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2015-2016学年辽宁东北育才学校高一(下)段考(二)数学试题(解析版)

2015-2016 学年辽宁东北育才学校高一(下)段考(二) 数学试题
一、选择题 1.与 sin 2016? 最接近的数是( ) B. ?

A.

11 2

1 2

C.

2 2

D. ? 1 【答案】B 【 解















1 sin 2016? = sin ?1800? ? 216? ? ? sin 216? ? sin ?180? ? 36? ? ? ? sin 36? ? ? ,故选 B. 2
【考点】诱导公式. 2.执行如图所示的程序框图,若输出的 S 的值为

5 ,则实数 k 的取值范围为( 2



A. ?16,64?

B.

?32,64?

C. ?16,32?

D.

?32,64?
【答案】C 【 解 析 】 试 题 分 析 : 运 行 程 序 框 图 可 知

1 3 3 a ? 2, S ? ? log 2 4 ? 1; a ? 4, S ? 1? log 4 8 ? ; a ? 8, S ? ? log 8 16 ? 2; 2 2 2 5 5 a ? 16, S ? 2 ? log16 32 ? 2 ? ? ;a ? 32, 这 时 应 输 出 S , 也 就 是 说 16 应 该 满 足 4 2 a ? k ,但 32 不满足 a ? k ,所以 16 ? a ? 32 ,故选 C.
【考点】程序框图中的循环结构. 3. 设向量 a 、b 、c 满足 a ? b ? c ? 0 , 且 a ? b ? 0 ,| a |? 3, | c |? 4 则 | b | 的值为 ( A. 7 【答案】C 【解析】试题分析:由 a ? b ? c ? 0 可得 a ? b ? ?c ,所以 a ? 2a ? b ? b ? c ,即 B. 5 C. )

7

D.

5

? ?

?

?2

? ? ?2

?2

?2 ?2 ?2 ?2 ? a ? b ? c ,又 | a |? 3, | c |? 4 ,所以 b ? 7 ,所以 | b |? 7 ,故选 C.
【考点】向量数量积的性质. 4.某高中计划从全校学生中按年级采用分层抽样方法抽取 20 名学生进行心理测试,其 第 1 页 共 15 页

中高三有学生 900 人,已知高一与高二共抽取了 14 人,则全校学生人数为( A. 2700 B. 2400 C. 3600 D. 3000 【答案】D



【解析】试题分析:由题意可知高三抽取了 6 人,设高一、高二的人数和为 x ,根据分 层抽样的方法可知

14 6 ? ,所以 x ? 14 ?150 ? 2100 ,所以全校的总人数为 3000 , x 900

故选 D. 【考点】分层抽样. 5 . ?ABC 中 , a 、 b 、 c 分 别 是 角 A 、 B 、 C 的 对 边 , 若 a 2 ? c 2 ? 2b , 且

s i nB ? 6 c o A s?
A. 4 D. 1 【答案】B

s iC n ,则 b 的值为(

) B. 3

C. 2

【 解 析 】 试 题 分 析 : 因 为

s iB ? n

6?A c o C s 所 s以 i n ,

b ? 6c ?

2 2 b2 ? c ? a 2 2 2 2 ,? a 2 ? c ? b ,又 a 2 ? c 2 ? 2b ,所以 b 2 ? 2b,? b ? 3 ,故 3 2bc 3

选 B. 【考点】正弦定理和余弦定理. 6 . 已 知 A、B、C 是 平 面 上 不 共 线 三 点 , O 是 ?ABC 的 重 心 , 动 点 P 满 足

1 1 1 ( OA ? OB ? 2OC ) ,则 P 一定为 ?ABC 的( 3 2 2 A. AB 边中线的三等分点(非重心) B. AB 边的中点 C. AB 边中线的中点 D.重心 OP ?
【答案】A



? OC ?0 , 由 【 解 析 】 试 题 分 析 : 因 为 O 是 ?ABC 的 重 心 , 所 以 O A? O B
OP ?

? ? ??

? ? ??

? ? ??

?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ???? 1 1 1 ( OA ? OB ? 2OC ) 可得 6OP ? OA ? OB ? 4OC ,所以 OP ? OC ,所以 3 2 2 2 P 一定为 ?ABC 的边 AB 上的中线的非重心的三等分点,故选 A.
0?? ?

【考点】平面向量的线性运算.

?
2

, sin ? ?

7.已知

4 1 , tan( ? ? ? ) ? ? , 5 3 则 tan? ? (
1 C. 3



A. ? 3 【答案】B

B. 3

1 D. 3 ?

【解析】试题分析:由于 0 ? ? ?

?
2

, sin ??

