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3-3 几何概型_图文

几何概型(2)

长度(面 积或体积)

有无限多个

等可能性

构成事件A的区域长度?面积或体积? ?面积或体积? P(A)=试验的全部结果所构成的区域长度 __________________________________________.
[提醒] 求解几何概型问题注意数形结合思想的应用.

2.在区间[20,80]内任取一个实数 m,则实数 m 落在区间 [50,75]内的概率为________.
75- 50 5 解析:选择区间长度度量,则所求概率为 = . 80- 20 12 5 答案: 12

5.某路公共汽车每 5 min 发车一次,某乘客到乘车点的时刻是随机的,则 他候车时间不超过 3 min 的概率是( 3 A.5 2 C.5 4 B.5 1 D.5 )

解析:此题可以看成向区间[0,5]内均匀投点,求点落入[2,5]内的概率。设 A={某乘客候车时间不超过 3 min}。 构成事件A的区域长度 3 则 P(A)= =5。 试验的全部结果构成的区域长度 答案:A

4. 已知 x 是[-4,4]上的一个随机数, 则使 x 满足 x2+x-2<0 的概率为( 1 A.2 5 C.8 3 B.8 D.0

)

解析:x2+x-2<0?-2<x<1,则 P= 答案:B

1-?-2? 3 = 。 4-?-4? 8

2.(2016· 衡水一模)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C, 现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC,CB 的长,则该 矩形的面积大于 20 cm2 的概率为________.

解析: 设|AC|=x,则 |BC|=12-x,所以 x(12-x)>20, 10-2 2 解得 2<x<10,故所求概率 P= = . 12 3 2 答案: 3

5.(2015· 重庆卷)在区间[0,5]上随机地选择一个数 p,则方程 x2+2px+3p -2=0 有两个负根的概率为________。
解析:设方程 x2+2px+3p-2=0 的两个根分别为 x1,x2, Δ=4p -4?3p-2?≥0, ? ? 2 由题意,得?x1+x2=-2p<0, 结合 0≤p≤5,解得3<p≤1 或 2< ? ?x1x2=3p-2>0,
2

2? 1-3? ?+?5-2? 2 ? p≤5,所以所求概率 P= = 5 3。 2 答案:3

? ? ? ?

2.(2016· 高安中学检测)如图, 在△AOB 中, 已知∠ AOB= 60°, OA= 2, OB= 5, 在线段 OB 上任取一点 C,则△AOC 为钝角三角形的概 率是________.

解析: 由题意知, 当△AOC 为钝角三角形时, 有两种情况: 第一种是∠ ACO 为钝角,这种情况的边界是∠ ACO = 90°,此时 OC=1,所以在这种情况下,0<OC<1 符合题 目要求.第二种是∠ OAC 为钝角,这种情况的边界是∠ OAC=90°,此时 OC=4,所以在这种情况下, 4<OC<5 符合题目要求. 综上, 若△AOC 为钝角三角形, 则 0<OC<1 2 或 4<OC<5,所以所求概率 P= =0.4. 5 答案:0.4

3.如图,矩形的长为 6,宽为 3,往矩形内随机地撒 300 颗黄豆,数得落在阴影部分内的黄豆为 125 颗,则可 以估计出阴影部分的面积为________.

解析:∵矩形的长为 6,宽为 3,∴S 矩形 = 18,由几何概型 S阴影 S阴影 125 15 的概率计算公式,得 = = ,解得 S 阴影= . 18 300 2 S矩形 15 答案: 2

【微练 4】(1)若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中,其中 AB =2,BC=1,则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是( B )

π A.2 π C.6

π B.4 π D.8

2.(2015· 苏州调研)在边长为 2 的正方形 ABCD 内部任取一点 M,则满足∠AMB>90°的概率为________.
解析:如图,如果 M 点位于以 AB 为直径的 半圆内部,则∠AMB>90°,否则,M 点位于 半圆上及空白部分,则∠ AMB≤90°,所以 1 ×π×12 2 π ∠ AMB>90° 的 概 率 P = = . 22 8 π 答案: 8

[题点全练] 角度一:与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题 1.如图,将半径为 1 的圆分成相等的四段弧,再将四段弧围 成星形放在圆内 (阴影部分 ).现在往圆内任投一点,此点 落在星形区域内的概率为 ________.

