的生产,问:怎样分配这 10 万元投资,才能使企业获得 最大利润,其最大利润为多少万元?

【针对训练】 1.A、B 两地相距 150km,某汽车以 50km/h 的速度从 A 到 B,到达 B 后在 B 地停留 2 个小时之后又从 B 地以 60km/h 的速 度返回,该车离开 A 地的距离 S(km)与时间 t(小时)的函数关系为 . 2.某公司将进货单价为 8 元一个的商品按 10 元一个销售,每天可卖出 100 个,若销售时商品的销售价每个上涨一元,则 销售量就减少 10 个,那么利润最大时,销售价上涨了多少元?

3.已知某皮鞋厂一天的生产成本 C(元)与生产数量 n(双)之间的函数关系是 C=4000+50n.若每双皮鞋的售价为 90 元,且生产 的皮鞋全部售出.。 (1)试写出这一天的利润 P 关于这一天的生产数量 n 的函数关系式; (2)每天至少生产多少双皮鞋,才能不亏本? - 33 -

5.在经济学中,函数 置,生产

f ( x) 的边际函数 Mf ( x) 定义为 Mf ( x) = f ( x ? 1) ? f ( x) .某公司每月最多生产 100 台报警系统装

x 台( x ? N ? )的收入函数 R( x) ? 3000x ? 20x2 (单位:元),其成本函数为 C ( x) ? 500x ? 4000(单位:元), 利润是收入 与成本之差.求利润函数 P ( x ) 及边际利润函数 MP ( x ) ; (1) 利润函数 P ( x ) 与边际利润函数 MP ( x ) 是否具有相同的最大值?
§2.6 函数模型及其应用(二) 例 1.我市有甲,乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同.甲俱乐部每张球台每小时 5 元;乙俱乐 部按月计费,一个月中 30 小时以内(含 30 小时)每张球台 90 元,超过 30 小时的部分每张球台每小时 2 元.小张准备 下个月从这两家俱乐部中的一家租一张球台开展活动,其活动时间不少于 15 小时,也不超过 40 小时. (1) 设在甲俱乐部租一张球台开展活动 x 小时的收费为 f(x)元(15 ? x ? 40),在乙俱乐部租一 张球台开展活动 x 小时的收费为 g(x)元(15 ? x ? 40),试求 f(x)和 g(x); (2) 你认为小张选择哪家俱乐部比较合算?请说明理由.

1.某种商品 1995 年提价 25%,1998 年要恢复成原价,则应降价 6.A, B 两城相距 100 km ,在两地之间距

A 城 x km 处 D 地建一核电站给 A, B 两城供电,为保证城市安全.核电站距市距 离不得少于 10 km .已知供电费用与供电量和供电距离的平方之积成正比,比例系数 ? ? 0.25 .若 A 城供电量为 20 亿度/ 月, B 城为 10 亿度/月. (1)把月供电总费用 y 表示成 x 的函数,并求定义域; (2)核电站建在距 A 城多远,才能使供总电费用最小.

8.通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间,上课开始时, 学生的兴趣激增, 中间有一段不太长的时间, 学生的兴趣保持较理想的状态, 随后学生的注意力开始分散, 并趋于稳定. 分 析结果和实验表明,用

f ( x) 表示学生掌握和接受的能力( f ( x) 值越大,表示接受能力越强) x 表示提出和讲述概念

的时间(单位:分)可有以下公式:

? 0.1x 2 ? 2.6x ? 44
f ( x) ?
60

?0 ? x ? 10?

? 3x ? 105
30

(10 ? x ? 15) ?15 ? x ? 25? ?25 ? x ? 40?

(1)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多少时间? (2)试比较开讲后 5 分钟、20 分钟、35 分钟,学生的接受能力的大小; (3)若一个数学难题,需要 56 的接受能力以及 12 分钟时间,老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完 这个难题?

已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为 10 万元,每生产千件需另投入 2.7 万元,设该公司年内共生产该品牌服装 x 千

1 ? 10.8 ? x 2 (0 ? x ? 10) ? ? 3 件并全部销售完,每千件的销售收入 R(x)为万元,且 R( x) ? ? ?108 ? 1000 ( x ? 10) ? 3x 2 ? x
(1)写出年利润 W(万元)关于年产品 x 千件的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大?

7. 某工厂第一季度某产品月生产量分别为 1 万件,1.2 万件,1.3 万件, 为了估测以后各月的产量, 以这三个月的产量为依据, 用一个函数模拟产品的月产量 y (万件)与月份数 x 的关系。已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件,用二次函数或

y ? a ? b x ? c (其中 a, b, c 为常数)哪个更好?为什么?

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抚州市高中数学优质课竞赛教案 课题: 数列在日常经济生活中的应用(一)
授课人: 李振(抚州一中) 教材:普通高中课程标准实验教科书·数学·必修 5(北京师范大学出版社) 教学目标: 1. 知识与技能: (1)了解银行存款的种类及存款计息方式; (2) 通过“零存整取”、“定期自动转存”等日常经济生活中的实际问题,学会利用等差、等比数列模型解决实际问题. 2.过程与方法: 通过设问、思考、讨论、推导等具体的问题情境,发现并建立等差等比数列这个数学模型,会利用它解决一些存款计息问题, 感受等差数列的广泛应用. 3.情感态度与价值观: 通过本节的学习,让学生对等差、等比数列的进一步理解,体会等差、等比数列与日常经济生活紧密相关,引导学生学会思考、 交流、讨论、推导与归纳。感受生活中处处有数学,从而激发学生的学习积极性,提高学生学习数学新知识的兴趣和信心. 教学重点:建立“零存整取模型”、“定期自动转存模型”,并用于解决实际问题; 教学难点:在实际的问题情境中,利用等差、等比数列数学模型,发现并建立“零存整取模型”与“定期自动转存模型”;

教学过程:
一、创设情境 引入课题 神奇遗嘱:富兰克林一生为科学和民主而工作,他死后留下的财产并不可观,大致只有一千英磅.令人惊讶的是,他 竞留下了一份分配几百万英磅财产的遗嘱!这份有趣的遗嘱是这样写的: “……一千英磅赠给波士顿的居民, 如果他们接受了这一千英磅, 那么这笔钱应该托付给由选举出来的公民组成的基金 会,基金会得把这笔钱按每年 5%的利率借给一些年轻的手工业者去生息.这笔钱过了 100 年增加到 131000 英磅.我希望,那 时候用 100000 英磅来建立一所公共建筑物,剩下的 31000 英磅拿去继续生息 100 年.在第二个 100 年末了,这笔款增加到 4061000 英磅, 其中 1061000 英磅还是由波士顿的基金会支配, 而其余的 3000000 英磅让马萨诸州组成同样的基金会来管理. 过此之后,我可不敢多作主张了!” 富兰克林死于 1790 年,现在 200 多年过去了,人们不禁要问:作为科学家和政治家的富兰克林,留下区区的 1000 英 磅,竟立下百万富翁般的遗嘱,这不是开玩笑吧?! 同学们这个遗嘱是否能实现?我们还是先来学习《数列在日常经济生活中的应用》(板书课题) 二、实例分析 探索新知 等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型.例如,存款、贷款、购物(房、车)分期付款、保险、资产 折旧等问题都与其相关. 我们一起走进银行去看看 最新农业银行存款利率表(更新日期:2011-2-9)

项目 (一)活期 (二)定期 三个月 半年 一年 二年 三年 五年

年利率(%) 一、城乡居民及单位存款 0.40

1.整存整取 2.60 2.80 3.00 3.90 4.50 5.00 2.零存整取、整存零取、存本取息 一年 2.60 三年 2.80 五年 3.00 3.定活两便 按一年以内定期整存整取同档次利率打 6 折 二、协定存款 1.21 三、通知存款 一天 0.85 七天 1.39
银行存款计息方式: 单利 单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为: 利息=本金×利率×存期

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以符号 P 代表本金, n 代表存期, r 代表利率, S 代表本金和利息和(以下简称本利和),则有

S ? P(1 ? n ? r )

问题 1 如果你有 1000 元钱村入银行,一个月后有多少钱?两个月后呢? 问题 2 如果父母给你的钱,你每月能攥下 100 元,你会怎么做? 零存整取模型: 银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出 全部本利和,这是整取. 探索: (1)某人选择存期为 1 年的“零存整取”,若每月存入金额为 100 元,月利率 0.3%保持不变,到期能取出多少钱? (暂不 考虑利息税) 第一月存入的 100 元到期有多少利息?到期为: 100× 0.3%× 12=3.6 第二月存入的 100 元到期有多少利息?到期为: 100× 0.3%× 11=3.3 第三月存入的 100 元到期有多少利息?到期为: 100× 0.3%× 10=3.0 最后一月存入的 100 元到期有多少利息?到期为: 100× 0.3%× 1=0.3 到期的本息和为 100 × 12+(3.6+3.3+3.0+ ? +0.3)=1223.4 元 (2) 某人选择存期为 1 年的“零存整取”,若每月存入金额为 x 元,月利率 r 保持不变,试推导出到期整取是本利和的公式; 跟踪练习: (1)若每月初存入 500 元,月利率为 0.3%,到第 36 个月末整取时的本利和是多少? (3)若每月初存入一定金额,月利率为 0.3%,希望到第 12 个月末整取时取得本利和 2000 元.那么每月初应存入的金额是多少? (只列式,不计算) 结论:“零存整取”问题就是等差数列的实际应用 问题 3 1. 现有 10 万元,如果存一年,有多少钱? 2. 10 万元钱,如果存两年,又有多少钱? 3. 如果选择存一年期,但到期忘了取出,5 年后才去取,你猜银行会如何处理? 定期自动转存模型 客户存款到期后,客户如不前往银行办理转存手续,银行可自动将到期的存款本息按相同存期一并转存 .例如,储户某日存 入一笔 1 年期定期存款,1 年后,如果储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务,第二年的本金就是第一年的本利和. 探索:(1)如果储户存入定期为 1 年的 10 万元存款,定期年利率为 3%,连存 5 年后,试求出储户 5 年后所得本利和(暂不 考虑利息税) 1 年后储户的本利和为多少? 2 年后储户的本利和为多少? 3 年后储户的本利和为多少? 5 年后储户的本利和为多少?

S1 ? 100000 (1 ? 3%)1 S 2 ? 100000 (1 ? 3%)2 S3 ? 100000 (1 ? 3%)3

S5 ? 100000 (1 ? 3%)5

(2)如果储户存入定期为 1 年的 P 元存款,定期年利率为 r,连存 n 年后,试求出储户 n 年后所得本利和的公式? 复利 把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式是

S ? P(1 ? r ) n
现在我们来看看富兰克林的遗嘱能不能实现了。 三、思考训练 巩固新知 存期 年利率% 1年 3.00 2年 3.90 3年 4.50 5年 5.00

根据以上表格中提供的数据,给你 10 万元,给你 5 年时间,请你设计一种最佳的存款方案(暂不考虑利息税) 四、归纳小结 提炼新知

存款问题 (实际问题)

数列问题 (数学模型)

解释相关 实际问题
五、分层作业 提升新知 (必做题)课本 34 页

解决数学问题

练习

第 1 ,2 题,

(选做题)课本 36 页

习题 第 2 题

6.4 数列的实际应用举例 一、教学目标:掌握等差数列、等比数列有关的实际应用问题和数列与其它知识的综合应用问题的解法.
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二、教学重点:1.将实际问题转化等差数列型或等比数列型求解;2.数列与其它知识的综合应用问题. 三、教学难点:教实际应用问题时,主要引领学生建构数学模型,分清模型结构;教综合应用问题时,主 要启发学生寻找解题的切入点,进行决策训练. 四、教学过程:课时安排:2 课时 知识要点 1.数列实际应用题常见的数学模型 (1)复利公式 按复利计算利息的一种储蓄,本金为 a 元,每期利率为 r,存期为 x 期,则本利和 y = a(1+r)x . (2)单利公式 利用按单利计算,本金为 a 元,每期利率为 r,存期为 x,则本利和 y = a + a·r·x . 2.数列与其他知识综合,主要有数列与不等式、数列与函数、数列与解析几何等. 例题讲解 1.等差数列应用题 【例 1】银行有一种储蓄业务叫做零存整取,即每月定时存入一笔相同数目的现金,到约定日期可以取出 本利和。规定每次存入的钱不计复利,若某人每月存入 100 元,月利率为 0.3%,问到第 12 个月末整取时 本利和是多少? 分析:本利=本金+利息。第一个月存入的 100 元,计利 12 个月,到期本利是(100+100*0.3%*12)元,第 2 个月存入的 100 元,计利 11 个月,到期本利是(100+100*0.3%*11) ,?第 12 个月存入的 100 元,计利 1 个月,到期本利是(100+100*0.3%*1)元。由此可知,每个月存入的 100 元钱的到期本利构成一个等差 数列,其和就是所要求的 12 个月的本利总款数。 解 : 由 题 意 知 , 每 个 月 存 入 的 100 元 钱 的 到 期 本 利 构 成 一 个 等 差 数 列 , 设为{a n },

则a1 ? 100? 100? 0.3%?12 ? 103.6,

a 12 ? 100 ? 100 ? 0.3% ? 1 ? 100.3, n ? 12,? S12 ?

n(a1 ? a12 ) 12 ? (103 .6 ? 100 .3) ? ? 1223 .4(元) 答:12 2 2

个月的本利和是 1223.4 元。 例 2:某市出租车的计价标准为 1.2 元/km,起步价为 10 元,即最初的 4km(不含 4km)计费 10 元。如果 某人乘坐该市的出租车去往 14km 处的目的地,且一路畅通,等候时间为 0,需要支付多少车费? 分析: 根据题意, 我们知道, 当行程达到 4km 时, 车费为 10+1.2=11.2 元, 行程达到 5km 时, 车费为 11.2+1.2 元,?显然,当行程大于等于 4km 时,每公里所付的车费构成一个公差为 1.2 的等差数列,本题就是求此 等差数列的第 11 项。 解:由题意知,当该出租车的行程大于或等于 4km 时,每增加 1km,乘客需支付 1.2 元,所以我们可以建立

{a n } 的模型来计算车费。 一个等差数列
令 a1

? 11.2,表示 4km 处的车费,公差 d=1.2,那么当车行至 14km 处时,n=11,此时需要支付的车费 a11 ? 11.2? (11- 1)?1.2 ? 23.2( 元)

答:需要支付车费 23.2 元。 例 3:某林场今年计划造林 10 公顷,以后每年比上一年多造林 10%,那么从今年起,几年内可以使林场造 林达到 60 公顷?(结果保留到个位) 分析:今年计划造林 10 公顷, 第二年计划造林 10+10 10%=10(1+10%)公顷, 第三年计划造林 10(1 ? 10%) ? 10(1 ? 10%) ? 10% ? 10(1 ? 10%) 2 公顷,?; 由此可知,每年计划造林的公顷数构成一个等比数列。 解:由题意知,每年计划造林的公顷数构成一个等比数列, n {a n } ,则 a 1 ? 10,q ? 1 ? 10% ? 1.1,Sn ? 60.? 10(1 ? 1.1 ) ? 60 设为 1 ? 1.1 整理,得 1.1 ? 1.6 ,两边取对数,得 nlg1.2 ? lg1.6 ,用计算器可知 n ? 5 . 答:5 年内可以使林场造林达到 60 公顷。 练习题: 1、某企业去年的纯利润为 500 万元,因设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降,若不进行技术改 造,预测今年起每年比上一年纯利润减少 20 万元。今年初该企业一次性投入资金 600 万元进行技术改造,
n

?

