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高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数课件新人教A版必修4_图文

1.2.1 任意角的 三角函数(一)

1.复习引入
我们已经学习过锐角的三角函数,如图:
C

sin A ? BC AC

A

B

cos A ? AB tan A ? BC

AC

AB

你能在直角坐标系中来表示锐角三角函数吗?

2.利用平面直角坐标系表示锐角三角函数

设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴 重合,那么它的终边在第一象限.

α的终边上任意一点P的坐标为(a,b),它与原点的

距离是_r__?___a_2__?_b__2 _?__0
过P作x轴的垂线,垂足为M,则
线段OM的长度为__a_
b
线段MP的长度为___

y P(a,b)
α
OM x

sin? ? MP ? b , cos? ? OM ? a , tan? ? MP ? b

OP r

OP r

OM a

将点P取在使线段OP的长r=1的特殊位置上

sin? ? MP ? b,
OP
cos? ? OM ? a,
OP
tan? ? MP ? b
OM a

以原点O为圆心,以 单位长度为半径的 圆称为单位圆

y

y

P(a,b)

1α P(a,bx)

M A(1,0)
α

OM x

3.利用单位圆定义任意角的三角函数

设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于

点P(x,y)

(1) y叫做α的正弦,记作sinα,



sinα=y

(2) x叫做α的余弦,记作cosα,

y



cosα=x

P(x,y)

α

(3) y 叫做α的正切,记作tanα,



x
tan? ?

y ?x ? 0? ? ? ?

? k? ?k ? Z ?

x
A(1,0)

x

2

4.三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单 位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的 函数
弧度制下,角的集合与实数集R之间建立 了一一对应关系
三角函数可以看成自变量为实数的函数

5.典型例题

例1 求 5? 的正弦、余弦和正切值.

解: 在3直角坐标系中,作出 ?AOB= 5?

3

sin 5? ? ? 3

y

32

cos 5? ? 1
32

5?

3
O

Ax

tan 5? ? ? 3
3

B

? ???

1 2

,

?

3? 2 ???

例2 已知角α的终边经过点P0(-3,-4),求角α的正弦、余弦和正切值.

解: OP0 ? ??3?2 ? ??4?2 ? 5
设角α的终边与单位圆交于点P(x,y).分别过点P,P0作x轴的垂线MP,M0P0,则

M0P0

? 4, MP

? ?y, OM0

? 3, OM

? ?x
y

sin? ? y ? y ? ? MP

1 OP

M0 M

Ox

? ? M0P0 ? ? 4 ;

P(x,y)

OP0

5

P0(-3,-4)

cos? ? x ? x ? ? OM ? ? OM0 ? ? 3 ;

1 OP

OP0

5

tan? ? y ? sin? ? 4 x cos? 3

知道α终边上任意一点P(x,y),就可以求出角 α的三角函数值.

r ? x2 ? y2
sin? ? MP ? y ,
OP r
cos? ? OM ? x ,
OP r
tan? ? MP ? y
OM x

P(x,y) y

α

M

O

x

6.三角函数的定义域
sin? ? y cos? ? x

tan? ? y
x

三角函数
sinα cosα tanα

定义域
R R
{? | ? ? ? ? k? , k ? Z}
2

根据三角函数的定义,研究三 角函数值在各个象限的符号

sin? ? y cos? ? x tan? ? y
x

y
++

y
-+

y
-+

O

x

--

O

x

-+

O

x

+-

sin?

cos?

tan?

7.终边相同的角的同一三角函数值相等 公式一

sin ?? ? k ? 2? ? ? sin? cos ?? ? k ? 2? ? ? cos? tan ?? ? k ? 2? ? ? tan?
其中k ? Z.

角α终边每 绕原点旋转 一周,函数值 将重复出现

可以把求任意角的三角函数值转化为求0 到2π(或0°至360°)角的三角函数值.

例3 确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证:

?1? cos 250 ;

?2

?

sin

? ??

?

?
4

? ??

;

?3? tan ??672 ?; ?4? tan 3? .

解:(1)因为250°是第_三__象限角,所以cos250°< 0

(2)因为 ?

?
4

是第__四__象限角,所以

sin

? ??

?

?
4

? ??

<

0

(3)因为tan(-672°)=tan(48°-2×360°)=tan48°

而48°是第一象限角,所以 tan(-672°) > 0

(4)因为tan3π=tan(π+2π)=tanπ=0

例4 求下列三角函数值

?1?sin1480 10?;

?2?cos 9? ;
4

?3? tan

? ??

?

11?
6

???.

解:?1?sin1480 10? ? sin ?40 10? ? 4?360 ?

? sin 40 10? ? 0.6450

?2?cos 9?
4

?cos

? ??

?
4

? 2?

? ??

?

cos ?
4

?

2 2

?3?

tan

? ??

?

11?
6

? ??

?

tan

? ??

?
6

?

2?

? ??

?

tan ?
6

?

3 3

8.下面从图形角度

认识一下三角函数

α的 终边

P

y

MO
角α的终边与单位圆交于点P.过点P作 x轴的垂线,垂足为M.

