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专题17 以解析几何中与圆相关的综合问题-2017年高考数学培优系列(学生版)

专题三 第四关 压轴解答题 以解析几何中与圆相关的综合问题 【名师综述】纵观近三年的高考题,解析几何题目是每年必考题型,主要体现在解析几何知识内的综合及 与其它知识之间的综合,圆不会单独出大题,一般是结合椭圆、抛物线一起考查,预计在 15 年高考中解答 题仍会重点考查圆与椭圆、抛物线相结合的综合问题,同时可能与平面向量、导数相交汇,每个题一般设 置了两个问,第(1)问一般考查曲线方程的求法,主要利用定义法与待定系数法求解,而第(2)问主要 涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大,解题 时需根据具体问题,灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识,正确构造不等式,体现了 解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的“ 应更多地从知识网络的交汇点上设计题 目 ,从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想. 类型一 以圆的切线为背景的相关问题 [来源:Zxxk.Com] 典例 1 【2014 高考天津第 18 题】设椭圆 x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点为 F1 , F2 ,右顶点为 A , a 2 b2 上顶点为 B .已知 AB = (Ⅰ)求椭圆的离心率; 3 F1F2 . 2 (Ⅱ) 设 P 为椭圆上异于其顶点的一点, 以线段 PB 为直径的圆经过点 F 经过原点 O 的直线 l 与该圆相切, 1, 求直线 l 的斜率 . 【举一反三】 【2014 高考北京理第 19 题】已知椭圆 C : x ? 2 y ? 4 . 2 2 (1)求椭圆 C 的离心率; 2 2 (2) 设 O 为原点, 若点 A 在椭圆 C 上, 点 B 在直线 y ? 2 上, 且 OA ? OB , 试判断直线 AB 与圆 x ? y ? 2 的位置关系,并证明你的结论. 类型二 与圆有关的面积问题 典例 2 已知圆 M 过 C (1, ?1) , D(?1,1) 两点,且圆心 M 在 x ? y ? 2 ? 0 上. (1)求圆 M 的方程; (2)设点 P 是直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上的动点,PA,PB 是圆 M 的两条切线,A,B 为切点,求四边形 PAMB 面 积的最小值. 【举一反三】如图, DP ? x 轴,点 M 在 DP 的延长线上,且 DM ? 2 DP ,当点 P 在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上运 动时. ( Ⅰ)求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 T ?0, t ? 作圆 x 2 ? y 2 ? 1 的切线 l 交曲线 C 于 A , B 两点,求 ?AOB 面积 S 的最大值和相应的点 T 的坐标. 类型三 圆与其他圆锥曲线的结合问题 典例 3 【2015 高考陕西,理 20】已知椭圆 ? : 点 ? c, 0 ? , x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的半焦距为 c ,原点 ? 到经过两 a 2 b2 ? 0, b ? 的直线的距离为 2 c . (I)求椭圆 ? 的离心率; (II)如图, ?? 是圆 ? : ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 2 2 1 5 的一 条直径,若椭圆 ? 经过 ? , ? 两点,求椭圆 ? 的 2 方程. 【举一反三】 已知圆 C1 :( x + 1) + y = 8 , 点 C2 (1 ,0) , 点 Q 在圆 C1 上运动,QC2 的垂直平分线交 QC1 于点 P . (1)求动点 P 的轨迹 W 的方程; (2)设 M 、N 分别是曲线 W 上的两个不同点,且点 M 在第一象限,点 N 在第三象限,若 2 2 OM ? 2ON ? 2OC1 , O 为坐标原点,求直线 MN 的斜率 kMN ; (3) 过点 S ? 0, ? ? 且斜率为 k 的动直线 l 交曲线 W 于 A,B 两点, 在 y 轴上是否存在定点 D , 使以 AB 为 直径的圆恒过这个点?若存在,求出 D 的坐标,若不存在,说明理由. 【精选名校模拟】 1. 【2017 届陕西省西安市铁一中五模】已知椭圆错误!未找到引用源。 :错误!未找到引用源。 (错误!未 找到引用源。 )的离心率为错误!未找到引用源。 ,以原点错误!未找到引用源。为圆心,椭圆错误!未找 到引用源。的长半轴长为半径的圆与直线错误!未找到引用源。相切. (Ⅰ)求椭圆错误!未找到引用源。的标准方程; (Ⅱ)已知点错误!未找到引用源。为动直线错误!未找到引用源。与椭圆错误!未找到引用源。的两个 交点,问:在错误!未找到引用源。轴上是否存在定点错误!未找到引用源。,使得错误!未找到引用源。 为定值?若存在,试求出点错误!未找到引用源。的坐标和定值;若不存在,请说明理由. 2. 【2017 届重庆市高三一模】过椭圆错误!未找到引用源。的右焦点错误!未找到引用源。作错误!未找 到引用源。轴的垂线,与椭圆错误!未找到引用源。在第一象限内交于点错误!未找到引用源。 ,过错误! 未找到引用源。作直线错误!未找到引用源。的垂线,垂足为错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 . (1)求椭圆错误!未找到引用源。的方程; [来源:学科网] ? ? 1? 3? (2)设错误!未找到引用源。为圆错误!未找到引用源。上任意一点,过点错误!未找到引用源。作椭圆 错误!未找到引用源。的两条切线错误!未找到引用源。 ,设错误!未找到引用源。分别交圆错误!未找到 引用源。于点错误!未找到引用源。 ,证明:错误!未找到引用源。为圆错误!未找到引用源。的直径. x2 y 2 D 在椭圆上, DF1 ? F1F2 , 3.如图,设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F 1 , F2 ,点 a b 2 | F1F2 | . ? 2 2 , ?DF1F2 的面积为 2 | DF1 | (1)求该椭圆的标准方程; (2)是否存

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