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1 预测在未扣除技术改造资金的情况下,第 n 年(今年为第一年)的利润为 500(1+2n)万元(n 为正整数) ① 设从今年起的前 n 年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 An 万元,进行技术改造后的累计纯利润 为 Bn 万元(需扣除技术改造资金),求 An、Bn 的表达式;②依上述预测,从今年起该企业至少经过多少年, 进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润? 解、①依题意,有 An=(500-20)+(500-40)+(500-60)+?+(500-2n)=490n-10n2 1 1 1 500 Bn=500[(1+ )+(1+ 2)+?+(1+ n)]-600=500n- n -100 2 2 2 2 50 50 ② 考查 Bn - An =10[n(n+1)- n -10]而函数 y=x(x+1)- x -10 在(0,+∞) 上为增函数, 2 2 50 当 n=1 或 2 或 3 时,n(n+1)- n -10 <0 2 50 50 当 n≥4 时,n(n+1)- n -10≥20- -10>0;∴仅当 n≥4 时,Bn>An 2 16 ∴至少经过 4 年,该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润 评注:此类试题求解的关键是把实际问题转化为等差数列问题,利用等差数列的定义、通项公式、前 n 项 和公式来解决问题. 2.某人于 1997 年 7 月 1 日在银行按一年定期储蓄的方式存入 a 元,1998 年 7 月 1 日,他将到期存款的本 息取出后添上 a 元再按一年定期储蓄存入银行,此后他每年 7 月 1 日按照同样同样的方法在银行取款和存 款,设银行定期储蓄的年利率 r 不变,问到 2002 年 7 月 1 日他的本息共有多少? 分析:逐年分析,寻找规律,建立数学模型. 解:由题意得:1998 年本息总数为 a(1+r), 2 1999 年本息总数为 a(1+r) +a(1+r), ?? 2002 年本息总数为:a(1+r)5+a(1+r)4+a(1+r)3+a(1+r)2+a(1+r) a(1+r)[1-(1+r)5] a 即 = r [(1+r)6-(1+r)] 1-(1+r) 评述:解决等比数列应用题的关键是认真审题抓特点,仔细观察找规律,一般地,等比数列的特点是增加 或减少的百分数相同,为了分析数列的规律,一般需先写出数列的一些项加以考查. 3、某职工年初向银行贷款 2 万元用于购房,银行为了推动住房制度改革,贷款的优惠年利率为 10%,按 复利计算(即将本年的本金与利润的总和计为次年的本金) ,若这笔贷款要求 10 次等额还清,每年一次, 10 年还清,并且从贷款后次年年初开始归还,问每年应还多少元? 分析:逐年分析,寻找规律,建立恰当数学模型. 解:设贷款额为 a0 元,贷款年利率为 α,次年等额归还 x 元,第 n 年还清,则 一年后的欠款数为:a1=(1+α)a0-x 二年后的欠款数为:a2=(1+α)a1-x=(1+α)2a0-x[(1+α)+1] 2 三年后的欠款数为:a3=(1+α)a2-x=(1+α)3a0-x[(1+α) +(1+α)+1] ?? -1 -2 n 年后的欠款数为:an=(1+α)an-1-x=(1+α)na0-x[(1+α)n +(1+α)n +?+(1+α)+1] 由于 an=0,贷款还清, 1-(1+α)n α(1+α)na0 n ∴(1+α) a0=x· , ∴x= 1-(1+α) (1+α)n-1 将 α=0.1,a0=20000,n=10 代入,得 2000×0.1×1.110 2000×2.5937 x= ≈ 1.5937 ≈3255 元. 1.110-1 4、某地区荒山 2200 亩,从 1995 年开始每年春季在荒山植树造林,第一年植树 100 亩,以后每一年比上 一年多植树 50 亩. (1)若所植树全部都成活,则到哪一年可将荒山全部绿化? (2)若每亩所植树苗、木材量为 2 立方米,每年树木木材量的自然增长率为 20%,那么全部绿化后的那 一年年底,该山木材总量为 S,求 S 的表达式. (3)若 1.28≈4.3,计算 S (精确到 1 立方米). 分析:由题意可知,各年植树亩数为:100,150,200,??成等差数列

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n(n-1) 解:(1)设植树 n 年可将荒山全部绿化,则:100n+ ×50=2200 2 解之得 n=8 或 n=-11(舍去) (2)1995 年所植树,春季木材量为 200 m3,到 2002 年底木材量则增为 200×1.28 m3. 1996 年所植树到 2002 年底木材量为 300×1.27 m3. ?? 2002 年所植树到年底木材量为 900×1.2 m3,则:到 2002 年底木材总量为: 8 7 6 S=200×1.2 +300×1.2 +400×1.2 +?+900×1.2 (m3) 2 3 (3)S=900×1.2+800×1.2 +700×1.2 +?+200×1.28 2 3 8 1.2S=900×1.2 +800×1.2 +?+300×1.2 +200×1.29,两式相减得: 9 2 3 8 0.2S=200×1.2 +100(1.2 +1.2 +?+1.2 )-900×1.2 1.22(1.27-1) 9 =200×1.2 +100× -900×1.2=1812 1.2-1 ∴S=9060( m3) 五、小结:解数学问题应用题重点在过好三关: (1)事理关:阅读理解,知道命题所表达的内容; (2)文理关:将“问题情景”中的文字语言转化为符号语言,用数学关系式表述事件; (3)数理关:由题意建立相关的数学模型,将实际问题数学化,并解答这一数学模型,得出符合实际意 义的解答。 巩固 sinB 1.在三角形 A BC 中,A=120°,AB=5,BC=7,则 的值为( ) sinC 3 5 8 5 A. B. C. D. 5 3 5 8 sinB AC 3 2 解析:选 A.由余弦定理可得 25+AC -10AC·cos120°=49?AC=3,由正弦定理得 = = ,故选 A. sinC AB 5 2.在△ABC 中,B=45°,C=60°,c=1,则最短边的边长是( ) 6 6 1 3 A. B. C. D. 3 2 2 2

c b csinB sin45° 6 解析:选 A.由 = ,得 b= = = ,∵B 角最小,∴最短边是 b. sinC sinB sinC sin60° 3 3.某人在 C 点测得塔顶 A 为南偏西 80°,仰角为 45°,此人沿南偏东 40°方向前进 10 米到 D,测 得塔顶 A 的仰角为 30°,则塔高为( ) A.15 米 B.5 米 C.10 米 D.12 米 解析:选 C.如图,设塔高为 h, 在 Rt△AOC 中,∠ACO=45°,则 OC=OA=h. 在 Rt△AOD 中,∠ADO=30°,则 OD= 3h, 在△OCD 中, ∠OCD=120°,CD=10, 2 2 2 由余弦定理得:OD =OC +CD -2OC·CDcos∠OCD, 2 2 2 即( 3h) =h +10 -2h×10×cos120°, 2 ∴h -5h-50=0,解得 h=10 或 h=-5(舍).
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;命题 q:△ABC 是 sinB sinC sinA 等边三角形.那么命题 p 是命题 q 的________条件. = = = = .由正弦定理 = = , sinB sinC sinA sinA sinB sinC 得 sinA=sinB=sinC,∴A=B=C?a=b=c.反之,亦成立. 答案:充分必要 5.轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时同时离开海港 O, 两船航行方向的夹 角为 120°,两船的航行速度分别为 2 5 n mile/h、15 n mile/h,则下 午 2 时两船之间的距离是________n mile. 解析:命题 p:

4.在△ABC 中,设命题 p:

a

b

c

a

b

c

a

b

c

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解析:如图,由题意可得 OA=50,OB=30. 2 2 2 而 AB =OA +OB -2OA·OBcos120° 1 2 2 =50 +30 -2×50×30×(- ) 2 =2500+900+1500=4900, ∴AB=70. 答案:70 6.(2009 年高考宁夏海南卷)如图,为了解某海域海底构 造,在海平面内一条直线上的 A、B、C 三点进行测量.已知 AB=50 m,BC=120 m,于 A 处测得水 深 AD=80 m,于 B 处测 得水深 BE=200 m,于 C 处测得水深 CF=110 m,求∠DEF 的 余弦值. 解:如图作 DM∥AC 交 BE 于 N,交 CF 于 M.

解:如图作 DM∥AC 交 BE 于 N,交 CF 于 M. DF= MF2+DM2= 302+1702=10 298(m),DE= DN2+EN2= 502+1202=130(m), EF= (BE-FC)2+BC2= 902+1202=150(m).在△DEF 中,由余弦定理的变形公式,得 DE2+EF2-DF2 1302+1502-102×298 16 cos∠DEF= = = . 2DE·EF 2×130×150 65 练习 3 1.如果在测量中,某渠道斜坡的坡度为 ,设 α 为坡角,那么 cosα 等于( ) 4 3 4 3 4 A. B. C. D. 5 5 4 3 3 4 解析:选 B.因 tanα = ,所以 cosα = . 4 5 2.在△ABC 中,角 A,B 均为锐角,且 cosA>sinB,则△ABC 的形状是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 π π π 解析: 选 C.cosA=sin( -A)>sinB, -A, B 都是锐角, 则 -A>B, 2 2 2 π π +B< ,C> . 2 2 3.如图,若 Rt△ABC 的斜边 AB=2,内切圆的半径为 r,则 r 的最大 值为( ) 2 A. 2 B.1 C. D. 2-1 2 a+b-c a+b 解析:选 D.∵r= = -1, 2 2
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A

(a+b) 2 2 ∵4=a +b ≥ , 2 ∴(a+b) ≤8.∴a+b≤2 2,∴r≤ 2-1.故选 D. 4.一船向正北航行,看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小 时后,看见一灯塔在船的南偏西 60°,另一灯塔在船的南偏西 75°,则这艘船的速度是每小时( ) A.5 海里 B . 5 3 海 里 C . 10 海 里 D.10 3海里 解析:选 C.如图,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°, 所以∠CAD=∠CDA=15°,从而 CD=CA=10,在直角三角形 ABC 5 中,得 AB=5,于是这艘船的速度是 =10(海里/小时). 0.5 5.如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即前往营救,同 时把消息告知在甲船的南偏西 30°,相距 10 海里 C 处的乙船, 乙船立即朝北偏东 θ 角的方向沿直线前往 B 处救援, 则 sinθ 的 值等于( ) 21 2 3 5 7 A. B. C. D. 7 2 2 14 解析: 选 D.根据题目条件可作图如图: 在△ABC 中, AB=20, AC=10,∠CAB=120°,由余弦定理有 BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos∠CAB 2 2 =20 +10 -2×20×10cos120°=700, ∴BC=10 7,再由正弦定理得 ∴sin∠ACB= = , sin∠ACB sin∠CAB
2

2

AB

BC

ABsin∠CAB 20×sin120° 21 = = , BC 7 10 7

2 7 cos∠ACB= . 7 所以 sinθ =sin(30°+∠ACB) 1 2 7 3 21 5 7 =sin30°co s∠ACB+cos30°sin∠ACB= × + × = . 2 7 2 7 14 6.一船自西向东航行,上午 10 时到达灯塔 P 的南偏西 75°、距塔 68 海里的 M 处,下午 2 时到达这座 灯塔的东南方向的 N 处,则这只船航行的速度为( ) 17 6 A. 海里/时 B.34 6海里/时 2 17 2 海里/时 D.34 2海里/时 2 解析:选 A.如图,由题意知∠MPN=75°+45°=120°,∠PNM=45°. 在△PMN 中,由正弦定理,得 C.

= ,∴MN=68× =34 6. sin120° sin45° 2 2 又由 M 到 N 所用时间为 14-10=4(小时), 34 6 17 ∴船的航行速度 v= = 6(海里/时). 4 2 1 7.如图,AA1 与 BB1 相交于点 O,AB∥A1B1 且 AB= A1B1.若△AOB 的外接圆 2
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MN

PM

3 2

的直径为 1,则△A1OB1 的外接圆的直径为________. 解析:在△AOB 中,由正弦定理得 =1,sin∠AOB=AB,在△A1OB1 中,由正弦定理得 2R= sin∠AOB

AB

= =2. sin∠A1OB1 AB 答案:2 8. 如图, 在四边形 ABCD 中, 已知 AD⊥CD, AD=10, AB=14, ∠BDA =60°,∠BCD=135°,则 BC 的长为________. 2 2 2 解 析 : 在 △ABD 中 , 设 BD = x , 则 BA = BD + AD - 2 2 2 2 2BD·AD·cos∠BDA,即 14 =x +10 -2·10x·cos60°,整理得 x -10x-96=0,解之得 x1=16,x2=-6(舍去). 在△BCD 中,由正弦定理: = , sin∠CDB sin∠BCD 16 ∴BC= ·sin30°=8 2. sin135° 答案:8 2 9.一船以每小时 15 km 的速度向东航行,船在 A 处看到一灯塔 M 在北偏东 60°方向,行驶 4 h 后,船到达 B 处, 看到这个灯塔在 北偏东 15°方向, 这时船与灯塔的距离为________km. 解析:如图,依题意有 AB=15×4=60, ∠MAB=30°,∠AMB=45°,在△AMB 中, 60 BM 由正弦定理得 = , sin45° sin30° 解得 BM=30 2(km). 答案:30 2 10. (2009 年高考山东卷)已知函数 f(x)=2sinxcos (1)求 φ 的值; (2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a=1,b= 2,f(A)= 1+cosφ 解:(1)f(x)=2sinx +cosxsinφ -sinx 2 =sinx+sinxcosφ +cosxsinφ -s inx =sinxcosφ +cosxsinφ =sin(x+φ ). 因为 f(x)在 x=π 时取最小值, 所以 sin(π +φ )=-1,故 sinφ =1. π 又 0<φ <π ,所以 φ = . 2 π (2)由(1)知 f(x)=sin(x+ )=cosx. 2
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A1B1

A1B1

BC

BD

2

φ +cosxsinφ -sinx(0<φ <π )在 x=π 处取最小值. 2 3 ,求角 C. 2

因为 f(A)=cosA=

3 , 2

π 且 A 为△ABC 的内角,所以 A= . 6 由正弦定理得 sinB=

bsinA 2 = , a 2

π 3π 又 b>a,所以 B= 或 B= . 4 4 π π π 7π 当 B= 时,C=π -A-B=π - - = , 4 6 4 12
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3π π 3π π 当 B= 时,C=π -A-B=π - - = . 4 6 4 12 7π π 综上所述,C= 或 C= . 12 12 11.某观测站在城 A 南偏西 20°方向的 C 处,由城 A 出发的一条 公路,走向是南偏东 40°,在 C 处测得公路距 C 31 千米的 B 处有一 人正沿公路向城 A 走去,走了 20 千米后到达 D 处,此时 CD 间的距离 为 21 千米,问这人还要走多少千米可到达城 A? 解:如图所示,设∠ACD=α ,∠CDB=β .在△CBD 中.由余弦定理得 BD2+CD2-CB2 cosβ = 2BD·CD 2 2 2 20 +21 -31 1 = =- , 2×20×21 7 4 3 ∴sinβ = . 7 而 sinα =sin(β -60°) =sinβ cos60°-sin60°cosβ 4 3 1 3 1 5 3 = · + · = . 7 2 2 7 14 21 AD 在△ACD 中, = , sin60° sinα 21×sinα ∴AD= =15(千米). sin60° 所以这人再走 15 千米才可到城 A. 12.如图所示,甲船由 A 岛出发向北偏东 45°的方向作匀速直线航行, 速度为 15 2海里/小时,在甲船从 A 岛出发的同 时,乙船从 A 岛正南 40 海 1 里处的 B 岛出发,朝北偏东 θ (tanθ = )的方向作匀速直线航行,速度为 2
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10 5海里/小时. (1)求出发后 3 小时两船相距多少海里? (2)求两船出发后多长时间距离最近?最近距离为多少海里? (3)两船在航行中能否相遇,试说明理由. 解:以 A 为原点,BA 所在直线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系. 设在 t 时刻甲、乙两船分别在 P(x1,y1)、Q(x2,y2)处. 则?

?x1=15 2tcos45°=15t ?y1=x1=15t

1 2 5 5 由 tanθ = 可得,cosθ = ,sinθ = , 2 5 5 故?

?x2=10 5tsinθ =10t ?y2=10 5tcosθ -40=20t-40.

