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(人教A版)2017-2018学年高中数学选修2-1:3.2立体几何中的向量方法第2课时空间向量与垂直关系课件_图文

第2课时 空间向量与垂直关系

考纲定位

重难突破

1.能利用平面法向量证明两个平 重点:求直线的方向向量与平

面垂直.

面的法向量.

2.能利用直线的方向向量和平面 难点:利用方向向量与法向量

的法向量判定并证明空间中的 处理线线、线面、面面间的垂

垂直关系.

直关系.

01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业

[自主梳理]

一、空间垂直关系的向量表示

空间中的垂直关系

线线垂直

线面垂直

面面垂直

设直线l的方向向量为a= 设直线l的方向向量是a 若平面α的法向量u= (a1,a2,a3),直线m的方 =(a1,b1,c1),平面α (a1,b1,c1),平面β的法 向向量为b=(b1,b2, 的法向量u=(a2,b2, 向量为v=(a2,b2,c2), b3),则l⊥m? a·b=0 c2),则l⊥α? a∥u 则α⊥β? u·v=0

二、空间中垂直关系的证明方法

线线垂直

线面垂直

面面垂直

①证明直线的方向

①证明两直线的方 向量与平面的法向 ①证明两个平面的法

向向量的数量积为0 量是平行向量 向量垂直

②证明两直线所成 ②证明直线与平面 ②证明二面角的平面

角为直角

内的两相交直线互 角为直角

相垂直

[双基自测]

1.若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为u=(-2,0,-4),则

() A.l∥α C.l?α

B.l⊥α D.l与α斜交

解析:∵u=-2a,∴u∥a. 又∵u为平面α的法向量,∴l⊥α. 答案:B

2.若两个不同平面α,β的法向量分别为u=(2,1,-1),v=(3,2,8),则( )

A.α∥β

B.α⊥β

C.α,β相交不垂直

D.以上均不正确

解析:∵v·u=6+2-8=0. ∴v⊥u,∴α⊥β. 答案:B

3.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC为直 角的等腰三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点E 在棱AA1上,要使CE⊥面B1DE,则AE=______.

解析:建立如图所示的坐标系,
则B1(0,0,3a),D???? 22a, 22a,3a????, C(0, 2a,0). 设E( 2a,0,z),(0≤z≤3a), 则C→E=( 2a,- 2a,z), B→1E=( 2a,0,z-3a). 由题意得2a2+z2-3az=0, 解得z=a或2a. ∴AE=a或2a.
答案:a或2a

探究一 利用空间向量证明线线垂直 [典例1] 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1,M是底 面上BC边的中点,N是侧棱CC1上的点,且CN=14CC1. 求证:AB1⊥MN.

[证明] 法一 基向量法 设A→B=a,A→C=b,A→A1=c, 则由已知条件和正三棱柱的性质,得 |a|=|b|=|c|=1,a·c=b·c=0, A→B1=a+c,A→M=12(a+b),A→N=b+14c, M→N=A→N-A→M=-12a+12b+14c, ∴A→B1·M→N=(a+c)·???-12a+12b+14c???=-12+12cos 60°+14=0. ∴A→B1⊥M→N,∴AB1⊥MN.

法二 坐标法 设AB的中点为O,作OO1∥AA1. 以O为坐标原点,以OB,OC,OO1所在直线分别为x轴,y轴, z轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得A???-12,0,0???, B???12,0,0???,C????0, 23,0????,N????0, 23,14????,B1(12,0,1), ∵M为BC的中点, ∴M????14, 43,0????. ∴M→N=????-14, 43,14????,A→B1=(1,0,1), M→N·A→B1=-14+0+14=0. ∴M→N⊥A→B1,AB1⊥MN.

向量法证明线线垂直 用向量法证明空间两条直线相互垂直,其主要思路就是证明两直线的方向向量 相互垂直. (1)利用坐标法时要求准确地写出相关点的坐标. (2)利用基向量法证明时关键是能正确表示出目标向量,利用数量积为零证明.

1.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1,若侧棱C1C的中点为D, 求证:AB1⊥A1D.
解析:设AB中点为O,作OO1∥AA1,以O为坐标原点, OB,OC,OO1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角 坐标系,则 A1???-12,0,1???,C1????0, 23,1????, A???-12,0,0???,B1???12,0,1???,

D????0, 23,12????, ∴A→1D=????12, 23,-12????,A→B1=(1,0,1), ∴A→1D·A→B1=12+0-12=0, ∴A→1D⊥A→B1,即AB1⊥A1D.