解析:顺次连结星形的四个顶点,则星形区域的面积等于 ( 2)
2

?1 ? 1 2 2 - 4? × π× 1 - × 1 ?= 4-π,又因为圆的面积等于 2 ?4 ?

4- π 4 π×1 =π,因此所求的概率等于 = -1. π π
2

4 答案: - 1 π

3. (2015· 福建卷)如图, 矩形 ABCD 中, 点 A 在 x 轴上, 点 B 的坐标为(1,0),

? ?x+1,x≥0, 且点 C 与点 D 在函数 f(x)=? 1 的图象上。若在矩形 ABCD 内随 ? ?-2x+1,x<0
机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于( )

1 A.6 3 C.8

1 B.4 1 D.2

解析:依题意得,点 C 的坐标为(1,2),所以点 D 的坐标为(-2,2),所以矩 形 ABCD 的面积 S
矩形 ABCD

=3×2=6,阴影部分的面积 S

阴影

1 3 =2×3×1=2,根

3 S阴影 2 1 据几何概型的概率求解公式,得所求的概率 P= =6=4,故选 B。 S矩形ABCD 答案:B

微考点?

与面积有关的几何概型

角度一:与平面图形面积有关的几何概型 【典例 4】 如图,已知圆的半径为 10,其内接三角形 ABC 的内角 A、B 分别为 60° 和 45° ,现向圆内随机撒一粒豆子,则豆子落在三角形 ABC 内的概率为( )

3+ 3 A. 16π 4π C. 3+ 3

3+ 3 B. 4π 16π D. 3+ 3

?BC=20sin60° BC AC 解析: 由正弦定理 sinA = sinB = 2R(R 为圆的半径 ) ? ? ? AC = 20sin45° ? ? ?BC=10 3 ? , ? AC = 10 2 ?

6+ 2 1 1 那么 S△ABC=2×10 3×10 2sin75° =2×10 3×10 2× 4 =25(3 + 3)。 S△ABC 25?3+ 3? 3+ 3 于是,豆子落在三角形 ABC 内的概率为 = 102π = 4π 。 圆的面积 答案:B

解析:设事件 M=“动点在三棱锥 AA1BD 内”, P(M)=V V 三棱锥A-A1BD
长方体ABCD -A1 B1C1 D1

=V

V

三棱锥A1 -ABD

长方体ABCD -A1 B1C1 D1

=V 长方体ABCD -A1 B1C1 D1 1 1 AA ·S 3 1 2 矩形ABCD 1 = = . 6 AA1· S矩形ABCD 1 答案: 6

1 AA · S 3 1 △ABD

[即时应用] 在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,点 O 为底面 ABCD 的中心,在正方体 ABCDA1B1C1D1 内随机取一点 P,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为________.

解析:由题意,在正方体 ABCDA1B1C1D1 内任取一点,满 足几何概型,记“点 P 到点 O 的距离大于 1”为事件 A, 则事件 A 发生时,点 P 位于以 O 为球心,以 1 为半径的 14 3 2 半球外. 又 V 正方体 ABCDA1B1C1D1= 2 = 8, V 半球= ·π·1 = 23 3
3

2 8- π 3 π π,∴所求事件概率 P(A)= = 1- . 8 12 π 答案: 1- 12

3.3.2 均匀随机数的产生

[0,1]区间上均匀随机数的产生
?用计算器产生均匀随机数的方法: 随计算器的品种与型号的不同而不同, 需要查看相关的计算器的使用说明.

? 用Excel软件产生均匀随机数的方法: 1.在选定的起始单元格内键入“=rand( )”
2.拖动单元格右下端的手柄到需要的单元格,

直到我们需要的个数为止.

均匀随机数的产生

? 计算器 ? EXCEL软件内的rand() 产生[0,1]内的均匀随机数x 问题1:如何产生[1,2]的随机数? 问题2:如何产生[0,2]的随机数? 问题3:如何产生[-1,1]的随机数? 问题4:如何产生[a,b]的随机数?

x ? x(b ? a) ? a
'

需要注意的问题
?rand()产生的是[0,1]上的任意实数,而

randbetween ( a, b)产生的是从整数 a 到整数 b
的取整数值的随机数. ?以上两种方法不能直接产生 [ a, b] 上的均匀 随机数,只能通过平移或伸缩变换得到: x 即如 是 [ a, b] 上的均匀随机数,则 a ? (b ? a) x 就是

[a, b]上的均匀随机数.