(1)令 t=3,P、Q 两点的坐标分别为(4 5,45),(30,20), 2 2 |PQ|= (45-30) +(45-20) = 850=5 34. 即出发后 3 小时两船相距 5 34海里. 2 2 (2)由(1)的解法过程易知:|PQ|= (x2-x1) +(y2-y1) 2 2 = (10t-15t) +(20t-40-15t) 2 2 = 50t -400t+1600= 50(t-4) +800≥20 2, ∴当且仅当 t=4 时,|PQ|取得最小值 20 2. 即两船出发 4 小时后距离最近,最近距离为 20 2海里. (3)由(2)可知,两船之间的最近距离为 20 2海里,所以两船在航行中不会相遇
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§2.6

函数模型及其应用(二)

例 1.我市有甲,乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同.甲俱乐部每张球台每小 时 5 元;乙俱乐部按月计费,一个月中 30 小时以内(含 30 小时)每张球台 90 元,超过 30 小时的部 分每张球台每小时 2 元.小张准备下个月从这两家俱乐部中的一家租一张球台开展活动,其活动时间 不少于 15 小时,也不超过 40 小时. (1) 设在甲俱乐部租一张球台开展活动 x 小时的收费为 f(x)元(15 ? x ? 40),在乙俱乐部租一 张球台开展活动 x 小时的收费为 g(x)元(15 ? x ? 40),试求 f(x)和 g(x); (2) 你认为小张选择哪家俱乐部比较合算?请说明理由.

例 2.某公司有价值 a 万元的一条生产流水线,要提高该生产流水线的生产能力,就要对其进行技术改造, 改造就需要投入资金,相应就要提高生产产品的售价.假如售价 y 万元与技术改造 x 万元之间的关系 满足:① y 与 a ? 2 x 和 x 的乘积成正比;②当 x ? ③0 ?

a a2 时, y ? ; 4 2

x ? t ,其中 t 为常数,且 t ?[0,1] . a ? 2x (Ⅰ)设 y ? f ( x) ,试求出 f ( x ) 的表达式,并求出 y ? f ( x) 的定义域; (Ⅱ)求出售价 y 的最大值,并求出此时的技术改造投入的 x 的值.

a ? 0.1 ? 15ln , ( x ? 6) ? ? a?x 例 3.有时可用函数 f ( x) ? ? ? x ? 4.4 , ( x ? 6) ? x?4 ?
描述学习某学科知识的掌握程度,其中 x 表示某学科知识的学习次数( x ? N ) , f ( x ) 表示对该学 科知识的掌握程度,正实数 a 与学科知识有关。 (1) 证明:当 x ? 7 时,掌握程度的增加量 f ( x ? 1) ? f ( x) 总是下降;
*

(2) 根据经验,学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为 (115,121] , (121,127] , ?127 , 133?。当学习 某学科知识 6 次时,掌握程度是 85%,请确定相应的学科。

【针对训练】 班级 姓名 学号 1.某种商品 1995 年提价 25%,1998 年要恢复成原价,则应降价 2.某种商品进货单价 40 元,若按每个 50 元的价格出售,能卖出 50 个,若销售单价每上涨 1 元,则销售 量就减少 1 个。为了获得最大利润,此商品的最佳售价应定每个 元 3.某乡现在人均一年占有粮食 360 kg ,如果该乡镇人口平均每年增长 1.2%,粮食 总产量平均每年增长 4%,那么 x 年后,若人均一年占有 y kg 粮食,则函数 y 关于 x 的解析式为 4.如图,有一块边长为 a 的正方形铁皮,将其四个角各截去一个边长为 x 的 小正方形,然后折成一个体积为 V 的无盖长方体盒子,则用 x 表示 V 的 a 函数关系式为 x 5.一家人(父母亲、孩子)去某地旅游,有两个旅行社同时发出邀请,且有各自 的优惠 政策.甲旅行社承诺,如果父亲买一张全票,则其家庭成员均可享受半价,乙 旅行社 2 承诺,家庭旅行算团体票,按原价的3 计算,这两家旅行社的原价是一样的,若家庭中孩子数不同, 试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的孩子个数为变量的收费表达式,比较选择哪家更优惠?
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6. A, B 两城相距 100km ,在两地之间距 A 城 x km 处 D 地建一核电站给 A, B 两城供电,为保 证城市安全. 核电站距市距离不得少于 10 km . 已知供电费用与供电量和供电距离的平方之积 ? ? 0.25.若 A 城供电量为 20 亿度/月, B 城为 10 亿度/月. (1)把月供电总费用 y 表示成 x 的函数,并求定义域; (2)核电站建在距 A 城多远,才能使供总电费用最小. 成正比,比例系数

7.某地方政府为保护地方电子工业发展,决定对某一进口电子产品征收附加税.已知这种电子产品国内 市场零售价为每件 250 元,每年可销售 40 万件,若政府增加附加税率为每百元收 t 元时,则每年销售 8 量将减少 5 t 万件. (1)将税金收入表示为征收附加税率的函数; (2)若在该项经营中每年征收附加税金不低于 600 万元,那么附加税率应控制在什么范围?

8.通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时 间,上课开始时,学生的兴趣激增,中间有一段不太长的时间,学生的兴趣保持较理想的状态,随后 学生的注意力开始分散, 并趋于稳定. 分析结果和实验表明, 用 f ( x) 表示学生掌握和接受的能力 ( f ( x) 值越大,表示接受能力越强) x 表示提出和讲述概念的时间(单位:分)可有以下公式:

? 0.1x 2 ? 2.6x ? 44
f ( x) ?
60

? 3x ? 105

30 (1)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多少时间? (2)试比较开讲后 5 分钟、20 分钟、35 分钟,学生的接受能力的大小; (3)若一个数学难题,需要 56 的接受能力以及 12 分钟时间,老师能否及时在学生一直达到所需接受能 力的状态下讲述完这个难题?

?0 ? x ? 10? (10 ? x ? 15) ?15 ? x ? 25? ?25 ? x ? 40?

正、余弦定理在实际生活中的应用

江苏

李洪洋

正、余弦定理在测量、航海、物理、几何、天体运行等方面的应用十分广泛,解这类应用题需要我们 吃透题意,对专业名词、术语要能正确理解,能将实际问题归结为数学问题.求解此类问题的大概步骤为: (1)准确理解题意,分清已知与所求,准确理解应用题中的有关名称、术语,如仰角、俯角、视角、象 限角、方位角等; (2)根据题意画出图形; (3)将要求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运 用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型,然后正确求解,演算过程要简练,计算要准确,最后作 答.

1.测量中正、余弦定理的应用 例 1 某观测站 C 在目标 A 南偏西 25 ? 方向,从 A 出发有一条南偏东 35 ? 走向的公路,在 C 处测得公 路上与 C 相距 31 千米的 B 处有一人正沿此公路向 A 走去,走 20 千米到达 D ,此时测得 CD 距离为 21 千 米,求此人所在 D 处距 A 还有多少千米? 分析:根据已知作出示意图,分析已知及所求,解 ?CBD ,求角 B .再解 北 ?ABC ,求出 AC ,再求出 AB ,从而求出 AD (即为所求). 解:由图知, ?CAD ? 60? . A 东 BD 2 ? BC 2 ? CD 2 312 ? 202 ? 212 23 25 ? 35 ? cos B ? ? ? , 2 BC ? BD 2 ? 31? 20 31 D 21 20 12 3 . sin B ? C 31 31

B

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BC ? sin B ? 24 . sin A 2 2 2 由余弦定理,得 BC ? AC ? AB ? 2 AC ? AB ? cos A . 2 2 2 即 31 ? AB ? 24 ? 2 ? AB ? 24 ? cos 60? . 2 整理,得 AB ? 24 AB ? 385 ? 0 ,解得 AB ? 35 或 AB ? ?11 (舍). 故 AD ? AB ? BD ? 15 (千米). 答:此人所在 D 处距 A 还有 15 千米.
在 ?ABC 中, AC ? 评注:正、余弦定理的应用中,示意图起着关键的作用, “形”可为“数”指引方向,因此,只有正 确作出示意图,方能合理应用正、余弦定理.

2.航海中正、余弦定理的应用 例 2 在海岸 A 处, 发现北偏东 45 ? 方向, 距 A 为 3 ? 1 海里的 B 处有一艘走私船, 在 A 处北偏西 75 ? 方向,距 A 为 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3 海里/小时的速度追截走私船.此时走私船正以 10 海里/ 小时的速度从 B 处向北偏东 30 ? 方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船,并求出所需要的时
间? 分析:注意到最快追上走私船,且两船所用时间相等,可画出示 意图,需求 CD 的方位角及由 C 到 D 所需的航行时间. 解:设缉私船追上走私船所需时间为 t 小时,则有 CD ? 10 3t ,

D

BD ? 10t . 在 △ ABC 中 , ∵ AB ? 3 ? 1 , AC ? 2 , ?BAC ? 45? ? 75? ? 120? ,
根 据
2 2

30 ? C
75 ? 45 ? A
B













BC ? ( 3 ? 1) ? 2 ? 2 ? 2 ? ( 3 ? 1) cos120? ? 6 .

3 2? AC sin120? 2 ? 2. ? 根据正弦定理可得 sin ?ABC ? BC 2 6 ∴ ?ABC ? 45? ,易知 CB 方向与正北方向垂直,从而 ?CBD ? 90? ? 30? ? 120? . BD sin ?CBD 10t ? sin120? 1 ? ? , 在 △BCD 中,根据正弦定理可得: sin ?BCD ? CD 2 10 3t
∴ △BCD ? 30? , ?BDC ? 30? ,∴ BD ? BC ? 6 ,

6 ? 0.245 小时 ? 14.7 分钟. 10 0 所以缉私船沿北偏东 60 方向,需 14.7 分钟才能追上走私船.
则有 10t ?

6 ,t ?

评注:认真分析问题的构成,三角形中边角关系的分析,可为解题的方向提供依据.明确方位角是应 用的前提,此题边角关系较复杂要注意正余弦定理的联用.

3.航测中正、余弦定理的应用
例 3 飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内,已知飞机的高度为海拔 20250 m,速度为 180 km/h,飞行
'

员先看到山顶的俯角为 18?30 ,经过 120 秒后又看到山顶的俯角为 81 ? ,求山顶的海拔高度(精确到 1 m). 分析:首先根据题意画出图形,如图,这样可在 ?ABM 和 Rt ?BMD 中解出山顶到航线的距离,然后 再根据航线的海拔高度求得山顶的海拔高度. 解:设飞行员的两次观测点依次为 A 和 B ,山顶为 A B D M ,山顶到直线的距离为 MD . 如图,在 △ ABM 中,由已知,得 M ?A ? 18?30 ' ,?ABM ? 99? ,?AMB ? 62?30' . 又 AB ? 180 ?

120 ? 6 (km), 60 ? 60

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6sin18?30 ' , sin 62?30 ' 6sin18?30 'sin 81? 进而求得 MD ? ,∴ MD ? 2120 (m), sin 62?30 ' 可得山顶的海拔高度为 20250 ? 2120 ? 18130 (m).
根据正弦定理,可得 BM ? 评注:解题中要认真分析与问题有关的三角形,正确运用正、余弦定理有序地解相关的三角形,从而 得到问题的答案.

4.炮兵观测中正、余弦定理的应用 例 4 我炮兵阵地位于地面 A 处,两观察所分别位于地面点 C 和 D 处,已知 CD ? 6000 米, ?ACD ? 45? , ?ADC ? 75? ,目标出现于地面点 B 处时,测得 ?BCD ? 30? , ?BDC ? 15? (如图) ,
求炮兵阵地到目标的距离(结果保留根号). 分析:根据题意画出图形,如图,题中的四点 A 、 B 、 C 、 D 可构成四个三角形.要求 AB 的长,由 于 ?ADB ? 75? ? 15? ? 90? , 只需知道 AD 和 BD 的长, 这样可选择在 ?ACD 和 ?BCD 中应用定理求解. 解:在 △ ACD 中, ?CAD ? 180? ? ?ACD ? ?ADC ? 60? , CD ? 6000 , ?ACD ? 45? ,

A

CD sin 45? 2 ? CD , sin 60? 3 同理,在 △BCD 中, ?CBD ? 180? ? ?BCD ? ?BDC ? 135? , CD ? 6000 , ?BCD ? 30? , C 45 ? CD sin 30? 2 30 ? 根据正弦定理有 BD ? ? CD . sin135? 2 又在 ?ABD 中, ?ADB ? ?ADC ? ?BDC ? 90? , 2 1 42 2 2 根据勾股定理有: AB ? AD ? BD ? ? CD ? CD ? 1000 42 . 3 2 6 所以炮兵阵地到目标的距离为 1000 42 米.
根据正弦定理有 AD ?

15 ?

75 ?

D

评注:应用正、余弦定理求解问题时,要将实际问题转化为数学问题,而此类问题又可归结为解斜三 角形问题,因此,解题的关键是正确寻求边、角关系,方能正确求解.

5.下料中正余弦定理的应用
例 5 已知扇形铁板的半径为 R ,圆心角为 60 ? ,要从中截取一个面积最大的矩形,应怎样划线? 分析:要使截取矩形面积最大,必须使矩形的四个顶点都在扇形的边界上,即为扇形的内接矩形,如 图所示.

B

B P

P D

Q
O
解: 在图 (1) 中,在 ? AB 上取一点 P , 过 P 作 PN ? OA 于 N , 过 P 作 PQ ? PN 交 OB 于 Q , 再 过 Q 作

Q
E

x

N
M A

x
M (1)

N A

O

(2)

QM ? OA 于 M .
设 ?AOP ? x , PN ? R sin x . 在 △POQ 中,由正弦定理,得

OP PQ ? .∴ sin(180? ? 60?) sin(60? ? x)

PQ ?

2 3 R sin(60? ? x) . 3
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2 3 2 3 2 R sin x ? sin(60? ? x) ? R ?cos(2 x ? 60?) ? cos 60?? 3 3 3 2 1 3 2 ? R (1 ? ) ? R . 3 2 6 3 2 当 cos(2 x ? 60?) ? 1 即 x ? 30? 时, S 取得最大值 R . 6 在图(2)中,取 ? AB 中点 C ,连结 OC ,在 ? AB 上取一点 P ,过 P 作 PQ // OC 交 OB 于 Q ,过 P 作 PN ? PQ 交 ? AB 于 N ,过 Q 作 QM ? PQ 交 CA 于 M ,连结 MN 得矩形 MNPQ ,设 ?POC ? x ,则
于是 S ? PN ? PQ ?

PD ? R sin x .
在 △POQ 中,由正弦定理得: ∴ PQ ? 2R sin(30? ? x) . ∴ S ? 2PD ? PQ ? 4R2 sin x ? sin(30? ? x) ? 2R2 ?cos(2x ? 30?) ? cos30?? ). ? 2R2 (1 ? cos30?) ? (2 ? 3) R2 (当 x ? 15? 时取“ ? ” ∴当 x ? 15? 时, S 取得最大值 (2 ? 3) R2 .∵

R R , ? sin(180? ? 30?) sin(30? ? x)

∴作 ?AOP ? 30? ,按图(1)划线所截得的矩形面积最大. 评注:此题属于探索性问题,需要我们自己寻求参数,建立目标函数,这需要有扎实的基本功,在平 时学习中要有意识训练这方面的能力. 综上,通过对以上例题的分析,要能正确解答实际问题需: (1)准确理解有关问题的陈述材料和应用 的背景; (2)能够综合地,灵活地应用所学知识去分析和解决带有实际意义的与生产、生活、科学实验相 结合的数学问题. §8.2 平面向量与代数、几何的综合应用 一、知识导学 1.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和,减去这两边与它们夹角的余弦的积的 2 倍, 即

3 2 R ? (2 ? 3) R 2 , 6

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC
2.正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于外接圆的直径,即

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C
二、疑难知识导析 1. 初中学过的勾股定理只是余弦定理的一种特殊情况。 如当 C =

? 2 2 2 时,cos C =0, 此时有 c ? a ? b ; 2

2.由于本节内容与代数、几何联系比较紧,故读者需对解斜三角形、解析几何中的圆锥曲线等知识非 常熟悉方可。 三 经典例题导讲 2 2 2 [例 1]在 ABC 中,已知 a =b +bc+c ,则角 A 为( ) A.