探究二 用空间向量证明线面垂直 [典例2] 如图所示,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边 长为3,侧棱长为4,连接A1B,过A作AF⊥A1B,垂足为F, 且AF的延长线交B1B于E. 求证:D1B⊥平面AEC.

[证明] 根据题意,建立空间直角坐标系如图所示,则 A(3,0,0), B(3,3,0),C(0,3,0), E???3,3,94???,D1(0,0,4), ∵D→1B=(3,3,-4), A→E=???0,3,94???,A→C=(-3,3,0), ∵D→1B·A→E=(3,3,-4)·???0,3,94???=0, ∴D→1B⊥A→E. ∵D→1B·A→C=(3,3,-4)·(-3,3,0)=0, ∴D→1B⊥A→C, 又AE∩AC=A,∴D1B⊥平面AEC.

用向量法证明线面垂直的方法步骤 (1)坐标法 ①建立空间直角坐标系,将直线的方向向量用坐标表示. ②求平面内任意两条相交直线的方向向量或与平面的法向量. ③证明直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量垂直或与平面的法向量平行. (2)基向量法 ①设出基向量,然后表示直线的方向向量. ②找出平面内两条相交直线的向量并用基向量表示. ③利用数量积计算.

2.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,G为 △BC1D的重心. (1)试证A1,G,C三点共线; (2)试证A1C⊥平面BC1D. 证明:(1)法一 C→A1=C→B+B→A+A→A1=C→B+C→D+C→C1. C→G=C→C1+23×21(C→1B+C→1D) =13(C→B+C→D+C→C1)=31C→A1, ∴C→G∥C→A1,且有公共点 C,即 A1,G,C 三点共线.

法二 建立如图所示的空间直角坐标系,令a=1,则D(0,0,0),B(1,1,0), C1(0,1,1),A1(1,0,1),C(0,1,0), ∴G???13,23,13 ??? ∴A→1C=(-1,1,-1), G→C=???-13,13,-13???, A→1C=3G→C, ∴A→1C与G→C共线,即A1,G,C三点共线.

(2)又B→C1=(-1,0,1),B→D=(-1,-1,0), ∴A→1C·B→C1=1+0-1=0, A→1C·B→D=1-1+0=0, ∴A1C⊥BC1,A1C⊥BD, 又BC1∩BD=B, ∴A1C⊥平面BC1D.

探究三 向量法证明面面垂直 [典例3] 在正棱锥P-ABC中,三条侧棱两两互相垂直,G是△PAB的重心,E, F分别为BC,PB上的点,且BE∶EC=PF∶FB=1∶2. 求证:平面GEF⊥平面PBC.

[证明] 如图,以三棱锥的顶点P为原点,以PA,PB,PC所 在直线分别作为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系. 令PA=PB=PC=3, 则A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,0,3),E(0,2,1),F(0,1,0), G(1,1,0),P(0,0,0). 于是P→A=(3,0,0),F→G=(1,0,0),故P→A=3F→G,∴PA∥FG. 而PA⊥平面PBC,∴FG⊥平面PBC, 又FG?平面EFG, ∴平面EFG⊥平面PBC.

利用向量法证明面面垂直的两个途径 利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径,一是利用两个平面垂直的判 定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直;二是直接求解两 个平面的法向量,证明两个法向量垂直,从而得到两个平面垂直.

3.在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,BC=CD,∠BCD= 90°,∠ADB=30°,E,F分别是AC,AD的中点,求证:平面 BEF⊥平面ABC. 证明:如图以B为坐标原点建立空间直角坐标系,取A(0,0,a),则易得 B(0,0,0),C???? 23a, 23a,0????,D(0, 3a,0), E???? 43a, 43a,a2????,F????0, 23a,a2????, 则有E→F=????- 43a, 43a,0????,

B→A=(0,0,a),B→C=???? 23a, 23a,0????, ∵E→F·B→A=0,E→F·B→C=0, ∴EF⊥AB,EF⊥BC. 又AB∩BC=B,∴EF⊥平面ABC. 又EF?平面BEF, ∴平面BEF⊥平面ABC.

利用空间向量解答平行、垂直问题 [典例] (本题满分12分)如图,在棱长为2的正方体 ABCD A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD, A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且 DP=BQ=λ(0<λ<2). (1)当λ=1时,证明:直线BC1∥平面EFPQ. (2)是否存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在, 求出λ的值;若不存在,说明理由.