4 3 4 ,所以 cos ? ? , tan ? ? ,所 以 5 5 3

4 ? tan ? tan ? ? tan ? 1 tan(? ? ? ) ? ? 3 ? ? ,解得 tan ? ? 3 ,故选 B. 1 ? tan ? tan ? 1 ? 4 tan ? 3 3
【考点】两角差的正切公式及同角三角函数的基本关系式.

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 8. 如图,?ABC 的 AB 边长为 2 ,P,Q 分别是 AC,BC 中点, 记 AB ? AP ? BA ? BQ ? m ,
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??? ? ???? ??? ? ??? ? AB ? AQ ? BA ? BP ? n ,则(



A. m ? 3,n ? 1 B. m ? 2,n ? 4 C. m ? 2,n ? 6 D. m ? 3n ,但 m,n 的值不确定 【答案】C 【解析】试题分析:因为 P,Q 分别是 AC,BC 中点,所以根据平面向量的线性运算 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 可 得 AB ? AP ? BA ? BQ ? m

m?

?

?

?


1 2

?
? ? ?

? A ?

?
? ?

?

?

? B


2

1 ?2 , 所 以 2


?

A

m ? 2,

??? ? ???? ??? ? ??? ? AB ? AQ ? BA ? BP ? n

n?
?

?

?

? A ?

?

? 1 B 2

A

? 1 ? ? Q 2 ? 2 ?

??

? B

?? ? ? ?

1 ?? P? 2

? 2 3 ??? ?2 3 ??? AB ? AB ? 6 ,故选 C. 2 2

【考点】平面向量的线性运算与数量积运算. 9.在 1,2,4 中任取两个不同的数作为坐标构成的平面向量的集合为 M ,对 M 中的每一 个向量,作与其大小相等且数量积为零的向量,构成向量集合 V ,分别在向量集合 M 、

V 中各任取一个向量 a、 b ,其满足 a ? b ? 0 的概率是(
1 A. 6



5 B. 12

7 C. 18

13 D. 36
【答案】D 【解析】 试题分析: 在 1,2,4 中任取两个不同的数作为坐标构成的平面向量的集合为 M , 则集合 M ? ?1,2? , ?1,4? , ? 2,4? , ? 4,2? , ? 4,1? , ? 2,1? 共 6 个元素, 由于集合 V 中的每个 向 量 与

?

?

M

中 的 向 量 大 小 相 等 且 数 量 积 为 零 , 所 以

V ? ?? 2, ?1? , ? ?2,1? , ? 4, ?1? , ? ?4,1? , ? 4, ?2? , ? ?4,2? , ? 2, ?4? , ? ?2,4? , ?1, ?4? , ? ?1,4? , ?1, ?2? , ? ?1,2??
V 中各任取一个向量 a、 , 共有 12 个元素, 所以分别在向量集合 M 、 共有 6 ? 12 ? 72 b,
种 不 同 的 取 法 . 若 在 M 取 a ? ?1, 2 ? , 则 在 V 中 有 4 个 元 素

?

第 3 页 共 15 页

? 2, ?1? , ? ?2,1? , ? 4, ?2? , ? ?4,2? 与其数量积为 0 , 4 个元素与其数量积大于零, 4 个元
素与其数量积小于零,同样当 a ? ? 2,1? 时, V 中也有 4 个元素与其数量积小于零;当

?

? a ? ?1, 4 ? 时,V 中有 2 个元素 ? 4, ?1? , ? ?4,1? 与其数量积等于零, 5 个元素与其数量积
大于零,5 个元素与其数量积小于零,同样当 a ? ? 4,1? 时,V 中也有 5 个元素与其数量 积小于零;当 a ? ? 2, 4 ? 时,V 中有 4 个元素 ? 4, ?2? , ? ?4,2?? 2, ?1?? ?2,1? 与其数量积

?

?

4 个元素与其数量积大于零, 4 个元素与其数量积小于零, 等于零, 同样当 a ? ? 4, 2 ? 时,

?

V 中也有 4 个元素与其数量积小于零,所以使得 a ? b ? 0 的概率是
【考点】平面向量的数量积.

26 13 ? ,故选 D. 72 36

10.在 Rt?ABC 中, ?C 是直角, CB ? 3, CA ? 4 , ?ABC 的内切圆交 CA, CB 于 点 D, E ,点 P 是图中阴影区域内的一点(不包含边界) ,若 CP ? xCD ? yCE ,则

x ? y 的值可以是(



A. 1 D. 8 【答案】B

B. 2

C. 4

【 解 析 】 试 题 分 析 : 设 圆 心 为 O , 半 径 为 r , 则 OD ? AC , OE ? BC , 可 解 得

r?