? 3

B.

? 6

C.

2? 3

D.

? 2? 或 3 3

错解:选 A 错因:公式记不牢,误将余弦定理中的“减”记作“加”。 正解:∵a =b +bc+c =b +c -2bc(-
2 2 2 2 2

1 2? 2? 2 2 )=b +c -2bc·cos ∴∠A= 选 C. 2 3 3
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[例 2]在△ABC 中,已知 a cos A ? b cos B ,试判别其形状。 错解:等腰三角形。 错因:忽视了两角互补,正弦值也相等的情形。直接由 a cos A ? b cos B 得, sin A cos A ? sin B cos B , 即 sin 2 A ? sin 2 B ,则 2 A ? 2 B 。接着下结论,所求三角形为等腰三角形 正解:由 a cos A ? b cos B 得, sin A cos A ? sin B cos B ,即 sin 2 A ? sin 2 B
0 则 2 A ? 2 B 或 2 A ? 2B ? 180 ,故三角形为直角三角形或等腰三角形。

[例 3]在 ?ABC 中 ?C ? 30?, c ? 6 ? 2 ,试求 ?ABC 周长的最大值。并判断此时三角形的形状。 错解:由于题目中出现了角和对边,故使用余弦定理,进一步想使用不等式或二次函数求最值 错因:其实这种思路从表面上看是可行的,实际上处理过程中回遇到无法进行下去的困难。 正解:由正弦定理,得 a=2( 6 ?

2 )sinA, b=2( 6 ? 2 )sinB. A? B A? B A? B 6? 2 o a+b=2( 6 ? 2 )(sinA+sinB)=4( 6 ? 2 )sin cos , sin =sin75 = 2 2 2 4 A? B 2 2 a+b=( 6 ? 2 ) cos ≤( 6 ? 2 ) =8+4 3 . 2 当 a=b 时,三角形周长最大,最大值为 8+4 3 + 6 ? 2 . 此时三角形为等腰三角形
? ?

[例 4]在 ?ABC 中, ?A ? 60?, | AC |:| AB |? 8 : 5 ,其内切圆面积为 12? ,求 ?ABC 面积。 分析:题中涉及到内切圆,而内切圆直接与正弦定理联系起来了,同时正弦定理和余弦定理又由边联系起 来了。 解:由已知,得内切圆半径为 2 3 . 由余弦定理,得三角形三边分别为 16,10,14. [例 5]已知定点 A(2,1)与定直线 l :3x-y+5=0,点 B 在 l 上移动,点 M 在线段 AB 上,且分 AB 的比为 2,求点 M 的轨迹方程. 分析:向量的坐标为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁,形成了代数与几何联系的新纽带 . 解:设 B(x0,y0),M(x,y) ∴ AM =(x-2,y-1), MB =(x0-x,y0-y),由题知 AM =2 MB ∴?

? x ? 2 ? 2( x 0 ? x ) ? y ? 1 ? 2( y 0 ? y )

?

3x ? 2 ? x ? 0 ? 3x ? 2 3 y ? 1 ? 2 ,由于 3x0-y0+5=0,∴3× +5=0 ? 3 y ? 1 2 2 ?y ? 0 ? 2 ?

化简得 M 的轨迹方程为 9x-3y+5=0 2 [例 6]过抛物线:y =2px(p>0)顶点 O 作两条互相垂直的弦 OA、OB(如图),求证:直线 AB 过一定点,并求出这 一定点. 分析: 对于向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),有 a//b ? x1y2-x2y1=0.可以用来处理解析几何中的三点共线与两直 线平行问题.

t12 t2 t2 t2 ,t1),B 点坐标为( 2 ,t2) ∴ OA =( 1 ,t1), OB =( 2 ,t2), 2p 2p 2p 2p t2 t2 ∵OA⊥OB,∴ OA ? OB =0 ? 1 ? 2 +t1?t2=0 2p 2p ?t1?t2=-4p2 ① t2 t2 t2 设直线 AB 过点 M(a,b),则 BM =(a- 2 ,b-t2), BA =( 1 - 2 ,t1-t2), 2p 2p 2p t2 t2 t2 由于向量 BM 与 BA 是共线向量,∴(a- 2 )(t1-t2)= (b-t2)( 1 - 2 ) 2p 2p 2p
证明:由题意知可设 A 点坐标为( 化简得 2p(a-2p)=b(t1+t2) 显然当 a=2p,b=0 时等式对任意的成立 ∴直线 AB 过定点,且定点坐标为 M(2p,0)
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四 典型习题导练 1.已知锐角三角形的边长分别为 2,3,x,则第三边 x 的取值范围是( ) A.1<x<5 B. 5 <x< 13 C. 13 <x<5 2. ?ABC 三顶点 A(1,1), B(3,4), C (?2,3) ,则 ?ABC 的面积为__ D.1<x< 5 _。

3.△ABC 中,若边 a:b:c= 2 :(1+ 3 ):2,则内角 A= 。 4.某人在 C 点测得塔顶 A 在南偏西 80°,仰角为 45°,此人沿南偏东 40°方向前进 10 米到 0,测得塔 顶 A 仰角为 30°,则塔高= 。 5.在△ABC 中,已知 B=30°,b=50 ,c=150,解三角形并判断三角形的形状。 6.在△ABC 中,已知 cot A ? cot B ? cot C = ,判定△ABC 是什么三角形。

江苏省启东中学 2013 届高三数学寒假专题训练四《应用题》
1、某校迎接校庆中有一项工作是请 20 位工人制作 100 只灯笼和 20 块展板.已知一名工人在单位时间内 可制作 10 只灯笼或 3 块展板.现将 20 名工人分成两组,一组制作灯笼,一组制作展板,同时开工.设制 作灯笼的工人有 x 名( 1 ? x ? 19 ) . (Ⅰ)用 x 分别表示制作 100 只灯笼和 20 块展板所用的单位时间; (Ⅱ)求当 x 为何值时,完成此项工作时间最短.

2、甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方每年向乙方索赔以弥补经 济损失并获得一定净收入.乙方在不赔付甲方的情况下,乙方的年利润 x (元)与年产量 t (吨)满足函 数关系 x ? 2000 t .若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 s 元(以下称 s 为赔付价格) . (1)将乙方的年利润 w (元)表示为年产量 t (吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量; (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y ? 0.002 t 2 (元),在乙方按照获得最大利润的产量进行 生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格 s 是多少?

3、如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN,要求 M 在 AB 的延长线上,N 在 AD 的延长线上,且对角线 MN 过 C 点。已知 AB=3m,AD=2m。 (1)设 AN ? x (单位:m) ,要使花坛 AMPN 的面积大于 32m2,求 x 的取值范围; (2)若 x ? [3,4) (单位:m) ,则当 AM,AN 的长度分别是多少时,花坛 AMPN 的面积最大?并求出 最大面积。

4、海岛 B 上有一座为 10 米的塔,塔顶的一个观测站 A,上午 11 时测得一游船位于岛北偏东 15°方向上, 且俯角为 30°的 C 处,一分钟后测得该游船位于岛北偏西 75°方向上,且俯角 45°的 D 处。 (假设游船 匀速行驶) (I)求该船行使的速度(单位:米/分钟) (II)又经过一段时间后,油船到达海岛 B 的正西方向 E 处,问此时游船距离海岛 B 多远。

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5、某市旅游部门开发一种旅游纪念品,每件产品的成本是 m 元,销售价是 2 m 元,月平均销售 a 件.通 过改进工艺,产品的成本不变,质量和技术含金量提高,市场分析的结果表明,如果产品的销售价提高的 百分率为 x ? 0 ? x ? 1? ,那么月平均销售量减少的百分率为

x2 .记改进工艺后,旅游部门销售该纪念品 2

的月平均利润是 y (元) . (1)写出 y 与 x 的函数关系式; (2)改进工艺后,确定该纪念品的售价,使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.

6、市政府为招商引资,决定对外资企业第一年产品免税.某外资厂该年 A 型产品出厂价为每件 60 元,年 销售量为 11.8 万件.第二年,当地政府开始对该商品征收税率为 p%(0<p<100,即销售 100 元要征收 p 元)的税收,于是该产品的出厂价上升为每件

8000 元,预计年销售量将减少 p 万件. 100 ? p

(Ⅰ)将第二年政府对该商品征收的税收 y(万元)表示成 p 的函数,并指出这个函数的定义域; (Ⅱ)要使第二年该厂的税收不少于 16 万元,则税率 p%的范围是多少? (Ⅲ)在第二年该厂的税收不少于 16 万元的前提下,要让厂家获得最大销售金额,则 p 应为多少?

江苏省启东中学 2013 届高三数学寒假专题训练四参考答案
100 10 ? ( 1 ? x ? 19 ) ; ------------3 分 10 x x 20 制作展板的工人为(20-x)人,制作 20 块展板所用的单位时间 g(x)= ( 1 ? x ? 19 )---6 分 3(20 ? x) (Ⅱ)由题意,完成此项工作的时间是两组中完成晚的那组时间,即 f ( x) 和 g ( x) 中的最大值.------8 分 10 20 ? 当 f ( x) = g ( x) ,即 ,x=12. ------------------------------------9 分 x 3(20 ? x) 由于在定义域内 f ( x) 为减函数, g ( x) 为增函数, -------------------------------11 分 所以当 x<12 时, f ( x) > f (12) ,即完成工作的时间将变长; -----------12 分 当 x>12 时, g ( x) ? g (12) ,即完成工作的时间将变长; ---------------13 分
1、解答: (Ⅰ)制作 100 只灯笼所用单位时间为 f ( x) = 所以当 x=12 时,完成此项工作时间最短. 2、解:(1)乙方的实际年利润为: w ? 2000 t ? st ----------14 分

t ? 0.
2

? 1000? 1000 2 10002 w ? 2000 t ? st ? ? s( t ? ) ? ,当 t ? ? s ? 时, w 取得最大值. ? ? s s ? 1000? 所以乙方取得最大年利润的年产量 t ? ? s ? (吨). ? ?
2 2

??????7 分

? 1000? 10002 2 ? 10003 ? (2)设甲方净收入为 v 元,则 v ? st ? 0.002t .将 t ? ? s ? 代入上式,得: v ? . ? ? s s4
2

又令 v ? ? 0 ;当

v? ? ?

10002 8 ?10003 10002 (8000? s 3 ) v ? ? 0 ,得 s ? 20 . 当 s ? 20 时, ? ? s ? 20 时, s2 s5 s5

v ? ? 0 ,所以 s ? 20 时, v 取得最大值.因此甲方向乙方要求赔付价格 s ? 20 (元/吨)时,获最大净收
入. ?15 分
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3、

因为当 x ? [3, 4) 时,y′< 0,所以函数 y= 从而当 x=3 时 y=

3x2 在 [3, 4) 上为单调递减函数, x?2

3x2 取得最大值,即花坛 AMPN 的面积最大 27 平方米,此时 AN=3 米,AM=9 米 ?14 分 x?2 0 4、(Ⅰ)在 Rt ? ABC 中, ?BAC =60 ,AB = 10,则 BC = 10 3 米 ????2 分 0 在 Rt ? ABD 中, ?BAD=45 ,AB = 10,则 BD = 10 米 ???????? 4 分
在 Rt ? BCD 中, ?BDC =75 +15 =90 ,则 CD =
0 0 0

BD2 +BC 2 = 20 米

???? 5 分

CD = 20 米/分钟 ????????6 分 1 0 0 0 (Ⅱ)在 Rt ?BCD 中, ?BCD=30 ,又因为 ?DBE =15 ,所以 ?CBE =105 ????8 分 EB BC 0 ? 所以 ?CEB=45 ????9 分,在 ?BCE 中,由正弦定理可知 , 0 sin 30 sin 450 BC sin 300 ?5 6 米 所以 EB ? ??????????12 分 sin 450
所以速度 v = 答: (I)该船行使的速度为 20 米/分钟; (II)又经过一段时间后,油船到达海岛 B 的正西方向 E 处,此时游船距离海岛 5 6 米。????13 分 (1)改进工艺后,每件产品的销售价为 2m ?1 ? x ? ?1 分,月平均销售量为 a ? 1 ? ? 件,?2 分 5、解: 2 ? ?

?

x2 ?

? x2 ? y ? a ?1 ? ? ? ? 2m ?1 ? x ? ? m ? ? (元) 则月平均利润 ,???????????5 分 2? ? ?
x2 ? 2 x ? 1)(0 ? x ? 1) ???????8 分 2 2 2 (2) y ? ? ma ? ?3 x ? x ? 2 ? ? ? ma (3 x ? 2)( x ? 1) ,令 y ? ? 0 得 x1 ? , x ? ?1 (舍) 3 2 2 当 0 ? x ? 时 y ? ? 0 ,函数为增函数; ? x ? 1 时 y ? ? 0 ,函数为减函数 3 3 2 2 x 3 ? 2 x ? 1)(0 ? x ? 1) 在 x ? 取得最大值. ∴函数 y ? am(? x ? ????13 分 3 2 ? 2 ? 10 故改进工艺后,产品的销售价为 2m ?1 ? ? ? m 元时,旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.?16 分 ? 3? 3
∴ y 与 x 的函数关系式为 y ? am(? x ?
3

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6、解:依题意,第二年该商品年销售量为(11.8-p)万件,年销售收入为 政府对该商品征收的税收 y= 故所求函数为 y=

8000 (11.8-p)万元, 100 ? p

8000 (11.8-p)p%(万元) 100 ? p

80 (11.8-p)p,由 11.8-p>0 及 p>0 得定义域为 0<p<11.8??4 分 100 ? p 80 (II)解:由 y≥16 得 (11.8-p)p≥16 100 ? p
化简得 p2-12p+20≤0,即(p-2) (p-10) ≤0,解得 2≤p≤10. 故当税率在[0.02,0.1]内时,税收不少于 16 万元. ??????9 分 (III)解:第二年,当税收不少于 16 万元时,

80 (11.8-p) (2≤p≤10) 100 ? p 8000 882 ? g ( p) ? (11.8 ? p) ? 800(10 ? ) 在[2,10]是减函数 100 ? p 100 ? p
厂家的销售收入为 g(p)= ∴g(p)max=g(2)=800(万元) ,故当税率为 2%时,厂家销售金额最大.??14 分

函数应用题归类分析
我们已经学过一次函数、二次函数及分段函数,应用这些函数能解决我们遇到的许多实际数学问题, 现归类如下。 一 能解决利润最大或效益最高问题 例 1、某售货点,从批发部批发某一种商品的进价是每份 0.35 元,卖不掉的商品还要以每份 0.08 元的价 格退回批发部,卖出的商品的价格是每份 0.5 元,在一个月(30 天)中,有 20 天每天可以卖出 400 份,其余 10 天每天只能卖出 250 份,假设每天从批发部买进的商品的数量相同,则每天从批发部进 货多少才能使每月所获得利润最大?最大利润是多少? 分析:每月的利润=月总收入—月总成本,而月总收入有三部分:可每天卖出 400 份共 20 天的收入;可每 天卖出 250 份的共 10 天的收入;没有卖出而退回批发部的商品的收入。 解、设每天从批发部买进的数量为 x 份,易知 250 ? x ? 400 ,设每月的纯收入为 y 元,则由题意,得

y ? 0.5 ? x ? 20 ? 0.5 ? 250 ?10 ? ( x ? 250) ? 0.08 ?10 ? 0.35 ? 30 ? 0.3x ? 1050

因为一次 y ? 0.3x ? 1050 函数 y ? 0.3x ? 1050 在区间 x ?? 250, 400? 上为增函数,所以当 x ? 400

x ??2 5 0 , 4 ?0 0

时,函数 y ? 0.3x ? 1050 取得最大值: y ? 0.3 ? 400 ? 1050 ? 1170 (元) 答;当每天从批发部进货 400 分时,每月所获得利润最大,最大利润是 1170 元。 点评:本题是一次函数模型的应用,对于利用一次函数来求最值,主要是利用其单调性来解决。 例 2、旅行社为某旅游团包飞机去旅游,其中旅行社的包机费为 15000 元,旅游团中的每人的飞机票按以 下方式与旅行社结算:若旅游团的人数在 30 人或 30 人以下,飞机票每张收费 900 元;若旅游团的人 数多于 30 人,则给与优惠,每多 1 人,机票费每张减少 10 元,但旅游团的人数最多有 75 人,那么 旅游团的人数为多少时,旅行社可获得的利润最大? 解、设旅游团的人数为 x 人,飞机票为 y 元,依题意, 得当 1 ? x ? 30 时, y ? 900 ;当 30 ? x ? 75 时, y ? 900 ? 10( x ? 30) ? ?10 x ? 1200 ; 所以所求函数为 y ? ?