[解析] 以D为原点,射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴建立空间直 角坐标系.
由已知得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,λ), B→C1 =(-2,0,2), F→P=(-1,0,λ),F→E=(1,1,0).………………………………………………1分

(1)证明:当λ=1时,F→P=(-1,0,1),因为B→C1=(-2,0,2), 所以B→C1=2F→P,即BC1∥FP,……………………………………………3分 而FP?平面EFPQ, 且BC1?平面EFPQ, 故直线BC1∥平面EFPQ.4分 (2)设平面EFPQ的一个法向量为n=(x,y,z),则 由?????FF→→EP··nn==00, 可得?????-x+x+y=λz0=,0, 于是可取n=(λ,-λ,1),……………………………………………6分

设平面PQMN的法向量为 m=(x2,y2,z2). 因为P→Q=(2,2,λ)-(0,0,λ)=(2,2,0), P→N=(1,0,2)-(0,0,λ)=(1,0,2-λ).

??P→Q·m=0, 由???P→N·m=0,

可得?????2xx2+2+?22-y2=λ?z02,=0,

所以?????xx22==?-λ-y2,2?z2,

令 z2=1,则 x2=λ-2,y2=2-λ. 于是取 m=(λ-2,2-λ,1),8 分 若存在 λ,使得平面 EFPQ 与平面 PQMN 所成的二面角为直二面角,
则 m·n=(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0, 即 λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0, 解得 λ=1±22,……………………………………………11 分 故存在 λ=1±22,使平面 EFPQ 与平面 PQMN 所成的二面角为直二面角. …12 分

[错因与警示] 1.关注解决空间平行、垂直关系的依据 平行、垂直关系的向量表示是解题依据,是解题的前提和根本,也是避免无谓 丢分的关键,如本例利用向量平行证明线线平行;通过证明两个平面的法向量 互相垂直,得两个平面互相垂直. 2.准确计算,避免失误 利用向量法解决空间平行、垂直问题的最大特点是通过计算证明位置关系,这 也是向量法与几何法的主要区别.因此,准确计算是此类问题的关键,如本例 中两个平面的法向量坐标必须计算准确.

[随堂训练]

1.已知直线l1的方向向量a=(2,4,x),直线l2的方向向量b=(2,y,2),若|a|=

6,且a⊥b,则x+y=( )

A.-3或1

B.3或-1

C.-3

D.1

解析:∵|a|= 22+42+x2=6, ∴x2=16,∴x=±4. ∵a⊥b,∴a·b=4+4y+2x=0, 当x=4时,y=-3;当x=-4时,y=1. ∴x+y=1或-3. 答案:A

2.已知A→B=(1,5,-2),B→C=(3,1,z),若A→B⊥B→C,B→P=(x-1,y,-3)且B→P

⊥平面ABC,则B→P等于( )

A.???-470,-175,-3???

B.???470,-175,-3 ???

C.???-373,-175,-3???

D.???373,-175,-3 ???

解析:A→B·B→C=0=3+5-2z,∴z=4,

又∵B→P⊥平面ABC,

∴B→P⊥A→B且B→P⊥B→C,

即B→P·A→B=0且B→P·B→C=0,

???x-1?+5y+6=0, ???3?x-1?+y-12=0,

∴y=-175,x=470.故选D.

答案:D

3.已知平面α和平面β的法向量分别为a=(1,2,3),b=(x,-2,3), 且α⊥β,则x=________. 解析:∵α⊥β,∴a⊥b, 即a·b=0, ∴1×x+2×(-2)+3×3=0, ∴x=-5. 答案:-5

4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=2AB=2BC,E,F,E1分别 是棱AA1,BB1,A1B1的中点. (1)求证:CE∥平面C1E1F; (2)求证:平面C1E1F⊥平面CEF. 证明:以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐 标系,设BC=1, 则C(0,1,0),E(1,0,1),C1(0,1,2),F(1,1,1),E1???1,12,2???.

(1)设平面C1E1F的法向量n=(x,y,z).

∵C→1E1=???1,-12,0???, F→C1=(-1,0,1),

∴?????nn··FC→→C1E1=1=00,,

即???x-12y=0, ??-x+z=0,

取n=(1,2,1). ∵C→E=(1,-1,1),

n·C→E=1-2+1=0, ∴C→E⊥n.

又∵CE?平面C1E1F, ∴CE∥平面C1E1F.

(2)设平面EFC的法向量为m=(a,b,c),

由E→F=(0,1,0),F→C=(-1,0,-1),

??m·E→F=0 ∴???m·F→C=0 ,

即?????b-=a0-c=0 .

取m=(-1,0,1).

∵m·n=1×(-1)+2×0+1×1=-1+1=0, ∴平面C1E1F⊥平面CEF.