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高二数学最新教案-9.2018球 精品

9.11 球 ●知识梳理 1.到定点的距离小于或等于定长的点的集合叫做球,到定点的距离等于定长的点的集合 叫做球面.过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长叫做两点的球面距离. 2.平面截球所得的截面是圆. 3.S 球=4π R2;V 球= 4 π R3. 3 ●点击双基 1.下列四个命题中错误 的个数是 .. ①经过球面上任意两点, 可以作且只可以作一个球的大圆 ②球面积是它大圆面积的四 倍 ③球面上两点的球面距离,是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长 A.0 B.1 C.2 D.3 解析:①③错误. 答案:C 2.(2004 年江苏,4)一平面截一球得到直径为 6 cm 的圆面,球心到这个平面的距离是 4 cm,则该球的体积是 A. 100π cm3 3 B. 208π cm3 3 C. 500π cm3 3 D. 416 ?3π cm3 3 答案:C 3.若三球的半径之比是 1∶2∶3,那么半径最大的球体积是其余两球体积和的_______ 倍. A.4 B.3 C.2 D.1 解析:三球体积之比为 1∶8∶27. 答案:B 4.(2004 年北京,理 11)某地球仪上北纬 30°纬线的长度为 12π cm,该地球仪的半 径是_____________cm,表面积是_____________cm2. 解析:如图所示, r 30o ∵2π r=12π ,∴r=6(cm). 设地球仪半径为 R,则 ∴R=4 3 (cm) , 表面积 S=4π R2=192π (cm2). 答案:4 3 192π R r 6 = =sin60°. R R 5.长方体的一个顶点上三条棱长为 3、4、5,且它的八个顶点都在一个球面上,这个球 的表面积是 A.20 2 π B.25 2 π C.50π D.200π 解析:设球的半径为 R,则(2R)2=32+42+52=50,∴R= 答案:C ●典例剖析 5 2 .∴S 球=4π ×R2=50π . 2 【例 1】 球面上有 3 个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 个点的小圆的周长为 4π ,那么这个球的半径为 A.4 3 B.2 3 C.2 D. 1 ,经过这 3 6 3 解法一:过 O 作 OO′⊥平面 ABC,O′是垂足,则 O′是△ABC 的中心,则 O′A=r=2, 又因为∠AOC=θ = π ,OA=OC 知 OA=AC<2O′A.其次,OA 是 Rt△OO′A 的斜边,故 OA>O′ 3 A.所以 O′A<OA<2O′A.因为 OA=R,所以 2<R<4.因此,排除 A、C、D,得 B. 解法二:在正三角形 ABC 中,应用正弦定理,得 AB=2rsin60°=2 3 . π ,所以侧面 AOB 是正三角形,得球半径 R=OA=AB=2 3 . 3 3 解法三:因为正三角形 ABC 的外径 r=2,故高 AD= r=3,D 是 BC 的中点. 2 π 1 1 在△OBC 中,BO=CO=R,∠BOC= ,所以 BC=BO=R,BD= BC= R. 2 2 3 1 在 Rt△ABD 中,AB=BC=R,所以由 AB2=BD2+AD2,得 R2= R2+9,所以 R=2 3 . 4 特别提示 因为∠AOB=θ = 1.本题以球为载体考查了直线的关系、解三角形等知识,将空间图形的计算转化为平面 图形中求正三角形外接圆半径及勾股定理的使用,并运用方程的思想. 2.正确区别球面上两点之间的直线距离与球面距离;计算 A、B 两点间的球面距离关键 是搞清纬度、经度、经度差、纬度差等概念,具体步骤是: (1)计算线段 AB 的长度; (2)计算 A、B 到球心 O 的张角; (3)计算球大圆在 A、B 两点间所夹的劣弧长. 【例 2】 已知球的两个平行截面的面积分别为 49π 、400π ,且两个截面之间的距离为 9,求球的表面积. 剖析: 先画出过球心且垂直于已知截面的球的大圆截面, 再根据球的性质和已知条件列 方程求出球的半径.注意:由于球的对称性,应考虑两截面与球心的位置关系分别在球心的 同侧或异侧的情形,加以分类讨论. 解:下图为球的一个大圆截面. O1 O2 O π ·O1A2=49π , 则 O1A=7. 又π ·O2B2=400π , ∴O2B=20. A B ( 1)当两截面在球心同侧时,OO1- OO2=9= R 2 ? 7 2 - R 2 ? 20 2 ,解得 R2=625, S 球 =4π R2=2500π . (2)当两截面在球心异侧时,OO1+OO2=9= R 2 ? 7 2 + R 2 ? 20 2 ,无解. 综上,所求球的表面积为 2500π . 特别提示 球的截面的性质是解决与球有关的问题的重要一环,特别是有关球的计算问题中, R =d2+r2(R、r、d 分别表示球的半径、截面圆的半径、球心到截面的距离)起着重要的作 用. 2 【例 3】 已知球的半径为 R,在球内作一个内接圆柱,这个圆柱底面半径与高为何值 时,它的侧面积最大?侧面积的最大值是多少? 解:下图为轴截面,令圆柱的高为 h,底面半径为 r,侧面积为 S, O 则( h 2 2 2 ) +r =R , 2 h 2 B C R A 即 h=2 R 2 ? r 2 . ∵S=2π rh=4π r· R 2 ? r 2 =4π r 2 ? (R 2 ? r 2 ) ≤4π (r 2 ? R 2 ? r 2 ) 2 2 =2π R2,取等号时,内接圆柱底面半径为 R,高为 2 R. 2 2 ●闯关训练 夯实基础 1.(2004 年全国Ⅱ,7)已知球 O 的半径为 1,A、B、C 三点都在球面上,且每两点间 的球面距离均为 π ,则球心 O 到平面 ABC 的距离为 2 3 6 2 C. D. 3 3 3 解析:显然 OA、OB、OC 两两垂直,如图,设 O1 为 ABC 所在平面截球所得圆的圆心,

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