(1 ? x ? 30) ?900        (30 ? x ? 75) ??10 x ? 1200    

设利润为 Q ,则 Q ? y ? x ? 15000 ? ? 当 1 ? x ? 30 时, Qmax

(1 ? x ? 30) ?900 x ? 15000       

2 (30 ? x ? 75) ??10 x ? 1200 x ? 15000     ? 900 ? 30 ?15000 ? 12000 ,

当 30 ? x ? 75 时, 所以当 x ? 60 时, Qmax ? 21000 ? 12000 , Q ? ?10x2 ? 1200x ?15000 ? ?10( x ? 60)2 ? 21000 , 答:当旅游团人数为 60 人时,旅行社可获得最大利润 21000 元。 点评:本题是由一段一次函数、一段二次函数构成的分段函数的最值问题,对于分段函数的最值,应先在
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各自的定义域上求出各段的最值,然后加以比较,最后确定出最值。 二 能帮助选择最佳方案 例 3、某企业买劳保工作服和手套,市场价每套工作服 53 元,手套 3 元一副,该企业联系了两家商店,由 于用货量大,这两家商店都给出了优惠条件: 商店一:买一赠一,买一套工作服赠一副手套。 商店二:打折,按总价的 95℅收款。 该企业需要工作服 75 套,手套若干(不少于 75 副) 。若你是企业的老板,你选择哪一家商店省钱。 分析:解决此问题的方法是先建立优惠条件的函数关系式,然后比较,当取相同值时,哪种函数值小,则 哪种优惠条件最省钱,就选哪一家商店。 解、设需要手套 x 副,付款数为 y 元, 商店一的优惠条件: f ( x) ? 75 ? 53 ? 3 ? ( x ? 75) ? 3x ? 3750   (x ?75) 商店二的优惠条件: g ( x) ? (75 ? 53 ? 3x) ?9 5 ℅= 2.85 x ? 3776.25   (x ?75) 令f ,解得 x =175 ( x) ? g ( x) ,即 3x ? 3750 =2.85 x ? 3776.25  即购买了 175 副手套时,两商店的优惠相同,令 y=f ( x) ? g ( x) ? 0.15x ? 26.25

75 ? x ? 175 时 , y<0 即f ( x) ? g ( x) ,应选择商店一省钱。 f ( x) ? g ( x) ,应选择商店二省钱。 当 x ? 175 时, y>0 即
当 综上可知:当麦 175 套手套适量商店的优惠相同,当买的手套数多于 75 而少于 175 时,选商店一省钱, 当买的手套数多 175 时,选商店二省钱。 点评:给出几种方案,通过计算比较,确定出最佳方案是这类问题的特点。 三 涉及几何问题中的最值 例 4、某单位计划用围墙围出一块矩形场地。现有材料可筑墙的总长度为 l 。如果要使围墙围出一块矩形 场地的面积最大,问矩形的长、宽各等于多少? 分析: 若设矩形的长为 x , 则宽为 的二次函数。 解、设矩形的长为 x ,则宽为

l l l (l ? 2 x) ,从而矩形的面积为 S ? x ? (l ? 2 x) ? ? x 2 ? x ,是关于 x 2 2 2

l (l ? 2 x) ,从而矩形的面积为 2
2

l l l l ? l2 ? 2 S ? x ? (l ? 2 x) ? ? x ? x ? ? ? x ? ? ? (0 ? x ? ) 2 2 2 4 ? 16 ? 2 l l ? 2x l l ? 由此可得,函数在 x ? 时取得最大值,且 Smax ? ,这是矩形的宽为 4 2 4 16 2 l l 即当这个矩形的边长为 时,所围成的面积最大为 ,此时矩形为正方形。 4 16
点评:对于求几何最值问题,应先建立函数关系式,然后再对函数求最值,还要回扣几何问题,特别应注 意的是不要忽略定义域。 四 解决图表问题 例 5、如图所示是一次舞会的盈利额 p 同收票数 n 之间的关系图(其中保险部门规定:人数超过 150 人的 时候,须交纳公安保险费 50 元) ,请你写出它的函数表达式,并对图像加以解释。 P(n) ·200 ·100 ·50 · · 100 150 200 -100· -200 · n

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解、从途中观察的: 当 0 ? n ? 150 时 , 图 像 通 过 ( 0 , ? 2 0 0和 ) (100,0) 两 点 , 则 此 时 表 达 式 为 P( n) ? 2n? 2 0 , 0 当

150 ? n ? 200 时, 图像右端点通过 (200, 200) 左端点趋于点 (150,50) , 则此时表达式为 P(n) ? 3n ? 400
综上所述,得 P(n) ? ?

(0 ? n ? 150) ?2n ? 200    (150 ? n ? 200) ?3n ? 400   

从不同角度剖析图像,可以得到不同地解释。 (1)当售票为零时舞场正常开放,要交付水电费、器材费等 200 元; (2)当 n ? 100 时,可达到不赔不赚,当 n ? 100 时,要赔本; (3)当 100 ? n ? 150 时,利润与售票数呈直线上升, n ? 150 时,达到最大值 100 元; (4)当 150 ? n ? 167 时,利润没有 n ? 150 时多,即人数超过 166 人时,利润才能超过 100 元; (5)人 数达到 200 人时,利润可达到最大值 200 元。 点评:据图像建立关系式,再根据定义域与函数的单调性,将数学语言转化为实际问题中的个中情况进行 解决。 13. 每年的 1 月 1 日是元旦节, 7 月 1 日是建党节,而 2013 年的春节是 2 月 10 日,因为 2sin11? sin 71? sin[( )? ? 30? ] ? sin 2013? sin 210? , 新 年 将 注 定 不 平 凡 , 请 在 括 号 内 填 写 一 个由月份和日期构成的正整数,使得等式成立,也正好组成我国另外一个重要节日 . 18.(16 分)一位幼儿园老师给班上 k ( k ? 3) 个小朋友分糖果.她发现糖果盒中原有糖果数为 a0 ,就先从别 处抓 2 块糖加入盒中,然后把盒内糖果的

1 分给第一个小朋友;再从别处抓 2 块糖加入盒中,然后把盒内 2

1 糖果的 分给第二个小朋友;?,以后她总是在分给一个小朋友后,就从别处抓 2 块糖放入盒中,然后把盒 3 1 内糖果的 分给第 n( n ? 1,2,3,? k ) 个小朋友.如果设分给第 n 个小朋友后(未加入 2 块糖果前)盒内 n ?1 剩下的糖果数为 an .
(1)当 k ? 3 , a0 ? 12 时,分别求 a1 , a2 , a3 ; (2)请用 an ?1 表示 an ;令 bn ? ( n ? 1)an ,求数列 {bn } 的通项公式; (3)是否存在正整数 k ( k ? 3) 和非负整数 a0 ,使得数列 {an } ( n ? k ) 成等差数列,如果存在,请求出所有 的 k 和 a0 ,如果不存在,请说明理由. 18. (15 分)轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动.如图,助跑道 ABC 是一段抛物线, 某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为 1 米的平台上 E 处,飞行的轨迹是一段 抛物线 CDE(抛物线 CDE 与抛物线 ABC 在同一平面内) ,D 为这段抛物线的最高点.现在运动员的滑行轨 迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系, x 轴在地面上,助跑道一端点 A(0,4),另一端点 C(3,1),点 B(2,0),单位:米. y (Ⅰ)求助跑道所在的抛物线方程; 4 A (Ⅱ)若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点 C 处有 D 相同的切线,为使运动员安全和空中姿态优美,要求运动员的 飞行距离在 4 米到 6 米之间(包括 4 米和 6 米) ,试求运动员飞 E 行过程中距离平台最大高度的取值范围? C (注:飞行距离指点 C 与点 E 的水平距离,即这两点横坐标差 B O x 的绝对值. ) 2 17. (14 分)为稳定房价,某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用 1 600 万元购得一块土地,在该土地 上建造 10 幢楼房的住宅小区,每幢楼的楼层数相同,且每层建筑面积均为 1 000 平方米,每平方米的建筑费 用与楼层有关,第 x 层楼房每平方米的建筑费用为(kx+800)元(其中 k 为常数) .经测算,若每幢楼为 5 层,则 购地费用+所有建筑费用 该小区每平方米的平均综合费用为 1 270 元. (每平方米平均综合费用= ). 所有建筑面积 (1) 求 k 的值; (2) 问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低, 应将这 10 幢楼房建成多少层? 此时每平方米的平均综合费用为多少元?
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7 某厂去年的产值为 1,若计划在今后五年内每年的产值比上年增长 10%,则从今年起到第五年这五年内, 这个厂的总产值约为 . (保留一位小数,取 1.15 ? 1.6 ) 6.6 1. (14 分 ) 在路边安装路灯,灯柱 AB 与地面垂直,灯杆 BC 与灯柱 AB 所在平面与道路垂直,且 ?ABC ? 120? ,路灯 C 采用锥形灯罩,射出的光线如图中阴影部分所示,已知 ?ACD ? 60? ,路宽 , ?ACB ? ? ( 30? ? ? ? 45? ) AD ? 24 米,设灯柱高 AB ? h (米) C (1)求灯柱的高 h (用 ? 表示) ; (2)若灯杆 BC 与灯柱 AB 所用材料相同,记此用料长度和为 S , B 求 S 关于 ? 的函数表达式,并求出 S 的最小值.

17.(14 分)如图,两座建筑物 AB, CD 的底部都在同一个水平面上,且 A 均与水平面垂直,它们的高度分别是 9 cm 和 15 cm ,从建筑物 AB 的顶 部 A 看建筑物 CD 的视角 ?CAD ? 45? . (1) 求 BC 的长度; (2) 在线段 BC 上取一点 P ( 点 P 与点 B , C 不重合) , 从点 P 看这两座建筑物的 视角分别为 ?APB ? ? , ?DPC ? ? , 问点 P 在何处时, ? ? ? 最小?

D
D A

?
B
12.如图,点 O 为作简谐振动的物体的平衡位置,取向右方向为正方向,若 振幅为 3cm,周期为 3s,且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计 时.则该物体 5s 时刻的位移为 cm. O
(第 12 题)

?

P
第 17 题图

C

17.(本题满分 14 分) 某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板,其周长为 4 米,这 种薄板须沿其对角线折叠后使用. 如图所示, ABCD( AB ? AD) 为长方形 薄板,沿 AC 折叠后, AB? 交 DC 于点 P.当△ADP 的面积最大时最节能, 凹多边形 ACB?PD 的面积最大时制冷效果最好. (1)设 AB=x 米,用 x 表示图中 DP 的长度,并写出 x 的取值范围; (2)若要求最节能,应怎样设计薄板的长和宽? (3)若要求制冷效果最好,应怎样设计薄板的长和宽?

B?
C

D

P

A
(第 17 题)

B

17.(14 分)近年来,某企业每年消耗电费约 24 万元, 为了节能减排, 决定安装一个可使用 15 年的太阳能 供电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的工本费(单位: 万元)与太阳能电池板的面积(单位: 平方米) 成正比, 比例系数约为 0.5. 为了保证正常用电, 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式. 假设在此模式 下, 安装后该企业每年消耗的电费 C (单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积 x (单位:平方米)之

C ( x) ?

间的函数关系是 种太阳能供电设备的费用与该村 15 年共将消耗的电费之和.

k ( x ? 0, k 20 x ? 100 为常数 ). 记 F 为该村安装这

(1)试解释 C (0) 的实际意义, 并建立 F 关于 x 的函数关系式; (2)当 x 为多少平方米时, F 取得最小值?最小值是多少万元?

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?AOB ? 60? , 17( .本小题满分 16 分) 如图, 某广场中间有一块扇形绿地 OAB, 其中 O 为扇形所在圆的圆心,
广场管理部门欲在绿地上修建观光小路:在 ? AB 上选一点 C,过 C 修建与 OB 平行的小路 CD,与 OA 平行 的小路 CE,问 C 应选在何处,才能使得修建的道路 CD 与 CE 的总长最大,并说明理由.

11.二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2?r,二维测度(面积)S=?r2; 4 三维空间中,球的二维测度(表面积)S=4?r2,三维测度(体积)V=3?r3.应用 合情推理,若四维空间中, “超球”的三维测度 V=8?r3,则其四维测度 W= .

17.(14 分)某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度,拟制定年医疗总费用在 2 万元至 10 万元(包 括 2 万元和 10 万元)的报销方案,该方案要求同时具备下列三个条件: ①报销的医疗费用 y(万元)随医疗总费 用 x(万元)增加而增加; ②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的 50%; ③报销的医疗费用不得超过 8 万元.(1) 请你分析该单位能否采用函数模型 y=0.05(x2+4x+8)作为报销方案; (2)若该单位决定采用函数模型 y=x?2lnx+a(a 为常数)作为报销方案, 请你确定整数 a 的值. (参考数据: ln2?0.69,ln10?2.3)

⒘(本小题满分 14 分)如图,在海岸线 l 一侧 C 处有一个美丽的小岛,某旅游公司为方便游客,在 l 上设 立了 A、B 两个报名点,满足 A、B、C 中任意两点间的距离为 10 千米。公司拟按以下思路运作:先将 A、 B 两处游客分别乘车集中到 AB 之间的中转点 D 处(点 D 异于 A、B 两点) ,然后乘同一艘游轮前往 C 岛。 据统计,每批游客 A 处需发车 2 辆,B 处需发车 4 辆,每辆汽车每千米耗 费 2 元,游轮每千米耗费 12 元。设∠ CDA ? ? ,每批游客从各自报名点 到 C 岛所需运输成本 S 元。 ⑴写出 S 关于 ? 的函数表达式,并指出 ? 的取值范围; ⑵问中转点 D 距离 A 处多远时,S 最小?

17. (14 分)要制作一个如图的框架(单位:米) ,要求所围成的总面积 为 19.5(米 2) ,其中 ABCD 是一个矩形,EFCD 是一个等腰梯形,梯形高 h= 米,BC=y 米. (Ⅰ)求 y 关于 x 的表达式; (Ⅱ)如何设计 x,y 的长度,才能使所用材料最少?

1 3 AB, tan ∠FED= ,设 AB=x 2 4
F D

A

E

b

B

a

C

17. (14 分)第八届中国花博会将于 2013 年 9 月在常州举办,展览园指挥中心所用地块的形状是大小一 定的矩形 ABCD, BC ? a , CD ? b .a,b 为常数且满足 b ? a .组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三 角形地块 AEF 建游客休息区(点 E,F 分别在线段 AB,AD 上) ,且该直角三角形 AEF 的周长为( l ? 2b ) , 如图.设 AE ? x ,△ AEF 的面积为 S . (1)求 S 关于 x 的函数关系式; (2)试确定点 E 的位置,使得直角三角形地块 AEF 的面积 S 最大,并求出 S 的最大值.

