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www.vns0157.com:【高考领航】2017届高三数学(文)二轮复习练习:综合提升训练6.doc

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专题六

综合提升训练(六)

(用时 40 分钟,满分 80 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.(2016· 广东实验中学测试)若抛物线 y=ax2 的焦点坐标是(0,1),则 a=( A.1 C.2 1 D. 2 1 B. 4 )

1? 1 1 1 解析:选 B.因为抛物线方程为 x2= y,所以其焦点坐标为? ?0,4a?,则有4a=1,a=4,所以 a 选 B. x2 y2 2.已知双曲线 2 - 2=1(a>0,b>0)的一个焦点与圆 x2+y2-10x=0 的圆心重合,且双曲 a b 线的离心率等于 5,则该双曲线的标准方程为( x y A. - =1 5 20 x2 y2 C. - =1 20 5
2 2

)

x y B. - =1 25 20 x2 y2 D. - =1 20 25

2

2

解析:选 A.因为圆 x2+y2-10x=0 的圆心为(5,0),所以 c=5,又双曲线的离心率等于 5, 所以 a= 5,b=2 5,故选 A. 3.已知在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,M 是抛物线 C 上 的点,若△OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切,且该圆的面积为 9π,则 p=( A.2 C.6 B.4 D.8 )

解析:选 B.∵△OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切, ∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径, p p p ∵圆的面积为 9π,∴圆的半径为 3,又圆心在 OF 的垂直平分线上,|OF|= ,∴ + =3, 2 2 4 解得 p=4. x2 y2 2 4.已知椭圆 2 + 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,右焦点 F(c,0),方程 ax2+bx-c=0 的两个 a b 3 根分别为 x1,x2,则点 P(x1,x2)在( A.圆 x2+y2=2 上 C.圆 x2+y2=2 外 )

B.圆 x2+y2=2 内 D.以上三种情况都有可能

2 解析: 选 B.由题意知 e= , 3

?x +x =-a ? c ?x x =-a
1 2 1 2

b
2 2 b2 2c a -c 2 2 , ∴x2 + x = (x + x ) - 2x x = + = + 2 2 1 2 1 2 1 2 a a a

4 7 c2 17 = - = <2,∴点 P(x1,x2)在圆 x2+y2=2 内. 3 3 a2 9 x2 y2 5.已知 F1,F2 分别是双曲线 2 - 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若在双曲线左支上存在 a b bx 一点 P 与点 F2 关于直线 y=- 对称,则该双曲线的离心率为( a A. 5 C.2 B. 5 2 )

D. 2

bx a bx 解析:选 A.由题意,过 F2(c,0)且垂直于 y=- 的直线方程为 y= (x-c),它与 y=- 的 a b a a ab 2a 2ab ,- ?,∴点 P 的坐标为? -c,- ?,∵点 P 在双曲线上,∴ 交点坐标为? c? c ? ?c ?c
2 2

?2a -c?2 ?c ?
a2

2



?-2ab?2 ? c ?
b2

c2 c =1,整理得 c =5a ,∴ 2=5,∴e= = 5,选 A. a a
2 2

6.(2016· 山东聊城实验中学三诊)设 a,b,c 分别是△ABC 中角 A,B,C 所对的边,则直 线 sin A· x+ay-c=0 与 bx-sin B· y+sin C=0 的位置关系是( A.平行 C.垂直 B.重合 D.相交但不垂直 )

sin A 解析:选 C.由题意可得直线 sin A· x+ay-c=0 的斜率 k1=- ,bx-sin B· y+sin C=0 a b sin A b 的斜率 k2= , 故 k1k2=- · =-1, 则直线 sin A· x+ay-c=0 与直线 bx-sin B· y sin B a sin B +sin C=0 垂直,故选 C. x2 7.(2016· 山东德州一模)已知抛物线 y2=8x 与双曲线 2 -y2=1(a>0)的一个交点为 M,F 为 a 抛物线的焦点,若|MF|=5,则该双曲线的渐近线方程为( A.5x± 3y=0 C.4x± 5y=0 B.3x± 5y=0 D.5x± 4y=0 )

解析:选 A.抛物线 y2=8x 的焦点为 F(2,0),准线方程为 x=-2,设 M(m,n),则由抛物线 的定义可得|MF|=m+2=5,解得 m=3,由 n2=24,可得 n=± 2 6.将 M(3,± 2 6)代入双 x2 9 3 5 曲线 2 -y2=1(a>0),可得 2-24=1(a>0),解得 a= ,故双曲线的渐近线方程为 y=± x, a a 5 3 即 5x± 3y=0.故选 A.

x2 y2 8.(2016· 重庆巴蜀中学月考)已知 F1,F2 分别为椭圆 C: + =1 的左、右焦点,点 E 是 9 8 → → 椭圆 C 上的动点,则EF1· EF2的最大值、最小值分别为( A.9,7 C.9,8 B.8,7 D.17,8 )

解析: 选 B.由题意可知椭圆的左、 右焦点坐标分别为 F1(-1,0), F2(1,0), 设 E(x, y)(-3≤x≤3), → → → → 8 x2 则EF1=(-1-x,-y),EF2=(1-x,-y),所以EF1· EF2=x2-1+y2=x2-1+8- x2= + 9 9 → → → → 7,所以当 x=0 时,EF1· EF2有最小值 7,当 x=± 3 时,EF1· EF2有最大值 8,故选 B. x2 y2 9.(2016· 河北唐山摸底)已知双曲线 P: 2 - 2=1(a>0,b>0)的右顶点为 A,与 x 轴平行 a b 的直线交 P 于 B,C 两点,记∠BAC=θ,若 P 的离心率为 2,则( π? A.θ∈? ?0,2? 3π ? C.θ∈? ? 4 ,π? π B.θ= 2 3π D.θ= 4 )

c 解析:选 B.∵e= = 2,∴c= 2a,∴b2=c2-a2=a2, a ∴双曲线方程可变形为 x2-y2=a2.设 B(x0,y0),由对称性可知 C(-x0,y0),∵点 B(x0,y0) 在双曲线上,
2 2 ∴x2 0-y0=a .

