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2014高三数学复习专题——函数的表示


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2013-8-26

高三数学一轮复习——函数的表示
一、要点精讲 函数的表示法 常用的有 解析法 、 列表法 、 图象法 三种. ⑴ 解析法就是把两个变量的函数关系用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解 析式. ⑵ 列表法就是列出表格来表示两个变量的函数关系. ⑶ 图象法就是用函数图象表示两个变量之间的关系. 二、课前热身
?2x, x>0 1. (2011 福建)已知函数 f(x)=? ,若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于 ? x+1,x≤0

A.-3

B.-1

C.1
3

D.3 .

2. (2011 广东)设函数 f ( x) ? x cos x ? 1. 若 f (a) ? 11,则 f (?a) ? 3.已知 f x ? lg x ,则 f ?2? ?
5

? ?

A. lg 2

B. lg 32

C. lg

1 32

D.

1 lg 2 5
?

4.(2011 安徽)设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? ? 时, f ( x) ? ? x ? x ,则 f (?) ? (A) ?? (B) ?? (C)1 (D)3 )

5.(2010· 广东六校)若函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=f(1-x)的图象大致为(

6.已知 f ?x ? 2? ? 2x2 ? 9x ? 13,求 f ?x ? 的解析式.

四.典例解析 考点一:求函数解析式 1. 已知函数 ? ?x ? ? f ?x ? ? g ?x ? , 其中 f ?x ? 是 x 的正比例函数,g ?x ? 是 x 的反比例函数, ? ? ? ? 16 , 且

? ?1? ? 8 ,求 ? ?x ? 的表达式。

?1? ? 3?

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1

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2. 如果 f[f(x) ]=2x-1,则一次函数 f(x)=___________________.

3.⑴ 已知 f ( x ? ) ? x ?
3

1 x

1 ,求 f ( x) ; x3

⑵ 已知 f ( ? 1) ? lg x ,求 f ( x) ;

2 x

⑶已知 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f ( ) ? 3 x ,求 f ( x) 。

1 x

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2

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2 ? 1? x ? 1? x ,则 f ?x ? 的解析式可取为( ?? 2 ?1? x ? 1? x 2x x 2x (A) (B) ? (C) 2 2 1? x 1? x 1? x2

2013-8-26

4.已知 f ?

) (D) ?

5、设 f (x) 是 R 上的函数,且满足 f (0) ? 1, 并且对任意实数 x, y ,有 f ( x ? y) ? f ?x ? ? y?2 x ? y ? 1? , 求 f (x) 的表达式。

x 1? x2

考点二:函数值问题 1.(2010 重庆)已知函数 f ? x ? 满足: f ?1? ?

1 , 4 f ? x ? f ? y ? ? f ? x ? y ? ? f ? x ? y ?? x, y ? R ? ,则 4

f ? 2010? =_____________.
? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 5.(09 天津)设函数 f ( x) ? ? 则不等式 f ( x) ? f (1) 的解集是( ) ? x ? 6, x ? 0
A. (?3,1) ? (3,??) 解析 B. (?3,1) ? (2,??) C. (?1,1) ? (3,??) D. (??,?3) ? (1,3)

由已知,函数先增后减再增

当 x ? 0 , f ( x) ? 2 f (1) ? 3 令 f ( x) ? 3, 故 f ( x) ? f (1) ? 3 ,解得 ? 3 ? x ? 1或x ? 3

解得 x ? 1, x ? 3 。当 x ? 0 , x ? 6 ? 3, x ? ?3

?x 2 x?0 4. (2011 浙江理)已知 f ?x ? ? ? ,则 f ?2? ? f ?? 2? 的值为 ? f ( x ? 1), x ? 0
A.6 B.5 C.4 D.2

B

5.函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ?

1 ,若 f ?1? ? ?5, 则 f ? f ?5?? ? __ ________; f ? x?

解: (1)由 f ? x ? 2 ? ?

1 1 ? f ( x) , 得 f ? x ? 4? ? f ? x? f ? x ? 2?

所以 f (5) ? f (1) ? ?5 ,则 f

? f ? 5? ? ? f (?5) ? f (?1) ?