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18.(16 分)某部门要设计一种如图所示的灯架,用来安装球心为 O ,半径为 R (米)的

? ,EB ? ,EC ? , 球形灯泡.该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成,其中圆弧形灯托 EA ? 所在圆的圆心都是 O 、半径都是 R (米) 、圆弧的圆心角都是? (弧度) ;灯杆 EF ED 垂直于地面,杆顶 E 到地面的距离为 h (米) ,且 h ? R ;灯脚 FA1 , FB1 , FC1 , FD1 是正四棱锥 F ? A1 B1C1 D1 的四条侧棱,正方形 A1 B1C1 D1 的外接圆半径为 R (米) ,四条 灯脚与灯杆所在直线的夹角都为 ? (弧度) .已知灯杆、灯脚的造价都是每米 a (元),灯 a 托造价是每米 (元),其中 R , h , a 都为常数.设该灯架的总造价为 y (元) . 3 (1)求 y 关于 ? 的函数关系式; (2)当 ? 取何值时, y 取得最小值?
O D
B E

A

C

F

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
(一)知识回顾 1.用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点. 如下表所示. x ωx+φ y= 0 A 0 0 Asin(ωx+φ) -A 2.函数 y=sin x 的图象经变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤如下: 方法一 画出y=sin x的图象 __________________________ 得到y=sin?x+φ?的图象 __________________________ 得到y=sin?ωx+φ?的图象 __________________________ 得到y=Asin?ωx+φ?的图象 方法二 画出y=sin x的图象 ______________________________ 得到y=sin ωx的图象 ______________________________ 得到y=sin?ωx+φ?的图象 ______________________________ 得到y=Asin?ωx+φ?的图象 步骤1 ? 步骤2 ? 步骤3 ? 步骤4 步骤1 ? 步骤2 ? 步骤3 ? 步骤4

D1

C1 B1

A1

以上两种方法的区别:方法一先平移再伸缩;方法二先伸缩再平移.特别注意方法二中的平移量. (二)例题讲解 题型一 三角函数的图象及变换 π? 例 1 已知函数 y=2sin? ?2x+3?. π? (1)求它的振幅、周期、初相;(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象;(3)说明 y=2sin? ?2x+3?的 图象可由 y=sin x 的图象经过怎样的变换而得到. π? 2π π (1)y=2sin? ?2x+3?的振幅 A=2,周期 T= 2 =π,初相 φ=3.

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π? π (2)令 X=2x+ ,则 y=2sin? ?2x+3?=2sin X.列表: 3 π π X - 6 12 π X 0 2 0 1 y=sin X π ? 0 2 y=2sin? ?2x+3? 描点连线,得图象如图所示:

π 3 π 0 0

7π 12 3π 2 -1 -2

5π 6 2π 0 0

1 (3)将 y=sin x 的图象上每一点的横坐标 x 缩短为原来的 倍(纵坐标不变), 得到 y=sin 2x 的图象; 再将 2 π? π? π? π ? ? y=sin 2x 的图象向左平移 个单位,得到 y=sin 2? ?x+6?=sin?2x+3?的图象;再将 y=sin?2x+3?的图象上 6 π 2x+ ?的图象. 每一点的横坐标保持不变,纵坐标伸长为原来的 2 倍,得到 y=2sin? 3? ? 1 3 变式 1 设 f(x)= cos2x+ 3sin xcos x+ sin2x (x∈R). 2 2 π π ? (1)画出 f(x)在? ?-2,2?上的图象;(2)求函数的单调增减区间; (3)如何由 y=sin x 的图象变换得到 f(x)的图象? π? 1 1+cos 2x 3 3 1-cos 2x 3 1 解 y= · + sin 2x+ · =1+ sin 2x- cos 2x=1+sin? ?2x-6?. 2 2 2 2 2 2 2 π 1 π π 3π (1)(五点法)设 X=2x- ,则 x= X+ ,令 X=0, ,π, ,2π, 6 2 12 2 2 π π 7π 5π 13π ? ? ? ? ? ? ? ? ? 于是五点分别为? ?12,1?,?3,2?,?12,1?,? 6 ,0?,? 12 ,1?,描点连线即可得图象,如下图.

π π π π π - +kπ,kπ+ ?,k∈Z. (2)由- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,k∈Z,得单调增区间为? 3? ? 6 2 6 2 π 5π π π 3π ? 由 +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,k∈Z,得单调减区间为? ?3+kπ,kπ+ 6 ?,k∈Z. 2 6 2 π 1 (3)把 y=sin x 的图象向右平移 个单位;再把横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变);最后把所得图象 6 2 π? 向上平移 1 个单位即得 y=sin? ?2x-6?+1 的图象. 题型二 求 y=Asin(ωx+φ)的解析式 确定 y=Asin(ωx+φ)+b 的解析式的步骤: M-m M+m (1) 求 A, b.确定函数的最大值 M 和最小值 m, 则 A= , b= .(2) 2 2 2π 求 ω.确定函数的周期 T,则 ω= .(3)求参数 φ 是本题的关键,由 T 特殊点求 φ 时,一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点. 例2 π 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< ,x∈R)的图象的一部 2
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分如图所示.求函数 f(x)的解析式.

2π 2π π 由图象可知 A=2,T=8.∴ω= = = . T 8 4 π π π π? π π ? ? 方法一 由图象过点(1,2), 得 2sin? ∴sin? ∴φ= , ∴f(x)=2sin? ?4×1+φ?=2, ?4+φ?=1.∵|φ|<2, ?4x+4?. 4 π π? π π π 方法二 ∵点(1,2)对应“五点”中的第二个点.∴ ×1+φ= ,∴φ= ,∴f(x)=2sin? ?4x+4?. 4 2 4 π 变式 1 (2011· 宁波模拟)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< )的图象与 y 轴的交点为(0,1),它在 2 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0+2π,-2). 解

(1)求 f(x)的解析式及 x0 的值; 1 (2)若锐角 θ 满足 cos θ= ,求 f(4θ)的值. 3 解 (1)由题意可得: 1 T 2π 1 ? A=2, =2π,即 =4π,∴ω= ,f(x)=2sin? ?2x+φ?,f(0)=2sin φ=1, 2 ω 2 1 π? π π 1 π 由|φ|< ,∴φ= .∴f(x)=2sin( x+ ).f(x0)=2sin? ?2x0+6?=2, 2 6 2 6 1 π π 2π 2π 所以 x0+ =2kπ+ ,x0=4kπ+ (k∈Z),又∵x0 是最小的正数,∴x0= . 2 6 2 3 3 π ? (2)f(4θ)=2sin? ?2θ+6?= 3sin 2θ+cos 2θ, π? 1 2 2 ∵θ∈? ?0,2?,cos θ=3,∴sin θ= 3 , 7 4 2 4 2 7 4 6-7 ∴cos 2θ=2cos2θ-1=- ,sin 2θ=2sin θcos θ= ,∴f(4θ)= 3× - = . 9 9 9 9 9 题型三 三角函数模型的简单应用 例 3 已知海湾内海浪的高度 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,记作 y=f(t).下表是某 日各时刻记录的浪高数据: t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数 y=Acos ωt+b.(1)根据以上数据,求函数 y=Acos ωt +b 的最小正周期 T,振幅 A 及函数表达式;(2)依据规定,当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放, 请依据(1)的结论,判断一天内的上午 8∶00 至晚上 20∶00 之间,有多少时间可供冲浪者进行运动? 2π 2π π 解 (1)由表中数据,知周期 T=12,∴ω= = = , T 12 6 1 π 由 t=0,y=1.5,得 A+b=1.5;由 t=3,y=1.0,得 b=1.0,∴A=0.5,b=1,∴y= cos t+1. 2 6 1 π π π π π (2)由题知,当 y>1 时才可对冲浪者开放,∴ cos t+1>1,∴cos t>0,∴2kπ- < t<2kπ+ ,k∈Z, 2 6 6 2 6 2 即 12k-3<t<12k+3,k∈Z.①∵0≤t≤24,故可令①中的 k 分别为 0,1,2, 得 0≤t<3,或 9<t<15,或 21<t≤24。 ∴在规定时间上午 8∶00 至晚上 20∶00 之间,有 6 个小时的 时间可供冲浪者运动,即上午 9∶00 至下午 3∶00. π? 变式 1 交流电的电压 E(单位:伏)与时间 t(单位:秒)的关系可用 E=220 3sin? ?100πt+6?表示,求: (1)开始时的电压;(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔;(3)电压的最大值和第一次取得最大值时的时
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间. 解 (1)t=0 时,E=220 3sin π 2π =110 3(伏).(2)T= =0.02(秒). 6 100π

π π 1 (3)当 100πt+ = ,t= 秒时,第一次取得最大值,电压的最大值为 220 3伏. 6 2 300 (三)巩固练习 π 2x- ?的图象,可以把函数 y=sin 2x 的图象( 1.(2011· 池州月考)要得到函数 y=sin? ) 4? ? π π π π A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 8 8 4 4 π ? 2. 已知函数 f(x)=sin? ω>0)的最小正周期为 π.将 y=f(x)的图象向左平移|φ|个单位长度, ?ωx+4? (x∈R, 所得图象关于 y 轴对称,则 φ 的一个值是 ( ) π 3π π π A. B. C. D. 2 8 4 8 π 3.已知函数 f(x)=sin(ωx+ )(x∈R,ω>0)的最小正周期为 π,为了得到函数 g(x)=cos ωx 的图象,只 4 要将 y=f(x)的图象 ( ) π π A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 8 8 π π C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度 4 4 π ? 4.(2011· 太原高三调研)函数 y=sin? ( ) ?2x-3?的一条对称轴方程是 π π π 5π A.x= B.x= C.x= D.x= 6 3 12 12 5. (2011· 六安月考)若动直线 x=a 与函数 f(x)=sin x 和 g(x)=cos x 的图象分别交于 M、 N 两点, 则|MN| 的最大值为 ( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2 π? 6.将函数 y=sin? ?x-3?的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再将所得的图象向 π 左平移 个单位,得到的图象对应的解析式是 ( ) 3 1 π? 1 A.y=sin x B.y=sin? ?2x-2? 2 1 π? π? C.y=sin? D.y=sin? ?2x-6? ?2x-6? 7.(2011· 银川调研)如图所示的是某函数图象的一部分,则此函数是 ( )

π? π? π? π? ? ? ? A.y=sin? ?x+6?B.y=sin?2x-6?C.y=cos?4x-3?D.y=cos?2x-6? π? 8.为得到函数 y=cos? ?2x+3?的图象,只需将函数 y=sin 2x 的图象 5π 5π A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 12 12 5π 5π C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度 6 6 π 2 9 . (2009· 辽宁 ) 已知函数 f(x) = Acos(ωx + φ)(A>0 , ω>0) 的图象如图所示, f( ) =- ,则 f(0) 等于 2 3 ) ( )

(

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2 1 2 1 A.- B.- C. D. 3 2 3 2 10.(2011· 烟台月考)若函数 y=Asin(ωx+φ)+m(A>0,ω>0)的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为 π π ,直线 x= 是其图象的一条对称轴,则它的解析式是 ( ) 2 3 π ?2x+π?+2 4x+ ? A.y=4sin? B . y = 2sin 6? 3? ? ? π π? ? C.y=2sin? D.y=2sin? ?4x+3?+2 ?4x+6?+2 11.已知函数 y=sin(ωx+φ) (ω>0,-π≤φ<π)的图象如图所示,则 φ=________.

π 12. (2010· 潍坊五校联考)函数 f(x)=cos 2x 的图象向左平移 个单位长度后得到 g(x)的图象, 则 g(x)=______. 4 π? 13.(2010· 福建)已知函数 f(x)=3sin? ?ωx-6? (ω>0)和 g(x)=2cos(2x+φ)+1 的图象的对称轴完全相 π? 同.若 x∈? ?0,2?,则 f(x)的取值范围是____________. π 14.(12 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< ,x∈R)的图象的一部分如下图所示. 2

(1)求函数 f(x)的解析式; 2 (2)当 x∈[-6,- ]时,求函数 y=f(x)+f(x+2)的最大值与最小值及相应的 x 的值. 3 2π π 解 (1)由图象知 A=2,∵T= =8,∴ω= .………………(2 分) ω 4 π π π π π 又图象经过点(-1,0),∴2sin(- +φ)=0.∵|φ|< ,∴φ= .∴f(x)=2sin( x+ ).………………(5 分) 4 2 4 4 4 π π π π π π π π (2)y=f(x)+f(x+2)=2sin( x+ )+2sin( x+ + )=2 2sin( x+ )=2 2cos x.……(8 分) 4 4 4 2 4 4 2 4 2 3π π π ∵x∈[-6,- ],∴- ≤ x≤- . 3 2 4 6 π π 2 ∴当 x=- ,即 x=- 时,y=f(x)+f(x+2)取得最大值 6; 4 6 3 π 当 x=-π,即 x=-4 时,y=f(x)+f(x+2)取得最小值-2 2.………………………(12 分) 4 15. (12 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0, 0<ω≤2 且 0≤φ≤π)是 R 上的偶函数, 其图象过点 M(0,2). 又 3π ? f(x)的图象关于点 N? ? 4 ,0?对称且在区间[0,π]上是减函数,求 f(x)的解析式. 解 根据 f(x)是 R 上的偶函数,图象过点 M(0,2),可得 f(-x)=f(x)且 A=2,
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则有 2sin(-ωx+φ)=2sin(ωx+φ),即 sin ωxcos φ=0, π π ∴cos φ=0,即 φ=kπ+ (k∈Z).而 0≤φ≤π,∴φ= .…………………………………(4 分) 2 2 3π π 3π 3ω ? 再由 f(x)=2sin(-ωx+ )=2cos ωx 的图象关于点 N? ? 4 ,0?对称,f( 4 )=2cos( 4 π)=0 2 3ω ∴cos π=0,……………………………………………………………………………(8 分) 4 1 3ω π 4 2 k+ ? (k∈Z).又 0<ω≤2,∴ω= 或 ω=2.………………(10 分) 即 π=kπ+ (k∈Z),ω= ? 4 2 3? 2? 3 2 2 最后根据 f(x)在区间[0,π]上是减函数,可知只有 ω= 满足条件.所以 f(x)=2cos x.………(12 分) 3 3 16.(14 分)(2010· 山东)已知函数 f(x)=sin(π-ωx)· cos ωx+cos2ωx (ω>0)的最小正周期为 π,(1)求 ω 的值; 1 (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求函 2 π ? 数 y=g(x)在区间? ?0,16?上的最小值. 1+cos 2ωx 1 1 1 解 (1)f(x)=sin(π-ωx)cos ωx+cos2ωx=sin ωxcos ωx+ = sin 2ωx+ cos 2ωx+ 2 2 2 2 π? 1 2 ? = sin?2ωx+4?+ .……………………………………………………………………(6 分) 2 2 2π 由于 ω>0,依题意得 =π,所以 ω=1.………………………………………………(8 分) 2ω π 1 π? 1 2 ? 2 ? (2)由(1)知 f(x)= sin?2x+4? ?+2,所以 g(x)=f(2x)= 2 sin?4x+4?+2.…………………………(10 分) 2 π? 1+ 2 π π π π 2 当 0≤x≤ 时, ≤4x+ ≤ .所以 ≤sin? ?4x+4?≤1.因此 1≤g(x)≤ 2 ,………………(13 分) 16 4 4 2 2 所以 g(x)在此区间内的最小值为 1.???????????????????(14 分) π? 17. y=2sin? ?2x-4?的振幅为________,频率和初相分别为________、________. π π ? 18.已知简谐运动 f(x)=2sin? ?3x+φ? (|φ|<2)的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期 T 和初相 φ 分别为__________. π? 19.要得到函数 y=3sin? ?2x+4?的图象,只需将函数 y=3sin 2x 的图象向________平移________个单位. π 20.(2011· 大纲全国)设函数 f(x)=cos ωx (ω>0),将 y=f(x)的图象向右平移 个单位长度后,所得的图象 3 与原图象重合,则 ω 的最小值等于 ( ) 1 A. B.3 C.6 D.9 3 π? π 1 21.把函数 y=sin? ?5x-2?的图象向右平移4个单位,再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的2, 所得的函数解析式为 ( ) 3π 7π 3π 7π? ? ? ? ? A.y=sin? B.y=sin? D.y=sin? ?10x- 4 ? ?10x- 2 ? C.y=sin?10x- 2 ? ?10x- 4 ? π 2x+ ?, 22、 已知函数 y=2sin? 3? ? (1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象; π 2x+ ?的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样的变换而得到. (3)说明 y=2sin? 3? ? π 2π π ? 解 (1)y=2sin? ?2x+3?的振幅 A=2,周期 T= 2 =π,初相 φ=3. π? π (2)令 X=2x+ ,则 y=2sin? ?2x+3?=2sin X. 3 列表,并描点画出图象:

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x X y=sin X π 2x+ ? y=2sin? 3? ?