1 ? C A ? C B? A B ? ?1 ,连接 DE ,则当 x ? y ? 1时, P 在线段 DE 上,排除 A; 2

在 AC 上取点 M ,在 CB 上取点 N ,使得 CM ? 2CD, CN ? 2CE ,连结 MN ,则

??? ? x ???? ? y ???? x y CP ? CM ? CN . 则 点 P 在 线 段 MN 上 时 , ? ? 1 故 x ? y ? 2 . 同 理 , 当 2 2 2 2
x ? y ? 4 或 x ? y ? 8 时,点 P 不在三角形内部,排除 C、D,故选 B.

第 4 页 共 15 页

【考点】平面向量基本定理与共线向量定理. 【方法点睛】 本题主要考查了平面向量基本定理与共线向量定理在解决几何问题中的应 用,考查了数形结合的思想方法,属于中档题.解答本题时,应先求出直角三角形的内 切圆半径,然后根据三点共线的向量表达式求得 x ? y 分别取 1, 2, 4 时点 P 的轨迹,通 过排除法逐步排除选项,要比直接运算省时省力. 11.下列四个命题: ①函数 f ( x) ?| 2 cos2 x ? 1 | 的最小正周期是 ? ; ②函数 y ? sin(

2 ? x ? ) 是偶函数; 3 2

③函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x 的图象的一条对称轴为直线 x ? ④函数 f ( x ) ? sin( x ? 上述说法中正确的是( A.① D. ①②③ 【答案】C

?
4

,则 a ? b ? 0 ;

?
4

) 在 [?


? ?

, ] 上单调递增. 2 2
B. ① ④ C. ② ③

【解析】试题分析:① f ( x) ?| 2cos x ?1|? cos 2x ,所以其最小正周期为
2

误 ; ② y ? sin( x ?

2 3

?

2 ) ? cos x , 所 以 ② 正 确 ; ③ 若 x ? 是 4 2 3

? ,故①错 2 ?

2 2 ?? ? f ( x) ? a sin x ? b cos x 的对称轴,则 f ? ? ? a? b ? ? a 2 ? b2 ,两边平方 2 ?4? 2
2 2 可 得 a ? b ? 2ab ? 0 , 所 以 a ? b ? 0 , 故 ③ 正 确 ; ④ 当 x ? [?

? ?

, ]时 , 设 2 2

t ? x?

?

? ? 3? ? ? ? 3? ? ? ?? , ? ,所以 y ? sin t 在 ? ? , ? 上先增后减,故④错误. 4 ? 4 4 ? ? 4 4 ?

【考点】三角函数的周期性、奇偶性、对称轴和单调性等性质. 【方法点睛】本题主要考查了三角函数的周期性、奇偶性、对称轴和单调性等,属于基 础题.处理这类问题时,常需要把函数化成正弦型或余弦型函数,结合正弦曲线或余弦 曲线来判断.本题①中,把函数化成余弦函数取绝对值后,其周期要减半;②中利用诱 导公式化成余弦函数, 其周期性就容易判断了; ③中根据辅助角公式化成正弦型函数后, 根据其对称轴恰好是其最值点,化简即得 a , b 的关系;④中通过换元转化为正弦函数即 第 5 页 共 15 页

可判断其单调性.
? 12 . 已 知 O 是 锐 角 ?ABC 内 一 点 , 满 足 | OA |?| OB |?| OC | , 且 ?A ? 30 , 若

cos B cos C AB ? AC ? 2mOA sin C sin B ,则实数 m ? (
A. ? D. ?



3 2
1 2

B.

3

C.

3 2

【答案】D 【 解 析 】 试 题 分 析 : 因 为

c s c s


? ??? ? c oB s??? C c ???? o s AB ? AC ? 2mOA , 所 以 s i Cn Bs i n ??? ? ? ??? ? ? ??? ? oB s ??? C c ???? o s ??? OB ? OA ? OC ? OA ? 2mOA , 两 边 同 乘 以 OA 可 得 iCn Bs i n ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ?2 oB s Cc ???? o s ??? OB ? OA ? OA ? OC ? OA ? OA ? 2mOA , 设 OA ? OB ? OC ? R , iC n Bs i n

? ?

? ?

?

?

?

?



?A

2 O ?

, B

? , C 2

所? A
2



O

C

c B 2 o R ?c s C i m?

s C ? ?o ? n ? i B n

C Rs? B

B2 ?2 ? ? mR oC ?

c s

1 s?

