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2015创新设计(高中理科数学)第1讲 不等关系与不等式


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知识与方法回顾

知识梳理

辨析感悟
例1

探究 一 用不等式(组)表示 不等关系

训练1
例2 训练2 例3 训练3

技能与规律探究

探究二 比较大小 探究三 不等式的性质及其 应用

经典题目再现
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1.两个实数比较大小的方法

? ?a-b>0?_____ ? (1)作差法?a-b=0?_____?a,b∈R?; ? ? ?a-b<0?______ ?a ? ?b>1?_____?a∈R,b>0?. ? ?a (2)作商法?b=1?______?a∈R,b>0?. ? ? ?a <1 ? ______ ? a ∈ R , b >0 ? . ? ?b

a>b a=b a<b

a>b

a=b

a<b

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2.不等式的性质

(1)对称性:a>b?b<a; a>c ; (2)传递性:a>b,b>c?_______ (3)可加性:a>b?a+c__b __b+d; > +c,a>b,c>d?a+c> (4)可乘性:a>b,c>0?ac__ >bc;a>b>0,c>d>0?ac__ >bd; (5)可乘方:a>b>0?an> __bn(n∈N,n≥1); n n (6)可开方:a>b>0? a__ > b(n∈N,n≥2).

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1.对两个实数大小的比较的认识
(1)两个实数 a,b 之间,有且只有 a>b,a=b,a<b 三种关系中的 一种.( ) a (2)若 >1.则 a>b.( ) b

2.对不等式性质的理解
(3)在一个不等式的两边同乘以一个非零实数,不等式仍然成立.( ) (4)同向不等式具有可加性和可乘性.( ) 1 (5)(2014·丽水模拟改编)设 a,b 为实数,则“0<ab<1”是“b< ”成 a 立的既不充分也不必要条件.( ) 1 1 (6)(2013·北京卷改编)若 a>b,则 < .( ) a b 若 a>b,则 a2>b2.( ) 若 a>b,则 a3>b3.( )
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二个防范 一是在使用不等式时,一定要搞清它们成立的前提条件,不 可强化或弱化成立的条件,如“同向不等式”才可相加、“同向 且两边同正的不等式”才可相乘;“可乘性中的” c 的符号等都 需注意.如(2)(3)(4).
二是利用特值法判断两个式子大小时,错误的关系式,只需 取特值举反例即可,而正确的关系式,则需推理论证.如(6)中当 1 1 a=1,b=-2 时, < 不成立;当 a=-1,b=-2 时,a2>b2 a b 不成立.

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用不等式(组)表示不等关系

考 点

例 1 某商人如果将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元销售, 每天可销售 100 件,现在他采用提高售价,减少进货量的办法增 加利润.已知这种商品的单价每提高 1 元,销售量就相应减少 10 件.若把提价后商品的单价设为 x 元,怎样用不等式表示每天的 利润不低于 300 元?
解(1) 若提价后商品的单价为 x 元,则销售量减少
因此,每天的利润为(x-8)[100-10(x-10)]元,

x-10 ×10 件, 1

则“每天的利润不低于 300 元”可以表示为不等式(x-8)[100- 10(x-10)]≥300.

规律方法

对于不等式的表示问题,关键是理解题意,分清变化前后 的各种量,得出相应的代数式,然后用不等式表示.而对 于涉及条件较多的实际问题,则往往需列不等式组解决.
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用不等式(组)表示不等关系

考 点

【训练 1】某化工厂制定明年某产品的生产计划,受下面条件 的制约:生产此产品的工人不超过 200 人;每个工人的年工作时间 约为 2 100 h;预计此产品明年的销售量至少为 80 000 袋;生产每 袋产品需用 4 h;生产每袋产品需用原料 20 kg;年底库存原料 600 t,明年可补充 1 200 t.试根据这些数据预测明年的产量.

4x≤200×2 100 ? ? 共有三个不等关系: 则? x≥80000 设明年的产量为 x 袋, 、不超过200人的 ? ? 0.02x≤600+1 200 总工作时间
、销售量至少 解得 80 000≤x≤90 000. 80000 、所用原料不能 超过拥有的所 预计明年的产量在 80 000 袋到 90 000 袋之间. 有原料
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解(1)

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比较大小

考 点

ln 2 ln 3 ln 5 例 2 (1)若 a= ,b= ,c= ,则( C ). 2 3 5 A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c (2)见下一页

(1)解 易知 a,b,c 都是正数, 又法: ln 2 ln 8 b 2ln 3 a= = 2 6 = =log89>1, a 3ln 2 ln 3 ln 9 b= = 3 6 所以 b>a; ln 2 ln 32 a= = a 5ln 2 2 10 = =log2532>1, c 2ln 5 ln 5 ln 25 c= = 5 10 所以 a>c.即 c<a<b. 所以 c<a<b.
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1 (2)已知 a≠1 且 a∈R,试比较 与 1+a 的大小. 1-a