- 0 0 0

π 6

π 12 π 2 1 2

π 3 π 0 0

7π 12 3π 2 -1 -2

5π 6 2π 0 0

π? π (3)把 y=sin x 的图象上所有的点向左平移 个单位,得到 y=sin? ?x+3?的图象, 3 π? π? 1 再把 y=sin? 得到 y=sin? ?x+3?的图象上的点的横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变), ?2x+3?的图象, π? π? 最后把 y=sin? 即可得到 y=2sin? ?2x+3?上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变), ?2x+3?的 图象. π? π 3 23、设函数 f(x)=cos(ωx+φ) (ω>0,- <φ<0)的最小正周期为 π,且 f? ?4?= 2 . 2 (1)求 ω 和 φ 的值;(2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π]上的图象;

2 ,求 x 的取值范围. 2 (2)图象如图: (3)若 f(x)>

π (1)ω=2,φ=- 3

π 7 ? ? (3)x 的取值范围是?x|kπ+24<x<kπ+24π,k∈Z?
? ?

π ? 24、已知曲线 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)上的一个最高点的坐标为? ?2, 2?,由此点到相邻最低点间 3 ? ? π π? 的曲线与 x 轴交于点? ?2π,0?,若 φ∈?-2,2?. (1)试求这条曲线的函数解析式;(2)写出函数的单调区间. 3π π? 2π 1 - =4π,∵T= =4π,ω>0,∴ω= . 解 (1)依题意,A= 2,T=4×? 2 2 ? ? |ω| 2

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1 ? ?π ? ?1 π ? ∴y= 2sin? ?2x+φ?.又曲线上的最高点为?2, 2?,∴sin?2×2+φ?=1, 1 π? π π π π π x+ ∴φ+ =2kπ+ ,k∈Z.∵- <φ< ,∴φ= .∴y= 2sin? 2 4?. ? 4 2 2 2 4 π 1 π π 3π π (2)令 2kπ- ≤ x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,∴4kπ- ≤x≤4kπ+ ,k∈Z. 2 2 4 2 2 2 3π π ? ∴函数 f(x)的单调递增区间为? ?4kπ- 2 ,4kπ+2? (k∈Z). π 1 π 3 π 5π 令 2kπ+ ≤ x+ ≤ π+2kπ (k∈Z),∴4kπ+ ≤x≤4kπ+ ,k∈Z. 2 2 4 2 2 2 π 5π? ∴函数 f(x)的单调递减区间为? ?4kπ+2,4kπ+ 2 ? (k∈Z). 25、 (1)(2011· 江苏)已知 f(x)=Asin(ωx+φ) (A,ω,φ 为常数,A>0,ω>0)的部分图象如图所 示,则 f(0)的值是______. π (2)(2011· 辽宁)已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|< ), 2 π y=f(x)的部分图象如图所示,则 f( )等于 ( ) 24 3 A.2+ 3 B. 3 C. D.2- 3 3 26、如图,某市准备在道路 EF 的一侧修建一条运动 比赛道,赛道的前一部分为曲线段 FBC,该曲线段是 2π? 函数 y=Asin? ?ωx+ 3 ? (A>0,ω>0),x∈[-4,0]时的图 象,且图象的最高点为 B(-1,2).赛道的中间部分为长 3千米的直线跑道 CD,且 CD∥EF,赛道的 后一部分是以 O 为圆心的一段圆弧 DE . (1)求 ω 的值和∠DOE 的大小; (2)若要在圆弧赛道所对应的扇形 ODE 区域内建一个“矩形草坪”,矩形的一边在道 一个顶点在半径 OD 上,另外一个顶点 P 在圆弧 DE 上,且∠POE=θ, 求当“矩形草坪”的面积取最大值时 θ 的值. π 2π? T 2π π 解 (1)由条件,得 A=2, =3.∵T= ,∴ω= .∴曲线段 FBC 的解析式为 y=2sin? ?6x+ 3 ?.当 x=0 4 ω 6 π π 时,y=OC= 3.又 CD= 3,∴∠COD= ,即∠DOE= . 4 4 (2)由(1),可知 OD= 6.又易知当“矩形草坪”的面积最大时,点 P 在 DE 上,故 OP= 6. 1 1 1? “矩形草坪”的面积为 S= 6sin θ( 6cos θ- 6sin θ)=6(sin θcos θ-sin2θ)=6? ?2sin 2θ+2cos 2θ-2? π π π π π 2θ+ ?-3.∵0<θ≤ ,∴当 2θ+ = ,即 θ= 时,S 取得最大值. =3 2sin? 4? ? 4 4 2 8 27、 如图所示,某市拟在长为 8 km 的道路 OP 的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲 线段 OSM,该曲线段为函数 y=Asin ωx (A>0,ω>0), x∈[0,4]的图象,且图象的最高点为 S(3,2 3);赛道的后一部分为折线段 MNP,为保证参赛运动员 的安全,限定∠MNP=120° . (1)求 A,ω 的值和 M,P 两点间的距离; (2)应如何设计,才能使折线段赛道 MNP 最长? T 2π 解 (1)依题意,有 A=2 3, =3,又 T= , 4 ω π π ∴ω= .∴y=2 3sin x. 6 6 2π 当 x=4 时,y=2 3sin =3,∴M(4,3). 3 又 P(8,0),∴MP= 42+32=5.
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路 EF 上,

(2)在△MNP 中,∠MNP=120° ,MP=5, MP NP 设∠PMN=θ,则 0° <θ<60° .由正弦定理,得 = sin 120° sin θ MN 10 3 10 3 = .∴NP= sin θ,∴MN= sin(60° -θ), 3 3 sin?60° -θ? 10 3 10 3 10 3?1 3 ?=10 3sin(θ+60° 故 NP+MN= sin θ+ sin(60° -θ)= ). 3 3 3 ?2sin θ+ 2 cos θ? 3 ∵0° <θ<60° ,∴当 θ=30° 时,折线段赛道 MNP 最长. 亦即,将∠PMN 设计为 30° 时,折线段赛道 MNP 最长. 28、(12 分)如图为 y=Asin(ωx+φ)的图象的一段. (1)求其解析式; π (2)若将 y=Asin(ωx+φ)的图象向左平移 个单位后得 6 y=f(x),求 f(x)的对称轴方程. π ? 解 (1)由图象知 A= 3,以 M? ?3,0?为第一个零点, 5π ? N? [2 分] ? 6 ,0?为第二个零点. π ω=2, ω· +φ=0, ? 3 ? 列方程组 解之得? [4 分] 2π 5π φ=- . ? 3 ? ω· +φ=π, 6 2π? ∴所求解析式为 y= 3sin? [6 分] ?2x- 3 ?. π 2π? π? ? x+ ? (2)f(x)= 3sin?2? [8 分] ? ? 6?- 3 ?= 3sin?2x-3?, π π 5 kπ 令 2x- = +kπ,则 x= π+ (k∈Z), [10 分] 3 2 12 2 5 kπ ∴f(x)的对称轴方程为 x= π+ (k∈Z). [12 分] 12 2 π 29.将函数 y=sin x 的图象向左平移 φ (0≤φ<2π )个单位后,得到函数 y=sin?x- ?的图象,则 φ 等于 ? 6? ( ) π 5π 7π 11π A. B. C. D. 6 6 6 6 π π 30.将函数 y=sin?2x+ ?的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 2 倍,再向右平移 个单 4 4? ? 位,所得到的图象解析式是 ( ) A.f(x)=sin x B.f(x)=cos x C.f(x)=sin 4x D.f(x)=cos 4x π 31.将函数 y=sin(x+φ)的图象 F 向左平移 个单位长度后得到图象 F′,若 F′的一个对称中心为 6 π ? ,0?,则 φ 的一个可能取值是 ( ) ?4 ? π 5π 7π π A. B. C. D. 12 6 6 12 π 32.函数 y=sin 2x 的图象向右平移 φ (φ >0)个单位,得到的图象恰好关于 x= 对称,则 φ 的最小值为 6 ( ) 5 11 11 A. π B. π C. π D.以上都不对 12 6 12 33.函数 y=Asin(ω x+φ ) (A,ω ,φ 为常数,A>0,ω >0)在闭区间[-π ,0]上的图象如图所示,则 ω =___________________________________________.

? ? ?

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π π π π π 34.已知 f(x)=sin?ω x+ ? (ω>0),f? ?=f? ?,且 f(x)在区间? , ?上有最小值,无最大值,则 ω 3? ? ?6? ?3? ?6 3? =__________. π 35.已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ ) (A>0,ω >0,|φ |< ) 2 的部分图象如图所示. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)如何由函数 y=2sin x 的图象通过适当的变换得到函数 f(x)的图象,试写出变换过程. π? (1)f(x)=2sin? ?2x+6? 1 (2)y=2sin x 横坐标缩短为原来的 2 y=2sin 2x 纵坐标不变 π ? y=2sin? ?2x+6?. 36.如图所示,某地夏天从 8~14 时用电量变化曲线 近似满足函数 y=Asin(ω x+φ)+b,φ ∈(0,π ). (1)求这一天的最大用电量及最小用电量; (2)写出这段曲线的函数解析式. .解 (1)最大用电量为 50 万度,最小用电量为 30 万度. (2)观察图象,可知从 8~14 时的图象是 y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周期的图象. 1 1 ∴A= ×(50-30)=10,b= ×(50+30)=40. 2 2 T 1 2π π ∴ =14-8= · ,∴ω= , 2 2 ω 6 π ? ∴y=10sin? ?6x+φ?+40. π 将 x=8,y=30 代入上式,解得 φ= , 6 π π? ∴所求解析式为 y=10sin? ?6x+6?+40,x∈[8,14]. π 4π 37.设 ω>0,函数 y=sin(ω x+ )+2 的图象向右平移 个单位后与原图象重合,则 ω 的最小值是 3 3 ( ) 2 4 3 A. B. C. D.3 3 3 2 38.电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I=Asin(ωt+φ) π 1 (A>0,ω >0,0<φ < )的图象如右图所示,则当 t= 2 100 秒时,电流强度是 ( ) A.-5 安 B.5 安 C.5 3安 D.10 安 π 39.若函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω >0,|φ |< ) 2 在一个周期内的图象如图所示,M,N 分别是 → → 这段图象的最高点和最低点,且OM·ON=0, 则 A· ω 等于 ( )

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π A. 6

B.

7 π 12

C.

7 π 6

D.

7 π 3

π 40.某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 y=a+Acos? ?x-6?? (x= ?6 ? 1,2,3, ?, 12)来表示, 已知 6 月份的月平均气温最高, 为 28℃, 12 月份的月平均气温最低, 为 18℃, 则 10 月份的平均气温值为__________℃. π π 41.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω >0,- ≤φ ≤ )的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为 2 2 1 ? 2 2,且过点? ?2,-2?,则函数 f(x)=__________. 42.设函数 f(x)=sin x-cos x,若 0≤x≤2 011π ,则函数 f(x)的各极值之和为__________. πx 43.当 0≤x≤1 时,不等式 sin ≥kx 成立,则实数 k 的取值范围是__________. 2 π 44.已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ ),x∈R(其中 A>0,ω >0,0<φ < )的图象与 x 轴的交点中,相邻两个 2 π 2 π 交点之间的距离为 ,且图象上一个最低点为 M? ,-2?. 2 ? 3 ? (1)求 f(x)的解析式; π π (2)当 x∈? , ?时,求 f(x)的值域. ?12 2 ? 2π ? 解 (1)由最低点为 M? ? 3 ,-2?得 A=2. π T π 2π 2π 由 x 轴上相邻两个交点之间的距离为 得 = ,即 T=π,∴ω= = =2. 2 2 2 T π 2π 2π 4π ? ? ? ? ? 由点 M? ? 3 ,-2?在图象上得 2sin?2× 3 +φ?=-2,即 sin? 3 +φ?=-1, π? 4π π 11π π 故 +φ=2kπ- (k∈Z),∴φ=2kπ- (k∈Z).又 φ∈? ?0,2?,∴φ=6, 3 2 6 π? π ?π 7π? ? π π? 故 f(x)=2sin? ?2x+6?.(2)∵x∈?12,2?,∴2x+6∈?3, 6 ?, π π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 2; 6 2 6 π 7π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最小值-1, 6 6 2 故 f(x)的值域为[-1,2]. 2cos4x-3cos2x+1 45.(12 分)(2011· 厦门月考)已知函数 f(x)= ,求它的定义域和值域,并判断它的奇偶性. cos 2x π kπ π 解 由题意知 cos 2x≠0,得 2x≠kπ+ ,解得 x≠ + (k∈Z). 2 2 4 kπ π ∴f(x)的定义域为{x|x∈R,且 x≠ + ,k∈Z}.……………(3 分) 2 4 2cos4x-3cos2x+1 ?2cos2x-1??cos2x-1? 又 f(x)= = =cos2x-1=-sin2x, ……………………………(6 分) cos 2x 2cos2x-1 又∵定义域关于原点对称,∴f(x)是偶函数.……………………………………(8 分) kπ π 1 显然-sin2x∈[-1,0],又∵x≠ + ,k∈Z,∴-sin2x≠- .∴原函数的值域为 2 4 2 1 1 ? ? ?y|-1≤y<- 或- <y≤0?.………………………………11.(14 分) 2 2 ? ? 46、(2010· 安徽合肥高三二模)已知向量 a=(sin x,2 3sin x),b=(2cos x,sin x),定义 f(x)=a· b- 3. (1)求函数 y=f(x),x∈R 的单调递减区间; π (2)若函数 y=f(x+θ) (0<θ< )为偶函数,求 θ 的值. 2 1-cos 2x 解 f(x)=2sin xcos x+2 3sin2x- 3=sin 2x+2 3· - 3 2

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π? =sin 2x- 3cos 2x=2sin? ?2x-3?.………(4 分) 5π 11π π π 3π kπ+ ,kπ+ ?,k∈Z. (1)令 2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z,解得单调递减区间是? 12 12 ? ? 2 3 2 ………………………………(8 分) π? π? ? (2)f(x+θ)=2sin? ?2x+2θ-3?.根据三角函数图象性质可知,y=f(x+θ) ?0<θ<2?在 x=0 处取最值, π π π kπ 5π 2θ- ?=± ∴sin? 1 ,∴ 2 θ - = k π + , θ = + ,k∈Z.…………………………………(12 分) 3? ? 3 2 2 12 π 5π 又 0<θ< ,解得 θ= .…………………………………………………………………(14 分) 2 12 π π? ? ? 47、(1)求函数 y=sin? ?3+4x?+cos?4x-6?的周期、单调区间及最大、最小值; π x+ ?-1. 2)(2011· 北京)已知函数 f(x)=4cos xsin? ? 6? ①求 f(x)的最小正周期; π π? ②求 f(x)在区间? ?-6,4?上的最大值和最小值. 5π kπ π kπ π - + , + ? (k∈Z); (1)周期为 函数的递增区间为? ? 24 2 24 2 ? 2 π kπ 7π kπ? 函数的递减区间为? ?24+ 2 ,24+ 2 ?(k∈Z)ymax=2;ymin=-2 (2)①π ②最大值为 2;最小值为-1 一类应用题的统一解法 于兆敏 有关应用题中最值问题, 在实际条件的约束下, 不能仅靠使用重要不等式求出最值, 需要借助比较法, 把问题转化为与端点值的大小关系问题。 例 1 某种印刷品,单面印刷,其版面(如图中阴影部分)排成矩形,版面面积为 A,它的左右两边 都要留宽为 a 的空白,上下两边都要留有宽为 b 的空白,且印刷品左右长度不超过定值 l。问:如何选择 尺寸(纸张也是矩形) ,才能使印刷品所用纸张面积最小?从而使印刷的总用纸量最小。
b a b 图1 解:设版面左、右长为 x,上、下宽为 y 则有 A ? xy (x>0,y>0) 设每张印刷品所用纸张面积为 S a

则 S ? ( x ? 2a )( y ? 2b) ? ( A ? 4ab) ? (2bx ? 2a ? (1)当 2a ?