例1 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30— 7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在 早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称 为事件A)的概率是多少?
解:设报纸送到的时间为x,父亲出门时间为y; 则全体基本事件可以表示为集合:

? ? {( x, y) | 6.5 ? x ? 7.5且7 ? y ? 8}
父亲在出门前可以收到报纸的事件可以表示为集合:

A ? {( x, y) | 6.5 ? x ? 7.5且7 ? y ? 8且y ? x}

6.5 ? x ? 7.5 7? y ?8 y?x
画出图像如右图所示,
由题义可得符合几何概型的条 件,所以由几何概型的知识可 得:

y

父亲离家时间 y=x

8:00

C

D E

7:00

G

F

H

S CDEFG p ( A) ? SCDHG
2 30 602 ? 2 ? 0.875 ? 602

x O 6:30 7:30 报纸送到时间

例1 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30— 7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在 早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称 为事件A)的概率是多少?

1 1 2 1 ? ?( ) 7 2 2 ? P(A)= 2 1 8
2

本方法是用几何概型的概率计 算公式来计算该事件的概率.

探究:你能设计一个随机模拟的方法来求它的概率吗?

方法二:(随机模拟法) 解:设 是报纸送到时间,y 是父亲离家时间,则 用 [0,1]区间上的均匀随机数可以表示为:

x

x ? 6.5 ? rand() y ? 7 ? rand()
设随机模拟的试验次数为 a,其中父亲得到报
纸的次数为

n(即为满足 y ? x的试验次数),则
n a

由古典概型的知识可得,可以由频率近似的代替概
率,所以有:p ( A) ?

例2:在如右图所示的正 方形盘子中随机的撒一把豆子, 计算落在圆中得豆子数与落在 正方形中的豆子数之比并依此

估计圆周率的值。
想一想:你能设

分析1:由于每个豆子落在正方形
内任何一点是等可能的,所以每个 区域中的豆子数近似的与该区域的 面积成正比,即有:

计一个随机模拟
的方法来估计圆 的面积吗?

圆的面积 落在圆中的豆子数 ? 正方形的面积 落在正方形中得豆子数

假设正方形的边长为2,则有: 圆的面积 ? ?
正方形的面积 ? 2? 2 ? 4 .

由于落在每个区域中的豆子数是可以数出来的,
落在圆中的豆子数 所以 ? ? ? 4, 落在正方形中的豆子数

这样就得到了 ? 的近似值。

分析2:另外,还可以用计算机模拟上述过程,
步骤如下: (1)产生两组各

n个0~1区间的均匀随机数 a1 , a2 .

(2)经过平移和伸缩变换得到:

a ? (a1 ? 0.5) * 2, b ? (b1 ? 0.5) * 2;
(3)构造点 M (a, b) ,求出满足 a 2 ? b 2 ? 1 的点的个

数 M (a, b) 的个数

m ,则可得:

4m ?? . n

例3:利用随机模拟方法 计算右图中阴影部分(由 y ? 1 和 y ? x 2 所围成的部分)的面 积.

想一想:你能设计一个随机模拟的方法来估计阴
影部分的面积吗? 分析:如右图所示,由直线 x ? ?1, y ? 1, y ? 0 围成的的矩形的面积为2
利用随机模拟的方法可以得到落在阴影部分内的点与落在矩形内的点数之比, 再用几何概型公式就可以估计出阴影部分的面积.