考 点

1 a2 此类问题关键 (2)解 ∵ -(1+a)= , 1-a 1-a 是对差化简变 2 1 a 形,一般常用: ∴ =1+a; 当 a=0 时, =0, 1-a 1-a 分解因式、配 2 1 a 方、函数性质 当 a<1,且 a≠0 时, >0,∴1-a>1+a; 1-a 等,直至易判 2 1 a 断符号为止 <1+a. 当 a>1 时, <0,∴ 1-a 1-a

(1)比较大小时,要把各种可能的情况都考虑进去,对不确 定的因素需进行分类讨论,每一步运算都要准确,每一步 推理都要有充分的依据. (2)用作商法比较代数式的大小一般适用于分式、指数式、 对数式,作商只是思路,关键是化简变形,从而使结果能 够与1比较大小.
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规律方法

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【训练 2】 (2012·四川卷 )设 a,b 为正实数.现有下列命题: 1 1 1 若 a2- b2=1,则 a-b< 1;②若 - =1,则 a- b<1; b a ③若| a- b|=1,则|a-b|<1;④若|a3-b3|=1,则|a-b|<1. 其中的真命题有______.(写出所有真命题的编号)



①中,a2-b2=(a+b)(a-b)=1, a,b,为正实数, 反证法 1 又 a-b= <1, 若 a-b≥1,则必有 a+b>1, a+b 不合题意,故①正确.

1 1 a-b 只需 a-b=ab 即可. ②中,b-a= ab =1, 2 4 如取 a=2,b= 满足上式, 但 a-b= >1, 3 3 故②错.
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归谬法

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【训练 2】 (2012·四川卷 )设 a,b 为正实数.现有下列命题: 1 1 1 若 a2- b2=1,则 a-b< 1;②若 - =1,则 a- b<1; b a ③若| a- b|=1,则|a-b|<1;④若|a3-b3|=1,则|a-b|<1. ①④ .(写出所有真命题的编号) 其中的真命题有______


③中,a,b 为正实数,所以 a+ b>| a- b|=1, 综合法
且|a-b|=|( a+ b)( a- b)| =| a+ b|>1,故③错. ④中,|a3-b3|=|(a-b)(a2+ab+b2)|

=|a-b|(a2+ab+b2)=1.

归谬法

若|a-b|≥1,不妨取 a>b>1, 则必有 a2+ab+b2>1, 不合题意,故④正确.
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不等式的性质及其应用

考 点

【例 3】(1)(2014· 泉州模拟)若 x>y,a>b,则在①a-x>b-y, a b ②a+x>b+y,③ax>by,④x-b>y-a,⑤ y >x这五个式子中, 恒成立的所有不等式的序号是________.

解(1) 令 x=-2,y=-3,a=3,b=2,符合题设条件 x>y,a>b, ∵a-x=3-(-2)=5,b-y=2-(-3)=5, ∴a-x=b-y, 因此①不成立. ∴ax=by, 因此③也不成立. 又∵ax=-6,by=-6,
a 3 b 2 a b 又∵ = =-1, = =-1, ∴ = ,因此⑤不成立. y -3 x -2 y x

由不等式的性质可推出②④成立.
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c c (2)(2012· 湖南卷 ) 设 a>b>1 , c<0 ,给出下列三个结论:① a > b ; ②ac<bc;③logb(a-c)>loga(b-c).其中所有的正确结论的序号是 ( D ).A.① B.①② C.②③ D.①②③

审题路线
a>b>1,c<0
-c>0

1 1 ①正确 < a b 构造函数 y=xc 根据单调性判断

②正确 ③正确

a-c>b-c>1

logb(a-c)>loga(a-c) >loga(b-c)

1 1 c c 解:由不等式性质及 a>b>1 知 < ,又 c<0,所以 > ,①正确; a b a b 构造函数 y=xc,∵c<0,∴y=xc 在(0,+∞)上是减函数,又 a>b >1,∴ac<bc,知②正确;∵a>b>1,a-c>0,∴a-c>b-c> 1,∵a>b>1,∴logb(a-c)>loga(a-c)>loga(b-c),知③正确.
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不等式的性质及其应用

(1)判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说 明.常用的推理判断需要利用不等式的性质. (2)在判断一个关于不等式的命题真假时,先把要判断的命 题和不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质, 并应用性质判断命题真假,当然判断的同时还要用到其他 知识,比如对数函数,指数函数的性质等.