,

o i B

?s

?C? c ?

s c以 n 1 ? ? s ,故选 i D. B? 2


o n

s C ? c

【考点】平面向量的线性运算及三角恒等变换. 【方法点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算及其几何意义,考查了两角和的正弦 公式、二倍角公式和诱导公式,属于中档题.本题解答的关键是根据向量减法的运算法 则 把 A B 转 化 为 OB , AC ?

? ? ?? ? ? ? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? O ,A ? OC , O通 A 过 两 边 同 乘 以 OA , 把

? ??? ? c oB s ??? c Co???? s AB ? AC ? 2mOA 化 成 s iC n s Bi n ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ?2 c B ??? o C ???? ??? s??? OB ? OA ? OA ? OC ? OA ? OA ? 2mOA , 再由圆内接三角形的性质得 s C i B n

?

?

?

?

c s

到 m ? ? ?sin B cos C ? sin C cos B ? ,通过三角恒等变换得到 m 的值.

二、填空题 13.已知 AD 为 ?ABC 的角平分线, AC ? 2, AB ? 3.?A ? 60? ,则 AD ? .

【答案】

6 3 5
中 , 由 余 弦 定 理 可 得

【 解 析 】 试 题 分 析 : 在 ?ABC

BC 2 ? AB 2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC cos A ? 4 ? 9 ? 2 ? 2 ? 3 ?

1 ? 7 , BC ? 7 ,由正弦定 2

第 6 页 共 15 页

理可得 sin C ? 在

AB ? sin A 3 21 2 7 , 因为 AD 为 ?ABC 的角平分线, 所以 CD ? , ? BC 14 5
中 , 由 正 弦 定 理 可 得

?ACD

AD CD CD ? sin C 2 7 3 21 6 3 ? ,? AD ? ? 2? ? ? . ? ? sin C sin 30 sin 30 5 14 5
【考点】正弦定理、余弦定理. 14.已知角 ? 的终边上一点的坐标为 (sin 【答案】

11? 6

2? 2? , cos ) ,则角 ? 的最小正值为 3 3

.

【解析】试题分析:点 (sin

? 3 1? 2? 2? , cos ) 即为 ? ? 2 ,? 2 ? ? ,所以角 ? 的终边位于第四象 3 3 ? ?

限,又 tan ? ? ?

? 11? 3 ,所以 ? ? 2k? ? , k ? ? ,所以角 ? 的最小正值为 . 6 6 3

【考点】三角函数的定义. 15.在某地区某高传染性病毒流行期间,为了建立指标显示疫情已受控制,以便向该地 区居民显示可以过正常生活,有公共卫生专家建议的指标是“连续 7 天每天新增感染人 数不超过 5 人” ,根据连续 7 天的新增病例数计算,下列各选项中,一定符合上述指标 的是_____________. ①平均数 x ? 3 ;②标准差 s ? 2 ; ③平均数 x ? 3 且极差小于或等于 2; ④平均数 x ? 3 且标准差 s ? 2 ; ⑤众数等于 1 且极差小于或等于 1. 【答案】③⑤ 【解析】试题分析:①错,可举反例: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 7 ,其平均数 x ? 3 ,但不符合上 述标准;②错,可举反例 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7 ,其标准差 S ? 0 ? 2 ,也不符合上述标准;③ 对,只要极差小于 2 ,就一定符合上述标准,若极差小于或等于 2 ,有可能是

?1? 0,1,2; ? 2?1,2,3; ?3? 2,3,4;(4)3,4,5; ?5? 4,5,6. 在 平 均 数 x ? 3 的 情 况 下 , 只 有 ?1? , ? 2? , ?3? 成立,符合上述指标;④错,举反例 0,3,3,3,3,3,6 其平均数 x ? 3 ,标准
差 S ? 2 ,也不符合上述标准;⑤对,在众数等于 1 ,且极差小于或等于 1 的情况下,最 大数不超过 5 ,符合标准.故正确的命题序号为③⑤. 【考点】平均数、众数、极差、方差与标准差等统计的基本概念. 【方法点睛】本题主要考查了平均数、众数、极差、方差与标准差等统计的基本概念, 属于中档题.这几个量各自表示数据的一个方面,有时候一个或两个量不能说明样本的 特征,若要掌握样本特征往往需要全面把握.若要说明命题不能成立,可通过取反例说 明,或者通过它们的统计定义,找出符合要求的选项即可. 16.已知 ?ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,则下列命题中正确 第 7 页 共 15 页

的有_________. (填上你认为所有正确的命题序号) ①若 a : b : c ? cos A : cos B : cos C ,则 ?ABC 是正三角形; ②若 a : b : c ? sin A : sin B : sin C ,则 ?ABC 是正三角形; ③若

a b c ? ? ,则 ?ABC 是正三角形; tan A tan B tan C
2 2 2

④若 a ? b ? c ? 2 3ab sin C ,则 ?ABC 是正三角形. 【答案】①③④ A:c o s B:co s C ,由正弦定理可得 【 解 析 】 试 题 分 析 : ① 若 a :b:c ? c o s a: b: c ? s i nA : s iB n : ,所以 s Ci n sin A : sinB : sinC ? cos A : cos B : cos C , 因此必 有 A? B?C ?

