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北京市朝阳区2015届高三上学期期末考试数学文试题及答案

北京市朝阳区 2014-2015 学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学试卷(文史类) (考试时间 120 分钟 满分 150 分) 2015.1 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分 第一部分(选择题 共 40 分) 一、 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选 出符合题目要求的一项. 1. 设 i 为虚数单位,则复数 z ? 1 ? i 的模 z = A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2 2 2. 已知全集 U ? R ,若集合 A ? x x ? x ? 0 ,则 ? UA? ? ? A. ? x x ? 0 ,或 x ? 1? B. ? x x ? 0 ,或 x ? 1? C. ?x 0 ? x ? 1? D. x x ? 1 ? ? 3.一个四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 正视图 侧视图 俯视图 -1- 4.执行如右图所示的程序框图,则输出的 i 的值是 A.3 B.4 C.5 D.6 5.若 a , b 是两个非零的平面向量,则 “ a = b ”是“ (a + b) ? (a ? b) = 0 ”的 A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 如图, 塔 AB 底部为点 B , 若 C , D 两点相距为 100m 并且与点 B 在同一水平线上, 现从 C , D 两点测得塔顶 A 的仰角分别为 45o 和 30o ,则塔 AB 的高约为(精确到 0.1m, 3 ? 1.73 , 2 ? 1.41 ) A. 36.5 B. 115.6 C. 120.5 D. 136.5 A D C B -2- 7.已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? ? ? x( x ? 1) x ? 1, ? 若直线 y ? a 与函数 f ( x ) 的图象恰有两 x x ? 1, ? ?2 ? 2 C. ? 0, 2? D. ?1, 2? 个公共点,则实数 a 的取值范围是 A. ? 0, 2? B. ? 0, 2 ? 8. 如图,在正方体中 ABCD ? A 1B 1C1D 1 , M 为 BC 的中点,点 N 在四边形 CDD 1C1 及其内 部运动.若 MN ? AC 1 1 ,则 N 点的轨迹为 A. 线段 B. 圆的一部分 C. 椭圆的一部分 D.双曲线的一部分 D1 A1 N. B1 C1 D A M B C 第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9. 双曲线 C : x2 ? y 2 ? 1 的离心率是 4 ;渐近线方程是 . 10.为了解某厂职工家庭人均月收入情况,调查了该厂 80 户居民月收入,列出频率分布表 如下: 按家庭人均月 收入分组(百 元) 频率 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 ?10,16 ? 0.1 ?16, 22 ? 0.2 ? 22, 28 ? 0.15 ? 28, 34 ? a ?34, 40 ? 0.1 ?40,46? 0.1 则这 80 户居民中, 家庭人均月收入在 ?2800,3400? 元之间的有 户 (用数字作答) ; 假设家庭人均月收入在第一组和第二组的为中低收入家庭,现从该厂全体职工家庭中随机 抽取一个家庭,估计该家庭为中低收入家庭的概率是 . -3- 11. 已知圆 C 的圆心位于第二象限且在直线 y ? 2 x ? 1 上,若圆 C 与两个坐标轴都相切,则圆 C 的标准方程是 ______. 12. 某单位有职工共 60 人,为了开展社团活动,对全体职工进行问卷调查,其中喜欢体育运 动的共 28 人,喜欢文艺活动的共 26 人,还有 12 人对体育运动和文艺活动都不喜欢, 则 喜欢体育运动但不喜欢文艺活动的人共有 人. ? y ? 0, ? 13. 在平面直角坐标系中,若关于 x , y 的不等式组 ? y ? x, 表示一个三角形区域,则实数 ? y ? k ( x ? 1) ? k 的取值范围是______. 14. 设 f ( x) ? a1 cos2 x ? (a2 ?1)sin x cos x ? 3sin 2 x ( a12 ? a22 ? 0 ) ,若无论 x 为何值,函 数 f ( x ) 的图象总是一条直线,则 a1 ? a2 的值是______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 某幼儿园有教师 30 人,对他们进行年龄状况和受教育程度的调查,其结果如下: 35 岁以下 35 ~ 50 岁 (含 35 岁 和 50 岁) 50 岁以上 本科 5 17 研究生 2 3 合计 7 20 2 1 3 (Ⅰ)从该幼儿园教师中随机抽取一人,求具有研究生学历的概率; (Ⅱ)从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取 2 人,求有 35 岁以下的研究生或 50 岁以上的研究生的概率. 16. (本小题满分 13 分) 已知平面向量 a = (sin x, cos x) , b = (sin x, ? cos x) , c = (? cos x, ? sin x) , x ? R , 函数 f ( x) ? a ? (b ? c) . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (Ⅱ)若 f ? 2 ?? ? ,求 sin ? 的值. ?? ?2? 2 -4- 17. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, PD ? 平面 ABCD .点 E 是 线段 BD

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