做题步骤如下:

(1)利用计算机产生两组0~1区间的均匀随机数:

a1 ? rand(),b ? rand();
(2)进行平移和伸缩变换:

a ? (a1 ? 0.5) * 2;
(3)数出落在阴影内的样本点数 m ,用几何概型

公式计算阴影部分的面积为:

2m s? n

变式:已知m,n 是区间(0,1)中的两个随机数,这两

6 个数的和小于 的概率? 5

解:建立平面直角坐标系如图。

6 则m ? n ? 的概率为 5 1 4 4 1- ? ? 17 2 5 5 P ( A) ? ? 2 25 1

拓展延伸:两人相约于 7 时到 8 时在公园见面, 先到者等候 20 分钟就可离去,求两人能够见面 的概率。
解. 以 7 点为坐标原点,
y
60

小时为单位。x,y 分别表示 两人到达的时间,( x,y ) 构成边长为 60的正方形S, 显然这是一个几何概率问题。
o
20 60

S A

20

x

他们能见面应满足 | x – y | ≤ 20 ,因此,

P(A)=

6 0 2- 4 0 2 602



5 9

考点 3 与线性规划有关的几何概型 例 3:甲、乙两人约定上午9 时至12 时在某地点见面,并 约定任何一个人先到之后等另一个人不超过一个小时,一小时 之内若对方不来,则离去.如果他们两人在 9 时到 12 时之间的

任何时刻到达约定地点的概率都是相等的,求他们见到面的概
率. 思维点拨:(1)考虑甲、乙两人分别到达某处的时间.在平面

直角坐标系内分别用x 轴、y 轴表示甲、乙到达约定地点的时间,
用 0 时到3 时表示 9 时至12 时的时间段,则试验发生包含的条 件是{(x,y)|0<x<3,0<y<3}.(2)两人能会面的时间必须满足|x-y| <1.这就将问题化归为几何概型问题.

解:设9 时后过了x 小时甲到达,9 时后过了y 小时乙到达, 取点 Q(x,y),则 0<x<3,0<y<3.

两人见到面的充要条件是|x-y|<1.
如图 9-4-4,作出两部分对应图形的 区域,得所求概率是

1 2 3 -2×2×2 5 p= =9. 32
2

图 9-4-4

【规律方法】将随机事件转化为面积之比时,要注意总的 基本事件和所求事件分别表示的区域.

【互动探究】
4.(2014 年重庆,由人教版必修3P137例2改编)某校早上 8:00 开始上课,假设该校学生小张与小王在早上 7:30~7:50之间 到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张 比小王至少早 5 分钟到校的概率为_______.(用数字作答)

解析:用 x 表示小王到校的时间,30≤x≤50,用 y 表示小

张到校的时间,30≤y≤50,则所有可能的
结果对应如图 D65 所示的直角坐标系中的

正方形 ABCD 区域,小张比小王至少早 5
分钟到校,即 x-y≥5,所对应的区域为
S? BEF S正方形ABCD

△BEF.所以 p=

1 2×15×15 9 = =32. 20×20

图 D65

答案:

9 32

微考点?

与角度有关的几何概型

【典例 2】如图所示,在△ABC 中,∠B=60° ,∠C=45° ,高 AD= 3,在 ∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M,则 BM<1 的概率为__________。
解析:因为∠B=60° ,∠C=45° ,所以∠BAC=75° , 在 Rt△ABD 中,AD= 3,∠B=60° , AD 所以 BD=tan60° =1,∠BAD=30° 。 记事件 N 为“在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M,使 BM<1”,则可得 ∠BAM<∠BAD 时事件 N 发生。 30° 2 由几何概型的概率公式,得 P(N)=75° =5。 2 答案:5

[规律方法] (1)当涉及射线的转动,扇形中有关落点区域问题时,应以角的大小作为区 域度量来计算概率,且不可用线段的长度代替,这是两种不同的度量手段。 (2)有时与长度或角度有关的几何概型,题干并不直接给出,而是将条件隐 藏,与其他知识综合考查。

【微练 2】(1)如图,在直角坐标系内,射线 OT 落在 30° 角的终边上,任作

1 一条射线 OA,则射线 OA 落在∠yOT 内的概率为__________ 。 6

(2)如图,M 是半径为 R 的圆周上一个定点,在圆周上等可能地任取一点 N,

1 2 连接 MN,则弦 MN 的长度超过 2R 的概率是__________ 。

解析:(1)如题图,因为射线 OA 在坐标系内是等可能分布的,则 OA 落在∠ 60° 1 yOT 内的概率为360° =6。
π 2×2 π 1 (2)由题意知,当 MN= 2R 时,∠MON=2,故所求概率为 =2。 2×π


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