?
3

, 所 以 ?A B C是 正 三 角 形 ; ② 由 正 弦 定 理 可 得

a ? 2 Rs i n A ? , b

2 R B s? c i n R , ,所以 C 2 a: sbi: c n? sin A : sin B : sin C 对任意三

角形都成立,所以②错误;③若

a b c ? ? ,结合正弦定理可得 t anA t anB t anC s i nA s i n B s iC n s i nA : s i B n : s i? nC A t a n :Bt a n C ? : tan : : , 所 以 c o sA c o B s co C s c A? o s ? B ,因此 c Ao C ? B ?s C , ?ABC c o s 是正三角形 ,所以③正确;④利用正弦
理 可 把



a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 3ab sin C





sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? 2 3 sin Asin B sin C , 由 于 A ? B ? C ? ? , 所 以
, 通 过 三 角 恒 等 变 换 可 得 sin? A ? B? ? 0, 所 以 A ? B , 同 理 可 得 C ?? ? ? A ?? B

B ? C ,所以 ?ABC 是正三角形,故④正确.
【考点】正弦定理及三角恒等变换. 【方法点睛】本题主要考查了利用正弦定理判断三角形的形状及三角恒等变换,属于中 档题.解答本题的关键是根据正弦定理

a b c ? ? ? 2 R ,其中 R 是外接圆半 sin A sin B sin C

径,把边角混合式转化为角的关系,进而通过三角函数的知识得到三个内角的关系,本 题解答的难点是命题④,化成角后式子中三角的地位是相同的,所以只需要得到判断出 A ? B 即可得到 A ? B ? C . 三、解答题 17.设锐角△ ABC 内角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c .已知 2a sin B ? 3b . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ?

7 , b ? 2 ,求 cos C .
7 . 14 3 ,又因为 A 是锐角,所 2

【答案】 (I) A ? 60? ; (II)

【解析】试题分析: (I)根据题意及正弦定理可得 sin A ?

以 A ? 60? ; (II)先由余弦定理求得边 c ,再根据余弦定理即可求得 cos C 的值.

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试题解析: (Ⅰ)因为 2a sin B ? 3b ,由正弦定理得: 2sin A sin B ? 3 sin B .所以

sin A ?

3 . 2

又因为 A 是锐角,所以 A ? 60? . (Ⅱ)由余弦定理得 a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A . 因为 a ?

7 , b ? 2 , A ? 60? ,

所以有 7 ? 4 ? c 2 ? 2c ,整理得 c 2 ? 2c ? 3 ? 0 . 解得 c ? 3 . 由余弦定理得 cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 7? 4?9 7 . ? ? 2ab 2 ? 7 ? 2 14

【考点】正弦定理和余弦定理解三角形. 18.已知函数 f ( x) ? 2 cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? a ,且当 x ? [0, 值为 2. (1)求 a 的值,并求 f ( x) 的单调增区间; (2)将函数 y ? f ( x) 的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的 把所得图象向右平移 的所有根之和. 【答案】 (1) a ? 0 , f ( x) 的单调增区间为 [k? ? 【解析】试题分析: (1)当 x ? [0,

?
6

] 时, f ( x) 的最小

? ? 个单位,得到函数 y ? g ( x) ,求方程 g ( x) ? 2 在区间 [0, ] 上 12 2

1 倍,再 2

?

, k? ? ], k ? ? ; (2) . 3 6 3

?

?

?

? ? ?? ? ? ? ] 时, ? 2 x ? ? ? ? , ? ,所以 f ( x) 的最小值 6 6 ? ?6 2? ?
?
2 ? 2x ?

为 a ? 2 ? 2, 可求得 a ? 0 ,要求其单调递增区间可令 2k? ?

?
6

? 2 k? ?

?
2



不 等 式 即 可 ;( 2 ) 由 平 移 变 换 的 法 则 可 得 g ( x ) ? 2sin(4 x ?

?
6

) ?1 , 令

g ( x)? 2 s i n x (?4 6
[0, ] 上的根. 2

?

?

? 1 ? ) ? 可得到 1 2 sin(4 x ? ) ? , 根据三角函数线即可求得方程在 6 2

试题解析: (1) f ( x) ? 2sin(2 x ? 因为, x ? [0, 由 2x ?