1 1 ?? 。 f (?1 ? 2) 5

点评:通过对抽象函数的限制条件,变量换元得到函数解析式,考察学生的逻辑思维能力。 6.(2011 江苏) 已知实数 a ? 0 , 函数 f ( x) ? ?

?2 x ? a, x ? 1 , f (1 ? a) ? f (1 ? a) , a 的值为_______ 若 则 ?? x ? 2a, x ? 1
3 3 , 不符合;a ? 0, ?1 ? a ? 2a ? 2 ? 2a ? a, a ? ? . 2 4
3

解: ? a ? 0 . a ? 0, 2 ? 2a ? a ? ?1 ? a ? 2a, a ? ?
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2. (2010 江苏)已知函数 f ( x ) ? ?

? x 2 ? 1, x ? 0 ?1, x?0

,则满足不等式 f (1 ? x ) ? f (2 x) 的 x 的范围是_____。
2

3. (2011 辽宁)设函数 f ( x) ? ? A. [?1 ,2]

?21? x , x ? 1 ?1 ? log2 x, x ? 1

,则满足 f ( x) ? 2 的 x 的取值范围是 C.[1,+ ? ] D.[0,+ ? ]

B.[0,2]

4.设函数 f ? x ? ? ?log A. ? ?1,0? U ? 0,1? C. ? ?1,0? U?1,???

x?0 ? log 2 x, ? x ? 0 若 f ? a ? ? f ? ?a ? ,则实数 a 的取值范围是( 1 ? ?x? , ? 2 ?
B. ? ??,?1? U?1,??? D. ? ??,?1? U? 0,1?

) .

5. 如果函数 f(x)=(x+a)3 对任意 x∈R 都有 f(1+x)=-f(1-x) ,试求 f(2)+ f(-2)的值.

6.(2010 天津)设函数 f ? x ? ? x ? 围是________

1 ,对任意 x?[1, ??),f(mx)+mf(x)<0 恒成立,则实数 m 的取值范 x

考点三:函数的图象 1. 已知函数的图象如图所示,那么 f ?x ? 等于 (A)

x2 ? 2x ? 1
x 2

(B)

x2 ? 2 x ? 1
2

2 (C) x ? 1

(D) x ? 2 x ?1 A

2.(2010 山东)函数 y ? 2 ? x 的图像大致是

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3. (2011 陕西)设函数 f ( x ) ( x?R)满足 f (? x) ? f ( x) , f ( x ? 2) ? f ( x) ,则函数 y ? f ( x) 的图 像是 ( )

4.(2010 全国)直线 y ? 1与曲线 y ? x2 ? x ? a 有四个交点,则 a 的取值范围是

.

考点四:函数的实际应用 1.(2011 福建)某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y (单位:千克)与销售价格 x (单位: 元/千克)满足关系式 y ?

a ? 10( x ? 6) 2 ,其中 3 ? x ? 6 , a 为常数,已知销售价格为 5 元/千克时,每 x ?3

日可售出该商品 11 千克. (Ⅰ) 求 a 的值; (Ⅱ) 若该商品的成品为 3 元/千克, 试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

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? ? ? 2.(2011 北京)根据统计,一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为 f ( x) ? ? ? ? ?

c ,x ? A x c ,x ? A A

(A,c 为常数) 。已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装第 A 件产品时用时 15 分钟,那么 c 和 A 的值分别是 A. 75,25 B. 75,16 C. 60,25 D. 60,16

3.某租赁公司拥有汽车 100 辆.当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出。当每辆车的月租金每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆。租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的车每辆每月需要维护 费 50 元。 (1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?

4. 某商场经营一批进价是 30 元/台的商品,在市场试销中发现,此商品销售单价 x 元与日销售量 y 台之间 有如下关系:
x y 35 57 40 42 45 27 50 12

⑴根据表中提供的数据描出实数对 ? x, y ? 的对应点,确定 x 与 y 的一个函数关系式 y ? f ?x ? ; ⑵设经营此商品的日销售利润为 p 元,根据上述关系写出 p 关于 x 的函数关系式,并指出当销售单价 x 为 多少元时,才能获得最大日销售利润?

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