规律方法

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1 1 1 1 【训练 3】若 < <0,则下列不等式:① < ;②|a|+b>0; a b a+b ab 1 1 ③a-a>b-b;④ln a2>ln b2 中,正确的不等式是( C ). A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ 解 法一 由1<1<0,可知 b<a<0. ①中, 因为 a+b<0, ab>0, a b 1 1 1 1 < ,即①正确; 所以 <0,ab>0. 故有 a+b ab a+b

②中,因为 b<a<0,所以-b>-a>0.故-b>|a|,即|a|+b<0, 故②错误; 1 1 1 1 故③正确; ③中,因为 b<a<0,又 < <0,所以 a- >b- , a b a b ④中, 因为 b<a<0, 根据 y=x2 在(-∞, 0)上为减函数,

而 y=ln x 在定义域(0,+∞)上为增函数, 可得 b2>a2>0, 所以 ln b2>ln a2,故④错误.由以上分析,知①③正确.
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1 1 1 1 【训练 3】若 < <0,则下列不等式:① < ;②|a|+b>0; a b a+b ab 1 1 ③a-a>b-b;④ln a2>ln b2 中,正确的不等式是( C ). A.①④ B.②③ C.①③ D.②④

解 法二 1 1 因为a<b<0,故可取 a=-1,b=-2. 所以②错误; 显然|a|+b=1-2=-1<0, 因为 ln a2=ln(-1)2=0,
ln b2=ln(-2)2=ln 4>0,

所以④错误.
综上所述,可排除②④.
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不难发现法二 (特例排除法)解 法更为简捷。但这 种方法只能用特例 判断某个结论错, 但不能断定一个结 论对。所以只能用 于排除法。切记!

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----课堂小结---1.判断不等式是否成立,主要利用不等式的性质和特殊 值验证两种方法,特别是对于有一定条件限制的选择题,用 ?ab>0, 特殊值验证的方法更简便. ? 1 1 ? 2.倒数关系在不等式中的作用: ? < ; ? a b ?a>b
?ab>0, ? ? ? ?a<b

1 1 ? > . a b 3.比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等式证

明的主要方法之一,作差法的主要步骤为:作差 ——变形 ——判断正负.在所给不等式是积、商、幂的形式时,可考 虑比商.
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(见教辅)

山东金榜苑文化传媒有限责任公司 课件部制作
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【审题视点 】 ?已知函数 f(x)=ax +bx,且 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4.求 f(-2) 思路 1:用 f(- 的取值范围. 1) , f(1) 整体表 选择方法 方法1 方法2 方法3 解 示 f(-2); 方法 1 设 f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m, n 为待定系数), 【方法锦囊 】
2

经典题目再现

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则 4a-2b=m(a-b)+n(a+b),
即 4a-2b=(m+n)a+(n-m)b. ? ? ?m+n=4, ?m=3, ? 于是得 解得? ? ? ?n-m=-2, ?n=1, ∴f(-2)=3f(-1)+f(1).
又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,

∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故 5≤f(-2)≤10.
方法1完

由 a<f(x,y)< b,c<g(x,y)< d,求 F(x,y)的 取值范围,可利 用待定系数法解 决,即设 F(x, y) = mf(x , y) + ng(x , y) ,用恒 等变形求得 m, n ,再利用不等 式的性质求得 F(x, y)的取值范 围.
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【审题视点 】 ?已知函数 f(x)=ax +bx,且 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4.求 f(-2) 思路 2:把 a, 的取值范围. 选择方法 b 用 f(-1), f(1) 方法1 方法2 方法3 解 表示; ? 方法 2 ?f?-1?=a-b, 【方法锦囊 】 ?
2



? ?f?1?=a+b, ? ?a=1[f?-1?+f?1?], ? 2 得? 1 ? b = [f?1?-f?-1?], ? 2 ?

∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10, 故 5≤f(-2)≤10.
方法2完

由 a<f(x,y)< b,c<g(x,y)< d,求 F(x,y)的 取值范围,可利 用待定系数法解 决,即设 F(x, y) = mf(x , y) + ng(x , y) ,用恒 等变形求得 m, n ,再利用不等 式的性质求得 F(x, y)的取值范 围.
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?已知函数 f(x)=ax2+bx,且 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4.求 f(-2) 【审题视点 】 思路 3:用线性 的取值范围.



方法1

方法2

方法3

选择方法

规划知识求解.

1≤a-b≤2, 方法 3 由? ? 确定的平面区域如图阴影部分,
?2≤a+b≤4

【方法锦囊 】
由 a<f(x,y)< b,c<g(x,y)< d,求 F(x,y)的 取值范围,可利 用待定系数法解 决,即设 F(x, y) = mf(x , y) + ng(x , y) ,用恒 等变形求得 m, n ,再利用不等 式的性质求得 F(x, y)的取值范 围.
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当 f(-2)=4a-2b 过点 B(3,1)时,
取得最大值 4×3-2×1=10, ∴5≤f(-2)≤10.

当 f(-2)=4a-2b ? 1? ?3 过点 A?2,2? ?时, ? ? 取得最小值 3 1 4× -2× =5, 2 2

b ? 2a ?

f ( ?2) 2

?

f ( ?2) ? 2

-2.5

-5

方法3完
第21页

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(见教辅)

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