?
6

) ? a ?1

?
6

] 时, f ( x) 的最小值为 2,所以, a ? 2 ? 2, a ? 0 .

?
6

? [2k? ?
, k? ?

?

x ? [ k? ?

?
3

?
6

, 2k? ? ], k ? z , 可 得 f ( x) 的 单 调 增 区 间 为 2 2

?

], k ? z
第 9 页 共 15 页

(2) g ( x ) ? 2sin(4 x ? 由 g ( x) ? 2sin(4 x ?

?
6

) ?1

?

x1 ?

?
12

, x2 ?

?
4

? 1 ) ? 1 ? 2,sin(4 x ? ) ? , 6 6 2

, ?

x1 ? x2 ?

?
12

?

?
4

?
3

【考点】正弦函数单调性及在给定区间上的最值,图象变换、已知三角函数值求角等. 19. 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析 研究, 他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种 子中的发芽数,得到如下资料: 日 期 12 月 1 日 10 12 月 2 日 11 25 12 月 3 日 13 30 12 月 4 日 12 26 12 月 5 日 8 16

温差 x (°C)

发芽数 y (颗) 23

该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取 2 组,用剩下的 3 组数据求线性回 归方程,再对被选取的 2 组数据进行检验. (1)求选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据的概率; (2)若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据,请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的 数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 ? y ? bx ? a ; (3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗,则 认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠?

?? (注: b

? xi yi ? nx y
i ?1 n

n

?x
i ?1

2

i

? nx

2

?

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

? ? y ? bx ? ) ,a

2

3 5 ? ? x ?3; ; (2) y (3)线性回归方程是可靠的. 2 5 【解析】试题分析: (1)从 5 组数据中选取 2 组数据共有 10 种情况,其中抽到相邻两组 3 数据的情况有 4 种,所以选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据的概率是 ; (2)求出 5
【答案】 (1)

? ,代入样本中心点 x, y ,即可求得 a ? ,据此即可求 x, y ,再根据回归系数公式求得 b
得回归直线方程; (3)求出 x ? 10, x ? 8 , y 的观测值判断其是否符合标准,即可判断 方程的可靠性. 试题解析: (1)设抽到不相邻两组数据为事件 A ,因为从 5 组数据中选取 2 组数据共有 10 种情况,每种情况都是等可能出现的,其中抽到相邻两组数据的情况有 4 种, 所以
P( A) ? 1 ? 4 3 ? . 10 5

? ?

故选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据的概率是

3 5

第 10 页 共 15 页

(2)由数据,求得 x ?
3

1 1 (11 ? 13 ? 12) ? 12 , y ? (25 ? 30 ? 26) ? 27 ,3x y ? 972 . 3 3


? X iYi ? 11? 25 ? 13 ? 30 ? 12 ? 26 ? 977
i ?1

?X
i ?1

3

2 i

? 112 ? 132 ? 122 ? 434



3x ? 432 .
?? 由公式,求得 b

2

? x y ? n? x ? y
i ?1 i i

n

?x
i ?1

n

?

2

i

? nx 2

977 ? 972 5 , a ? ? y ? bx ? 27 ? 5 ? 12 ? ?3 ? 2 434 ? 432 2
5 x ?3. 2

?? 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 y

5 ? ? ? 10 ? 3 ? 22 ,|22-23|<2; (3)当 x=10 时, y 2 5 ? ? ? 8 ? 3 ? 17 ,|17-16|<2. 同样,当 x=8 时, y 2 所以,该研究所得到的线性回归方程是可靠的. 【考点】古典概型及回归直线方程的求解和应用.

20. 如图, 勘探队员朝一座山行进, 在前后两处 A, B 观察塔尖 P 及山顶 Q .已知 A, B, O 在同一水平面, P, Q, A, B, O 在同一平面且与水平面垂直.设塔高 PQ ? h ,山高

QO ? H , AB ? m , BO ? n , 仰 角 ?PAO ? ? , 仰 角 ?Q A O ?? ,仰角

?PBO ? ? .试用 m, ? , ? ,? 表示 h .

【答案】 h ?

tan ? (tan ? ? tan ? ) ?m. tan ? ? tan ?

【解析】试题分析:在直角三角形 AOP, AOQ, BOP 中分别根据正切的定义表示出

tan? , tan? , tan ? 解方程组即可求得 h 关于的表达式.
试题解析:

第 11 页 共 15 页

?H ? h ? m ? n ? tan ? , ? H ? h ? tan ? ( m ? n), ? ? H ? ? tan ? , 即: ? H ? tan ? ( m ? n), 由题意得: ? ?m ? n ? H ? h ? tan ? ? n. ? ?H ? h ? tan ? . ? n ?
所以 ?