A ) ( 0 ? x ? l ? 2a) x

A aA 2bx ? 2a ? ? 4 abA , ? l 时, x b A aA bA 当且仅当 2bx ? 2a ? 时取“=”号,解得 x ? ,y ? x b a aA bA 即此时左右长为 2a ? ,上下宽为 2b ? b a aA aA (2)当 2a ? 所以 (l ? 2a) ? x ? 0 ? l 时 因为 0 ? x ? l ? 2a ? b b

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2A aA aA aA ] ? (bx ? ) ? ? aA 所以 [b(l ? 2a ) ? l ? 2a x b b b(l ? 2a ) x ? aA ? [(l ? 2a ) ? x] ? ?0 ( l ? 2a ) x A 当 x ? l ? 2a 时取等号,即选择左、右尺寸为 l,上、下尺寸为 2b ? 用纸量最小。 l ? 2a aA aA bA 综上所述,当 2a ? 时,上、下尺寸为 2b+ ; ? l 时,选择左右尺寸为 2a ? b b a A aA 当 2a ? 所用纸量最小。 ? l 时,选择左、右尺寸为 l,上、下尺寸为 2b ? l ? 2a b
且 bx ? (l ? 2a ) ? b ? 例 2 一船由甲地逆水匀速行驶至乙地,甲、乙两地相距 s(千米) ,水速为常量 p(千米/时) ,船在 静水中的最大速度为 q(千米/时) (q>p) 。已知船每小时燃料费用(以元为单位)与船在静水中速度 v(千 米/时)的平方成正比,比例系数为 k。 (I)把全程燃料费用 y(元)表示为静水中速度 v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域; (II)为了使全程燃料费用最小,船的实际前进速度应为多少? 解: (I)依题意知船由甲地匀速行驶至乙地所用的时间为 故所求函数及其定义域为: y ? kv ?
2

s s 2 ,全程燃料费用为: y ? kv ? , v? p v? p

s v2 ? ks ? ,v ? ( p,q] v? p v? p

(II)由题意知 k、s、v、p、q 均为正数,且 v>p,故有

y ? ks[(v ? p) ?

p2 ? 2 p] v? p ? ks(2 p ? 2 p) ? 4 ksp

p2 ,即 v ? 2 p 时上式取等号 v? p 若 2 p ? q ,则当 v ? 2 p 时,全程燃料费用 y 最小。
当且仅当 v ? p ?

v2 q2 ? ks ? v? p q? p 若 2p>q,当 v ?( p,q] 时,有 (q ? v )( pq ? pv ? qv ) ? ks ? (v ? p)(q ? p) 因 p ? v ? q ? 2 p,故v ? p ? 0,q ? p ? 0,q ? v ? 0 ks ?
又 pq ? pv ? qv ? pv ? pv ? qv ? (2 p ? q )v ? 0 所以 ks ?

v2 q2 ? ks ? v? p q? p

当且仅当 v=q 时等号成立,即当 v=q 时,全程燃料费用最小。 综上知,为使全程燃料费用最小,当 2 p ? q 时,船的实际前进速度为 p;当 2p>q 时,船的实际前进 速度应为 q ? p 。 例 3 甲、乙两地相距 s 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 c 千米/时。已知汽车每小 时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 v(千米/时)的平方成正比, 比例系数为 b;固定部分为 a 元。 (I)把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域; (II)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶? 解: (I)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为

s ,全程运输成本为 v s s a a y ? a ? ? bv 2 ? ? s( ? bv ) 故所求函数及其定义域为: y ? s ? ( ? bv ) ,v ? (0,v ] v v v v

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(II)依题意知 s,a,b,v 都为正数,故有 s( 当且仅当

a ? bv ) ? 2 s ab v

a a 时上式中等号成立 ? bv,即v ? v b a a 若 时上式中等号成立 ? c,则当v ? b b


a ? c,当v ? (0,c] 时,有 b

a a s( ? bv ) ? s( ? bc) v c
2

因为 c ? v ? 0,且a ? bc 2 ,故有 a ? bcv ? a ? bc ? 0 所以 s(

a a ? s[( ? ) ? (bv ? bc)] v c s ? (c ? v)(a ? bcv) vc

a a ? bv ) ? s( ? bc) ,且仅当 v=c 时等号成立。也即当 v=c 时,全程运输成本 y 最小。 v c ab ab ab 综上知,为使全程运输成本 y 最小,当 ;当 ? c 时行驶速度应为 v ? ? c 时行驶速度 b b b
应为 v=c。 哈尔滨师范大学(150080)

解斜三角形及其应用错解分析
山东省枣庄市第九中学 秦振 解斜三角形及某应用问题难度大、综合性强、解题有一定的技巧,学生在解题时,经常因为审题不细、 考虑不周、方法不当等原因而错解题目。下面就学生在解题中出现的错误分类辨析如下,供大家参考。 一、已知条件弱用 例 1. 在不等边△ABC 中,a 为最大边,如果 a ? b ? c ,求 A 的取值范围。
2 2 2

错解:∵ a 2 ? b 2 ? c 2 ,∴b 2 ? c 2 ? a 2 ? 0 。则

cos A ?

b2 ? c2 ? a 2 ? 0 ,由于 cosA 在(0°,180°)上为减函数且 cos90° ? 0,∴A ? 90° 2bc

又∵A 为△ABC 的内角,∴0°<A<90°。 辨析:错因是审题不细,已知条件弱用。题设是 a 为最大边,而错解中只把 a 看做是三角形的普通一 条边,造成解题错误。 正解:由上面的解法,可得 A<90°。 又∵a 为最大边,∴A>60°。因此得 A 的取值范围是(60°,90°) 。 二、三角变化生疏 例 2. 在△ABC 中,若

a 2 tan A ? ,试判断△ABC 的形状。 b 2 tan B sin 2 A tan A sin 2 A sin A cos B ? ? · ,∵ sin A ? 0, sin B ? 0 错解:由正弦定理,得 即 2 2 sin B sin B tan B sin B cos A ∴ sin A cos A ? sin B cos B,即 sin 2 A ? sin 2 B 。

∴2A=2B,即 A=B。故△ABC 是等腰三角形。 辨析:由 sin 2 A ? sin 2 B ,得 2A=2B。这是三角变换中常见的错误,原因是不熟悉三角函数的性质, 三角变换生疏。 正解:同上得 sin 2 A ? sin 2 B ,∴2A= 2 k? ? 2 B 或 2 A ? 2k? ? ? ? 2 B( k ? Z ) 。 ∵ 0 ? A ? ?,0 ? b ? ?,∴k ? 0,则A ? B 或 A ? 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。
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?
2

?B。

三、方法不当 例 3. 在△ABC 中,A=60°,b=1, S △ABC ? 错解:∵A=60°,b=1, S △ABC ? 由余弦定理,得

3 ,求

3 ,又 S △ABC

a ?b?c 的值。 sin A ? sin B ? sin C 1 1 ? bc sin A , ∴ 3 ? c sin 60° ,解得 c=4。 2 2

a ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 1 ? 16 ? 8 cos 60°

? 13

又由正弦定理, 得 sin C ?

6 3 , sin B ? 。 39 2 39



a ?b?c ? sin A ? sin B ? sin C

13 ? 1 ? 4 。 3 3 6 ? ? 2 2 39 39

辨析:如此复杂的算式,计算困难。其原因是公式不熟、方法不当造成的。 正解:由已知可得 c ? 4,a ? 13 。由正弦定理,得

2R ?

a 13 2 39 。 ? ? sin A sin 60° 3



a ?b?c 2 39 。 ? 2R ? sin A?si n B?sin C 3

四、忽视制约条件 例 4. 在△ABC 中, c ? 6 ? 2 ,C=30°,求 a+b 的最大值。 错解:∵C=30°,∴A+B=150°,B=150°-A。 由正弦定理,得

a b 6? 2 ? ? sin A sin(150° ? A) sin 30°

∴a ? 2( 6 ? 2 ) s i n A,

b ? 2( 6 ? 2 ) sin(150° ? A)

又∵ sin A ? 1, sin(150° ? A) ? 1

∴ a ? b ? 2( 6 ? 2 ) ? 2( 6 ? 2 ) ? 4( 6 ? 2 ) 。 故 a ? b 的最大值为 4( 6 ? 2 ) 。 辨析:错因是未弄清 A 与 150°-A 之间的关系。这里 A 与 150°-A 是相互制约的,不是相互独立的 两个量,sinA 与 sin(150°-A)不能同时取最大值 1,因此所得的结果也是错误的。 正解:∵C=30°,∴A+B=150°,B=150°-A。 由正弦定理,得

a b 6? 2 ? ? sin A sin(150° ? A) sin 30°

因此 a ? b ? 2( 6 ? 2 )[sin A ? sin(150° ? A)]

? 2( 6 ? 2 ) · sin 75° cos( A ? 75° ) 6? 2 · cos( A ? 75° ) 4 ? (8 ? 4 3) cos( A ? 75° ) ? 4( 6 ? 2 ) ?8?4 3 ∴a+b 的最大值为 8 ? 4 3 。
五、未挖掘隐含条件 例 5. 在△ABC 中,已知 a=2,b= 2 2 ,C=15°,求 A。

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos15° 6? 2 ? 4 ? 8 ? 2 ×2 ×2 2 × 4 ? 8?4 3 ∴c ? 6 ? 2。 a sin C 1 ? 又由正弦定理,得 sin A ? 而 0° ? A ? 180°,∴A=30°或A ? 150° 。 c 2 辨析:由题意 b ? a ,∴ B ? A 。因此 A=150°是不可能的。错因是没有认真审题,未利用隐含条件。
错解:由余弦定理,得 在解题时,要善于应用题中的条件,特别是隐含条件,全面细致地分析问题,避免错误发生。
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正解:同上 c ?

6 ? 2 , sin A ?

1 ,∵b ? a , 2

∴B ? A,且0° ? A ? 180°,∴A ? 30° 。

六、用错逻辑连结词 例 6. 在△ABC 中, ? cos A ? b cos ? ,判断△ABC 的形状。 错解:在△ABC 中,∵ a cos A ? b cos B ,由正弦定理 得 2 R sin A cos A ? 2 R sin B cos B ∴ sin 2 A ? sin 2 B,∴2 A ? 2 B且2 A ? 2 B ? 180° ∴A=B 且 A+B=90° 故△ABC 为等腰直角三角形。 辨析:对三角公式不熟,不理解逻辑连结词“或” 、 “且”的意义,导致结论错误。 正解:在△ABC 中,∵ a cos A ? b cos B ,由正弦定理, 得 2 R sin A cos A ? 2 R sin B cos B,∴ sin 2 A ? sin 2 B 。 ∴2A=2B 或 2A+2B=180°, ∴A=B 或 A+B=90°。 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。 七、解题不完整 例 7. 若 a,b,c 是三角形的三边长,证明长为 a , b, c 的三条线段能构成锐角三角形。 错解:不妨设 0 ? a ? b ? c ,只要考虑最大边的对角θ 为锐角即可。

co? s ?

由于 a,b,c 是三角形的三边长,根据三角形三边关系,有 a ? b ? c ,即 cos? ? 0 。 ∴长为 a , b, c 的三条线段能构成锐角三角形。 辨析:三条线段构成锐角三角形,要满足两个条件:①三条边满足三角形边长关系;②最长线段的对 角是锐角。显然错解只验证了第二个条件,而缺少第一个条件。 正解:由错解可得 cos? ? 0 又∵ a ? b ? c ?

( a )2 ? ( b)2 ? ( c)2 a ? b ? c 。 ? 2 a b 2 ab

( a ? b)2 ? c ? a? b? c ?0 即长为 a , b, c 的三条线段能构成锐角三角形。 ?

( a ? b ? c )( a ? b ? c ) a? b? c a ?b?c 2 ab ? a? b? c a? b? c

常见的三角形应用题解法指导 广东省中山市古镇高级中学 区汝径 解斜三角形在实际中的应用是很广泛的, 如测量、 航海、 几何、 物理等方面都要用到解三角形的知识. 解 斜三角形有关的实际问题过程,贯穿了数学建模的思想.这种思想就是从实际出发,经过抽象概括,把它 转化为具体问题中的数学建模,然后通过推理演算,得出数学模型的解,再还原成实际问题的解. 一、解题步骤 解题的一般步骤是: (1)准确理解题意,弄清应用题中有关名词、术语,如坡度、仰角、俯角、视角、象限角、方位角等, 根据题意画出示意图,分清已知和所求; (2)分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形,把实际问题转化为解三角形的问题. (3)通过正确地运用正弦定理和余弦定理来解三角形,一是要会解,二是要选择适当的方法求解. (4)检验解出的答案是否具有实际意义,对解进行取舍.

- 73 -

二、几种常见题目类型的解法 本文就求距离的几个类型进行简单的讨论 (一)两点能通视而不能到达求水平距离 例 1、如图所示,货轮在海上以 40km/h 的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水 平转角)为 140°的方向航行,为了确定船位,船在 B 点观测灯塔 A 的方位角为 110°,航行半小时到达 C 点观测灯塔 A 的方位角是 65°,则货轮到达 C 点时,与灯塔 A 的距离是多少? 分析:根据所给图形可以看出,在△ABC 中,已知 BC 是半小时路 程,只要根据所给的 方位角数据,求出∠ABC、∠A 的大小,由正弦 定理可以得出 AC 的长。

1 ? 20 (km) 2 ∠ABC ? 140 ? ? 110 ? ? 30? , ?ACB ? 180 ? ? 140 ? ? 65? ? 105 ? ∴ ?A ? 180? ? (30? ? 105?) ? 45? BC ? sin ?ABC 20 sin 30? ? ? 10 2 (km ) 由正弦定理,得 AC ? sin ?A sin 45? 答:货轮到达 C 点是与灯塔 A 的距离是 10 2 (km) 。
解:在△ABC 中,BC= 40 ? (二)两点都不能到达求水平距离 例 2、如图所示,为了测量河对岸 A、B 两点间的距离,在这一岸 定一基线 CD,现已测出 CD=a 和∠ACD=??,∠BCD=?? ? ,∠BDC=??,∠ADC=???,试求 AB 的长. 分析:如图所示,对于 AB 求解,可以在△ABC 中或者是△ABD 中求解,若在△ABC 中,由∠ACB=????? ? ,故需求出 AC、BC, 再利用余弦定理求解.而 AC 可在△ACD 内利用正弦定理求解,BC 可在△BCD 内由正弦定理求解. 解:在△ACD 中,已知 CD=a,∠ACD=??,∠ADC=?? ? , 由正弦定理得

AC ?

a sin ? a sin ? ? sin[180? ? (? ? ? )] sin(? ? ? )

在△BCD 中,由正弦定理得

BC ?

a sin ? a sin ? ? sin[180? ? ( ? ? ? )] sin(? ? ? )
AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC ? cos( ? ? ? )

在△ ABC 中,已经求得 AC 和 BC ,又因为 ?ACB ? ? ? ? ? ,所以用余弦定理.就可以求得

AB ?

(三)求垂直距离

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