→ → ∵A(a,0),∴AB=(x0-a,y0),AC=(-x0-a,y0), → → 2 2 2 ∴AB· AC=(x0-a)· (-x0-a)+y2 0=a -x0+y0=0, → → π ∴AB⊥AC,即 θ= .故 B 正确. 2 x2 y2 10.点 A 是抛物线 C1:y2=2px(p>0)与双曲线 C2: 2 - 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的 a b 交点(异于原点),若点 A 到抛物线 C1 的准线的距离为 p,则双曲线 C2 的离心率为( A. 2 C. 3 B. 5 D. 6
2

)

y =2px, ? ?x= b2 , ? b 解析:选 B.取双曲线的其中一条渐近线:y= x,联立? b ?? a 2pa ?y= ax, ? ?y= b . 2pa2 2pa? p 2pa2 a2 1 2 , 故 A? ,∵点 A 到抛物线 C 的准线的距离为 p ,∴ + 2 =p,∴ 2= , 1 b ? ? b 2 b b 4

2pa2

c ∴双曲线 C2 的离心率 e= = a

a2+b2 = a2

b2 1+ 2 = 5,故选 B. a

11.已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,且 PA⊥l,A 为垂足.若 直线 AF 的倾斜角为 120° ,则|PF|=( A.2 C.4 B. 3 D. 3+1 )

解析:选 C.设 A(xA,yA),P(xP,yP),易知 xA=-1,依题意,抛物线的焦点坐标为 F(1,0), yA 准线方程为 x=-1.因为直线 AF 的倾斜角为 120° ,所以 tan 120° = ,所以 yA=2 3. -1-1 因为 PA⊥l,所以 yP=yA=2 3,代入抛物线方程 y2=4x 中,得 xP=3,所以|PF|=|PA|=3 -(-1)=4.故选 C. x2 y2 1 12.过双曲线 2 - 2=1(a>0,b>0)的左焦点 F 作圆 x2+y2= a2 的切线,切点为 E,直线 a b 4 → 1 → → EF 交双曲线的右支于点 P,若OE= (OF+OP),则双曲线的离心率为( 2 A. 10 C. 2 B.2 2 D. 10 2 )

→ 1 → → 解析:选 D.设双曲线的右焦点为 F1,连接 PF1.由OE= (OF+OP)知,E 是 FP 的中点.又 O 2 1 是 FF1 的中点, ∴OE∥PF1, 且|OE|= |PF1|, 易知 OE⊥FP, ∴PF1⊥FP, ∴|PF|2+|PF1|2=|FF1|2, 2 c 10 又|PF1|=a,|PF|=2a+|PF1|=3a,∴9a2+a2=(2c)2,∴e= = ,选 D. a 2 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) 13.以抛物线 y2=4x 的焦点为圆心,与该抛物线的准线相切的圆的标准方程为________. 解析:抛物线 y2=4x 的焦点为(1,0),准线为 x=-1,故所求圆的圆心为(1,0),半径为 2, 所以该圆的标准方程为(x-1)2+y2=4. 答案:(x-1)2+y2=4 x2 y2 14.已知椭圆 + =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在椭圆上,若|PF1|=2,则∠F1PF2 9 2 的正弦值为________. x2 y2 解析:在椭圆 + =1 中,a2=9,b2=2,c2=a2-b2=7,所以 a=3,c= 7.因为|PF1|=2, 9 2 |PF1| + |PF2| = 2a = 6 , 所 以 |PF2| = 6 - 2 = 4 , 所 以 cos ∠ F1PF2 = |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 = 2|PF1||PF2|

22+42-? 2 7?2 1 3 =- ,所以∠F1PF2=120° ,sin∠F1PF2=sin 120° = . 2× 2× 4 2 2

答案:

3 2

x2 y2 a 15.已知过双曲线 2 - 2=1(a>0,b>0)的右焦点的直线 m 的斜率为 ,若原点到直线 m 的 a b b a 距离等于右焦点到该双曲线的一条渐近线的距离的 2 倍,则 =________. b a 解析:设双曲线的右焦点为(c,0),得直线 m 的方程为 y= (x-c),即 ax-by-ac=0,原点 b 到直线 m 的距离 d1= |-ac| a2+b2 b bc =a.右焦点到双曲线的一条渐近线 y= x 的距离 d2= 2 = a a +b2

a b.因为 d1=2d2,所以 a=2b, =2. b 答案:2 x2 y2 16.若双曲线 2 - 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为 e,过 F2 的直线 a b 与双曲线的右支相交于 A,B 两点,若△F1AB 是以点 A 为直角顶点的等腰直角三角形,则 e2=________. 解析:由双曲线的定义有|AF1|-|AF2|=2a, |BF1|-|BF2|=2a,两式相加得|AF1|+|BF1|-(|AF2|+|BF2|)=4a,又|AF1|=|AB|,所以|BF1|= 4a,|AF1|=2 2a, |AF2|=2 2a-2a.在 Rt△AF1F2 中,|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2,即 4c2=(2 2a)2+(2 2a-2a)2, c2 解得 e = 2=5-2 2. a
2

答案:5-2 2


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