?tan ? (m ? n) ? tan ? ? n, ?tan ? (m ? n) ? h ? tan ? ? n.
sin ? sin(? ? ? ) tan ? (tan ? ? tan ? ) ? m .(或 h ? ? m .) tan ? ? tan ? sin(? ? ? ) cos ?

整理得 h ?

【考点】直角三角形中的边角关系及其应用及正弦定理在实际问题中的应用. 21.某车间将 10 名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件,在单位时间内每个技工加 工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示. 已知两组技工在单位时间内加工的合格 零件平均数都为 9 .

(1)分别求出 m , n 的值;
2 2 (2)分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差 s甲 和 s乙 ,并由此

分析两组技工的加工水平; (3)质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工,对其加工的零件进行 检测, 若两人加工的合格零件个数之和大于 17 , 则称该车间 “质量合格” , 求该车间 “质 量合格”的概率.
2 2 2 2 (注:方差 s = [( x1 ? x) ? ( x2 ? x) ? ? ? ( xn ? x) ] ,其中 x 为数据 x1 , x2 ,?, xn 的

1 n

平均数) . 【答案】 (1) m ? 6 , n ? 8 ; (2) s甲2 ? 5.2 , s乙2 ? 2 ,甲乙两组的整体水平相当, 乙组更稳定一些; (3)

7 . 10

【解析】试题分析: (1)由两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数都为 9 及样本 平 均 数 的 公 式 即 可 求 得 m , n 的 值 ;( 2 ) 根 据 样 本 方 差 的 公 式

s2 ?

1? x ?x ? 1 n?

?

? ??x
2

2

?x

?

2

2 2 2 ? ? ? xn ? x ? 可求得 s甲 和 s乙 , 平均数反映了两组数据 ? ?

?

?

的平均数取值水平,方差反映了样本数据的波动大小; (3)设两人加工的合格零件数分 别为 ( a, b) ,列出所有可能的数组共 25 个基本事件,从中找出满足而 a ? b ? 17 的基本 事件有 11 个基本事件,故满足 a ? b ? 17 的基本事件共有 14 ,即该车间“质量合格” 的基本事件有 14 个,故该车间“质量合格”的概率为 试题解析: (1)根据题意可得: x甲 ?

14 7 ? . 20 10

1 (m ? 7 ? 9 ? 11 ? 12) ? 9 ,∴ m ? 6 , 5

第 12 页 共 15 页

x乙 ?

1 (7 ? n ? 9 ? 10 ? 11) ? 9 ,∴ n ? 8 ; 5

(2)根据题意可得:

1 2 s甲 ? [( 6 ? 9) 2 ? (7 ? 9) 2 ? (9 ? 9) 2 ? (11 ? 9) 2 ? (12 ? 9) 2 ] ? 5.2 , 5 1 2 s乙 ? [( 7 ? 9) 2 ? (8 ? 9) 2 ? (9 ? 9) 2 ? (10 ? 9) 2 ? (11 ? 9) 2 ] ? 2 , 5
∵ x甲 ? x乙 , s甲 ? s乙 ,∴甲乙两组的整体水平相当,乙组更稳定一些; (3)质监部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工,对其加工的零件进行 检 测 , 设 两 人 加 工 的 合 格 零 件 数 分 别 为 ( a, b) , 则 所 有 的 ( a, b) 有
2 2

(6,7), (6,8), (6,9), (6,10), (6,11), (7,7) , (7,8) , (7,9) , (7,10) , (7,11) ,

(9,7), (9,8), (9,9), (9,10), (9,11), (11,7), (11,8), (11,9), (11,10), (11,11), (12,7) (12,8) ,
(12,9) , (12,10) , (12,11) , 共 计 25 个 , 而 a ? b ? 17 的 基 本 事 件 有

(6,7), (6,8), (6,9), (6,10), (6,11), (7,7) (7,8) , (7,9) , (7,10) , (9,7), (9,8) 共计11 个基
本事件,故满足 a ? b ? 17 的基本事件共有 14,即该车间“质量合格”的基本事件有 14 个,故该车间“质量合格”的概率为

14 7 ? . 20 10

【考点】茎叶图、样本平均数和方差、古典概型中某事件的概率. 【方法点睛】本题主要考查了茎叶图、样本平均数和方差、古典概型中某事件的概率, 属于基础题.解答本题首先根据样本平均数与方差的公式求得 m, n 的值,根据平均数和 方差的数学意义,平均数反映了样本数据的平均取值水平,方差反映了样本数据的波动 大小,据此可对样本作出估计;古典概型中某事件的概率通常采用列举法一一列出所有 的情况,从找找出满足条件的基本事件,即可求得所求的概率. 22.已知 ?ABC 的面积 S 满足 2 ? 3 ? S ? 1,且 AC ? CB ? ?2 , ?ACB ? ? . (Ⅰ)若 m ? (sin 2 A, cos2 A), n ? (cos2B, sin 2B) ,求 | m ? 2n | 的取值范围; (Ⅱ)求函数 f (? ) ? sin(? ?