A(1,0)
x

(Ⅱ)

y

|MP|=|y|=|sinα| |OM|=|x|=|cosα|

M O

A(1,0)
x

α的 P
终边 (Ⅲ)

y

α的

终边

P

A(1,0)
OM x

(Ⅰ)
y

M A(1,0)

O

x

P
α的
(Ⅳ) 终边

思考 (1)为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否 给线段OM、MP规定一个适当的方向,使它 们的取值与点P的坐标一致?
|MP|=|y|=|sinα| |OM|=|x|=|cosα|

当角α的终边不在坐标轴上时,以O为始点、M为终点,规定: 当线段OM与x轴同向时,OM的方向为正向,且有正值x;当线段OM与x轴反向时,OM 的方向为负向,且有负值x.
OM=x=cosα 当角α的终边不在坐标轴上时,以M为始点、P为终点,规定: 当线段MP与y轴同向时,MP的方向为正向,且有正值y;当线段MP与y轴反向时MP的 方向为负向,且有负值y.
MP=y=sinα

思考
(2)你能借助单位圆,找到一条如OM、MP一 样的线段来表示角α的正切吗?

过点A(1,0)作单 α的 y

位圆的切线,设它 终边 P

A(1,0)

与α的终边或其

MO

x

反向延长线相交 于点T.

T
(Ⅱ)

tan? ? MP
OM

y

T

? AT ? AT ? y

OA

x

M O

A(1,0)
x

α的 P
终边 (Ⅲ)

y T α的
终边
P
A(1,0)
OM x

(Ⅰ)
y

M A(1,0)

O

x

PT
α的
(Ⅳ) 终边

这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、
AT,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切 线,统称为三角函数线

当角α的终边与x轴重合时,正弦线、正切

线,分别变成一个点,此时角α的正弦值和正

切值都为0;

当角α的终边与y轴重合时,余

α的

y

终边 P

弦线变成一个点,正切线不存

A(1,0)

MO

x

在,此时角α的正切值不存在.

T

小结
1.任意角的三角函数的定义.
2.明确各种三角函数的定义域.
3.掌握各种三角函数在不同象限的正负 情况.

单位圆:圆心在原点,半径等于单位长度 的圆. 三角函数线:用有向线段的数量来表示.

y

T

P

O MA x

sin? ? MP cos? ? OM tan? ? AT

规律:三角函数线是有向线段的数量,要 分清起点、终点。 1)凡含原点的线段,均以原点为起点; 2)不含原点的线段,线段与坐标轴的交点 为起点; 3)正切线AT:起点A一定是单位圆与轴的 非负半轴的交点,终点T为终边(或延长线) 与过A的圆的切线的交点

作业
课本第20页习题1.2A组 2,5,7

练习
7? 利用三角函数的定义求 的三个三角函数值

6

解:如图,76?

与单位圆的交点为???? ?

3 2

,

?

1 2

? ???.

sin 7? ? y ? ? 1

y

6

2

7?

cos 7? ? x ? ? 3

6

2

6

A(1,0)

O

x

tan 7? ? y ? 3
6x3


? ??? ?

3 2

,

?

1 2

? ???

练习 已知角θ的终边过点P(-12,5),求角θ的三 角函数值.
解: r ? x2 ? y2 ? ??12?2 ? 52 ? 13
sin? ? y ? 5
r 13
cos? ? x ? ?12
r 13
tan? ? y ? ? 5
x 12 返

口答 设α是三角形的一个内角,在sinα,

cosα,tanα,tan(α/2)哪些可能取负值?

0?? ??, 0?? ?? ,
22

sin? ? 0, tan ? ? 0

? ?? ??

2 cos? ? 0, tan? ? 0

2

练习

确定下列三角函数值的符号

?1? sin156 >0

? 2? cos 16 ?
5

?

cos

???2?

?

????

?

?
5

?? ????

?

cos

????

?

?
5

? ??

?

0

? ? ?3? cos ?450 ? ? ? cos ?450 ? 720 ? cos 270 ? 0

?4?

tan

? ??

? 17 8

?

? ??

?

tan

? ??

?

17 8

?

? 2?

? ??

?

tan

? ??

?

?
8

? ??

?

0

? 5? sin

? ??

?

4?
3

? ??

?

sin

? ??

?

4?
3

? 2?

? ??

? sin

2?
3

?0

?6? tan 556 ? tan ?360 ?196 ? ? sin196 ? 0 返

填表:

角α

0° 90° 180° 270° 360°

角α的弧度数 0

?
2

? ? 3? 2

2

sinα

0 1 0 ?1 0

cosα

1 0 ?1 0 1

tanα

0

0

0

编后语
? 常常可见到这样的同学,他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具,下课铃一响,就迫不及待地“逃离”教室。实际上,每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么,课后的“黄金时间”可以用来做什么呢?
? 一、释疑难 ? 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题,应该在课堂上标出来,下课时,在老师还未离开教室的时候,要主动请老师讲解清楚。如果老师已
经离开教室,也可以向同学请教,及时消除疑难问题。做到当堂知识,当堂解决。 ? 二、补笔记 ? 上课时,如果有些东西没有记下来,不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容,可以在笔记本上留下一定的空间。下课后,再从头到尾阅读一
遍自己写的笔记,既可以起到复习的作用,又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全,错别字要纠正,过于潦草的字要写清楚。同时,将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想,用自己的话写在笔记本的空白处。这样,可以使笔记变的更加完整、充实。 ? 三、课后“静思2分钟”大有学问 ? 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间,在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍,把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍,这样,不仅可以加深知识的理解和记忆,还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以,2分钟的课后静思等于同一学科知识的 课后复习30分钟。

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