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2014届高考数学一轮复习名师首选练习题:第3章 第5节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》


第三章 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 一、选择题

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1.已知 cos 2θ= 13 A. 18 7 C. 9

2 ,则 sin4θ+cos4θ 的值为( 3 11 B. 18 D.-1

)

π 1 2.若 α∈(0, ),且 sin2α+cos 2α= ,则 tan α 的值等于( 2 4 A. 2 2 B. 3 3

)

C. 2

D. 3 )

π 3.已知 α+β= ,则(1+tan α)(1+tan β)的值是( 4 A.-1 C.2 B.1 D.4

π sin?α- ? 4 4.若 =- 2,则 sin α+cos α 的值 为( cos 2α A.- 1 C. 2 7 2 1 B.- 2 D. 7 2 )

)

1 1 5.已知 tan α= ,tan(α-β)= ,则 tan β=( 4 3 7 A. 11 1 C.- 13 11 B.- 7 1 D. 13 )

sin?-250°?cos 70° 6. 的值为( cos2155° -sin225° A.- 1 C. 2 二、填空题 3 2

1 B.- 2 D. 3 2

1 π cos 2α 7.已知 sin α= +cos α,且 α∈(0, ),则 的值为____. 2 2 π sin?α- ? 4 π tan x 8.已知 tan(x+ )=2,则 的值为________. 4 tan2x 9.已知角 α,β 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合,α,β∈(0,π),角 β 的终边

与单位圆交点的横坐标是- ________. 三、解答题

5 3 ,角 α+β 的终边与单位圆交点的纵坐标是 ,则 cos α= 13 5

π 1 10.已知- <x<0,sin x+cos x= . 2 5 (1)求 sin x-cos x 的值;

[来源:学_科_网]

x x x x 3sin2 -2sin cos +cos2 2 2 2 2 (2)求 的值. 1 tan x+ tan x

[来源:学+科+网]

1 5 11.已知 tan α=- ,cos β= ,α,β∈(0,π). 3 5 (1)求 tan(α+β)的值; (2)求函数 f(x)= 2sin(x-α)+cos(x+β)的最大值.

1 π 12. 已知函数 f(x)=2sin( x- ),x∈R. 3 6 5π (1)求 f( )的值; 4 π π 10 6 (2)设 α,β∈[0, ],f(3α+ )= ,f(3β+2π)= , 2 2 13 5 求 cos(α+β)的值.

详解答案:

1.解析:∵cos 2θ=

2 7 ,∴sin22θ= . 3 9

1 11 ∴sin4θ+cos4θ=1-2sin2θcos2θ=1- (sin 2θ)2= . 2 18 答案:B 1 2.解析:因为 sin2α+cos 2α=sin2α+1-2sin2α=1-sin2α=cos2α,∴cos2α= ,sin2α= 4 3 1-cos2α= , 4 π 1 3 sin α ∵α∈(0, ),∴cos α= ,sin α= ,t an α= = 3. 2 2 2 cos α 答案:D tan α+tan β π 3.解析:∵α+ β= ,tan(α+β)= =1, 4 1-tan αtan β ∴tan α+tan β=1-tan αtan β. ∴(1+t an α)(1+tan β)=1+tan α+tan β+tan αtan β =1+1-tan αtan β+ta n αtan β=2. 答案:C 4.解析:∵ 2 (sin α-cos α)=- 2(cos2α-sin2α) 2

1 ∴sin α+cos α= . 2 答案:C 5.解析:tan β=tan[α-(α-β)] 1 1 - tan α-tan?α-β? 4 3 1 = = =- . 1 13 1+tan αtan?α-β? 1+ 12 答案:C -sin?270°-20°?cos?90°-20°? cos 20° sin 20° sin 40° sin?90°-50°? 1 6.解析: = = = = . cos 50° 2cos 50° 2cos 50° 2 cos225° -sin225° 答案:C 1 7. 解析: 依题意得 sin α-cos α= , 又(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2, 即(sin α+cos α)2 2 1 7 π 7 cos 2α +( )2= 2,故(sin α+cos α)2= ;又 α∈(0, ),因此有 sin α+cos α= ,所以 = 2 4 2 2 π sin?α- ? 4 cos2α-sin2α 14 =- 2(sin α+cos α)=- . 2 2 ?sin α-cos α? 2 答案:- 14 2

1 2 2× 3 3 3 π 1 tan x 4 8.解析:因为 tan(x+ )=2,所以 tan x= ,tan2x= = = ,即 = . 4 3 1 8 4 tan 2x 9 1- 9 9 4 答案: 9
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5 3 12 9.解析:由题意知,cos β=- ,sin(α+β)= ,又∵α,β∈(0,π),∴sin β= , 13 5 13 4 cos(α+β)=- . 5 ∴cos α=cos[(α+β)-β] =cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β 4 5 12 3 =- × (- )+ × 5 13 13 5 20 36 = + 65 65 56 = . 65 56 答案: 65 1 1 10.解:(1)由 sin x+cos x= 两边平方得 1+2sin xcos x= , 5 25 24 所以 2sin xcos x=- . 25 49 ∵(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x= . 25 π 又∵- <x<0,∴sin x<0,cos x>0, 2 ∴sin x-cos x<0. 7 故 sin x-cos x= - . 5 x x x x 3sin2 -2sin cos +cos2 2 2 2 2 (2) = 1 tan x+ tan x x 2sin2 -sin x+1 2 =cos x(2-cos x-sin x) sin x cos x + cos x sin x 12 1 108 =(- )× (2- ) =- . 25 5 125 11.解:(1)由 cos β= 5 2 5 ,β∈(0,π),得 sin β= ,即 ta n β=2. 5 5

1 - +2 3 tan α+tan β ∴tan(α+β)= = =1. 2 1-tan αtan β 1+ 3 1 (2)∵tan α=- ,α∈(0,π), 3 ∴s in α= 1 3 ,cos α=- . 10 10

3 5 5 5 2 5 ∴f(x)=- sin x- cos x+ cos x- s in x 5 5 5 5 =- 5sin x. ∴f(x)的最大值为 5. 5π 1 5 π π 12.解:(1)f( )=2sin( × π- )=2sin = 2. 4 3 4 6 4 10 π (2)∵ =f(3α+ ) 13 2 1 π π? =2sin? ?3×?3α+2?-6?=2sin α, 6 1 π =f(3β+2π)=2sin[ ×(3β+2π)- ] 5 3 6 π =2sin(β + )=2cos β, 2 5 3 π ∴sin α= ,cos β= ,又∵α,β∈[0, ], 13 5 2 ∴cos α= 1-sin2α= sin β= 1-cos2β= 5 12 1-? ?2= , 13 13 3 4 1-? ?2= , 5 5

3 12 5 4 16 故 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β= × - × = . 5 13 13 5 65

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