?
4

) ? 4 3 sin ? cos ? ? cos(? ?

?
4

) ? 2 的最大值.

【答案】 (I) [1, 3] ; (II) y max ? ?2 . 【解析】 试题分析: (I) AC ? CB ? ?2 可得 CA ? CB ? 2, ?ACB ? ? , 得ab cos ? ? 2, 由

??? ? ??? ?
?? ?

2 ? 3 ? S ? 1可得 tan ? ? [2 ? 3,1],?


?
12

?
4

, 由向量模的公式得 m ? n ? 1 ,

??

?

?? ? m ? n ? sin 2 A cos 2B ? cos 2 A sin 2B
? sin(2 A ? 2B) ? sin(2? ? 2C) ? ? sin 2C ? ? sin 2?
, 所 以

? | m?

2

?

2n ?

2

?

|

m ? |

?

? m? 2 |

? n? 4

? n

4

?

|

?

|

第 13 页 共 15 页

? 5 ? 4sin 2? ,根据三角函数即可求得 | m ? 2n | 的取值范围; (II)根据三角恒等变
换 可 得 f

?? ? ?

2(sin ? ? cos? ) ? 4 3 sin ? cos? ? 2 , 换 元 处 理 , 可 设

t ? sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ?

?
4

) , 由 三 角 函 数 的 值 域 可 得 t ?[

6 , 2] , 所 以 2

sin ? c o? s?


t 2 ?1 ,这样可得关于 t 的二次函数,通过研究其单调性求得其最大值. 2
题 解 析 :

(1)由 CA ? CB ? 2, ?ACB ? ? , 得ab cos ? ? 2, S ?
所以 tan ? ? [2 ? 3 ,1], 而? ? (0, ? ); 所以

?

1 ab sin ? ? tan ? ? [2 ? 3 ,1] 2

12

?? ?

?

4

? ? ? m ? ?sin 2?,cos 2?? , n ? ? cos 2?,sin 2??

? m ? sin2 2? ? cos2 2? ? 1 , n ? 1
m ? n ? sin 2 A cos2B ? cos2 Asin 2B ? sin(2 A ? 2B) ? sin(2? ? 2C ) ? ? sin 2C ? ? sin 2? | m ? 2n |2 ?| m |2 ?4m ? n ? 4 | n |2 ? 5 ? 4 sin 2?
因为 ? ? ? ,所以 ? 2? ? 12 4 6 2
5 ? 4 sin 2? ? [1,3] ,所以 | m ? 2n |? [1, 3]
( 2 )

?

?

?

?

?

?

f (? ) ? sin(? ?

?
4

) ? 4 3 sin ? cos ? ? cos(? ?

?
4

)?2

? 2 (sin? ? cos? ) ? 4 3 sin ? cos? ? 2
设 t ? sin ? ? cos ? ?

2 sin(? ?

?
4

)

因为 ? ? ? ,所以 ? ? ? ? 12 4 3 4 2
所以 t ? [

?

?

?

?

?

t 2 ?1 6 ? 2 ? ?2 3t 2 ? 2t ? 2 3 ? 2 , 2 ] , y ? 2t ? 4 3 ? 2 2
6 6 6 时, y max ? ?2 ?[ , 2 ] ,所以当 t ? 12 2 2

对称轴 t ?

【考点】向量数量积的运算与性质 、三角恒等变换及三角函数的值域与最值等. 【方法点睛】本题主要考查了向量数量积的运算与性质 、三角恒等变换及三角函数的 值域与最值等,考查了换元法及函数的思想方法,属于中档题.研究向量的模通常根据

? 2 ?2 本题第一问根据这一性质把问题转化为正弦函数在给定区间上的值 a ? a 进行转化,
域问题;本题解答的难点是第二问中通过三角恒等变换把函数化为 第 14 页 共 15 页

通过换元进一步转化为二次函数在定 f ?? ? ? 2(sin ? ? cos? ) ? 4 3 sin ? cos? ? 2 , 区间上的最值来求解.

第 15 页 共 15 页


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